Рівняння виду f(x; a) = 0 називається рівнянням зі змінною хта параметром а.
Вирішити рівняння з параметром а– це означає, для кожного значення азнайти значення х, що задовольняють цього рівняння.
приклад 1. ах= 0
приклад 2. ах = а
приклад 3.
х + 2 = ах
х - ах = -2
х(1 – а) = -2
Якщо 1 – а= 0, тобто. а= 1, то х 0 = -2 коріння немає
Якщо 1 – а 0, тобто. а 1, то х =
приклад 4.
(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)
Якщо а= 1, то 0 х = 0
х– будь-яке дійсне число
Якщо а= -1, то 0 х = -2
Коренів немає
Якщо а 1, а-1, то х= (Єдине рішення).
Це означає, що кожному припустимому значенню авідповідає єдине значення х.
Наприклад:
якщо а= 5, то х = = ;
якщо а= 0, то х= 3 і т.д.
Дидактичний матеріал
1. ах = х + 3
2. 4 + ах = 3х – 1
3. а = +
при а= 1 коріння немає.
при а= 3 коріння немає.
при а = 1 х– будь-яке дійсне число, крім х = 1
при а = -1, а= 0 рішень немає.
при а = 0, а= 2 рішень немає.
при а = -3, а = 0, 5, а= -2 рішень немає
при а = -з, з= 0 рішень немає.
Квадратні рівняння з параметром
приклад 1.Вирішити рівняння
(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0
При а = 1 6х + 7 = 0
В разі а 1 виділимо ті значення параметра, за яких Дзвертається в нуль.
Д = (2(2 а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
20а + 16 = 0
20а = -16
Якщо а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.
Якщо а> -4/5 та а 1, то Д > 0,
х = 
Якщо а= 4/5, то Д = 0,
приклад 2.При яких значеннях параметра а рівняння
х 2 + 2( а + 1)х + 9а- 5 = 0 має 2 різних негативних кореня?
Д = 4 ( а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)
4(а – 1)(а – 6) > 0
по т. Вієта: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5
За умовою х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0
| В підсумку | 4(а – 1)(а – 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0 |
а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9 |
 (Мал. 1) < a < 1, либо a > 6 |
приклад 3.Знайдіть значення а, у яких дане рівняння має рішення.
х 2 – 2( а – 1)х + 2а + 1 = 0
Д = 4 ( а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а(а – 4) 0
а( а – 4)) 0
а( а – 4) = 0
а = 0 або а – 4 = 0
а = 4
(Мал. 2)
Відповідь: а 0 та а 4
Дидактичний матеріал
1. При якому значенні арівняння ах 2 – (а + 1) х + 2а- 1 = 0 має один корінь?
2. При якому значенні арівняння ( а + 2) х 2 + 2(а + 2)х+ 2 = 0 має один корінь?
3. При яких значеннях а рівняння ( а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 має більше двох коренів?
4. При яких значеннях рівняння 2 х 2 + х – а= 0 має хоча б один загальний корінь із рівнянням 2 х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При яких значеннях а рівняння х 2 +ах+ 1 = 0 та х 2 + х + а= 0 чи мають хоча б один загальний корінь?
1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1
2. При а = 0
3. При а = 2
4. При а = 10
5. При а = - 2
Показові рівняння з параметром
Приклад 1.Знайти всі значення а, при яких рівняння
9 х – ( а+ 2)*3 х-1/х +2 а*3 -2/х = 0 (1) має рівно два корені.
Рішення. Помноживши обидві частини рівняння (1) на 3 2/х, отримаємо рівносильне рівняння
3 2(х+1/х) – ( а+ 2)*3 х+1/х + 2 а = 0 (2)
Нехай 3 х + 1/х = утоді рівняння (2) набуде вигляду у 2 – (а + 2)у + 2а= 0, або
(у – 2)(у – а) = 0, звідки у 1 =2, у 2 = а.
Якщо у= 2, тобто. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х= log 3 2 або х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.
