Обща формулировка на проблема: вероятностите за някои събития са известни и трябва да изчислите вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития. В тези задачи има нужда от операции с вероятности като събиране и умножение на вероятности.
Например по време на лов се произвеждат два изстрела. Събитие А- удряне на патица с първия изстрел, събитие б- попадение от втория удар. След това сумата от събития АИ б- попадение с първия или втория изстрел или с два изстрела.
Проблеми от различен тип. Дават се няколко събития, например монета се хвърля три пъти. Трябва да намерите вероятността или гербът да се появи и трите пъти, или гербът да се появи поне веднъж. Това е проблем с умножение на вероятностите.
Добавяне на вероятности за несъвместими събития
Събирането на вероятности се използва, когато трябва да изчислите вероятността за комбинация или логическа сума от случайни събития.
Сума от събития АИ бобозначавам А + били А ∪ б. Сумата от две събития е събитие, което се случва тогава и само ако се случи поне едно от събитията. Означава, че А + б– събитие, което се случва тогава и само ако събитието се е случило по време на наблюдение Аили събитие б, или едновременно АИ б.
Ако събития АИ бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, тогава вероятността едно от тези събития да се случи в резултат на един опит се изчислява чрез добавяне на вероятности.
Теорема за добавяне на вероятности.Вероятността да се случи едно от две взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:
Например по време на лов се произвеждат два изстрела. Събитие А– уцелване на патица с първия изстрел, събитие IN– попадение от втори удар, събитие ( А+ IN) – попадение от първи или втори удар или от два удара. Така че, ако две събития АИ IN– несъвместими събития, значи А+ IN– настъпването на поне едно от тези събития или две събития.
Пример 1.В кутия има 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета без да се гледа.
Решение. Да приемем, че събитието А- „червената топка е взета“ и събитието IN- „Синята топка беше взета.“ Тогава събитието е „взета е цветна (не бяла) топка“. Нека намерим вероятността за събитието А:
и събития IN:
събития АИ IN– взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, тогава е невъзможно да се вземат топки с различни цветове. Затова използваме добавянето на вероятности:
Теорема за събиране на вероятности за няколко несъвместими събития.Ако събитията представляват пълен набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е равна на 1:
Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:
Противоположните събития образуват пълен набор от събития, а вероятността за пълен набор от събития е 1.
Вероятностите за противоположни събития обикновено се отбелязват с малки букви стрИ р. В частност,
от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:
Пример 2.Мишената в стрелбището е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по мишената в първа зона е 0,15, във втора зона – 0,23, в трета зона – 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.
Решение: Намерете вероятността стрелецът да уцели целта:
Нека намерим вероятността стрелецът да пропусне целта:
По-сложни задачи, в които трябва да използвате както събиране, така и умножение на вероятности, можете да намерите на страницата "Различни задачи, включващи събиране и умножение на вероятности".
Събиране на вероятности за взаимно едновременни събития
Две случайни събития се наричат съвместни, ако появата на едно събитие не изключва появата на второ събитие в същото наблюдение. Например при хвърляне на зар събитието АЧислото 4 се счита за разгърнато и събитието IN- напускам четен брой. Тъй като 4 е четно число, двете събития са съвместими. На практика има проблеми с изчисляването на вероятностите за настъпване на едно от взаимно едновременните събития.
Теорема за добавяне на вероятности за съвместни събития.Вероятността едно от съвместните събития да се случи е равна на сумата от вероятностите за тези събития, от която се изважда вероятността за общото случване на двете събития, т.е. произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития има следния вид:
От събитията АИ INсъвместим, събитие А+ INвъзниква, ако настъпи едно от три възможни събития: или AB. Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития, изчисляваме, както следва:
Събитие Аще се случи, ако се случи едно от двете несъвместими събития: или AB. Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:
По същия начин:
Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата на вероятността за съвместни събития:
При използване на формула (8) трябва да се има предвид, че събитията АИ INможе да бъде:
- взаимно независими;
- взаимно зависими.
Формула за вероятност за взаимно независими събития:
Формула за вероятност за взаимно зависими събития:
Ако събития АИ INса непоследователни, тогава съвпадението им е невъзможен случай и следователно, П(AB) = 0. Четвъртата вероятностна формула за несъвместими събития е:
Пример 3.В автомобилните състезания, когато карате първата кола, имате по-голям шанс да спечелите, а когато карате втората кола. Намирам:
- вероятността и двете коли да спечелят;
- вероятността поне една кола да спечели;
1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, така че събитията А(първата кола печели) и IN(втората кола ще спечели) – независими събития. Нека намерим вероятността и двете коли да спечелят:
2) Намерете вероятността една от двете коли да спечели:
По-сложни задачи, в които трябва да използвате както събиране, така и умножение на вероятности, можете да намерите на страницата "Различни задачи, включващи събиране и умножение на вероятности".
Решете сами проблема със събирането на вероятности и след това вижте решението
Пример 4.Хвърлят се две монети. Събитие А- загуба на герба на първата монета. Събитие б- загуба на герба на втората монета. Намерете вероятността за събитие ° С = А + б .
Умножаване на вероятностите
Умножението на вероятностите се използва, когато трябва да се изчисли вероятността за логически продукт от събития.
В този случай случайните събития трябва да са независими. Две събития се наричат взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе върху вероятността за настъпване на второто събитие.
Теорема за умножение на вероятностите за независими събития.Вероятност за едновременно възникване на две независими събития АИ INе равна на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:
Пример 5.Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да се появи и трите пъти.
