Для відповіді на це питання необхідно з умови завдання зробити деякі висновки:
- Напрямок цих сил;
- Модульне значення сил F1 та F2;
- Чи можуть ці сили створити таку рівнодіючу силу, щоб зрушити візок з місця?
Напрямок сил
Для того, щоб визначити основні характеристики руху візка, що знаходиться під впливом двох сил, необхідно знати їхній напрямок. Наприклад, якщо візок вправо тягне сила, що дорівнює 5 Н і така ж сила тягне візок вліво, то логічно припустити, що візок стоятиме на місці. Якщо сили спрямовані, для знаходження результуючої сили необхідно лише знайти їхню суму. Якщо якась сила спрямована під кутом до площини руху візка, то значення цієї сили треба помножити на косинус кута між напрямком дії сили та площиною. Математично це виглядатиме так:
F = F1 * cosa; де
F – сила, спрямована паралельно поверхні руху.
Теорема косінусів для знаходження результуючого вектора сил
Якщо дві сили мають свій початок в одній точці і є певний кут між їхнім напрямом, тоді необхідно добудувати трикутник результуючим вектором (тобто тим, який з'єднує кінці векторів F1 і F2). Знайдемо результуючу силу за допомогою теореми косінусів, яка свідчить, що квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Запишемо це у математичному вигляді:
F = F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.
Підставивши всі відомі величини, можна визначити величину результуючої сили.
Рівночинна.Ви вже знаєте, що дві сили врівноважують одна одну, коли вони рівні за модулем і спрямовані протилежно. Такі, наприклад, сила тяжкості і сила нормальної реакції, що діють на книгу, що лежить на столі. В цьому випадку кажуть, що рівнодіюча двох сил дорівнює нулю. У випадку рівнодіючої двох чи кількох сил називають силу, яка виробляє тіло таку ж дію, як одночасне дію цих сил.
Розглянемо на досвіді, як знайти рівнодіючу двох сил, спрямованих вздовж однієї прямої.
Поставимо досвід
Покладемо легкий брусок на гладку горизонтальну поверхню столу (щоб тертям між бруском і поверхнею столу можна було знехтувати). Тягнемо брусок вправо за допомогою одного динамометра, а вліво - за допомогою двох динамометрів, як показано на рис. 16.3. Зверніть увагу, що динамометри, що знаходяться зліва, прикріплені до бруска так, що сили натягу пружин цих динамометрів різні.
Рис. 16.3. Як можна знайти рівнодіючу двох сил
Ми побачимо, що брусок перебуває у спокої, якщо модуль сили, яка тягне його праворуч, дорівнює сумі модулів сил, що тягнуть брусок вліво. Схема цього досвіду зображено на рис. 16.4.
Рис. 16.4. Схематичне зображення сил, що діють на брусок
Сила F 3 врівноважує рівнодіючу сил F 1 і F 2 тобто дорівнює їй за модулем і протилежна за напрямом. Отже, рівнодіюча сил F 1 і F 2 спрямована вліво (як і ці сили), а її модуль дорівнює F 1 + F 2 . Таким чином, якщо дві сили спрямовані однаково, їх рівнодіюча спрямована так само, як ці сили, а модуль рівнодіючої дорівнює сумі модулів сил-складників.
Розглянемо силу F1. Вона врівноважує рівнодіючу сил F 2 і F 3 спрямованих протилежно. Значить, рівнодіюча сил F 2 і F 3 спрямована вправо (тобто у бік більшої з цих сил), а її модуль дорівнює F 3 - F 2 . Таким чином, якщо дві не рівні за модулем сили спрямовані протилежно, їх рівнодіюча спрямована як велика з цих сил, а модуль рівнодіючої дорівнює різниці модулів більшої та меншої сили.
Знаходження рівнодіючої кількох сил називають додаванням цих сил.
Дві сили спрямовані вздовж однієї прямої. Модуль однієї сили дорівнює 1 Н, а модуль іншої сили дорівнює 2 Н. Чи може модуль рівнодіючої цих сил дорівнювати: а) нулю; б) 1 М; в) 2 Н; г) 3 Н?
