Ступінь із раціональним показником

До множини раціональних чисел входять цілі та дробові числа.

Визначення 1

Ступінь числа $а$ із цілим показником $n$є результатом множення числа $а$ самого на себе $n$ разів, причому $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, при $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, при $n

Визначення 2

Ступінь числа $а$ з показником у вигляді дробу $\frac(m)(n)$називається коренем $n$-ного ступеня з $a$ до ступеня $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, де $а>0$, $ n$ - натуральне число, $ m $ - ціле число.

Визначення 3

Ступінь нуля з показником у вигляді дробу $\frac(m)(n)$визначається так: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, де $m$ – ціле число, $m>0$, $n$ – натуральне число.

Існує й інший підхід до визначення ступеня числа з дробовим показником, який показує можливість існування ступеня негативного числа або негативного дробового показника.

Наприклад, вирази $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ або $\sqrt((-7)^(-10))$ мають сенс, таким чином, і вирази $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ і $(-7)^\frac(-10)(6)$ повинні мати сенс, у той час як згідно з визначенням ступеня з показником у вигляді дробу при негативній підставі не існують.

Дамо інше визначення:

Ступенем числа $a$ з дробовим показником $\frac(m)(n)$називається $\sqrt[n](a^m)$ у наступних випадках:

За будь-якого дійсного числа $a$, загалом $m>0$ і непарного натурального $n$.

Наприклад, $13,4^\frac(7)(3)=\sqrt(13,4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8 ) $.

При будь-якому відмінному від нуля дійсному числі $a$, цілому негативному $m$ і непарному $n$.

Наприклад, $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt(( -11) ^ (-8)) $.

При будь-якому невід'ємному числі $a$, цілому позитивному $m$ і парному $n$.

Наприклад, $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

При будь-якому позитивному $a$, цілому негативному $m$ і парному $n$.

Наприклад, $13,4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13,4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3) )) $.

За інших умов ступінь із дробовим показником визначити неможливо.

Наприклад, $(-13,4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13,4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4)= \sqrt((-11)^5)$.

До того ж, при застосуванні даного визначення є важливим, щоб дробовий показник$\frac(m)(n)$ був нескоротним дробом.

Серйозність цього зауваження в тому, що ступенем негативного числа з дробовим скоротливим показником, наприклад, $\frac(10)(14)$ буде позитивне число, а ступенем того ж числа з скороченим показником $\frac(5)(7)$ буде негативне число.

Наприклад, $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$, а $(-1)^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.

Таким чином, при виконанні скорочення дробу $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$ не виконується рівність $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^\ frac(5)(7)$.

Зауваження 1

Потрібно відзначити, що частіше застосовується зручніше і просте перше визначення ступеня з показником у вигляді дробу.

У разі запису дробового показника ступеня у вигляді змішаного дробу або десяткового, необхідно показник ступеня перетворити на вигляд звичайного дробу.

Наприклад, $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.

Ступінь з ірраціональним та дійсним показником

До дійснимчислам відносяться раціональні та ірраціональні числа.

Розберемо поняття ступеня з ірраціональним показником, т.к. ступінь із раціональним показником ми розглянули.

Розглянемо послідовність наближень до $\alpha$, які є раціональними числами. Тобто. маємо послідовність раціональних чисел $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, які визначають число $\alpha$ з будь-яким ступенем точності. Якщо обчислити ступеня з цими показниками $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, то виявиться, що ці числа є наближенням до деякого числа $ b$.

Визначення 4

Ступенем числа $a>0$ з ірраціональним показником $\alpha$називається вираз $a^\alpha$, яке має значення, що дорівнює межі послідовності $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, де $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … - Послідовні десяткові наближення ірраціонального числа $\alpha$.

Вирази, перетворення виразів

Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення

У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі зі статечними виразами, таких як розкриття дужок, приведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразам зі ступенями: робота з основою та показником ступеня, використання властивостей ступенів тощо.

Навігація на сторінці.

Що таке статечні вирази?