Решение. Вероятността гербът да се появи при първото хвърляне на монета, втория път и третия път. Нека намерим вероятността гербът да се появи и трите пъти:
Решете сами задачи за умножение на вероятности и след това погледнете решението
Пример 6.Има кутия с девет нови тенис топки. За игра се вземат три топки, а след играта се връщат обратно. При избора на топки, играните топки не се разграничават от неиграните топки. Каква е вероятността след три игри да не останат неизиграни топки в полето?
Пример 7. 32 букви от руската азбука са написани на изрязани карти с азбука. Пет карти се изтеглят на случаен принцип една след друга и се поставят на масата по ред на появяване. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".
Пример 8.От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите карти да са от различни цветове.
Пример 9.Същата задача като в пример 8, но всяка карта, след като бъде премахната, се връща в тестето.
По-сложни задачи, в които трябва да използвате както събиране и умножение на вероятности, така и да пресмятате произведението на няколко събития, можете да намерите на страницата "Различни задачи, включващи събиране и умножение на вероятности".
Вероятността поне едно от взаимно независимите събития да се случи може да се изчисли чрез изваждане от 1 на произведението на вероятностите за противоположни събития, тоест с помощта на формулата.
- Вероятността е степента (относителна мярка, количествена оценка) на възможността за настъпване на дадено събитие. Кога има причини за това възможно събитиесе случи в действителност, противоположните причини надделяват, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно. Преобладаването на положителните причини над отрицателните и обратното може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и невероятността) може да бъде по-голяма или по-малка. Следователно вероятността често се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точна количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни степени на „нива“ на вероятност.
Изследването на вероятностите от математическа гледна точка представлява специална дисциплина - теория на вероятностите. В теорията на вероятностите и математическата статистика понятието вероятност е формализирано като числена характеристикасъбития - вероятностна мярка (или нейната стойност) - мярка за набор от събития (подмножества от набор от елементарни събития), вземайки стойности от
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Значение
(\displaystyle 1)
Съответства на надеждно събитие. Невъзможно събитие има вероятност от 0 (обратното обикновено не винаги е вярно). Ако вероятността за настъпване на събитие е
(\displaystyle p)
Тогава вероятността да не се случи е равна на
(\displaystyle 1-p)
По-специално, вероятността
(\displaystyle 1/2)
Означава еднаква вероятност за настъпване и ненастъпване на събитие.
Класическата дефиниция на вероятността се основава на концепцията за еднаква вероятност за резултати. Вероятността е съотношението на броя на благоприятните резултати за дадено събитие към общия брой еднакво възможни резултати. Например, вероятността да получите глави или опашки при произволно хвърляне на монета е 1/2, ако се приеме, че се срещат само тези две възможности и че те са еднакво възможни. Тази класическа „дефиниция“ на вероятността може да се обобщи за случая на безкраен брой възможни стойности - например, ако някакво събитие може да се случи с еднаква вероятност във всяка точка (броят на точките е безкраен) от някакъв ограничен регион на пространство (равнина), тогава вероятността това да се случи в някаква част от тази възможна област е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на областта на всички възможни точки.
Емпиричното „дефиниране“ на вероятността е свързано с честотата на възникване на дадено събитие въз основа на факта, че с достатъчно голямо числочестотата на тестване трябва да клони към обективната степен на вероятност от това събитие. В съвременното представяне на теорията на вероятностите, вероятността се дефинира аксиоматично, като специален случай на абстрактната теория на мярката на множеството. Но свързващото звено между абстрактната мярка и вероятността, която изразява степента на възможност за настъпване на дадено събитие, е именно честотата на неговото наблюдение.
Вероятностното описание на определени явления е широко разпространено в съвременна наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминистично описание на движението на частиците, детерминистичното описание на цялата система от частици не изглежда практически възможно и подходящо. IN квантова физикасамите описани процеси са от вероятностен характер.
Когато се хвърли монета, можем да кажем, че тя ще кацне хедс-ъп, или вероятност това е 1/2. Разбира се, това не означава, че ако една монета бъде хвърлена 10 пъти, тя непременно ще падне върху главите 5 пъти. Ако монетата е „честна“ и ако бъде хвърлена много пъти, тогава главите ще паднат много близо през половината от времето. Следователно има два вида вероятности: експериментален И теоретичен .
Експериментална и теоретична вероятност
Ако хвърлите монета голям бройпъти - да кажем 1000 - и преброим колко пъти са хвърлени глави, можем да определим вероятността главите да бъдат хвърлени. Ако главите бъдат хвърлени 503 пъти, можем да изчислим вероятността да се приземи:
503/1000, или 0,503.
Това експериментален определение на вероятността. Това определение за вероятност идва от наблюдение и изследване на данни и е доста често срещано и много полезно. Ето, например, някои вероятности, които са определени експериментално:
1. Вероятността една жена да развие рак на гърдата е 1/11.
2. Ако целунете някой, който е настинал, тогава вероятността вие също да получите настинка е 0,07.
3. Човек, който току-що е бил освободен от затвора, има 80% шанс да се върне в затвора.
Ако обмислим хвърлянето на монета и като вземем предвид, че е еднакво вероятно тя да излезе с глави или опашки, можем да изчислим вероятността да получим глави: 1/2 Това е теоретична дефиниция на вероятността. Ето някои други вероятности, които са определени теоретично с помощта на математика:
1. Ако в една стая има 30 души, вероятността двама от тях да имат една и съща рождена дата (без годината) е 0,706.
2. По време на пътуване срещате някого и по време на разговора откривате, че имате общ приятел. Типична реакция: „Това не може да бъде!“ Всъщност тази фраза не е подходяща, тъй като вероятността от такова събитие е доста висока - малко над 22%.