Часто на тіло діє одночасно не одна, а кілька сил. Розглянемо випадок, коли тіло впливають дві сили ( і ). Наприклад, на тіло, що лежить на горизонтальній поверхні, діють сила тяжіння () і реакція опори поверхні () (рис.1).
Ці дві сили можна замінити на одну, яку називають рівнодіючою силою (). Знаходять її як векторну суму сил і:
Визначення рівнодіючої двох сил
ВИЗНАЧЕННЯ
Рівночинної двох силназивають силу, що справляє на тіло дію аналогічну, дії двох окремих сил.
Зазначимо, що дія кожної сили не залежить від того, чи є інші сили, чи їх немає.
Другий закон Ньютона для рівнодіючої двох сил
Якщо тіло діють дві сили, то другий закон Ньютона запишемо як:
Напрямок рівнодіючої завжди збігається у напрямку з напрямком прискорення руху тіла.
Це означає, що, якщо на тіло впливають дві сили () в той самий момент часу, то прискорення () цього тіла буде прямо пропорційно векторній сумі цих сил (або пропорційно рівнодіючої сил):
M - маса, що розглядається тіла. Суть другого закону Ньютона у тому, що сили, які діють тіло, визначають як змінюється швидкість тіла, а чи не просто величину швидкості тіла. Зазнач, що другий закон Ньютона виконується виключно в інерційних системахвідліку.
Рівнодіюча двох сил може дорівнювати нулю, якщо сили, що діють на тіло направлені в різні сторони і дорівнюють модулю.
Знаходження величини рівнодіючої двох сил
Для знаходження рівнодіючої слід зобразити на кресленні всі сили, які необхідно враховувати в задачі, що діють на тіло. Складати сили слід за правилами складання векторів.
Припустимо, що на тіло діють дві сили, спрямовані по одній прямій (рис.1). З малюнка видно, що вони спрямовані у різні боки.
Рівнодійна сил (), прикладених до тіла, дорівнюватиме:
Для знаходження модуля рівнодіючої сил виберемо вісь, позначимо її X, направимо вздовж напряму дії сил. Тоді проектуючи вираз (4) на вісь X ми отримаємо, що величина (модуль) рівнодіючої (F) дорівнює:
де – модулі відповідних сил.
Уявімо, що на тіло діють дві сили і спрямовані під деяким кутом одна до одної (рис.2). Рівнодійну цих сил знаходимо за правилом паралелограма. Величина рівнодіючої буде дорівнює довжині діагоналі цього паралелограма.
Приклади розв'язання задач
ПРИКЛАД 1
| Завдання | Тіло масою 2 кг переміщують вертикально за нитку вгору, при цьому його прискорення дорівнює 1 Яка величина та напрямок рівнодіючої сили? Які сили додаються до тіла? |
| Рішення | До тіла (рис.3) прикладено силу тяжіння () і силу реакції нитки (). Рівнодійну вказаних вище сил можна знайти, використовуючи другий закон Ньютона: У проекції на вісь X рівняння (1.1) набуває форми: Обчислимо величину рівнодіючої сили: |
| Відповідь | Н, рівнодіюча сила спрямована як і прискорення руху тіла, тобто вертикально вгору. На тіло діє дві сили та . |
Завдання 3.2.1
Визначити рівнодіючу двох сил F 1 =50Н та F 2 =30Н, що утворюють між собою кут 30° (рис.3.2а).
Малюнок 3.2
Перенесемо вектори сил F 1 і F 2 до точки перетину ліній дій та складемо за правилом паралелограма (рис.2.2б). Точка програми та напрямок рівнодіючої показано на малюнку. Модуль отриманої рівнодіючої визначимо за формулою:
Відповідь: R=77,44Н
Завдання 3.2.2
Визначити рівнодіючу системи схожих сил F 1 =10Н, F 2 =15Н, F 3 =20Н, якщо відомі кути, утворені векторами цих сил з віссю Ох: α 1 =30 ° , α 2 =45 ° та α 3 =60 ° ( рис.3.3а)
Малюнок 3.3
Проектуємо сили на осі Оx і Оy:
Модуль рівнодіючої
На основі отриманих проекцій визначаємо напрямок рівнодіючої (рис. 3.3б)
Відповідь: R=44,04Н
Завдання 3.2.3
У точці з'єднання двох ниток прикладено вертикальну силу P=100Н (рис.3.4а). Визначити зусилля в нитках, якщо стани рівноваги кути утворені нитками з віссю OY дорівнюють α=30°, β=75°.
