Способи обчислення". Презентація до уроку "Невизначений інтеграл. Способи обчислення" Презентація лекція 7 первісна та невизначений інтеграл

ГБОУ СПО "Навашинський судномеханічний технікум" Невизначений інтеграл. Способи обчислення

Євдокс Кнідський бл. 408 - прибл. 355 до н. е. Інтегральне обчислення з'явилося за часів античного періоду розвитку математичної науки і почалося з методу вичерпування, розробленого математиками Стародавню Грецію, і був набором правил, розроблених Евдоксом Книдским. За цими правилами обчислювали площі та обсяги

Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646-1716) Символ ∫ введений Лейбніцем (1675 р.). Цей знак є зміною латинської літери S (першої літери слова summa).

Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) Ісаак Ньютон (1643 – 1727) Ньютон і Лейбніц відкрили незалежно один від одного факт, відомий під назвою формули Ньютона – Лейбніца.

Огюстен Луї Коші (1789 – 1857) Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (1815 1897) Роботи Коші та Вейєрштрасса підбили підсумок багатовікового розвитку інтегрального числення.

У розвитку інтегрального числення взяли участь російські математики: М.В. Остроградський (1801 - 1862) В.Я. Буняковський (1804 - 1889) П.Л. Чебишев (1821 - 1894)

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Невизначеним інтегралом від безперервної функції f(x) на інтервалі (a; b) називають будь-яку її первинну функцію. Де С – довільна стала (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Сх+С 2 F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +C 5. F(x) = tg x +C 6. F(x) = - cos x +C 5. f(x) = cosx Встановити відповідність. Знайти такий загальний виглядпервісної, яка відповідає заданої функції. tg x +С

Властивості інтегралу

Властивості інтегралу

Основні методи інтегрування Табличний. 2.Зведення до табличного перетворення підинтегрального вираження у суму чи різницю. 3.Інтегрування за допомогою заміни змінною (підстановкою). 4.Інтегрування частинами.

Знайти першорядні для функцій: F(x) = 5 х ² + C F(x) = х ³ + C F(x) = - cos х + 5х+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 х ³ + C F(x) = 3 x - х ² + C 1) f(x) = 10х 2) f(x) =3 х ² 3) f(x) = sin х +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 х ² 6) f(x) = 3-2х

Чи правильно що: а) в) б) г)

Приклад 1. Інтеграл суми виразів дорівнює суміінтегралів цих виразів Постійний множник можна винести за знак інтегралу

Приклад 2. Перевірити рішення Записати рішення:

Приклад 3. Перевірити рішення Записати рішення:

Приклад 4 . Перевірити рішення Записати рішення: Введемо нову змінну та висловимо диференціали:

Приклад 5. Перевірити рішення Записати рішення:

C самостійна робота Знайти невизначений інтегралПеревірити рішення Рівень "А" (на "3") Рівень "В" (на "4") Рівень "С" (на "5")

Завдання Встановити відповідність. Знайти такий загальний вигляд первісної, що відповідає заданій функції.

Cлайд 1

Cлайд 2

Історичні відомості Інтегральне обчислення виникло з потреби створити загальний метод розшуку площ, обсягів та центрів тяжіння. У зародковій формі такий метод застосовувався ще Архімедом. Сістематичний розвиток він отримав у 17-му столітті в роботах Кавальєрі, Торрічеллі, Фермам, Паскаля. У 1659 р. І. Барроу встановив зв'язок між завданням про розшук площі і завданням про розшук дотичної. Ньютон і Лейб-Ніц в 70-х роках 17-го століття відвернули цей зв'язок від згаданих приватних геометричних завдань. Тим самим було встановлено зв'язок між інтегральним і Диференціальним обчисленням. Цей зв'язок був використаний Ньютоном, Лейбніцем та їх учнями для Розвитку техніки інтегрування. Свого нинішнього стану методи інтегрування переважно досягли в роботах Л.Ейлера. Праці М.В.Остроградсько-Го і П.Л.Чебишева завершили розвиток цих методів.

Cлайд 3

Поняття про інтеграл. Нехай лінія MN дана рівнянням І треба знайти площу F «криволінійної трапеції aABb. Розділимо відрізок ab на n частин (рівних або нерівних) і побудуємо ступінчасту фігуру, показану штрихуванням на рис.1 Її площа, її площа дорівнює (1) Якщо ввести позначення То формула (1) набуде вигляду (3) Шукана площа є межа суми ( 3) при нескінченно великому n. Лейбніц ввів для цієї межі позначення (4) У якому (курсивне s) – початкова літера слова summa (сума), Е вираз вказує типову форму окремих складових. Вираз Лейбніц став називати інтегралом – від латинсько-го слова integralis – цілісний. Ж. Б. Фур'є удосконалив обоз- Лейбніца, надавши йому вигляд Тут явно вказані початкове і кінцеве значення x .