По този начин експерименталните вероятности се определят чрез наблюдение и събиране на данни. Теоретичните вероятности се определят чрез математически разсъждения. Примери за експериментални и теоретични вероятности, като тези, обсъдени по-горе, и особено тези, които не очакваме, ни водят до важността на изучаването на вероятностите. Може да попитате: "Каква е истинската вероятност?" Всъщност такова нещо няма. Вероятностите в определени граници могат да бъдат определени експериментално. Те могат или не могат да съвпадат с вероятностите, които получаваме теоретично. Има ситуации, в които е много по-лесно да се определи един вид вероятност, отколкото друг. Например, би било достатъчно да се намери вероятността от настинка, като се използва теоретичната вероятност.
Изчисляване на експериментални вероятности
Нека първо разгледаме експерименталната дефиниция на вероятността. Основният принцип, който използваме за изчисляване на такива вероятности, е следният.
Принцип P (експериментален)
Ако в експеримент, в който са направени n наблюдения, ситуация или събитие E се появи m пъти в n наблюдения, тогава се казва, че експерименталната вероятност за събитието е P (E) = m/n.
Пример 1 Социологическо проучване. Се проведе експериментално изследванеза определяне на броя на левичарите, десничарите и хората, чиито и двете ръце са еднакво развити.Резултатите са показани на графиката.
а) Определете вероятността лицето да е дясна ръка.
b) Определете вероятността човекът да е левичар.
в) Определете вероятността човек да владее еднакво свободно и двете си ръце.
d) Повечето турнири на Професионалната боулинг асоциация са ограничени до 120 играчи. Въз основа на данните от този експеримент, колко играчи могат да бъдат левичари?
Решение
а) Броят на хората, които са десничари, е 82, броят на левичарите е 17, а броят на онези, които владеят еднакво свободно и двете си ръце, е 1. Общият брой наблюдения е 100. Следователно вероятността че човек е дясна ръка е П
P = 82/100, или 0,82, или 82%.
b) Вероятността човек да е левичар е P, където
P = 17/100, или 0,17, или 17%.
c) Вероятността човек да владее еднакво свободно и двете си ръце е P, където
P = 1/100, или 0,01, или 1%.
г) 120 играчи на боулинг, а от (б) можем да очакваме, че 17% са левичари. Оттук
17% от 120 = 0,17,120 = 20,4,
тоест можем да очакваме около 20 играчи да са левичари.
Пример 2 Контрол на качеството
. За производителя е много важно да поддържа качеството на своите продукти на високо ниво. Всъщност компаниите наемат инспектори за контрол на качеството, за да гарантират този процес. Целта е да се произвеждат възможно най-малко дефектни продукти. Но тъй като компанията произвежда хиляди продукти всеки ден, тя не може да си позволи да тества всеки продукт, за да определи дали е дефектен или не. За да разбере какъв процент от продуктите са дефектни, компанията тества много по-малко продукти.
USDA изисква 80% от семената, продавани от производителите, да покълнат. За да се определи качеството на семената, които произвежда една земеделска фирма, се засяват 500 семена от произведените. След това е изчислено, че са покълнали 417 семена.
а) Каква е вероятността семето да покълне?
б) Семената отговарят ли на държавните стандарти?
Решениеа) Знаем, че от 500 семена, които са били засадени, 417 са покълнали. Вероятност за покълване на семена P, и
P = 417/500 = 0,834, или 83,4%.
б) Тъй като процентът на покълналите семена е надвишил 80%, както се изисква, семената отговарят на държавните стандарти.
Пример 3 Телевизионни рейтинги. Според статистиката в САЩ има 105 500 000 домакинства с телевизори. Всяка седмица се събира и обработва информация за гледаните програми. За една седмица 7 815 000 домакинства гледаха хитовия комедиен сериал „Everybody Loves Raymond“ по CBS и 8 302 000 домакинства гледаха хитовия сериал „Закон и ред“ по NBC (Източник: Nielsen Media Research). Каква е вероятността телевизорът на едно домакинство да бъде настроен на „Всички обичат Реймънд“ през дадена седмица? на „Закон и ред“?
РешениеВероятността телевизорът в едно домакинство да е настроен на „Всички обичат Реймънд“ е P и
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Шансът телевизорът на домакинството да е бил настроен на Закон и ред е P, и
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Тези проценти се наричат рейтинги.
Теоретична вероятност
Да предположим, че провеждаме експеримент, като хвърляне на монета или дартс, теглене на карта от тесте или тестване на продукти за качество на поточна линия. Всеки възможен резултат от такъв експеримент се нарича Изход . Множеството от всички възможни резултати се нарича резултатно пространство . Събитие това е набор от резултати, тоест подмножество от пространството на резултатите.
Пример 4 Хвърляне на дартс. Да предположим, че в експеримент с хвърляне на стреличка стреличката уцелва мишена. Намерете всяко от следните:
б) Пространство на резултатите
Решение
а) Резултатите са: удряне на черно (B), удряне на червено (R) и удряне на бяло (B).
b) Пространството на резултатите е (удар в черно, уцел в червено, уцел в бяло), което може да се запише просто като (H, K, B).
Пример 5 Хвърляне на зарове.
Зарът е куб с шест страни, всяка с една до шест точки върху нея. 
