Оскільки всі грані паралелепіпеда – паралелограми, то пряма AD паралельна до прямої ВС, а пряма паралельна до прямої . Звідси випливає, що площини граней, що розглядаються, паралельні.
З того, що грані паралелепіпеда – паралелограми, випливає, що АВ, CD і паралельні і рівні. Звідси зробимо висновок, що грань поєднується паралельним перенесеннямвздовж ребра АВ з гранню. Отже, ці межі рівні.
2 ) Візьмемо дві діагоналі паралелепіпеда (рис. 5), наприклад, і , і проведемо додаткові прямі і . АВ і відповідно рівні та паралельні ребру DC, тому вони рівні та паралельні між собою; Тому фігура є паралелограм, у якому прямі і – діагоналі, а паралелограмі діагоналі діляться у точці перетину навпіл. Аналогічно ми можемо довести, що дві інші діагоналі перетинаються в одній точці та діляться цією точкою навпіл. Точка перетину кожної пари діагоналей лежить у середині діагоналі. Таким чином, всі чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці О і діляться цією точкою навпіл. Таким чином, точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.
Теорема:
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює суміквадратів трьох його вимірів.
Доведення:
Це випливає із просторової теореми Піфагора. Якщо – діагональ прямокутного паралелепіпеда 
, то її проекції на три попарно перпендикулярні прямі (рис. 6). Отже, .
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
середа, 4 липня 2018 р.
Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.
Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.
Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.
Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теоріюмножин до самих математиків.
Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.
Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.
А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.
Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.
Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".
неділя, 18 березня 2018 р.
Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.
Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.
Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.
1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.
2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.
3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.
4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.
Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.
З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.
Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.
Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.
Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.
Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.
Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?
Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.
Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,
Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:
Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.
1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.
Призма називається паралелепіпедом, якщо її основи - паралелограми. Див. Рис.1.
Властивості паралелепіпеда:
Протилежні грані паралелепіпеда паралельні (тобто лежать у паралельних площинах) та рівні.
Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.
Сумежні грані паралелепіпеда- Дві грані, що мають спільне ребро.
Протилежні грані паралелепіпеда- Грані, що не мають спільних ребер.
Протилежні вершини паралелепіпеда– дві вершини, що не належать до однієї грані.
Діагональ паралелепіпеда- Відрізок, який з'єднує протилежні вершини.
Якщо бічні ребра перпендикулярні до площин основ, то паралелепіпед називається прямим.
Прямий паралелепіпед, основи якого – прямокутники, називається прямокутним. Призма, усі грані якої – квадрати, називається кубом.
Паралелепіпед- Призма, у якої підставами служать паралелограми.
Прямий паралелепіпед– паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні площині основи.
Прямокутний паралелепіпед – це прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники.
Куб- Прямокутний паралелепіпед з рівними ребрами.
Паралелепіпедомназивається призма, основа якої – паралелограм; таким чином, паралелепіпед має шість граней і всі вони – паралелограми.
Протилежні грані попарно рівні та паралельні. Паралелепіпед має чотири діагоналі; всі вони перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл. За основу може бути прийнята будь-яка грань; Об `єм дорівнює творуплощі основи на висоту: V = Sh.
Паралелепіпед, чотири бічні граніякого – прямокутники, називається прямим.
Прямий паралелепіпед, у якого всі шість граней - прямокутники, називається прямокутним. Див. Рис.2.
Об'єм (V) прямого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи (S) на висоту (h): V = Sh .
Для прямокутного паралелепіпеда, крім того, має місце формула V=abc, де a, b, c – ребра.
Діагональ (d) прямокутного паралелепіпеда пов'язана з його ребрами співвідношенням d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .
Прямокутний паралелепіпед– паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні основам, а основи прямокутниками.
Властивості прямокутного паралелепіпеда:
У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней – прямокутники.
Усе двогранні кутипрямокутного паралелепіпеда прямі.
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів (довжини трьох ребер, що мають загальну вершину).
Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.
Прямокутний паралелепіпед, усі грані якого – квадрати, називається кубом. Усі ребра куба рівні; об'єм (V) куба виражається формулою V=a 3де a - ребро куба.