Це рівняння не має дійсних коренів, оскільки його Д= log 2 3 2 – 4< 0.
Якщо у = а, тобто. 3 х+1/х = ато х + 1/х= log 3 а, або х 2 –х log 3 а + 1 = 0. (3)
Рівняння (3) має рівно два корені тоді і тільки тоді, коли
Д = log 2 3 2 - 4 > 0, або | log 3 а | >2.
Якщо log 3 а > 2, то а> 9, і якщо log 3 а< -2, то 0 < а < 1/9.
Відповідь: 0< а < 1/9, а > 9.
Приклад 2. При яких значеннях рівняння 2 2х – ( а – 3) 2 х – 3 а= 0 Чи має рішення?
Для того щоб задане рівняннямало рішення, необхідно і достатньо, щоб рівняння t 2 – (a – 3) t – 3a= 0 мало хоча б один позитивний корінь. Знайдемо коріння за теоремою Вієта: х 1 = -3, х 2 = а = >
а – позитивне число.
Відповідь: при а > 0
Дидактичний матеріал
1. Знайти всі значення а, при яких рівняння
25 х – (2 а+ 5) * 5 х-1/х + 10 а* 5 -2/х = 0 має рівно 2 рішення.
2. При яких значеннях а рівняння
2(а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 має єдиний корінь?
3. При яких значеннях параметра а рівняння
4 х - (5 а-3) 2 х +4 а 2 – 3а= 0 Чи має єдине рішення?
Логарифмічні рівняння з параметром
приклад 1.Знайти всі значення а, при яких рівняння
log 4x (1 + ах) = 1/2 (1)
має єдине рішення.
Рішення. Рівняння (1) рівносильне рівнянню
1 + ах = 2хпри х > 0, х 1/4 (3)
х = у
ау 2 – у + 1 = 0 (4)
Не виконується (2) умова (3).
Нехай а 0, то ау 2 – 2у+ 1 = 0 має дійсне коріння тоді і тільки тоді, коли Д = 4 – 4а 0, тобто. при а 1.Щоб вирішити нерівність (3), побудуємо графіки функцій Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І.Поглиблене вивчення курсу алгебри та математичного аналізу. - М.: Просвітництво, 1990
До завданням із параметромможна віднести, наприклад, пошук рішення лінійних і квадратних рівняньв загальному вигляді, дослідження рівняння кількості наявних коренів залежно від значення параметра.
Не наводячи докладних визначень, як приклади розглянемо такі рівняння:
у = kx, де x, y – змінні, k – параметр;
у = kx + b, де x, y – змінні, k та b – параметр;
аx 2 + bх + с = 0 де x - змінні, а, b і с - параметр.
Вирішити рівняння (нерівність, систему) з параметром це означає, як правило, вирішити безліч рівнянь (нерівностей, систем).
Завдання з параметром можна умовно поділити на два типи:
а)в умові сказано: розв'язати рівняння (нерівність, систему) – це означає, всім значень параметра знайти рішення. Якщо хоч один випадок залишився недослідженим, визнати таке рішення задовільним не можна.
б)потрібно вказати можливі значення параметра, при яких рівняння (нерівність, система) має певні властивості. Наприклад, має одне рішення, не має рішень, має рішення, що належать до проміжку і т. д. У таких завданнях необхідно чітко вказати, при якому значенні параметра необхідна умова виконується.
Параметр, будучи невідомим фіксованим числом, має особливу подвійність. Насамперед, необхідно враховувати, що передбачувана популярність свідчить, що параметр необхідно сприймати як число. По-друге, свобода поводження з параметром обмежується його невідомістю. Так, наприклад, операції поділу на вираз, в якому є параметр або вилучення кореня парного ступеняз такого висловлювання вимагають попередніх досліджень. Тому потрібна акуратність у поводженні з параметром.
Наприклад, щоб порівняти два числа -6а та 3а, необхідно розглянути три випадки:
1) -6a буде більшим за 3a, якщо а від'ємне число;
2) -6а = 3а у разі, коли а = 0;
3) -6а буде менше, ніж 3а, якщо а число позитивне 0.