Да предположим, че хвърляме зар. намирам
а) Резултати
б) Пространство на резултатите
Решение
а) Резултати: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство за резултат (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Означаваме вероятността събитие E да се случи като P(E). Например, „монетата ще кацне на глави“ може да се означи с H. Тогава P(H) представлява вероятността монетата да кацне на глави. Когато всички резултати от експеримент имат една и съща вероятност да се появят, се казва, че те са еднакво вероятни. За да видите разликите между събития, които са еднакво вероятни, и събития, които не са, помислете за целта, показана по-долу. 
За мишена А, събитията на попадение в черно, червено и бяло са еднакво вероятни, тъй като черният, червеният и белият сектор са еднакви. За мишена B обаче зоните с тези цветове не са еднакви, тоест попадението им не е еднакво вероятно.
Принцип P (теоретичен)
Ако събитие E може да се случи по m начина от n възможни еднакво вероятни изхода от пространството на изхода S, тогава теоретична вероятност
събития, P(E) е
P(E) = m/n.
Пример 6Каква е вероятността да хвърлите зар, за да получите 3?
РешениеИма 6 еднакво вероятни изхода на зара и има само една възможност за хвърляне на числото 3. Тогава вероятността P ще бъде P(3) = 1/6.
Пример 7Каква е вероятността да хвърлите четно число на зара?
РешениеСъбитието е хвърляне на четно число. Това може да се случи по 3 начина (ако хвърлите 2, 4 или 6). Броят на еднакво вероятните резултати е 6. Тогава вероятността P(четен) = 3/6, или 1/2.
Ще използваме редица примери, включващи стандартно тесте от 52 карти. Това тесте се състои от картите, показани на фигурата по-долу. 
Пример 8Каква е вероятността да изтеглите асо от добре разбъркано тесте карти?
РешениеИма 52 резултата (броя на картите в тестето), те са еднакво вероятни (ако тестето е добре разбъркано) и има 4 начина да изтеглите асо, така че според принципа P, вероятността
P(теглене на асо) = 4/52, или 1/13.
Пример 9Да предположим, че избираме, без да гледаме, една топка от торба с 3 червени топки и 4 зелени топки. Каква е вероятността да изберете червена топка?
РешениеИма 7 еднакво вероятни резултата от тегленето на която и да е топка и тъй като броят на начините за теглене на червена топка е 3, получаваме
P(избор на червена топка) = 3/7.
Следните твърдения са резултат от принцип P.
Свойства на вероятността
а) Ако събитие E не може да се случи, тогава P(E) = 0.
b) Ако събитието E е сигурно, че ще се случи, тогава P(E) = 1.
в) Вероятността събитие E да се случи е число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Например, при хвърляне на монета събитието, че монетата падне на ръба си, има нулева вероятност. Вероятността дадена монета да е глави или опашки има вероятност 1.
Пример 10Да приемем, че 2 карти са изтеглени от тесте от 52 карти. Каква е вероятността и двете да са върхове?
РешениеБроят n начини да изтеглите 2 карти от добре разбъркано тесте от 52 карти е 52 C 2 . Тъй като 13 от 52-те карти са пики, броят на начините m да изтеглите 2 пики е 13 C 2 . Тогава,
P (издърпване на 2 пика) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.
Пример 11Да предположим, че 3 души са произволно избрани от група от 6 мъже и 4 жени. Каква е вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени?
РешениеБроят на начините да изберете трима души от група от 10 души е 10 C 3. Един мъж може да бъде избран по 6 C 1 начина, а 2 жени могат да бъдат избрани по 4 C 2 начина. Според основния принцип на броенето, броят на начините за избор на 1 мъж и 2 жени е 6 C 1. 4 C 2 . Тогава вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени е
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.
Пример 12 Хвърляне на зарове. Каква е вероятността да хвърлите общо 8 на два зара?
РешениеВсеки зар има 6 възможни изхода. Резултатите се удвояват, което означава, че има 6,6 или 36 възможни начина, по които могат да се появят числата на двата зара. (По-добре е кубчетата да са различни, да кажем, че едното е червено, а другото е синьо - това ще ви помогне да визуализирате резултата.) 
Двойките числа, които се събират до 8, са показани на фигурата по-долу. Има 5 възможни начина да се получи сума, равна на 8, следователно вероятността е 5/36.
Знаейки, че вероятността може да бъде измерена, нека се опитаме да я изразим в числа. Има три възможни начина.
Ориз. 1.1. Измерване на вероятността
ВЕРОЯТНОСТ, ОПРЕДЕЛЕНА ОТ СИМЕТРИЯ
Има ситуации, при които възможните резултати са еднакво вероятни. Например, при еднократно хвърляне на монета, ако монетата е стандартна, вероятността да се появят „глави“ или „опашки“ е една и съща, т.е. P("глави") = P("опашки"). Тъй като са възможни само два резултата, тогава P(„глави“) + P(„опашки“) = 1, следователно, P(„глави“) = P(„опашки“) = 0,5.
В експерименти, при които резултатите имат равни шансове за възникване, вероятността за събитие E, P (E) е равна на:
Пример 1.1. Монетата се хвърля три пъти. Каква е вероятността две глави и една опашка?
Първо, нека намерим всички възможни резултати: За да сме сигурни, че сме намерили всички възможни опции, ще използваме дървовидна диаграма (вижте глава 1, раздел 1.3.1).
И така, има 8 еднакво възможни изхода, следователно вероятността за тях е 1/8. Събитие E - две глави и опашки - три се случиха. Ето защо:
Пример 1.2. Стандартен зар се хвърля два пъти. Каква е вероятността резултатът да е 9 или повече?
Нека намерим всички възможни резултати.
