Способи визначення центру важкості твердого тіла. Способи визначення координат центру важкості. Бібліотека елементарних фігур

Визначення центру тяжкості довільного тіла шляхом послідовного складання сил, що діють на окремі його частини - важке завдання; вона полегшується лише тіл порівняно простої форми.

Нехай тіло складається тільки з двох вантажів маси і сполучених стрижнем (рис. 125). Якщо маса стрижня мала в порівнянні з масами і , то нею можна знехтувати. На кожну масу діють сили тяжіння, рівні відповідно і ; обидві вони спрямовані вертикально вниз, тобто паралельно один до одного. Як ми знаємо, рівнодіюча двох паралельних сил прикладена в точці , яка визначається за умови

Рис. 125. Визначення центру тяжкості тіла, що складається із двох вантажів

Отже, центр тяжіння ділить відстань між двома вантажами щодо зворотному відношенню їх мас. Якщо це тіло підвісити у точці, воно залишиться у рівновазі.

Так як дві рівні маси мають загальний центр тяжіння в точці, що розділяє відстань між цими масами, то відразу ясно, що, наприклад, центр тяжкості однорідного стрижня лежить у середині стрижня (рис. 126).

Оскільки будь-який діаметр однорідного круглого диска поділяє його на дві абсолютно однакові симетричні частини (рис. 127), то центр тяжіння повинен лежати на кожному діаметрі диска, тобто в точці перетину діаметрів – у геометричному центрі диска. Розмірковуючи подібним чином, можна знайти, що центр тяжкості однорідної кулі лежить у його геометричному центрі, центр тяжкості однорідної прямокутного паралелепіпедалежить на перетині його діагоналей тощо. буд. Центр тяжкості обруча чи кільця лежить у його центрі. Останній приклад показує, що центр тяжкості тіла може лежати поза тілом.

Рис. 126. Центр тяжкості однорідного стрижня лежить у його середині

Рис. 127. Центр однорідного диска лежить у його геометричному центрі

Якщо тіло має неправильну форму або якщо воно неоднорідне (наприклад, у ньому є порожнечі), то розрахунок положення центру тяжкості часто скрутний і це зручніше знайти за допомогою досвіду. Нехай, наприклад, потрібно знайти центр ваги шматка фанери. Підвісимо його на нитці (рис. 128). Очевидно, в положенні рівноваги центр тяжіння тіла повинен лежати на продовженні нитки, інакше сила тяжіння матиме момент щодо точки підвісу, який би обертав тіло. Тому, провівши на нашому шматку фанери пряму, що становить продовження нитки, можемо стверджувати, що центр тяжіння лежить на цій прямій.

Дійсно, підвішуючи тіло в різних точках і проводячи вертикальні прямі, ми переконаємося, що вони перетнуться в одній точці. Ця точка і є центром тяжкості тіла (оскільки він повинен лежати одночасно на всіх таких прямих). Подібним чином можна визначити положення центру тяжіння як плоскої фігури, а й складнішого тіла. Положення центру тяжкості літака визначають, вкочуючи його колесами на вагові платформи. Рівнодійна сила ваги, що припадає на кожне колесо, буде спрямована по вертикалі, і знайти лінію, за якою вона діє, можна за законом складання паралельних сил.

Рис. 128. Точка перетину вертикальних ліній, проведених через точки підвісу і є центром ваги тіла

При зміні мас окремих частин тіла або зміні форми тіла положення центру тяжкості змінюється. Так, центр тяжкості літака переміщується при витрачанні пального з баків, при завантаженні багажу і т. п. Для наочного досвіду, що ілюструє переміщення центру тяжіння при зміні форми тіла, зручно взяти два однакових бруска, з'єднаних шарніром (мал. 129). У тому випадку, коли бруски утворюють продовження один одного, центр тяжіння лежить на осі брусків. Якщо бруски зігнути в шарнірі, то центр тяжіння виявляється поза брусками, на бісектрисі кута, який вони утворюють. Якщо на один з брусків надіти додатковий вантаж, центр тяжіння переміститься в бік цього вантажу.

Центром тяжіннятвердого тіла називається геометрична точка, що жорстко пов'язана з цим тілом, і є центром паралельних сил тяжкості, доданих до окремих елементарних частинок тіла (рисунок 1.6).