Термін «статечні висловлювання» практично не зустрічається шкільних підручниках математики, але він часто фігурує у збірниках завдань, особливо призначених для підготовки до ЄДІ та ОДЕ, наприклад, . Після аналізу завдань, у яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять у своїх записах ступеня. Тому для себе можна прийняти таке визначення:

Визначення.

Ступінні вирази- Це вирази, що містять ступеня.

Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти відповідно до того, як відбувається розвиток поглядів на ступінь з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.

Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні вирази типу 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 тощо.

Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з негативними ступенями, на кшталт наступних: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

У старших класах знову повертаються до ступенів. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що тягне за собою появу відповідних статечних виразів: , , і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і їх висловлювання: , .

Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або . А після знайомства з , починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 lgx −5 x lgx .

Отже, ми розібралися з питанням, що є статечними виразами. Далі вчитимемося перетворювати їх.

Основні види перетворень статечних виразів

Зі статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, наводити подібні доданки тощо. Природно, при цьому варто дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.

приклад.

Обчисліть значення статечного виразу 23 · (42-12).

Рішення.

Відповідно до порядку виконання дій спочатку виконуємо дії у дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (за потреби дивіться ), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12=4 . Маємо 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В отриманому вираженні замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8 після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32 . Це і є потрібне значення.

Отже, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Відповідь:

2 3 · (4 2 -12) = 32 .

приклад.

Спростити вирази зі ступенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7.

Рішення.

Вочевидь, що це вираз містить подібні доданки 3·a 4 ·b −7 і 2·a 4 ·b −7 , і ми можемо навести їх: .

Відповідь:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1.

приклад.

Подайте вираз зі ступенями у вигляді твору.

Рішення.

Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь:

Також існує ряд тотожних перетворень, властивих саме статечним виразам. Далі ми їх і розберемо.

Робота з основою та показником ступеня

Зустрічаються ступеня, в основі та/або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2+0,3·7) 5−3,7 та (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Працюючи з подібними виразами можна як вираз у основі ступеня, і вираз у показнику замінити тотожно рівним виразом на ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо за відомими нам правилами окремо перетворювати основу ступеня, і окремо – показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, що тотожно дорівнює вихідному.

Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2+0,3·7) 5-3,7 можна виконати дії з числами на підставі та показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3 . А після розкриття дужок і приведення подібних доданків в підставі ступеня (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1) ми отримаємо статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1) .

Використання властивостей ступенів

Один із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями – це рівності, що відображають . Нагадаємо основні із них. Для будь-яких позитивних чисел a і b та довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивості ступенів:

• a r · a s = a r + s;
• a r: as = a r−s;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r = r:b r ;
• (a r) s = a r · s.

Зауважимо, що з натуральних, цілих, і навіть позитивних показниках ступеня обмеження числа a і b може бути менш строгими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m · a n = a m+n вірно як для позитивних a , але й негативних, й у a=0 .

У школі основну увагу при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідну властивість і правильно її застосувати. При цьому основи ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це саме стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні – область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави набувають лише позитивних значень, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно ставити питання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-яку властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ та інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрані у статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.

приклад.

Подайте вираз a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 у вигляді ступеня з основою a .

Рішення.

Спочатку другий множник (a 2) −3 перетворимо за якістю зведення ступеня на ступінь: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Вихідний статечний вираз при цьому набуде вигляду a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, залишається скористатися властивостями множення та поділу ступенів з однаковою основою, маємо
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Відповідь:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво.

приклад.

Знайти значення статечного виразу.

Рішення.

Рівність (a b) r = a r b r , застосоване праворуч наліво, дозволяє від вихідного виразу перейти до твору виду і далі . А при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються: .

Можна було виконувати перетворення вихідного виразу та інакше:

Відповідь:

.

приклад.

Дано статечний вираз a 1,5 −a 0,5 −6 , введіть нову змінну t=a 0,5 .

Рішення.