Рішення і буде відповіддю.
Нехай дано рівняння kx = b. Це рівняння - короткий запис нескінченної множини рівнянь з однією змінною.
При розв'язанні таких рівнянь можуть бути випадки:
1. Нехай k – будь-яке дійсне число не дорівнює нулю і b – будь-яке число R, тоді x = b/k.
2. Нехай k = 0 і b ≠ 0, вихідне рівняння набуде вигляду 0 · x = b. Очевидно, що такого рівняння рішень немає.
3. Нехай k і b числа, рівні нулю, Тоді маємо рівність 0 · x = 0. Його рішення – будь-яке дійсне число.
Алгоритм розв'язання такого типу рівнянь:
1. Визначити "контрольні" значення параметра.
2. Вирішити вихідне рівняння щодо х при тих значеннях параметра, визначених у першому пункті.
3. Вирішити вихідне рівняння щодо х при значеннях параметра, що відрізняються від обраних у першому пункті.
4. Записати відповідь можна у такому вигляді:
1) при … (значення параметра), рівняння має коріння …;
2) при … (значення параметра), у рівнянні коріння немає.
приклад 1.
Вирішити рівняння параметром |6 – x| = a.
Рішення.
Легко бачити тут a ≥ 0.
За правилом модуля 6 – x = ±a, виразимо х:
Відповідь: х = 6 ± a де а ≥ 0.
приклад 2.
Розв'язати рівняння a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 щодо змінної х.
Рішення.
Розкриємо дужки: aх - а + 2х - 2 = 0
Запишемо рівняння у стандартному вигляді: х(а + 2) = а + 2.
Якщо вираз а + 2 не нуль, тобто якщо а ≠ -2, маємо рішення х = (а + 2) / (а + 2), тобто. х = 1.
Якщо а + 2 дорівнює нулю, тобто. а = -2, то маємо правильна рівність 0 · x = 0, тому х – будь-яке дійсне число.
Відповідь: х = 1 при а ≠ -2 та х € R при а = -2.
приклад 3.
Розв'язати рівняння x/a + 1 = а + х щодо змінної х.
Рішення.
Якщо а = 0, то перетворимо рівняння до виду а + х = а 2 + ах або (а - 1) х = -а (а - 1). Останнє рівняння при а = 1 має вигляд 0 x = 0, отже, х - будь-яке число.
Якщо а ≠ 1, то останнє рівняння набуде вигляду х = -а.
Дане рішення можна проілюструвати на координатній прямій (Рис. 1)
Відповідь: немає рішень при а = 0; х – будь-яке число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 та а ≠ 1.
Графічний метод
Розглянемо ще один спосіб розв'язання рівнянь із параметром – графічний. Цей метод застосовується досить часто.
приклад 4.
Скільки коренів залежно від параметра має рівняння ||x| - 2 | = a?
Рішення.
Для вирішення графічним методом будуємо графіки функцій y = | | x | - 2 | та y = a (Рис. 2).
На кресленні наочно видно можливі випадки розташування прямої y = a кількість коренів у кожному їх.
Відповідь: коріння у рівняння не буде, якщо а< 0; два корня будет в случае, если a >2 та а = 0; три корені рівняння матиме у разі а = 2; чотири корені – при 0< a < 2.
Приклад 5.
При якому рівняння 2|x| + | x - 1 | = a має єдиний корінь?
Рішення.
Зобразимо графіки функцій y = 2|x| + | x - 1 | та y = a. Для y = 2 | x | + |x – 1|, розкривши модулі шляхом проміжків, отримаємо:
(-3x + 1, при x< 0,
y = (x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, за x > 1.
на малюнку 3добре видно, що єдиний корінь рівняння матиме лише за а = 1.
Відповідь: а = 1.
Приклад 6.
Визначити число розв'язків рівняння | x + 1 | + | x + 2 | = a залежно від параметра?
Рішення.