Радіус-вектор цієї точки

Малюнок 1.6

Для однорідного тіластановище центру тяжкості тіла залежить від матеріалу, а визначається геометричної формою тіла.

Якщо питома вага однорідного тіла γ , вага елементарної часткитіла

P k = γΔV k (P = γV ) підставити у формулу для визначення r C , маємо

Звідки, проеціюючи на осі та переходячи до межі, отримуємо координати центру тяжкості однорідного обсягу

Аналогічно для координат центру ваги однорідної поверхні площею S (Рисунок 1.7, а)

Малюнок 1.7

Для координат центру ваги однорідної лінії завдовжки L (Рисунок 1.7, б)

Способи визначення координат центру тяжіння

Виходячи з отриманих раніше загальних формул, можна вказати способи визначення координат центрів тяжкості твердих тіл:

1 Аналітичний(шляхом інтегрування).

2 Метод симетрії. Якщо тіло має площину, вісь чи центр симетрії, його центр тяжкості лежить відповідно у площині симетрії, осі симетрії чи центрі симетрії.

3 Експериментальний(Метод підвішування тіла).

4 Розбиття. Тіло розбивається на кінцеве число частин, кожної з яких становище центру тяжкості C і площа S відомі. Наприклад, проекцію тіла на площину xOy (Рисунок 1.8) можна представити у вигляді двох плоских фігур з площами S 1 і S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центри тяжкості цих фігур перебувають у точках C 1 (x 1 , y 1 ) і C 2 (x 2 , y 2 ) . Тоді координати центру тяжкості тіла дорівнюють

Малюнок 1.8

5Доповнення(Метод негативних площ або обсягів). Окремий випадок способу розбиття. Він застосовується до тіл, що мають вирізи, якщо центри ваги тіла без вирізу та вирізаної частини відомі. Наприклад, необхідно знайти координати центру тяжіння плоскої фігури (рисунок 1.9):

Малюнок 1.9

Центри тяжкості найпростіших фігур

Малюнок 1.10

1 Трикутник

Центр тяжкості площі трикутник збігається з точкою перетину медіан (рисунок 1.10, а).

DM = MB , CM = (1/3)AM .

2 Дуга кола

Дуга має вісь симетрії (рисунок 1.10 б). Центр тяжкості лежить цієї осі, тобто. y C = 0 .

dl - Елемент дуги, dl = Rdφ , R - Радіус кола, x = Rcosφ , L = 2αR ,

Отже:

x C = R(sinα/α) .

3 Круговий сектор

Сектор радіусу R з центральним кутом 2 α має вісь симетрії Ox , де знаходиться центр тяжіння (рисунок 1.10, в).

Розбиваємо сектор на елементарні сектори, які можна вважати трикутниками. Центри тяжкості елементарних секторів розташовуються на дузі кола радіусу (2/3) R .

Центр тяжкості сектора збігається із центром тяжіння дуги AB :

14. Способи завдання руху точки.

При векторному способі завдання руху положення точки визначається радіус-вектором, проведеним з нерухомої точки у вибраній системі відліку.

При координатному способі завдання руху задаються координати точки як функції часу:

Це параметричні рівняння траєкторії точки, що рухається, в яких роль параметра грає час t . Щоб записати її рівняння у явній формі, треба виключити з них t .

При природному способі завдання руху задаються траєкторія точки, початок відліку на траєкторії із зазначенням позитивного напрямку відліку, закон зміни дугової координати: s=s(t) . Цим способом зручно користуватися, якщо траєкторія точки заздалегідь відома.

15. 1.2 Швидкість точки

Розглянемо переміщення точки за короткий проміжок часу Δt :

середня швидкість точки за проміжок часу Dt . Швидкість точки на даний момент часу

Швидкість точки- це кінематична міра її руху, рівна похідної за часом від радіус-вектора цієї точки в системі відліку, що розглядається. Вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії точки у бік руху.