Ступінь a 1,5 можна як a 0,5·3 і далі з урахуванням якості ступеня ступеня (a r) s =a r·s , застосованого праворуч наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3 . Таким чином, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Тепер легко ввести нову змінну t=a 0,5 одержуємо t 3 −t−6 .

Відповідь:

t 3 −t−6 .

Перетворення дробів, що містять ступеня

Ступінні вирази можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробів повною мірою застосовні будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробам будь-якого виду. Тобто, дроби, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх чисельником та окремо зі знаменником тощо. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо розв'язання кількох прикладів.

приклад.

Спростити статечний вираз .

Рішення.

Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником та знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отриманий після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо такі складові:

І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: .

Відповідь:

.

Приведення дробів, що містять ступеня, до нового знаменника проводиться аналогічно до приведення до нового знаменника. раціональних дробів. При цьому знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може спричинити звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.

приклад.

Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) до знаменника.

Рішення.

а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, тому що a 0,7 · 0,3 = a 0,7 +0,3 = a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається в нуль, тому ми маємо право виконати множення чисельника та знаменника заданого дробу на цей додатковий множник:

б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що

і множення цього виразу дасть суму кубів і , тобто, . А це і є новим знаменником, до якого нам потрібно привести вихідний дріб.

Так ми знайшли додатковий множник. На ділянці допустимих значень змінних x і y вираз не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:

Відповідь:

а) , б) .

У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді деякої кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника та знаменника.

приклад.

Скоротіть дріб: а) б) .

Рішення.

а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, який дорівнює 15 . Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5+1 та на . Ось що ми маємо:

б) У цьому випадку однакових множників у чисельнику та знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. У разі вони полягають у розкладанні знаменника на множники по формулі різниці квадратів:

Відповідь:

а)

б) .

Приведення дробів до нового знаменника та скорочення дробів в основному використовується для виконання дій із дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При складанні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) чисельники, а знаменник залишається тим самим. У результаті виходить дріб, чисельник якого є твір чисельників, а знаменник – твір знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.

приклад.

Виконайте дії .

Рішення.

Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є , після чого віднімаємо чисельники:

Тепер множимо дроби:

Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2 після якого маємо .

Ще можна спростити статечний вираз у знаменнику, скориставшись формулою різниця квадратів: .

Відповідь:

приклад.

Спростіть статечний вираз .

Рішення.

Очевидно, цей дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2 , це дає дріб . Зрозуміло, що ще треба щось зробити зі ступенями ікса. Для цього перетворимо отриманий дріб у твір. Це дає можливість скористатися властивістю поділу ступенів з однаковими підставами: . І на закінчення процесу переходимо від останнього творудо дробу.

Відповідь:

.

І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечний вираз можна замінити на .

Перетворення виразів з корінням та ступенями

Часто у виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками є і коріння. Щоб перетворити подібний вираз до потрібного вигляду, у більшості випадків достатньо перейти тільки до коріння або лише до ступенів. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коріння до ступенів. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми докладно розібрали у статті перехід від коренів до ступенів і назад). вводиться ступінь з ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь з довільним дійсним показником.На цьому етапі в школі починає вивчатися показова функція, Яка аналітично задається ступенем, на основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа на підставі ступеня, а в показнику - вирази зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.

Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати під час вирішення показових рівняньі показових нерівностей, і це перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені переважно на те, щоб надалі ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0.

По-перше, ступеня, у показниках яких перебуває сума деякої змінної (або вирази зі змінними) та числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього доданків вирази з лівої частини:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0.

Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2·x , яке на ОДЗ змінної x для вихідного рівняння приймає тільки позитивні значення (це стандартний прийом розв'язання рівнянь такого виду, зараз не про нього, так що зосередьте увагу на подальших перетвореннях виразів зі ступенями ):

Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає .

Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння , яке рівносильне . Зроблені перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення початкового показникового рівняння до розв'язання квадратного рівняння

І. В. Бойков, Л. Д. РомановаЗбірник завдань для підготовки до ЄДІ. Ч. 1. Пенза 2003 року.