Графік функції y = | x + 1 | + | x + 2 | буде ламаною. Її вершини будуть розташовуватися в точках (-2; 1) та (-1; 1) (Малюнок 4).
Відповідь: якщо параметр a буде менше одиниці, то коріння у рівняння не буде; якщо а = 1, то рішення рівняння є нескінченна множина чисел з відрізка [-2; -1]; якщо значення параметра а будуть більше одного, то рівняння матиме два корені.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати рівняння з параметром?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
У Останніми рокамина вступних іспитах, на підсумковому тестуванні у формі ЄДІ пропонуються завдання з параметрами. Ці завдання дозволяють діагностувати рівень математичного та, головне, логічного мисленняабітурієнтів, здатність здійснювати дослідницьку діяльність, а також просто знання основних розділів шкільного курсуматематики.
Погляд параметр як на рівноправну змінну знаходить своє відображення у графічних методах. Справді, оскільки параметр “рівний у правах” зі змінною, йому, звісно, можна “виділити” і свою координатну вісь. Таким чином, виникає координатна площина. Відмова від традиційного вибору літер і для позначення осей визначає один з найефективніших методів вирішення задач з параметрами – "Метод областей". Поряд з іншими методами, що застосовуються при вирішенні задач з параметрами, я знайомлю своїх учнів і з графічними прийомами, звертаючи увагу на те, як розпізнати такі завдання і як виглядає процес вирішення задачі.
Найкращі загальні ознаки, які допоможуть дізнаватися завдання, що підходять під аналізований метод:
Завдання 1. “При яких значеннях параметра нерівність виконується за всіх ?”
Рішення. 1).
Розкриємо модулі з урахуванням знака підмодульного виразу: 
2). Запишемо всі системи нерівностей:
а) 
б) 
в) 
г) 
3). Покажемо безліч точок, що задовольняють кожній системі нерівностей (Рис.1а).
4). Об'єднуючи всі області, показані малюнку штрихуванням, можна побачити, що нерівності не задовольняють точки , які у парабол.
На малюнку видно, що з будь-якому значенні параметра можна знайти область, де лежать точки, координати яких задовольняють вихідної нерівності. Нерівність виконується за всіх, якщо. Відповідь: при .
Розглянутий приклад є “відкрите завдання” - можна розглянути рішення цілого класу завдань, не змінюючи розглянуте у прикладі вираз 
, у яких технічні проблеми побудови графіків вже подолано.
Завдання. За яких значень параметра рівняння немає рішень? Відповідь: при .
Завдання. За яких значень параметра рівняння має два рішення? Запишіть обидва знайдені рішення.
Відповідь: , тоді 
, 
;
Тоді 
; тоді 
, .
Завдання. За яких значень параметра рівняння має один корінь? Знайдіть цей корінь. Відповідь: при .
Завдання. Розв'яжіть нерівність.
("Працюють" точки, що лежать усередині парабол).
, ; , рішень немає;
Завдання 2. Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких система нерівностей 
утворює на числовий прямий відрізок довжини 1.
Рішення. Перепишемо вихідну систему у такому вигляді 
Всі рішення цієї системи (пари виду) утворюють деяку область, обмежену параболами 
і 
(Рис 1).
Очевидно, розв'язанням системи нерівностей буде відрізок довжини 1 при . Відповідь: ; .
Завдання 3. Знайдіть всі значення параметра , при яких безліч розв'язків нерівності 
містить число , а також містить два відрізки довжиною , які мають загальних точок.
Рішення. За змістом нерівності; перепишемо нерівність, помноживши обидві її частини на (), одержуємо нерівність:
, ,
(1)
Нерівність (1) рівносильна сукупності двох систем:
(Рис. 2).
Очевидно, що інтервал не може містити відрізка довжини . Значить, два відрізки довжини, що не перетинаються, містяться в інтервалі Це можливо при , тобто. при . Відповідь: .
Завдання 4. Знайдіть усі значення параметра, при кожному з яких безліч розв'язків нерівності 
містить відрізок довжиною 4 і при цьому міститься в деякому відрізку довжиною 7.