Коли ви були маленькими і грали кубиками, можливо, складали фігури, зображені на малюнку 154 . Ці фігури дають уявлення про прямокутному паралелепіпеді. Форму прямокутного паралелепіпеда мають, наприклад, коробка цукерок, цегла, сірникова коробка, пакувальна скринька, пакет соку.
На малюнку 155 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Прямокутний паралелепіпед обмежений шістьма гранями. Кожна грань це прямокутник, тобто. поверхня прямокутного паралелепіпеда складається із шести прямокутників.
Сторони граней називають ребрами прямокутного паралелепіпеда, вершини граней − вершинами прямокутного паралелепіпеда. Наприклад, відрізки AB, BC, A 1 B 1 – ребра, а точки B, A 1 , C 1 – вершини паралелепіпеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 155).
У прямокутного паралелепіпеда 8 вершин і 12 ребер.
Грані AA 1 B 1 B та DD 1 C 1 C не мають загальних вершин. Такі грані називають протилежними. У паралелепіпеді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 є дві пари протилежних граней: прямокутники ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 , і навіть прямокутники AA 1 D 1 D і BB 1 C 1 C.
Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні.
На малюнку 155 грань ABCD називають основоюпрямокутного паралелепіпеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Площею поверхні паралелепіпеда називають суму площ усіх його граней.
Щоб мати уявлення про розміри прямокутного паралелепіпеда, достатньо розглянути будь-які три ребра, що мають загальну вершину. Довжини цих ребер називають вимірамипрямокутного паралелепіпеда. Щоб їх розрізняти, користуються назвами: довжина, ширина, висота(Рис. 156).
Прямокутний паралелепіпед, у якого всі виміри рівні, називають кубом(Рис. 157). Поверхня куба складається із шести рівних квадратів.
Якщо коробку, що має форму прямокутного паралелепіпеда, відкрити (рис. 158) і розрізати по чотирьох вертикальних ребрах (рис. 159), а потім розгорнути, то отримаємо фігуру, що складається з шести прямокутників (рис. 160). Цю фігуру називають розгорткою прямокутного паралелепіпеда.
На малюнку 161 зображено фігуру, що складається з шести рівних квадратів. Вона є розгорткою куба.
За допомогою розгортки можна виготовити модель прямокутного паралелепіпеда.
Це можна зробити, наприклад, так. Накреслити його розгортку. Вирізати її, зігнути по відрізках, що відповідають ребрам прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 159), і склеїти.
Прямокутний паралелепіпед є видом багатогранника – фігури, поверхня якої складається з багатокутників. На малюнку 162 зображено багатогранники.
Одним із видів багатогранника є піраміда.
Ця постать для вас не нова. Вивчаючи курс Стародавнього світу, ви познайомилися з одним із семи чудес світу – єгипетськими пірамідами.
На малюнку 163 зображено піраміди MABC, MABCD, MABCDE. Поверхня піраміди складається з бічних граней− трикутників, що мають спільну вершину, та основи(Рис. 164). Загальну вершину бічних граней називають ребрами основи піраміди, а сторони бічних граней, що не належать до основи, − бічними ребрами піраміди.
Піраміди можна класифікувати за кількістю сторін основи: трикутна, чотирикутна, п'ятикутна (див. рис. 163) і т.д.
Поверхня трикутної піраміди складається із чотирьох трикутників. Будь-який з цих трикутників може бути основою піраміди. Це основа вигляд піраміди, будь-яка грань якої може бути її основою.
На малюнку 165 зображено фігуру, яка може служити розгорткою чотирикутної піраміди. Вона складається з квадрата та чотирьох рівних рівнобедрених трикутників.
На малюнку 166 зображено фігуру, що складається з чотирьох рівних рівносторонніх трикутників. За допомогою цієї фігури можна зробити модель трикутної піраміди, яка має всі грані – рівносторонні трикутники.
Багатогранники є прикладами геометричних тіл.
На малюнку 167 зображені знайомі вам геометричні тіла, які не є багатогранниками. Докладніше з цими тілами ви познайомитеся у 6 класі.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