Таблица 1.2. Общият брой точки, получен при двукратно хвърляне на зар
И така, при 10 от 36 възможни изхода сборът от точки е 9 или следователно:
ЕМПИРИЧНО ОПРЕДЕЛЕНА ВЕРОЯТНОСТ
Пример с монета от масата. 1.1 ясно илюстрира механизма за определяне на вероятността.
Като се има предвид общият брой успешни експерименти, вероятността за необходимия резултат се изчислява, както следва:
Съотношението е относителната честота на поява на определен резултат за достатъчно дълъг експеримент. Вероятността се изчислява или въз основа на данните от извършения експеримент, или въз основа на минали данни.
Пример 1.3. От петстотинте тествани електрически лампи 415 са работили повече от 1000 часа. Въз основа на данните от този експеримент можем да заключим, че вероятността за нормална работа на лампа от този тип за повече от 1000 часа е:
Забележка. Тестването е разрушително по природа, така че не всички лампи могат да бъдат тествани. Ако се тества само една лампа, вероятността ще бъде 1 или 0 (т.е. дали може да издържи 1000 часа или не). Оттук и необходимостта от повторение на експеримента.
Пример 1.4. В табл 1.3 показва данни за трудовия стаж на мъжете, работещи в компанията:
Таблица 1.3. Трудов стаж на мъжете
Каква е вероятността следващият нает от компанията човек да работи поне две години:
Решение.
Таблицата показва, че 38 от 100 служители работят в компанията повече от две години. Емпиричната вероятност следващият служител да остане в компанията повече от две години е:
В същото време приемаме, че новият служител е „типов и условията на труд са непроменени.
СУБЕКТИВНА ОЦЕНКА НА ВЕРОЯТНОСТТА
В бизнеса често възникват ситуации, в които няма симетрия, няма и експериментални данни. Следователно определянето на вероятността за благоприятен изход под влияние на възгледите и опита на изследователя е субективно.
Пример 1.5.
1. Инвестиционен експерт изчислява, че вероятността за реализиране на печалба през първите две години е 0,6.
2. Прогноза на маркетинг мениджъра: вероятността да продадете 1000 единици от даден продукт през първия месец след появата му на пазара е 0,4.
Вероятността е много лесна тема, ако се фокусирате върху значението на задачите, а не върху формулите. Но как да решаваме проблеми с вероятностите. Първо, какво е вероятност? Това е шансът да се случи някакво събитие. Ако кажем, че вероятността за някакво събитие е 50%, какво означава това? Че или ще стане, или няма да стане – едно от двете неща. По този начин изчисляването на стойността на вероятността е много просто - трябва да вземете броя на опциите, които ни подхождат, и да ги разделите на броя на всички възможни опции. Например шансът да получите глави при хвърляне на монета е ½. Как да получим ½? Общо имаме две възможни опции (глави и опашки), от които една ни подхожда (опашки), така че получаваме вероятност от ½.
Както вече видяхме, вероятността може да бъде изразена както в проценти, така и в обикновени числа. Важно: на Единния държавен изпит ще трябва да запишете отговора си в числа, а не като проценти. Приема се, че вероятността варира от 0 (никога няма да се случи) до 1 (със сигурност ще се случи). Може също да се каже, че винаги
Вероятност за подходящи събития + вероятност за неподходящи събития = 1
Сега разбираме как точно да изчислим вероятността от едно събитие и дори такива задачи са налични в банката FIPI, но е ясно, че не свършва дотук. За да направите живота по-забавен, при проблеми с вероятностите обикновено се случват поне две събития и трябва да изчислите вероятността, като вземете предвид всяко от тях.
Изчисляваме вероятността за всяко събитие поотделно, след което поставяме знаци между дробите:
1. Ако имате нужда от първото И второто събитие, тогава умножете.
2. Ако имате нужда от първото ИЛИ второто събитие, добавете го.
Вероятностни проблеми и решения
Задача 1.Сред естествените числа от 23 до 37 произволно се избира едно число. Намерете вероятността то да не се дели на 5.
Решение:
Вероятността е съотношението на благоприятните опции към общия им брой.
В този интервал има общо 15 числа. От тях само 3 се дели на 5, което означава, че 12 не се дели.
Вероятност тогава: 
Отговор: 0,8.
Задача 2.Двама ученици от класа са избрани на случаен принцип да бъдат дежурни в кафенето. Каква е вероятността две момчета да бъдат дежурни, ако в класа има 7 момчета и 8 момичета?
Решение:Вероятността е съотношението на благоприятните опции към общия им брой. В класа има 7 момчета, това са благоприятни варианти. А учениците са само 15.
Вероятността първото дежурно момче да е:
Вероятността второто дежурно момче да е:
Тъй като и двамата трябва да са момчета, нека умножим вероятностите:
Отговор: 0,2.
Задача 3.На борда на самолета има 12 места до аварийните изходи и 18 места зад преградите, разделящи кабините. Останалите седалки са неудобни за високи пътници. Пътникът В. е висок. Намерете вероятността, че при чекиране, ако произволно е избрано място, пътник B ще получи удобно място, ако в самолета има общо 300 места.
Решение:Пътник Б разполага с 30 удобни места (12 + 18 = 30), а в самолета има общо 300 места. Следователно вероятността пътник Б да получи удобна седалка е 30/300, т.е. 0,1.
Задача 4.В колекцията от билети по математика има само 25 билета, като 10 от тях съдържат въпрос за неравенства.
Намерете вероятността ученик да не получи въпрос за неравенства в произволно избран билет за изпит.