Малюнок 3.4
Сили натягу ниток будуть спрямовані вздовж ниток від вузла з'єднання (рис.3.4б). Система сил T 1 , T 2 P є системою схожих сил, т.к. лінії дії сил перетинаються у точці з'єднання ниток. Умова рівноваги цієї системи:
Складаємо аналітичні рівняння рівноваги системи сил, що сходяться, проектую векторне рівняння на осі.
Вирішуємо систему отриманих рівнянь. З першого виражаємо T 2 .
Підставимо отриманий вираз у другий і визначимо T 1 і T 2 .
Н,
Перевіримо рішення з умови, що модуль P'суми сил T 1 і T 2 повинен дорівнювати Р (рис.3.4в).
Відповідь: T1=100Н, T2=51,76Н.
Завдання 3.2.4
Визначити рівнодіючу системи схожих сил, якщо задані їх модулі F 1 =12Н, F 2 =10Н, F 3 =15Н та кут α=60° (рис.3.5а).
Малюнок 3.5
Визначаємо проекції рівнодіючої
Модуль рівнодіючої:
На основі отриманих проекцій визначаємо напрямок рівнодіючої (рис.3.5б)
Відповідь: R=27,17Н
Завдання 3.2.6
Три стрижні АС, ВС, DC з'єднані шарнірно у точці C. Визначити зусилля у стрижнях, якщо задана сила F=50Н, кут α=60° та кут β=75°. Сила F знаходиться у площині Оyz. (Рис.3.6)
Малюнок 3.6
Спочатку припускаємо, що всі стрижні розтягнуті, відповідно направляємо реакції в стрижнях від вузла С. Отримана система N 1 , N 2 , N 3 F є системою схожих сил. Умова рівноваги цієї системи.
Зміст статті
СТАТИКАрозділ механіки, предметом якого є матеріальні тіла, що у стані спокою при дії ними зовнішніх сил. В широкому значенніСлова статика – це теорія рівноваги будь-яких тіл – твердих, рідких чи газоподібних. У більш вузькому розумінні даний термін відноситься до вивчення рівноваги твердих тіл, а також гнучких тіл, що не розтягуються, - тросів, ременів і ланцюгів. Рівновість твердих тіл, що деформуються, розглядається в теорії пружності, а рівновага рідин і газів - в гідроаеромеханіці.
Див. Гідроаеромеханіка .
Історична довідка.
Статика – найстаріший розділ механіки; деякі з її принципів були відомі вже стародавнім єгиптянам та вавилонянам, про що свідчать побудовані ними піраміди та храми. Серед перших творців теоретичної статики був Архімед (бл. 287–212 до н.е.), який розробив теорію важеля та сформулював основний закон гідростатики. Родоначальником сучасної статики став голландець С.Стевін (1548-1620), який у 1586 сформулював закон складання сил, або правило паралелограма, і застосував його у вирішенні низки завдань.
Основні закони.
Закони статики випливають із загальних законівдинаміки як окремий випадок, коли швидкості твердих тіл прагнуть до нуля, але з історичних причин і педагогічних міркувань статику часто викладають незалежно від динаміки, будуючи її на наступних законах і принципах, що постулюються: а) законі складання сил, б) принципі рівноваги і в) принципі дії та протидії. У разі твердих тіл (точніше, ідеально твердих тіл, які не деформуються під дією сил), вводиться ще один принцип, заснований на визначенні твердого тіла. Це принцип перенесення сили: стан твердого тіла не змінюється при переміщенні точки докладання сили вздовж лінії її дії.
Сила, як вектор.