Вираз a n (ступінь з цілим показником) буде визначено у всіх випадках, за винятком випадку, коли a = 0 і при цьому n менше або дорівнює нулю.

Властивості ступенів

Основні властивості ступенів із цілим показником:

a m *a n = a (m+n);

a m: a n = a (m-n) (при aне рівному нулю);

(a m) n = a (m * n);

(a * b) n = a n * b n;

(a/b) n = (a n)/(b n) (при bне рівному нулю);

a 0 = 1 (при aне рівному нулю);

Ці властивості будуть справедливі для будь-яких чисел a, b та будь-яких цілих чисел m і n. Варто відзначити також таку властивість:

Якщо m>n, то a m > a n при a>1 і a m

Можна узагальнити поняття ступеня числа на випадки, коли як показник ступеня виступають раціональні числа. При цьому хотілося б, щоб виконувалися всі вище перелічені властивості або хоча б частина їх.

Наприклад, при виконанні властивості (a m) n = a (m * n) виконувалася б така рівність:

(a (m/n)) n = a m.

Ця рівність означає, що число a (m/n) має бути коренем n-го ступеня з числа a m.

Ступенем деякого числа a (більшого нуля) з раціональним показником r = (m/n), де m - деяке ціле число, n - деяке натуральне число більше одиниці, називається число n√(a m). З визначення: a (m/n) = n√(a m).

Для всіх позитивних r буде визначено ступінь числа нуль. За визначенням 0 r = 0. Зазначимо також, що за будь-якого цілого, будь-яких натуральних m і n, і позитивного аПравильно така рівність: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Наприклад: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

З визначення ступеня з раціональним показником безпосередньо випливає той факт, що для будь-якого позитивного а та будь-якого раціонального r число a r буде позитивним.

Основні властивості ступеня з раціональним показником

Для будь-яких раціональних чисел p, q і будь-яких a>0 і b>0 вірні такі рівності:

1. (a p) * (a q) = a (p + q);

2. (a p): (b q) = a (p-q);

3. (a p) q = a (p * q);

4. (a * b) p = (a p) * (b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Дані властивості випливають із властивостей коренів. Всі дані властивості доводяться аналогічним способом, тому обмежимося доказом лише одного з них, наприклад першого (a p) * (a q) = a (p + q) .

Нехай p = m/n, a q = k/l, де n, l – деякі натуральні числа, а m, k – деякі цілі числа. Тоді треба довести, що:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Спочатку наведемо дроби m/n k/l до спільного знаменника. Отримаємо дроби (m*l)/(n*l) та (k*n)/(n*l). Перепишемо ліву частину рівності за допомогою цих позначень і отримаємо:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n) + (k/l)).

Відеоурок «Ступінь із раціональним показником» містить наочний навчальний матеріалдля ведення уроку з цієї теми. У відеоуроці міститься інформація про поняття ступеня з раціональним показником, властивості таких ступенів, а також приклади, що описують застосування навчального матеріалу для вирішення практичних завдань. Завдання даного відеоуроку - наочно і зрозуміло уявити навчальний матеріал, полегшити його освоєння та запам'ятовування учнями, формувати вміння вирішувати завдання з використанням вивчених понять.

Основні переваги відеоуроку - можливість проводити наочно перетворення та обчислення, можливість використання анімаційних ефектів для покращення ефективності навчання. Голосовий супровід допомагає розвивати правильну математичну мову, а також дає можливість замінити пояснення вчителя, звільняючи його для індивідуальної роботи.

Відеоурок починається з подання теми. Зв'язуючи вивчення нової темиз раніше вивченим матеріалом, пропонується згадати, що n√ інакше позначається a 1/n для натурального n і позитивного a. Дане уявлення кореня n-ступеня відображається на екрані. Далі пропонується розглянути, що означає вираз a m/n, в якому a - позитивне число, а m/n - деяка дріб. Дається виділене у рамці визначення ступеня з раціональним показником як a m/n = n a m. При цьому зазначено, що n може бути натуральним числом, А m - цілим.