Решение:От 25 билета 15 не съдържат въпрос за неравенствата, така че вероятността студентът да не получи въпрос за неравенства в произволно избран изпитен билет е 15/25, т.е. 0,6.
Проблем 5. В колекцията от билети по химия има само 35 билета, 7 от тях съдържат въпрос за киселини.
Намерете вероятността студент да не получи въпрос за киселините в произволно избран билет за изпит.
Решение:От 35 билета, 28 не съдържат въпрос за киселини, така че вероятността студентът да не получи въпрос за киселините на случайно избран изпитен билет е 28/35, т.е. 0,8.
Задача 6.Средно от 500 продадени градински помпи, 2 текат. Намерете вероятността една произволно избрана за контрол помпа да не изтече.
Решение:Ако 2 от 500 помпи изтекат, тогава 498 не изтичат. Следователно вероятността за избор на добра помпа е 498/500, т.е. 0,996.
Задача 7.Вероятността нова прахосмукачка да бъде ремонтирана в гаранция в рамките на една година е 0,065. В даден град от 1000 прахосмукачки, продадени през годината, 70 броя са получени от гаранционния сервиз.
Колко различна е честотата на събитието „гаранционен ремонт“ от неговата вероятност в този град?
Решение:Честотата на събитието „гаранционен ремонт” е 70/1000, т.е. 0,07. Тя се различава от прогнозираната вероятност с 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).
Задача 8.В първенството по гимнастика участват 50 състезатели: 18 от Русия, 14 от Украйна, останалите от Беларус. Редът на представяне на гимнастичките се определя чрез жребий.
Намерете вероятността първият състезател да е от Беларус.
Решение:В шампионата участват общо 50 участници и 18 състезатели от Беларус (50 – 18 – 14 = 18).
Вероятността спортист от Беларус да се състезава първи е 18 от 50, т.е. 18/50 или 0,36.
Задача 9.Научната конференция се провежда в рамките на 5 дни. Предвидени са общо 80 отчета - първите три дни са с по 12 отчета, останалите са разпределени поравно между четвъртия и петия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий.
Каква е вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията?
Решение:През първите три дни ще бъдат прочетени 36 доклада (12 ∙ 3 = 36), 44 доклада са планирани за последните два дни. Следователно за последния ден са планирани 22 доклада (44: 2 = 22). Това означава, че вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията е 22/80, т.е. 0,275.
Проблем 10.
Преди началото на първия кръг от шампионата по шах, участниците се разделят на случаен принцип по двойки чрез жребий. Общо 26 шахматисти участват в първенството, включително 14 участници от Русия, включително Егор Косов.
Намерете вероятността в първия кръг Егор Косов да играе с някой шахматист от Русия?
Решение:В първия кръг Егор Косов може да играе с 25 шахматисти (26 – 1 = 25), от които 13 са от Русия. Това означава, че вероятността в първия кръг Егор Косов да играе с който и да е шахматист от Русия е 13/25, или 0,52.
Проблем 11.
В световното първенство участват 16 отбора. Използвайки жребий, те трябва да бъдат разделени на четири групи от по четири отбора всяка. Кутията съдържа смесени карти с номера на групи: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаните на отбори теглят по една карта. Каква е вероятността руският отбор да попадне във втора група?
Решение:Вероятността руският отбор да попадне във втора група е равна на съотношението на броя на картите с номер 2 към общия брой карти, т.е. 4/16, или 0,25.
Проблем 12.Туристическата група е 5 човека. Използвайки жребий, те избират двама души, които трябва да отидат до селото, за да купят храна. Туристът А. иска да отиде до магазина, но се подчинява на жребия. Каква е вероятността А. да отиде до магазина?
Решение:Избират двама туристи от пет. Следователно вероятността да бъдете избран е 2/5, т.е. 0,4.
Проблем 13.В групата туристи има 30 души. Те се спускат с хеликоптер в труднодостъпна зона на няколко етапа по 6 души на полет. Редът, в който хеликоптерът превозва туристите, е произволен. Намерете вероятността туристът П. да предприеме първия полет с хеликоптер.
Решение:На първия полет има 6 места, общо 30. Тогава вероятността турист да лети с първия полет на хеликоптер е 6/30 или 0,2.
Проблем 14.Каква е вероятността произволно избрано естествено число от 10 до 19 да се дели на три?
Решение: Естествени числаот 10 до 19 десет, от които три числа се делят на 3: 12, 15 и 18. Следователно желаната вероятност е 3/10, т.е. 0,3.
Вероятност за множество събития
Задача 1.Преди началото на волейболния мач капитаните на отбори теглят честно жребий, за да определят кой отбор ще започне играта с топката. Отборът „Стартер” се редува да играе с отборите „Ротор”, „Мотор” и „Стратор”. Намерете вероятността Стартерът да започне само втората игра.
Решение:
Доволни сме от следната опция: „Статор“ не стартира първата игра, стартира втората игра и не стартира третата игра. Вероятността за такова развитие на събитията е равна на произведението на вероятностите за всяко от тези събития. Вероятността за всяко от тях е 0,5, следователно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Задача 2.За да премине към следващия кръг на състезанието, футболният отбор трябва да спечели поне 4 точки в два мача. При победа отборът получава 3 точки, при равенство 1 точка, а при загуба 0 точки. Намерете вероятността отборът да премине към следващия кръг на състезанието. Помислете, че във всяка игра вероятностите за победа и загуба са еднакви и равни на 0,4.
Решение:
Тип въпрос: комбинация от събития.
