Cлайд 1
Cлайд 2
Історичні відомості Інтегральне обчислення виникло з потреби створити загальний метод розшуку площ, обсягів та центрів тяжіння. У зародковій формі такий метод застосовувався ще Архімедом. Сістематичний розвиток він отримав у 17-му столітті в роботах Кавальєрі, Торрічеллі, Фермам, Паскаля. У 1659 р. І. Барроу встановив зв'язок між завданням про розшук площі і завданням про розшук дотичної. Ньютон і Лейб-Ніц в 70-х роках 17-го століття відвернули цей зв'язок від згаданих приватних геометричних завдань. Тим самим було встановлено зв'язок між інтегральним і Диференціальним обчисленням. Цей зв'язок був використаний Ньютоном, Лейбніцем та їх учнями для Розвитку техніки інтегрування. Свого нинішнього стану методи інтегрування переважно досягли в роботах Л.Ейлера. Праці М.В.Остроградсько-Го і П.Л.Чебишева завершили розвиток цих методів.
Cлайд 3
Поняття про інтеграл. Нехай лінія MN дана рівнянням І треба знайти площу F «криволінійної трапеції aABb. Розділимо відрізок ab на n частин (рівних або нерівних) і побудуємо ступінчасту фігуру, показану штрихуванням на рис.1 Її площа, її площа дорівнює (1) Якщо ввести позначення То формула (1) набуде вигляду (3) Шукана площа є межа суми ( 3) при нескінченно великому n. Лейбніц ввів для цієї межі позначення (4) У якому (курсивне s) – початкова літера слова summa (сума), Е вираз вказує типову форму окремих складових. Вираз Лейбніц став називати інтегралом – від латинсько-го слова integralis – цілісний. Ж. Б. Фур'є удосконалив обоз- Лейбніца, надавши йому вигляд Тут явно вказані початкове і кінцеве значення x .
Cлайд 4
Зв'язок між інтегруванням та диференціюванням. Вважатимемо а постійною, а b – змінною величиною. Тоді інтеграл буде функцією від b. Диференціал цієї функції дорівнює
Cлайд 5
Первісна функція. Нехай функція є похідною від функції, Т.С. Існує диференціал функції: Тоді функція називається первісною для функції
Cлайд 6
Приклад знаходження первісної. Функція є первісна від Т.С. Існує диференціал функції Функція є первісною для функції
Cлайд 7
Невизначений інтеграл. Невизначеним інтегралом цього виразу Називається найбільш загальний виглядйого первісної функції. Невизначений інтеграл виразу позначається Вираз називається підінтегральним виразом, Функція -підінтегральною функцією, змінна x-перемінний інтегрування. Пошук невизначеного інтеграла цієї Функції називається інтегруванням.
ГБОУ СПО "Навашинський судномеханічний технікум" Невизначений інтеграл. Способи обчислення
Євдокс Кнідський бл. 408 - прибл. 355 до н. е. Інтегральне обчислення з'явилося за часів античного періоду розвитку математичної науки і почалося з методу вичерпування, розробленого математиками Стародавню Грецію, і був набором правил, розроблених Евдоксом Книдским. За цими правилами обчислювали площі та обсяги
Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646-1716) Символ ∫ введений Лейбніцем (1675 р.). Цей знак є зміною латинської літери S (першої літери слова summa).
Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) Ісаак Ньютон (1643 – 1727) Ньютон і Лейбніц відкрили незалежно один від одного факт, відомий під назвою формули Ньютона – Лейбніца.
Огюстен Луї Коші (1789 – 1857) Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (1815 1897) Роботи Коші та Вейєрштрасса підбили підсумок багатовікового розвитку інтегрального числення.
У розвитку інтегрального числення взяли участь російські математики: М.В. Остроградський (1801 - 1862) В.Я. Буняковський (1804 - 1889) П.Л. Чебишев (1821 - 1894)
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Невизначеним інтегралом від безперервної функції f(x) на інтервалі (a; b) називають будь-яку її первинну функцію. Де С – довільна стала (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Сх+С 2 F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +C 5. F(x) = tg x +C 6. F(x) = - cos x +C 5. f(x) = cosx Встановити відповідність. Знайти такий загальний вигляд первісної, що відповідає заданої функції. tg x +С
Властивості інтегралу
Властивості інтегралу
Основні методи інтегрування Табличний. 2.Зведення до табличного перетворення підинтегрального вираження у суму чи різницю. 3.Інтегрування за допомогою заміни змінною (підстановкою). 4.Інтегрування частинами.
Знайти першорядні для функцій: F(x) = 5 х ² + C F(x) = х ³ + C F(x) = - cos х + 5х+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 х ³ + C F(x) = 3 x - х ² + C 1) f(x) = 10х 2) f(x) =3 х ² 3) f(x) = sin х +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 х ² 6) f(x) = 3-2х
Чи правильно що: а) в) б) г)
Приклад 1. Інтеграл суми виразів дорівнює суміінтегралів цих виразів Постійний множник можна винести за знак інтегралу
Приклад 2. Перевірити рішення Записати рішення:
Приклад 3. Перевірити рішення Записати рішення:
Приклад 4 . Перевірити рішення Записати рішення: Введемо нову змінну та висловимо диференціали:
Приклад 5. Перевірити рішення Записати рішення:
C самостійна робота Знайти невизначений інтегралПеревірити рішення Рівень "А" (на "3") Рівень "В" (на "4") Рівень "С" (на "5")
Завдання Встановити відповідність. Знайти такий загальний вигляд первісної, що відповідає заданій функції.
Первісна. Завдання диференціального обчислення: за цією функцією визначити її похідну. Завдання інтегрального обчислення: визначити функцію, знаючи її похідну. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для будь-якого х із цього проміжку справедлива рівність F ʹ (x)=f(x).
Теорема. Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на деякому проміжку, то множина всіх первісних цієї функції має вигляд F(x)+C, де C R. y x 0 Геометрично: F(x)+C є сімейством кривих, одержуваних із кожної їх паралельним перенесенням вздовж осі ОУ. З інтегральна крива
Приклад 2. Знайти всі первісні функції f(x)=2x та зобразити їх геометрично. y x
Підінтегральна функція - підінтегральний вираз - знак невизначеного інтеграла х – змінна інтегрування F(x)+C – безліч всіх первісних З – стала інтегрування Процес знаходження первинної функції називається інтегруванням, а розділ математики- інтегральним обчисленням.
Властивості невизначеного інтеграла Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції:
Основні методи інтегрування. Метод безпосереднього інтегрування. Безпосереднім інтегруванням називається такий метод обчислення інтегралів, у якому вони зводяться до табличних шляхом застосування до них основних властивостей невизначеного інтегралу. При цьому підінтегральну функцію зазвичай перетворюють відповідним чином.
