Уравнение на формата f(х; а) = 0 се извиква уравнение с променлива хи параметър А.
Решете уравнение с параметър А– това означава за всяка стойност Анамери ценности х, удовлетворяващи това уравнение.
Пример 1. о= 0
Пример 2. о = А
Пример 3.
х + 2 = ах
x – ah = -2
x(1 – a) = -2
Ако 1 – А= 0, т.е. А= 1, тогава х 0 = -2 без корени
Ако 1 – А 0, т.е. А 1, тогава х =
Пример 4.
(А 2 – 1) х = 2А 2 + А – 3
(А – 1)(А + 1)х = 2(А – 1)(А – 1,5)
(А – 1)(А + 1)х = (1А – 3)(А – 1)
Ако А= 1, след това 0 х = 0
х– всякакви реално число
Ако А= -1, след това 0 х = -2
без корени
Ако А 1, А-1 тогава х= (единственото решение).
Това означава, че за всяка валидна стойност Асъответства на една единствена стойност х.
Например:
Ако А= 5, тогава х = = ;
Ако А= 0, тогава х= 3 и т.н.
Дидактически материал
1. о = х + 3
2. 4 + о = 3х – 1
3. А = +
при А= 1 без корени.
при А= 3 без корени.
при А = 1 х– всяко реално число, с изключение на х = 1
при А = -1, А= 0 няма решения.
при А = 0, А= 2 няма решения.
при А = -3, А = 0, 5, А= -2 няма решения
при А = -с, с= 0 няма решения.
Квадратни уравнения с параметър
Пример 1.Решете уравнението
(А – 1)х 2 = 2(2А + 1)х + 4А + 3 = 0
При А = 1 6х + 7 = 0
Кога А 1, ние подчертаваме тези стойности на параметрите, при които дотива на нула.
D = (2(2 А + 1)) 2 – 4(А – 1)(4А + 30 = 16А 2 + 16А + 4 – 4(4А 2 + 3А – 4А – 3) = 16А 2 + 16А + 4 – 16А 2 + 4А + 12 = 20А + 16
20А + 16 = 0
20А = -16
Ако А < -4/5, то д < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ако А> -4/5 и А 1, тогава д > 0,
х = 
Ако А= 4/5, тогава д = 0,
Пример 2.При какви стойности на параметъра a прави уравнението
x 2 + 2( А + 1)х + 9А– 5 = 0 има 2 различни отрицателни корена?
D = 4( А + 1) 2 – 4(9А – 5) = 4А 2 – 28А + 24 = 4(А – 1)(А – 6)
4(А – 1)(А – 6) > 0
през т. Vieta: х 1 + х 2 = -2(А + 1)
х 1 х 2 = 9А – 5
По условие х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(А + 1) < 0 и 9А – 5 > 0
| В крайна сметка | 4(А – 1)(А – 6) > 0 - 2(А + 1) < 0 9А – 5 > 0 |
А < 1: а > 6 А > - 1 А > 5/9 |
 (Ориз. 1) < а < 1, либо а > 6 |
Пример 3.Намерете стойностите А, за което това уравнение има решение.
x 2 – 2( А – 1)х + 2А + 1 = 0
D = 4( А – 1) 2 – 4(2А + 10 = 4А 2 – 8А + 4 – 8А – 4 = 4А 2 – 16А
4А 2 – 16 0
4А(А – 4) 0
A( А – 4)) 0
A( А – 4) = 0
а = 0 или А – 4 = 0
А = 4
(Ориз. 2)
Отговор: А 0 и А 4
Дидактически материал
1. На каква стойност Ауравнението о 2 – (А + 1) х + 2А– 1 = 0 има един корен?
2. На каква стойност Ауравнението ( А + 2) х 2 + 2(А + 2)х+ 2 = 0 има един корен?
3. За какви стойности на a е уравнението ( А 2 – 6А + 8) х 2 + (А 2 – 4) х + (10 – 3А – А 2) = 0 има повече от два корена?
4. За какви стойности на a, уравнение 2 х 2 + х – А= 0 има поне един общ корен с уравнение 2 х 2 – 7х + 6 = 0?
5. За какви стойности на уравнението х 2 +о+ 1 = 0 и х 2 + х + А= 0 имат поне един общ корен?
1. Кога А = - 1/7, А = 0, А = 1
2. Кога А = 0
3. Кога А = 2
4. Кога А = 10
5. Кога А = - 2
Експоненциални уравнения с параметър
Пример 1.Намерете всички стойности А, за което уравнението
9 x – ( А+ 2)*3 x-1/x +2 А*3 -2/x = 0 (1) има точно два корена.
Решение. Умножавайки двете страни на уравнение (1) по 3 2/x, получаваме еквивалентното уравнение
3 2(x+1/x) – ( А+ 2)*3 x+1/x + 2 А = 0 (2)
Нека 3 x+1/x = при, тогава уравнение (2) ще приеме формата при 2 – (А + 2)при + 2А= 0, или
(при – 2)(при – А) = 0, откъдето при 1 =2, при 2 = А.