Нехай тіло складається тільки з двох вантажів маси і сполучених стрижнем (рис. 125). Якщо маса стрижня мала в порівнянні з масами і , то нею можна знехтувати. На кожну з мас діють сили тяжіння, рівні відповідно і; обидві вони спрямовані вертикально вниз, тобто паралельно один до одного. Як ми знаємо, рівнодіюча двох паралельних сил прикладена в точці , яка визначається за умови

Рис. 125. Визначення центру тяжкості тіла, що складається із двох вантажів

Оскільки будь-який діаметр однорідного круглого диска поділяє його на дві абсолютно однакові симетричні частини (рис. 127), то центр тяжіння повинен лежати на кожному діаметрі диска, тобто в точці перетину діаметрів – у геометричному центрі диска. Розмірковуючи подібним чином, можна виявити, що центр тяжкості однорідної кулі лежить у його геометричному центрі, центр тяжкості однорідного прямокутного паралелепіпеда лежить на перетині його діагоналей і т. д. Центр тяжкості обруча або кільця лежить у його центрі. Останній приклад показує, що центр тяжкості тіла може лежати поза тілом.

Рис. 126. Центр тяжкості однорідного стрижня лежить у його середині

Рис. 127. Центр однорідного диска лежить у його геометричному центрі

Рис. 128. Точка перетину вертикальних ліній, проведених через точки підвісу і є центром ваги тіла

Рис. 129. а) Центр тяжкості з'єднаних шарніром брусків, розташованих на одній прямій, лежить на осі брусків, б) Центр тяжкості зігнутої системи брусків лежить поза брусками

81.1. Де знаходиться центр тяжіння двох однакових тонких стрижнів, що мають довжину 12 см і скріплені у вигляді літери Т?

81.2. Доведіть, що центр ваги трикутної однорідної пластини лежить на перетині медіан.

Рис. 130. До вправи 81.3

81.3. Однорідна дошка маси 60 кг лежить на двох опорах, як показано на рис. 130. Визначте сили, що діють на опори.

Центр тяжкості - точка, якою проходить лінія дії рівнодіючої елементарних сил тяжіння. Він має властивість центру паралельних сил (Е. М. Нікітін, § 42). Тому формули визначення положення центру тяжкості різних тіл мають вигляд:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Якщо тіло, центр тяжкості якого потрібно визначити, можна ототожнити з фігурою, складеною з ліній (наприклад, замкнутий або незамкнутий контур, виготовлений із дроту, як на рис. 173), то вага G i кожного відрізка l i можна подати у вигляді твору
G i = l i d,
де d - постійна для всієї фігури вага одиниці довжини матеріалу.

Після підстановки формули (1) замість G i їх значень l i d постійний множник d у кожному доданку чисельника і знаменника можна винести за дужки (за знак суми) і скоротити. Таким чином, формули визначення координат центру тяжкості фігури, складеної з відрізків ліній, набудуть вигляду:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Якщо тіло має вигляд фігури, складеної з різних площин або кривих поверхонь (рис. 174), то вага кожної площини (поверхні) можна представити так:
G i = F i p,
де F i – площі кожної поверхні, а p – вага одиниці площі фігури.

Після підстановки цього значення G i формули (1) отримуємо формули координат центру ваги фігури, складеної з площ:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Якщо однорідне тіло можна розділити на прості частини певної геометричної форми (рис. 175), то вага кожної частини
G i = V i γ,
де V i – обсяг кожної частини, а γ – вага одиниці об'єму тіла.

Після підстановки значень G i формули (1) отримуємо формули визначення координат центру тяжкості тіла, складеного з однорідних обсягів:
x c = (∑V i x i) / ∑ V i;
(4) y c = (∑V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑V i z i) / ∑ V i .

При вирішенні деяких завдань визначення положення центру тяжкості тіл іноді необхідно знати, де розташований центр тяжкості дуги кола, кругового сектора або трикутника.

Якщо відомий радіус дуги r і центральний кут 2α, що стягується дугою і виражений у радіанах, положення центру тяжкості C (рис. 176, а) щодо центру дуги O визначиться формулою:
(5) x c = (r sin α)/α.

Якщо ж задана хорда AB=b дуги, то формулі (5) можна зробити заміну
sin α = b/(2r)
і тоді
(5а) x c = b/(2α).

В окремому випадку для півкола обидві формули набудуть вигляду (рис. 176, б):
(5б) x c = OC = 2r/π = d/π.