Cлайд 4

Зв'язок між інтегруванням та диференціюванням. Вважатимемо а постійною, а b – змінною величиною. Тоді інтеграл буде функцією від b. Диференціал цієї функції дорівнює

Cлайд 5

Первісна функція. Нехай функція є похідною від функції, Т.С. Існує диференціал функції: Тоді функція називається первісною для функції

Cлайд 6

Приклад знаходження первісної. Функція є первісна від Т.С. Існує диференціал функції Функція є первісною для функції

Cлайд 7

Невизначений інтеграл. Невизначеним інтегралом цього виразу Називається найбільш загальний вигляд його первинної функції. Невизначений інтеграл виразу позначається Вираз називається підінтегральним виразом, Функція -підінтегральною функцією, змінна x-перемінний інтегрування. Пошук невизначеного інтеграла цієї Функції називається інтегруванням.Аношина О.В.

Основна література

1. Шипачов В. С. Вища математика. Базовий курс: підручник та
практикум для бакалаврів [Гриф Міносвіти РФ]/В. С.
Шипачів; за ред. А. Н. Тихонова. - 8-е вид., перероб. та дод. Москва: Юрайт, 2015. – 447 с.
2. Шипачов В. С. Вища математика. Повний курс: підручник
для акад. бакалаврату [Гриф УМО] / В. С. Шипачов; за ред. А.
М. Тихонова. - 4-те вид., Випр. та дод. - Москва: Юрайт, 2015. - 608
з
3. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевнікова Т..Я. Вища математика
у вправах та завданнях. [Текст]/П.Є. Данко, О.Г. Попов, Т.Я.
Кожевнікова. О 2 год. - М.: вища школа, 2007. - 304 +415c.

Звітність

1.
Контрольна робота. Виконується відповідно:
Завдання та методичні вказівкидо виконання контрольних робіт
з дисципліни «ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА», Єкатеринбург, ФДАО
ВО «Російський державний професійно-педагогічний
університет», 2016 – 30с.
варіант контрольної роботивибирати за останньою цифрою номера
залікової книжки.
2.
Іспит

Невизначений інтеграл, його властивості та обчислення Первісна та невизначений інтеграл

Визначення. Функція F x називається
первісної функції f x , визначеної на
деякому проміжку, якщо F x f x для
кожного з цього проміжку.
Наприклад, функція cos x є
первісної функції sin x , оскільки
cos x sin x.

Очевидно, якщо F x - первісна
функції f x , то F x C , де C деяка постійна, також є
первісної функції f x.
Якщо F x є якась первісна
функції f x , то будь-яка функція виду
Ф x F x C також є
первісної функції f x і всяка
первісна уявна в такому вигляді.

Визначення. Сукупність усіх
первісних функцій f x ,
визначених на деякому
проміжку, називається
невизначеним інтегралом від
функції f x на цьому проміжку та
позначається f x dx.

Якщо F x - деяка первісна функція
f x , то пишуть f x dx F x C , хоча
правильніше писати f x dx F x C .
Ми за традицією будемо писати
f x dx F x C .
Тим самим один і той самий символ
f x dx буде позначати як всю
сукупність первісних функцій f x ,
так і будь-який елемент цієї множини.

Властивості інтегралу

Похідна невизначеного інтеграла дорівнює
підінтегральної функції, а його диференціал підінтегрального виразу. Дійсно:
1.(f(x)dx) (F(x)C) F(x)f(x);
2.d f(x)dx(f(x)dx) dx f(x)dx.

Властивості інтегралу

3. Невизначений інтеграл від
диференціала безперервно (x)
диференційованої функції дорівнює самій
цієї функції з точністю до постійної:
d(x)(x)dx(x)C,
оскільки (x) є первісною для (x).

Властивості інтегралу

4.Якщо функції f1 x і f 2 x мають
первісні, то функція f1 x f 2 x
також має первісну, причому
f1 x f 2 x dx f1 x dx f2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6. f x dx f x C;
7. f x x d x F x C .