Вероятността за възникване на която и да е от тези 3 опции е равна на сбора от вероятностите за всяка опция: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Задача 3.В класа има 21 души. Сред тях са две приятелки: Аня и Нина. Класът е разделен на случаен принцип в 7 групи, по 3 души във всяка. Намерете вероятността Аня и Нина да бъдат в една и съща група.
Решение:
Тип въпрос: намаляване на групата.
Вероятността Аня да попадне в една от групите е 1. Вероятността Нина да попадне в същата група е 2 от 20 (остават 2 места в групата и остават 20 души). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Задача 4.Петя имаше в джоба си 4 рубли и 2 по две рубли. Петя, без да гледа, прехвърли 3 монети в друг джоб. Намерете вероятността и двете монети от две рубли да са в един и същи джоб.
Решение:
Метод №1
Тип задача: намаляване на групата.
Нека си представим, че шест монети са разделени на две групи от по три монети. Вероятността първата монета от една рубла да попадне в един от джобовете (групите) = 1.
Вероятността две монети от две рубли да попаднат в един и същи джоб = броя на оставащите места в този джоб/броя оставащи места в двата джоба = 2/5 = 0,4.
Метод № 2
Тип въпрос: комбинация от събития.
Задачата се изпълнява по няколко начина:
Ако Петя прехвърли три от четирите монети рубли в друг джоб (но не прехвърли монетите от две рубли) или ако прехвърли и двете монети от две рубли и една монета рубла в друг джоб по един от трите начина: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можете да изобразите това на диаграмата (Петя го поставя в джоб 2, така че ще изчислим вероятностите в колоната „джоб 2“):
Проблем 5. В джоба на Петя имаше 2 монети по 5 рубли и 4 монети по 10 рубли. Петя, без да гледа, прехвърли 3 монети в друг джоб. Намерете вероятността монетите от пет рубли да са в различни джобове.
Решение:
Тип задача: намаляване на групата.
Метод №1
Нека си представим, че шест монети са разделени на две групи от по три монети. Вероятността първата монета от две рубли да попадне в един от джобовете (групите) = 1. Вероятността втората монета да попадне в другия джоб = броя на оставащите места в другия / по броя на оставащите места в двата джоба = 3/5 = 0,6.
Метод № 2
Тип въпрос: комбинация от събития.
Задачата се изпълнява по няколко начина:
За да попаднат монетите от пет рубли в различни джобове, Петя трябва да извади от джоба си една монета от пет рубли и две монети от десет рубли. Това може да стане по три начина: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можете да изобразите това на диаграмата (Петя го поставя в джоб 2, така че ще изчислим вероятностите в колоната „джоб 2“):
Вероятността за възникване на която и да е от тези 4 опции е равна на сумата от вероятностите на всяка от опциите: 
Задача 6.При произволен експеримент симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността да получите глави точно два пъти.
Решение:Тип въпрос: намиране на желаните и действителните \ комбиниране на събития Доволни сме от три опции:
Глави - опашки - глави;
Орел - орел - опашки;
Опашки - глави - глави;
Вероятността за всеки случай е 1/2, а за всяка опция е 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Ще се задоволим с първия, втория или третия вариант. Следователно събираме техните вероятности и получаваме 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т.е. 0,375.
Задача 7.Ако гросмайстор А. играе с бели, тогава той печели срещу гросмайстор Б. с вероятност 0,5. Ако A. играе черно, тогава A. печели срещу B. с вероятност 0,34. Гросмайсторите А. и Б. играят две игри, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността A. да спечели и двата пъти.
Решение:
Тип въпрос: комбинация от събития.
Във всеки случай А. ще играе и с бели, и с черни, така че се задоволяваме с опцията, когато гросмайстор А. печели, играейки с бели (вероятност - 0,5) и също играейки с черни (вероятност - 0,34). Следователно трябва да умножим вероятностите за тези две събития: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Задача 8.Вероятността батерията да е дефектна е 0,02. Купувач в магазин избира случаен пакет, съдържащ две от тези батерии. Намерете вероятността и двете батерии да са добри.
Решение:
Тип въпрос: комбинация от събития.
Вероятността батерията да е добра е 0,98. Купувачът трябва както първата, така и втората батерия да са в добро работно състояние: 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Задача 9.На рок фестивала участват групи - по една от всяка от обявените държави. Редът на изпълнение се определя чрез жребий. Каква е вероятността група от САЩ да се представи след група от Канада и след група от Китай? Закръглете резултата до стотни.
Решение:
Тип въпрос: комбинация от събития.
Общият брой на групите, които участват във фестивала, не е важен за отговор на въпроса. Колкото и да са, има 6 начина за тези държави относителна позициясред лекторите (KIT - Китай, CAN = Канада):
... САЩ, КАН, КИТ ...
...САЩ, КИТ, КАН...
... КОМПЛЕКТ, САЩ, CAN ...
... CAN, САЩ, KIT ...
... KAN, KIT, САЩ ...
...KIT, CAN, САЩ...
САЩ са зад Китай и Канада в последните два случая. Следователно вероятността групите да бъдат произволно разпределени по този начин е равна на:
Допълнителна вероятност
Задача 1.
Автоматична линия произвежда батерии. Вероятността завършената батерия да е дефектна е 0,02. Преди опаковането всяка батерия преминава през контролна система. Вероятността системата да отхвърли дефектна батерия е 0,97. Вероятността системата по погрешка да отхвърли работеща батерия е 0,05.
Намерете вероятността произволно избрана батерия да бъде отхвърлена.
Решение:
Има 2 варианта, които ни подхождат:
Вариант А: батерията е отхвърлена, повредена е;
Вариант Б: батерията е дефектна, работи.