Ако при= 2, т.е. 3 x+1/x = 2 тогава х + 1/х= log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.
Това уравнение няма реални корени, тъй като д= log 2 3 2 – 4< 0.
Ако при = А, т.е. 3 x+1/x = АЧе х + 1/х= дневник 3 А, или х 2 –х log 3 a + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) има точно два корена тогава и само ако
D = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 a| > 2.
Ако log 3 a > 2, тогава А> 9 и ако log 3 a< -2, то 0 < А < 1/9.
Отговор: 0< А < 1/9, А > 9.
Пример 2. При какви стойности на a е уравнението 2 2x – ( А - 3) 2 х – 3 А= 0 има решения?
За да дадено уравнениеима решения, е необходимо и достатъчно уравнението T 2 – (а – 3) T – 3а= 0 имаше поне един положителен корен. Нека намерим корените, използвайки теоремата на Vieta: х 1 = -3, х 2 = А = >
а е положително число.
Отговор: кога А > 0
Дидактически материал
1. Намерете всички стойности на a, за които уравнението
25 x – (2 А+ 5)*5 x-1/x + 10 А* 5 -2/x = 0 има точно 2 решения.
2. За какви стойности на a е уравнението
2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 има един корен?
3. При какви стойности на параметъра a прави уравнението
4 x - (5 А-3) 2 х +4 А 2 – 3А= 0 има уникално решение?
Логаритмични уравнения с параметър
Пример 1.Намерете всички стойности А, за което уравнението
лог 4x (1 + о) = 1/2 (1)
има уникално решение.
Решение. Уравнение (1) е еквивалентно на уравнение
1 + о = 2хпри х > 0, х 1/4 (3)
х = при
ай 2 – при + 1 = 0 (4)
Условие (2) от (3) не е изпълнено.
Позволявам А 0, тогава AU 2 – 2при+ 1 = 0 има реални корени тогава и само тогава д = 4 – 4А 0, т.е. при А 1. За да решим неравенство (3), нека начертаем функциите Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И.Задълбочено изучаване на курса по алгебра и математически анализ. – М.: Образование, 1990
ДА СЕ задачи с параметърможе да включва например търсене на решения за линейни и квадратни уравнения V общ изглед, изследване на уравнението за броя на наличните корени в зависимост от стойността на параметъра.
Без да давате подробни определения, разгледайте следните уравнения като примери:
y = kx, където x, y са променливи, k е параметър;
y = kx + b, където x, y са променливи, k и b са параметри;
ax 2 + bx + c = 0, където x са променливи, a, b и c са параметър.
Решаването на уравнение (неравенство, система) с параметър означава, като правило, решаване на безкраен набор от уравнения (неравенства, системи).
Задачите с параметър могат да бъдат разделени на два типа:
а)условието казва: решете уравнението (неравенство, система) - това означава, че за всички стойности на параметъра, намерете всички решения. Ако поне един случай остане неразследван, такова решение не може да се счита за задоволително.
б)изисква се да се посочат възможните стойности на параметъра, при които уравнението (неравенство, система) има определени свойства. Например има едно решение, няма решения, има решения, принадлежащи на интервала и т.н. В такива задачи е необходимо ясно да се посочи при каква стойност на параметъра е изпълнено изискваното условие.
Параметърът, като неизвестно фиксирано число, има някаква специална двойственост. На първо място, трябва да се има предвид, че предполагаемата популярност показва, че параметърът трябва да се възприема като число. Второ, свободата за манипулиране на параметъра е ограничена от неговата неизвестност. Например операции за деление на израз, който съдържа параметър или извличане на корена дори степенот такъв израз изискват предварително проучване. Следователно е необходимо внимание при работа с параметъра.
Например, за да сравните две числа -6a и 3a, трябва да разгледате три случая:
1) -6a ще бъде по-голямо от 3a, ако a е отрицателно число;
2) -6a = 3a в случай, когато a = 0;
3) -6a ще бъде по-малко от 3a, ако a е положително число 0.
Решението ще бъде отговорът.
Нека е дадено уравнението kx = b. Това уравнение е кратка форма за безкраен брой уравнения с една променлива.
При решаването на такива уравнения може да има случаи:
1. Нека k е всяко реално число, което не е равно на нула и b е произволно число от R, тогава x = b/k.
2. Нека k = 0 и b ≠ 0, първоначалното уравнение ще приеме формата 0 x = b. Очевидно това уравнение няма решения.
3. Нека k и b са числа, равно на нула, тогава имаме равенството 0 x = 0. Решението му е всяко реално число.
Алгоритъм за решаване на този тип уравнение:
1. Определете „контролните“ стойности на параметъра.
2. Решете първоначалното уравнение за x за стойностите на параметрите, които са определени в първия параграф.
3. Решете първоначалното уравнение за x за стойности на параметри, различни от тези, избрани в първия параграф.
4. Можете да напишете отговора в следната форма:
1) за ... (стойности на параметри), уравнението има корени ...;
2) за ... (стойности на параметър), в уравнението няма корени.