У статиці силу можна розглядати як зусилля, що тягне або штовхає, має певні напрямок, величину і точку додатка. З математичної точки зору це вектор, а тому її можна представити спрямованим відрізком прямої, довжина якого пропорційна величині сили. (Векторні величини, на відміну від інших величин, що не мають напряму, позначаються напівжирними літерами.)
Паралелограм сил.
Розглянемо тіло (рис. 1, а), на яке діють сили F 1 та F 2 , прикладені в точці O та представлені на малюнку спрямованими відрізками OAі OB. Як показує досвід, дія сил F 1 та F 2 еквівалентно одній силі R, представленою відрізком OC. Величина сили Rдорівнює довжині діагоналі паралелограма, побудованого на векторах OAі OBяк його сторони; її напрямок показано на рис. 1, а. Сила Rназивається рівнодіючої сил F 1 та F 2 . Математично це записується як R = F 1 + F 2 , де додавання розуміється в геометричному сенсіслова, вказаному вище. Такий перший закон статики, який називається правилом паралелограма сил.
Рівночинна сила.
Замість того, щоб будувати паралелограм OACB, для визначення напрямку та величини рівнодіючої Rможна побудувати трикутник OAC, перенісши вектор F 2 паралельно самому собі до суміщення його початкової точки (колишньої точки O) з кінцем (точкою A) вектора OA. Замикаюча сторона трикутника OAC, очевидно, матиме ту ж величину і той самий напрям, що і вектор R(Рис. 1, б). Такий спосіб відшукання рівнодіючої можна узагальнити на систему багатьох сил F 1 , F 2 ,..., F n , прикладених в одній і тій же точці O тіла, що розглядається. Так, якщо система складається із чотирьох сил (мал. 1, в), то можна знайти рівнодіючу сил F 1 та F 2 , скласти її з силою F 3 , потім скласти нову рівнодію з силою F 4 та в результаті отримати повну рівнодіючу R. Рівнодійна R, Знайдена таким графічним побудовою, є замикаючою стороною багатокутника сил OABCD (рис. 1, г).
Дане вище визначення рівнодіючої можна узагальнити на систему сил F 1 , F 2 ,..., F n , прикладених у точках O 1 , O 2 ..., O n твердого тіла. Вибирається точка O, звана точкою приведення, і в ній будується система паралельно перенесених сил, рівних за величиною та напрямом сил F 1 , F 2 ,..., F n. Рівнодійна Rцих паралельно перенесених векторів, тобто. вектор, представлений замикаючою стороною багатокутника сил, називається рівнодією сил, що діють на тіло (рис. 2). Ясно, що вектор Rне залежить від вибраної точки приведення. Якщо величина вектора R(відрізок ON) не дорівнює нулю, то тіло не може перебувати у спокої: відповідно до закону Ньютона будь-яке тіло, на яке діє сила, має рухатися з прискоренням. Таким чином, тіло може бути в стані рівноваги тільки за умови, що рівнодіюча всіх сил, прикладених до нього, дорівнює нулю. Однак цю необхідну умову не можна вважати достатньою – тіло може рухатися, коли рівнодіюча всіх прикладених до нього сил дорівнює нулю.
Як простий, але важливий приклад, що пояснює сказане, розглянемо тонкий жорсткий стрижень довжиною l, Вага якого зневажливо мала в порівнянні з величиною прикладених до нього сил. Нехай на стрижень діють дві сили Fі -F, Докладені до його кінців, рівні за величиною, але протилежно спрямовані, як показано на рис. 3, а. У цьому випадку рівнодіюча Rдорівнює F – F= 0, але стрижень нічого очікувати перебувати у стані рівноваги; очевидно, він буде обертатися навколо своєї середньої точки O. Система двох рівних, але протилежно спрямованих сил, що діють не по одній прямій, є «парою сил», яку можна характеризувати твором величини сили Fна «плечо» l. Значимість такого твору можна показати шляхом наступних міркувань, що ілюструють правило важеля, виведене Архімедом, і приводять до висновку про умову обертальної рівноваги. Розглянемо легкий однорідний жорсткий стрижень, здатний повертатися навколо осі в точці O, який діє сила F 1 , що додається на відстані l 1 від осі, як показано на рис. 3, б. Під дією сили F 1 стрижень повертатиметься навколо точки O. Як неважко переконатися на досвіді, обертання такого стрижня можна запобігти, доклавши деяку силу F 2 на такій відстані l 2 , щоб виконувалася рівність F 2 l 2 = F 1 l 1 .