Положення центру тяжкості кругового сектора, якщо заданий його радіус r (рис. 176, в) визначається за допомогою формули:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Якщо ж задана хорда сектора, то:
(6а) x c = b/(3α).

В окремому випадку для півкола обидві останні формули набудуть вигляду (рис. 176, г)
(6б) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Центр тяжкості площі будь-якого трикутника розташований від будь-якої сторони на відстані, що дорівнює одній третині відповідної висоти.

У прямокутного трикутника центр ваги знаходиться на перетині перпендикулярів, відновлених до катет з точок, розташованих на відстані однієї третини довжини катетів, рахуючи від вершини прямого кута(Рис. 177).

При вирішенні завдань на визначення положення центру тяжкості будь-якого однорідного тіла, складеного або з тонких стрижнів (ліній), або з пластинок (площ), або з об'ємів, доцільно дотримуватися наступного порядку:

1) виконати малюнок тіла, положення центру тяжкості якого необхідно визначити. Так як всі розміри тіла зазвичай відомі, при цьому слід дотримуватися масштабу;

2) розбити тіло на складові частини (відрізки ліній чи площі, чи обсяги), становище центрів тяжкості яких визначається з розмірів тіла;

3) визначити чи довжини, чи площі, чи обсяги складових частин;

4) вибрати розташування осей координат;

5) визначити координати центрів ваги складових частин;

6) знайдені значення довжин чи площ, чи обсягів окремих частин, і навіть координат їх центрів тяжкості підставити у відповідні формули і обчислити координати центру тяжкості всього тіла;

7) за знайденими координатами вказати малюнку положення центру тяжкості тіла.

§ 23. Визначення положення центру ваги тіла, складеного з тонких однорідних стрижнів

§ 24. Визначення положення центру ваги фігур, складених із пластинок

В останній задачі, а також у завданнях, наведених у попередньому параграфі, розчленування фігур на складові не викликає особливих труднощів. Але іноді фігура має такий вигляд, який дозволяє розділити її на складові декількома способами, наприклад тонку пластинку прямокутної форми з трикутним вирізом (рис. 183). При визначенні положення центру тяжкості такої пластинки її площу можна розділити на чотири прямокутники (1, 2, 3 та 4) та один прямокутний трикутник 5 – декількома способами. Два варіанти показано на рис. 183, а б.

Найбільш раціональним є той спосіб розподілу фігури на складові, при якому утворюється найменше їх число. Якщо фігурі є вирізи, їх можна також включати до складу складових частин фігури, але площа вирізаної частини вважати негативною. Тому такий розподіл отримав назву способу негативних площ.

Платівка на мал. 183, ділиться за допомогою цього способу всього на дві частини: прямокутник 1 з площею всієї пластинки, як вона ціла, і трикутник 2 з площею, яку вважаємо негативною.

§ 26. Визначення положення центру ваги тіла, складеного з частин, що мають просту геометричну форму

Щоб вирішувати завдання визначення положення центру тяжкості тіла, складеного з частин, що мають просту геометричну форму, необхідно мати навички визначення координат центру тяжкості фігур, складених з ліній або площ.

Автор: Візьмемо тіло довільної форми Чи можна підвісити його на нитки так, щоб воно після підвішування зберегло своє положення (тобто не стало повертатися) при будь-якийпочаткової орієнтації (рис. 27.1)?

Іншими словами, чи існує така точка, щодо якої сума моментів сил тяжіння, що діють на різні частини тіла, дорівнювала б нулю при будь-якийорієнтації тіла у просторі?

Читач: На мою думку так. Така точка називається центром важкості тіла.

Доведення.Для простоти розглянемо тіло як плоскої пластини довільної форми довільним чином орієнтоване у просторі (рис. 27.2). Візьмемо систему координат х 0уз початком у центрі мас – точці Зтоді х З = 0, у С = 0.

Уявімо це тіло у вигляді сукупності великої кількості точкових мас m i, положення кожної з яких задається радіусом-вектором.

За визначенням центру мас , а координата х З = .