1. dx x C.
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C.
x
x
a
4. a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8. 2 ctgx C.
sin x
dx
9. 2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Таблиця невизначених інтегралів

11.
dx
arcsin x C.
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x

Властивості диференціалів

При інтегруванні зручно користуватися
властивостями: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3

Приклади

приклад. Обчислити cos 5xdx.
Рішення. У таблиці інтегралів знайдемо
cos xdx sin x C .
Перетворимо даний інтеграл до табличного,
скориставшись тим, що d ax adx .
Тоді:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C.
5

Приклади

приклад. Обчислити x
3x x 1 dx.
Рішення. Тому що під знаком інтеграла
знаходиться сума чотирьох доданків, то
розкладаємо інтеграл на суму чотирьох
інтегралів:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Незалежність від виду змінної

При обчисленні інтегралів зручно
користуватися такими властивостями
інтегралів:
Якщо f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Якщо f x dx F x C , то
1
f ax b dx F ax b C .
a

приклад

Обчислимо
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Методи інтегрування Інтегрування частинами

Цей метод заснований на формулі udv uv vdu.
Методом інтегрування частинами беруть такі інтеграли:
а) x n sin xdx де n 1,2 ... k;
б) x n e x dx де n 1,2 ... k;
в) x n arctgxdx де n 0, 1, 2, ... k . ;
г) x n ln xdx де n 0, 1, 2, ... k .
При обчисленні інтегралів а) та б) вводять
n 1
позначення: x n u тоді du nx dx , а, наприклад
sin xdx dv ,тоді v cos x .
При обчисленні інтегралів в), г) позначають u функцію
arctgx, ln x, а за dv беруть x n dx.

Приклади

приклад. Обчислити x cos xdx.
Рішення.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Приклади

приклад. Обчислити
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Метод заміни змінної

Нехай потрібно знайти f x dx, причому
безпосередньо підібрати первісну
для f x ми не можемо, але нам відомо, що
вона існує. Часто вдається знайти
первісну, ввівши нову змінну,
за формулою
f x dx f t t dt , де x t , а t - нова
змінна

Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен

Розглянемо інтеграл
ax b
dx,
x px q
містить квадратний тричлен
знаменника підінтегрального
вирази. Такий інтеграл беруть також
методом заміни змінних,
попередньо виділивши в
знаменнику повний квадрат.
2

приклад

Обчислити
dx
.
x 4x 5
Рішення. Перетворимо x 2 4 x 5 ,
2
виділяючи повний квадрат за формулою a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тоді отримуємо:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

приклад

Знайти
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Певний інтеграл, основні властивості. Формула Ньютона-Лейбніца. Програми певного інтеграла.

До поняття певного інтегралу наводить
завдання знаходження площі криволінійної
трапеції.
Нехай на деякому інтервалі задано
безперервна функція y f (x) 0
Завдання:
Побудувати її графік і знайти F площу фігури,
обмеженою цією кривою, двома прямими x = a і x
= b, а знизу – відрізком осі абсцис між точками
x = a та x = b.

Фігура aABb називається
криволінійною трапецією

Визначення

b
f(x)dx
Під певним інтегралом
a
від цієї безперервної функції f(x) на
даному відрізку розуміється
відповідне збільшення її
первісної, тобто
F(b) F(a) F(x) /
b
a
Числа a та b – межі інтегрування,
- Проміжок інтегрування.

Правило:

Певний інтеграл дорівнює різниці
значень первісної підінтегральної
функції для верхньої та нижньої меж
інтегрування.
Ввівши позначення для різниці
b
F(b) F(a) F(x)/a
b
f(x)dx F(b) F(a)
a
Формула Ньютона - Лейбніца.

Основні властивості певного інтегралу.

1)Величина певного інтегралу залежить від
позначення змінної інтегрування, тобто.
b
b
a
a
f(x)dx f(t)dt
де x та t – будь-які літери.
2) Певний інтеграл з однаковими
межами
інтегрування дорівнює нулю
a
f(x)dx F(a) F(a) 0
a

3) При перестановці меж інтегрування
певний інтеграл змінює свій знак на зворотний
b
a
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
a
b
(Властивість адитивності)
4) Якщо проміжок розбито на кінцеве число
часткових проміжків, то певний інтеграл,
взятий за проміжком , дорівнює сумі певних
інтегралів, взятих за всіма його частковими проміжками.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Постійний множник можна виносити
за знак певного інтегралу.
6) Певний інтеграл від алгебраїчної
суми кінцевого числа безперервних
функцій дорівнює такій же алгебраїчній
сумі певних інтегралів від цих
функцій.

3. Заміна змінної у певному інтегралі.

3. Заміна змінної у визначеному
інтегралі.
b
f(x)dx f(t)(t)dt
a
a (), b (), (t)
де
для t [; ] , функції (t) і (t) безперервні;
5
Приклад:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Невласні інтеграли.

Невласні інтеграли.
Визначення. Нехай функція f(x) визначена на
нескінченному інтервалі , де b< + . Если
існує
b
lim
f(x)dx,
b
a
то ця межа називається невласною
інтегралом функції f(x) на інтервалі
}