Рішення. Проведемо рівносильні перетворення, враховуючи, що і .
, ,
; остання нерівність рівносильна сукупності двох систем:
Покажемо області, які відповідають цим системам (Рис. 3).
1) При множині рішень – це інтервал довжиною, меншою 4. При множині рішень – це об'єднання двох інтервалів. Утримувати відрізок довжиною 4 може тільки інтервал. Але тоді і об'єднання вже не міститься в жодному відрізку довжиною 7. Значить, такі не задовольняють умові.
2) безліч рішень - це інтервал. Він містить відрізок довжиною 4, якщо його довжина більше 4, тобто. при . Він міститься у відрізку довжиною 7, тільки якщо його довжина не більше 7, тобто при , тоді . Відповідь: .
Завдання 5. Знайдіть усі значення параметра , при яких безліч розв'язків нерівності 
містить число 4, а також містить два відрізки, що не перетинаються, довжиною 4 кожен.
Рішення. За умовами. Домножимо обидві частини нерівності на (). Отримаємо рівносильну нерівність, в якій згрупуємо всі члени в лівій частині та перетворимо її на твір:
, ,
, 
.
З останньої нерівності випливає:
1) 
2)
Покажемо області, які відповідають цим системам (Рис. 4).
а) При одержуємо інтервал, що не містить числа 4. При одержуємо інтервал, що також не містить числа 4.
б) При одержуємо об'єднання двох інтервалів. Непересічні відрізки довжиною 4 можуть розташовуватися тільки в інтервалі. Це можливо тільки в тому випадку, якщо довжина інтервалу більша за 8, тобто якщо . За таких виконано та іншу умову: . Відповідь: .
Завдання 6. Знайдіть усі значення параметра , при яких безліч розв'язків нерівності 
містить якийсь відрізок довжиною 2, але не містить
ніякого відрізка завдовжки 3.
Рішення. За змістом завдання , помножимо обидві частини нерівності на , згрупуємо всі члени в лівій частині нерівності і перетворимо її на твір:
, 
. З останньої нерівності випливає:
1) 
2) 
Покажемо область, яка відповідає першій системі (Рис. 5).
Очевидно, що умова завдання виконується, якщо 
. Відповідь: .
Завдання 7. Знайдіть усі значення параметра , за яких безліч розв'язків нерівності 1+ 
міститься в деякому відрізку довжиною 1 і при цьому містить якийсь відрізок довжиною 0,5.
Рішення. 1). Вкажемо ОДЗ змінної та параметра: 
2). Перепишемо нерівність у вигляді
, 
,
(1). Нерівність (1) рівносильна сукупності двох систем:
1) 
2) 
З урахуванням ОДЗ рішення систем виглядають так:
а) 
б) 
(Рис. 6).
а) 
б)
Покажемо область, що відповідає системі а) (Мал. 7).Відповідь: .
Завдання 8. Шість чисел утворюють зростаючу арифметичну прогресію. Перший, другий та четвертий члени цієї прогресії є рішеннями нерівності 
, а решта
не являються рішеннями цієї нерівності. Знайдіть багато всіх можливих значень першого члена таких прогресій.
Рішення. I. Знайдемо всі рішення нерівності
а). ОДЗ: 
, тобто.
(Врахували у рішенні, що функція зростає на ).
б). На ОДЗ нерівність 
рівносильно нерівності 
, тобто. 
, що дає:
1). 
2). 
Очевидно, розв'язанням нерівності служить безліч значень 
.
ІІ. Проілюструємо другу частину задачі про членів зростаючої арифметичної прогресії малюнком ( Мал. 8 де - перший член, - другий і т.д.). Зауважимо, що:
Або маємо систему лінійних нерівностей:
вирішимо її графічним способом. Будуємо прямі та , а також прямі
Перший, другий і шостий члени цієї прогресії є рішеннями нерівності. 
, а інші є рішеннями цієї нерівності. Знайдіть безліч усіх можливих значень різниці цієї прогресії.