Після визначення ступеня з раціональним показником її значення розкривається на прикладах: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Також демонструється приклад, в якому ступінь, представлений десятковим дробом, перетворюється на звичайний дріб, щоб бути представленим у вигляді кореня: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 і приклад з негативним значенням ступеня: 3 -1/ 8 = 8 √3 -1.

Окремо вказується особливість окремого випадку, коли основа ступеня - нуль. Зазначено, що цей ступінь має сенс лише з позитивним дробовим показником. І тут її значення дорівнює нулю: 0 m/n =0.

Відзначено ще одну особливість ступеня з раціональним показником - те, що ступінь із дробовим показником неспроможна розглядатися з дробовим показником. Наведено приклади некоректного запису ступеня: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Далі у відеоуроці розглядаються властивості ступеня із раціональним показником. Помічено, що властивості ступеня з цілим показником будуть справедливі і для ступеня з раціональним показником. Пропонується згадати перелік властивостей, які також справедливі у цьому випадку:

1. При множенні ступенів з однаковими основами їх показники складаються: a p a q = a p+q .
2. Розподіл ступенів з однаковими основами зводиться до ступеня з цією основою та різницею показників ступенів: a p:a q =a p-q .
3. Якщо звести ступінь у деякий ступінь, то в результаті отримуємо ступінь з цією основою та добутком показників: (a p) q = a pq.

Всі дані властивості справедливі для ступенів з раціональними показниками p, q і позитивною основою a>0. Також вірними залишаються перетворення ступеня при розкритті дужок:

1. (ab) p = a p b p - зведення до певної міри з раціональним показником добутку двох чисел зводиться до добутку чисел, кожне з яких зведено в дану міру.
2. (a/b) p =a p /b p - зведення у ступінь з раціональним показником дробу зводиться до дробу, чисельник і знаменник якого зведено в даний ступінь.

У відеоуроці розглядається рішення прикладів, у яких використовуються розглянуті властивості ступенів із раціональним показником. У першому прикладі пропонується знайти значення виразу, в якому містяться змінні х в дрібній мірі: (х 1/6 -8) 2 -16х 1/6 (х -1/6 -1). Незважаючи на складність вираження, із застосуванням властивостей ступенів воно вирішується досить просто. Рішення завдання починається зі спрощення виразу, в якому використовується правило зведення ступеня з раціональним показником у ступінь, а також перемноження ступенів з однаковою основою. Після підстановки заданого значення х=8 у спрощений вираз х 1/3+48 легко отримати значення - 50.

У другому прикладі потрібно скоротити дріб, чисельник і знаменник якого міститиме ступеня з раціональним показником. Використовуючи властивості ступеня, виділяємо з різниці множник х 1/3 , який потім скорочується в чисельнику та знаменнику, а використовуючи формулу різниці квадратів, на множники розкладається чисельник, що дає ще скорочення однакових множників у чисельнику та знаменнику. Підсумком таких перетворень стає короткий дріб х 1/4+3.

Відеоурок «Ступінь із раціональним показником» може бути використаний замість пояснення вчителем нової теми уроку. Також цей посібник містить досить повну інформацію для самостійного вивченняучнем. Матеріал може бути корисним і при дистанційному навчанні.

МБОУ «Сидорська

загальноосвітня школа"

Розробка плану-конспекту відкритого уроку

з алгебри в 11 класі на тему:

Підготувала та провела

вчитель з математики

Ісхакова Є.Ф.

План-конспект відкритого уроку з алгебри у 11 класі.

Тема : «Ступінь з раціональним показником»

Тип уроку : Вивчення нового матеріалу

Цілі уроку:

Познайомити учнів з поняттям ступеня з раціональним показником та її основними властивостями, на основі раніше вивченого матеріалу (ступінь із цілим показником).