Таким чином, обертання можна запобігти незліченним способам. Важливо лише вибрати силу та точку її застосування так, щоб добуток сили на плече був рівний F 1 l 1 . Це і є правило важеля.
Неважко вивести умови рівноваги системи. Дія сил F 1 та F 2 на вісь викликає протидію у вигляді сили реакції R, прикладеної в точці O і спрямованої протилежно до сил F 1 та F 2 . Відповідно до закону механіки про дію та протидію, величина реакції Rдорівнює сумі сил F 1 + F 2 . Отже, рівнодіюча всіх сил, що діють на систему, дорівнює F 1 + F 2 + R= 0, отже зазначене вище необхідне умова рівноваги виконується. Сила F 1 створює момент, що крутить, що діє за годинниковою стрілкою, тобто. момент сили F 1 l 1 щодо точки O, який врівноважується чинним проти годинникової стрілки моментом F 2 l 2 сили F 2 . Очевидно, що умовою рівноваги тіла є рівність нуля алгебраїчної сумимоментів, що унеможливлює обертання. Якщо сила Fдіє на стрижень під кутом q, Як показано на рис. 4, а, то цю силу можна представити у вигляді суми двох складових, одна з яких ( F p), величиною F cos qдіє паралельно стрижню і врівноважується реакцією опори - F p , а інша ( F n), величиною F sin q, Спрямована під прямим кутом до важеля. У цьому випадку момент, що крутить, дорівнює Fl sin q; він може бути врівноважений будь-якою силою, яка створює рівний момент, що діє проти годинникової стрілки.
Щоб простіше було враховувати знаки моментів у випадках, коли на тіло діє багато сил, момент сили Fщодо будь-якої точки O тіла (рис. 4, б) можна розглядати як вектор L, рівний векторному твору r ґ Fвектор положення rна силу F. Таким чином, L = rґ F. Неважко показати, що якщо на тверде тілодіє система сил, прикладених у точках O 1 , O 2 ,..., O n (рис. 5), то цю систему можна замінити рівнодією Rсил F 1 , F 2 ,..., F n , прикладеної в будь-якій точці Oв тіла, та парою сил L, момент яких дорівнює сумі r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n ґ F n]. Щоб переконатися в цьому, досить подумки додати у точці Oв систему пар рівних, але протилежно спрямованих сил F 1 та - F 1 ; F 2 і - F 2 ;...; F n і - F n що, очевидно, не змінить стану твердого тіла.
Але сила F 1 , прикладена в точці O 1 і сила – F 1 , прикладена в точці Oв, утворюють пару сил, момент яких щодо точки Oв дорівнює r 1 ґ F 1 . Так само сили F 2 і - F 2 , прикладені в точках O 2 і Oв відповідно, утворюють пару з моментом r 2 ґ F 2, і т.д. Сумарний момент Lвсіх таких пар щодо точки Oв дається векторною рівністю L = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n ґ F n]. Інші сили F 1 , F 2 ,..., F n , прикладені в точці Oв, у сумі дають рівнодіючу R. Але система не може перебувати в рівновазі, якщо величини Rі Lвідмінні від нуля. Отже, умова рівності нулю одночасно величин Rі Lє необхідною умовою рівноваги. Можна показати, що воно є і достатнім, якщо тіло спочатку спочиває. Отже, завдання про рівновагу зводиться до двох аналітичних умов: R= 0 і L= 0. Ці два рівняння є математичним записом принципу рівноваги.
Теоретичні положення статики широко застосовуються при аналізі сил, що діють на конструкції та споруди. У разі безперервного розподілу сил суми, що дають результуючий момент Lта рівнодіючу R, Замінюються інтегралами і відповідно до звичайних методів інтегрального обчислення.