Тому що в прийнятій нами системі координат х З= 0, то. Помножимо цю рівність на gі отримаємо

Як видно із рис. 27.2, | x i| - Це плече сили. Причому якщо х i> 0, то момент сили M i> 0, а якщо х j < 0, то M j < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iмомент сили дорівнюватиме M i = m i g x i.Тоді рівність (1) еквівалентна рівності , де M i- Момент сили тяжіння. А це означає, що при довільній орієнтації тіла сума моментів сил тяжіння, що діють на тіло, дорівнюватиме нулю щодо його центру мас.

Щоб тіло, яке ми розглядаємо, знаходилося в рівновазі, до нього необхідно прикласти в точці Зсилу Т = mg, спрямовану вертикально догори. Момент цієї сили щодо точки З дорівнює нулю.

Оскільки наші міркування аж ніяк не залежали від того, як саме орієнтоване тіло в просторі, ми довели, що центр тяжкості збігається з центром мас, що потрібно було довести.

Завдання 27.1.Знайти центр ваги невагомого стрижня довжини l, на кінцях якого укріплено дві точкові маси т 1 та т 2 .

т 1 т 2 l	Рішення. Будемо шукати не центр тяжкості, а центр мас (оскільки це одне й те саме). Введемо вісь х(Рис. 27.3). Рис. 27.3
х З =?

Відповідь: на відстані від маси т 1 .

СТОП! Вирішіть самостійно: В1-В3.

Твердження 1 . Якщо однорідне плоске тіло має вісь симетрії, центр ваги знаходиться на цій осі.

Справді, для будь-якої точкової маси m i, розташованої праворуч від осі симетрії, знайдеться така сама точкова маса , розташована симетрично щодо першої (рис. 27.4). При цьому сума моментів сил.

Оскільки все тіло можна уявити розбитим на подібні пари точок, то сумарний момент сил тяжіння щодо будь-якої точки, що лежить на осі симетрії, дорівнює нулю, а значить, на цій осі знаходиться і центр тяжіння тіла. Звідси випливає важливий висновок: якщо тіло має кілька осей симетрії, то центр тяжіння лежить на перетині цих осей(Рис. 27.5).

Рис. 27.5

Твердження 2. Якщо два тіла масами т 1 та т 2 з'єднані в одне, то центр тяжкості такого тіла лежатиме на відрізку прямої, що з'єднує центри тяжкості першого і другого тіла (рис. 27.6).

Рис. 27.6 Рис. 27.7

Доведення.Розташуємо складове тіло так, щоб відрізок, що з'єднує центри ваги тіл, був вертикальним. Тоді сума моментів сил тяжіння першого тіла щодо точки З 1 дорівнює нулю, і сума моментів сил тяжіння другого тіла щодо точки З 2 дорівнює нулю (рис. 27.7).

Зауважимо, що плечесили тяжіння будь-якої точкової маси т iодне й те саме щодо будь-якої точки, що лежить на відрізку З 1 З 2 , а значить, і момент сили тяжіння щодо будь-якої точки, що лежить на відрізку З 1 З 2, один і той же. Отже, сил тяжіння всього тіла дорівнює нулю щодо будь-якої точки відрізка З 1 З 2 . Таким чином, центр ваги складеного тіла лежить на відрізку З 1 З 2 .

Зі твердження 2 випливає важливий практичний висновок, який чітко сформульований у вигляді інструкції.

Інструкція,

як шукати центр тяжіння твердого тілаякщо його можна розбити

на частини, положення центрів тяжкості кожної з яких відомо

1. Слід замінити кожну частину масою, розташованою у центрі тяжкості цієї частини.

2. Знайти центр мас(а це те саме, що і центр тяжіння) отриманої системи точкових мас, обравши зручну систему координат х 0у, за формулами:

Справді, розташуємо складове тіло так, щоб відрізок З 1 З 2 був горизонтальним, і підвісимо його на нитках у точках З 1 та З 2 (рис. 27.8, а). Зрозуміло, що тіло перебуватиме у рівновазі. І ця рівновага не порушиться, якщо ми замінимо кожне тіло крапковими масами т 1 та т 2 (рис. 27.8, б).

Рис. 27.8

СТОП! Вирішіть самостійно: С3.

Завдання 27.2.У двох вершинах рівностороннього трикутника вміщено кульки маси ткожен. У третій вершині поміщена кулька маси 2 т(Рис. 27.9, а). Сторона трикутника а. Визначити центр важкості цієї системи.