Вероятност за вариант А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Вероятност за вариант Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Ще се задоволим с първия или втория вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Задача 2.Две фабрики произвеждат еднакви стъкла за автомобилни фарове. Първата фабрика произвежда 60% от тези очила, втората - 40%. Първата фабрика произвежда 3% дефектно стъкло, а втората - 5%. Намерете вероятността стъклото, закупено случайно в магазин, да бъде дефектно.
Решение:
Вероятността стъклото да е закупено в първата фабрика и да е дефектно: 0,6 · 0,03 = 0,018.
Вероятността стъклото да е закупено от втора фабрика и да е дефектно: 0,4 · 0,05 = 0,02.
Вероятността стъклото, закупено случайно в магазин, да бъде дефектно, е 0,018 + 0,02 = 0,038.
Задача 3.Във фабрика за керамични съдове 10% от произведените чинии са дефектни. По време на контрола на качеството на продукта се идентифицират 80% от дефектните плочи. Останалите плочи се продават. Намерете вероятността произволно избрана при покупка чиния да няма дефекти. Закръглете резултата до най-близката хиляда.
Решение:
Да предположим, че първоначално имаме x чинии (в края на краищата ние постоянно се занимаваме с проценти, така че нищо не ни пречи да работим с конкретни стойности).
След това 0.1x са дефектни чинии, а 0.9x са нормални чинии, които веднага ще пристигнат в магазина. От дефектните 80% се отстраняват, тоест 0,08x и остават 0,02x, които също ще отидат в магазина. Така общият брой чинии на рафтовете в магазина ще бъде: 0,9x + 0,02x = 0,92x. От тях 0,9x ще бъде нормално. Съответно, според формулата, вероятността ще бъде 0,9x/0,92x ≈ 0,978.
Задача 4.Въз основа на отзивите на клиентите Игор Игоревич оцени надеждността на двата онлайн магазина. Вероятността желаният продукт да бъде доставен от магазин А е 0,91. Вероятността този продукт да бъде доставен от магазин B е 0,89. Игор Игоревич поръча стоки от двата магазина наведнъж. Ако приемем, че онлайн магазините работят независимо един от друг, намерете вероятността никой магазин да не достави продукта.
Решение.Вероятността първият магазин да не достави стоката е 1 − 0,91 = 0,09. Вероятността вторият магазин да не достави стоката е 1 − 0,89 = 0,11. Вероятността тези две събития да се случат едновременно е равна на произведението на вероятностите за всяко от тях: 0,09 · 0,11 = 0,0099.
Задача 5.При производство на лагери с диаметър 70 mm, вероятността диаметърът да се различава от зададения с по-малко от 0,01 mm е 0,961. Намерете вероятността произволен лагер да има диаметър по-малък от 69,99 mm или по-голям от 70,01 mm.
Решение:Дадена ни е вероятността за събитие, при което диаметърът ще бъде между 69,99 mm и 70,01 mm, и е равна на 0,961. Можем да намерим вероятността за всички други опции, като използваме принципа на допълнителната вероятност: 1 − 0,961 = 0,039.
Задача 6.Вероятността ученикът да реши правилно повече от 9 задачи на тест по история е 0,68. Вероятността за правилно решаване на повече от 8 задачи е 0,78. Намерете вероятността точно 9 задачи да бъдат решени правилно.
Решение:Вероятността Т. да реши правилно повече от 8 задачи включва вероятността да се решат точно 9 задачи. В същото време събития, в които О. решава повече от 9 задачи, не са подходящи за нас. Следователно, като извадим от вероятността за решаване на повече от 9 задачи вероятността за решаване на повече от 8 задачи, ще намерим вероятността за решаване само на 9 задачи: 0,78 – 0,68 = 0,1.
Задача 7.Ежедневно има автобусен транспорт от областния център до селото. Вероятността да има по-малко от 21 пътника в автобуса в понеделник е 0,88. Вероятността да има по-малко от 12 пътника е 0,66. Намерете вероятността броят на пътниците да бъде от 12 до 20.
Решение.Вероятността един автобус да има по-малко от 21 пътници включва вероятността той да има между 12 и 20 пътници. В същото време събития, в които ще има по-малко от 12 пътници, не са подходящи за нас. Следователно, като извадим втората вероятност (по-малко от 12) от първата вероятност (по-малко от 21), намираме вероятността да има от 12 до 20 пътника: 0,88 – 0,66 = 0,22.
Задача 8.Във Вълшебната страна има два вида време: добро и отлично, като времето, веднъж установено сутрин, остава непроменено през целия ден. Известно е, че с вероятност 0,9 времето утре ще бъде същото като днес. На 10 април времето в Magic Land е хубаво. Намерете вероятността времето да е страхотно в Страната на приказките на 13 април.
Решение:
Задачата се изпълнява в няколко варианта (“X” - добро време, “O” - отлично време):
Вероятността за възникване на която и да е от тези 4 опции е равна на сумата от вероятностите за всяка опция: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Задача 9.Във Вълшебната страна има два вида време: добро и отлично, като времето, веднъж установено сутрин, остава непроменено през целия ден. Известно е, че с вероятност 0,8 времето утре ще бъде същото като днес. Днес е 3 юли, времето във Вълшебната страна е хубаво. Намерете вероятността времето да е страхотно в Страната на приказките на 6 юли.
Решение:
Задачата се изпълнява в няколко варианта (“X” - добро време, “O” - отлично време):
Вероятността за възникване на която и да е от тези 4 опции е равна на сумата от вероятностите за всяка опция: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.