Розвивати обчислювальні навички та вміння перетворювати та порівнювати числа з раціональним показником ступеня.

Виховувати математичну грамотність та математичний інтерес у учнів.

Устаткування : Картки-завдання, презентація учениці за рівнем з цілим показником, презентація вчителя за рівнем з раціональним показником, ноутбук, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку:

Організаційний момент.

Перевірка засвоєння пройденої теми за індивідуальними картками-завданнями.

Завдання №1.

=2;

Б) =х + 5;

Вирішіть систему ірраціональних рівнянь: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Завдання №2.

Розв'яжіть ірраціональне рівняння: = - 3;

Б) = х – 2;

Розв'яжіть систему ірраціональних рівнянь: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Повідомлення теми та цілей уроку.

Тема нашого сьогоднішнього уроку « Ступінь із раціональним показником».

Пояснення нового матеріалу з прикладу вивченого раніше.

Вам уже знайоме поняття ступеня із цілим показником. Хто мені допоможе їх пригадати?

Повторення за допомогою презентації « Ступінь із цілим показником».

Для будь-яких чисел a, b та будь-яких цілих чисел m і n справедливі рівності:

a m * a n = a m+n;

a m: a n = m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn;

(a b) n = a n * b n;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a 1 = a; a 0 = 1(a ≠ 0)

Сьогодні ми узагальним поняття ступеня числа і надамо сенс виразам, що мають дрібний показник ступеня. Введемо визначенняступеня з раціональним показником (Презентація «Ступінь з раціональним показником»):

Ступенем числа а > 0 з раціональним показником r = , де m - ціле число, а n - натуральне ( n > 1), називається число m .

Отже, за визначенням отримуємо, що = m .

Давайте спробуємо застосувати це визначення під час виконання завдання.

ПРИКЛАД №1

I Подайте у вигляді кореня з числа вираз:

а) Б) в) .

А тепер давайте спробуємо застосувати це визначення навпаки

II Подайте вираз у вигляді ступеня з раціональним показником:

а) 2 Б) в) 5 .

Ступінь числа 0 визначено лише позитивних показників.

0 r= 0 для будь-якого r> 0.

Використовуючи це визначення, вдомави виконаєте №428 та №429.

Покажемо тепер, що з сформульованому вище визначенні ступеня з раціональним показником зберігаються основні властивості ступенів, правильні будь-яких показників.

Для будь-яких раціональних чисел r і s та будь-яких позитивних a та b справедливі рівності:

1 0 . a r a s =a r+s ;

ПРИКЛАД: *

2 0 . a r: a s = a r-s;

ПРИКЛАД: :

3 0 . (a r) s = a rs;

ПРИКЛАД: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

ПРИКЛАД: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ПРИКЛАД на застосування відразу декількох властивостей: * : .

Фізкультхвилинка.

Поклали авторучки на парту, спинки випрямили, а тепер тягнемося вперед, хочемо доторкнутися до дошки. А тепер підняли і нахиляємося вправо, вліво, вперед, назад. Ручки мені показали, а тепер покажіть, як уміють танцювати ваші пальчики.

Робота над матеріалом

Зазначимо ще дві властивості ступенів з раціональними показниками:

6 0 . Нехай r – раціональне число та 0< a < b . Тогда

a r < b rпри r> 0,

a r < b rпри r< 0.

7 0 . Для будь-яких раціональних чиселrі sз нерівності r> sвипливає, що

a r> а rпри а> 1,

a r < а rпри 0< а < 1.

ПРИКЛАД: Порівняйте числа:

І ; 2 300 та 3 200 .

Підсумки уроку:

Сьогодні на уроці ми згадали властивості ступеня з цілим показником, дізналися визначення та основні властивості ступеня з раціональним показником, розглянули застосування цього теоретичного матеріалу на практиці при виконанні вправ. Хочу звернути вашу увагу на те, що тема «Ступінь з раціональним показником» є обов'язковою. завданнях ЄДІ. Під час підготовки домашнього завдання (№428 та №429