Пример 1.
Решете уравнението с параметъра |6 – x| = а.
Решение.
Лесно се вижда, че a ≥ 0 тук.
Съгласно правилото на модул 6 – x = ±a, изразяваме x:
Отговор: x = 6 ± a, където a ≥ 0.
Пример 2.
Решете уравнението a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 по отношение на променливата x.
Решение.
Нека отворим скобите: aх – а + 2х – 2 = 0
Нека напишем уравнението в стандартна форма: x(a + 2) = a + 2.
Ако изразът a + 2 не е нула, т.е. ако a ≠ -2, имаме решението x = (a + 2) / (a + 2), т.е. х = 1.
Ако a + 2 е равно на нула, т.е. a = -2, тогава имаме истинско равенство 0 x = 0, така че x е всяко реално число.
Отговор: x = 1 за a ≠ -2 и x € R за a = -2.
Пример 3.
Решете уравнението x/a + 1 = a + x по отношение на променливата x.
Решение.
Ако a = 0, тогава преобразуваме уравнението във формата a + x = a 2 + ax или (a – 1)x = -a(a – 1). Последното уравнение за a = 1 има формата 0 x = 0, следователно x е произволно число.
Ако a ≠ 1, тогава последното уравнение ще приеме формата x = -a.
Това решение може да се илюстрира на координатната линия (Фиг. 1)
Отговор: няма решения за a = 0; x – всяко число с a = 1; x = -a за a ≠ 0 и a ≠ 1.
Графичен метод
Нека разгледаме друг начин за решаване на уравнения с параметър - графично. Този метод се използва доста често.
Пример 4.
В зависимост от параметъра a колко корена има уравнението ||x| – 2| = а?
Решение.
За да решим с помощта на графичния метод, изграждаме графики на функциите y = ||x| – 2| и y = a (фиг. 2).
Чертежът ясно показва възможните случаи на местоположението на правата линия y = a и броя на корените във всяка от тях.
Отговор: уравнението няма да има корени, ако a< 0; два корня будет в случае, если a >2 и а = 0; уравнението ще има три корена в случай на a = 2; четири корена - при 0< a < 2.
Пример 5.
При какво е уравнението 2|x| + |x – 1| = a има един корен?
Решение.
Нека изобразим графиките на функциите y = 2|x| + |x – 1| и y = a. За y = 2|x| + |x – 1|, разширявайки модулите по интервалния метод, получаваме:
(-3x + 1, при x< 0,
y = (x + 1, за 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, за x > 1.
На Фигура 3Ясно се вижда, че уравнението ще има един корен само когато a = 1.
Отговор: a = 1.
Пример 6.
Определете броя на решенията на уравнението |x + 1| + |x + 2| = a в зависимост от параметъра a?
Решение.
Графика на функцията y = |x + 1| + |x + 2| ще бъде прекъсната линия. Неговите върхове ще бъдат разположени в точки (-2; 1) и (-1; 1) (Фигура 4).
Отговор: ако параметърът a е по-малък от единица, тогава уравнението няма да има корени; ако a = 1, тогава решението на уравнението е безкраен набор от числа от сегмента [-2; -1]; ако стойностите на параметър a са по-големи от едно, тогава уравнението ще има два корена.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате уравнения с параметър?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
IN последните годиниНа приемните изпити и на окончателното тестване под формата на Единен държавен изпит се предлагат задачи с параметри. Тези задачи позволяват да се диагностицира нивото на математически и, най-важното, логично мисленекандидати, способност за извършване на изследователска дейност, както и просто познаване на основните раздели училищен курсматематика.
Гледката на параметър като равна променлива се отразява в графичните методи. Всъщност, тъй като параметърът е „равен по права“ на променливата, тогава, естествено, той може да бъде „разпределен“ към собствената си координатна ос. Така възниква координатна равнина. Отказът от традиционния избор на букви за обозначаване на осите определя един от най-ефективните методи за решаване на проблеми с параметри - „метод на площта“. Наред с други методи, използвани при решаване на проблеми с параметри, запознавам моите ученици с графични техники, като обръщам внимание на това как да разпознават „такива“ проблеми и как изглежда процесът на решаване на задача.
Повечето общи признаци, което ще ви помогне да разпознаете задачи, подходящи за разглеждания метод:
Проблем 1. „За какви стойности на параметъра неравенството е валидно за всички?“
Решение. 1).
Нека разширим модулите, като вземем предвид знака на подмодулния израз: 
2). Нека запишем всички системи от получени неравенства:
а) 
б) 
V) 
G) 
3). Нека покажем множеството точки, удовлетворяващи всяка система от неравенства (фиг. 1а).
4). Комбинирайки всички области, показани на фигурата, със засенчване, можете да видите, че неравенството не е удовлетворено от точките, разположени вътре в параболите.
Фигурата показва, че за всяка стойност на параметъра е възможно да се намери област, където има точки, чиито координати удовлетворяват първоначалното неравенство. Неравенството е валидно за всички, ако . Отговор: при.
Разглежданият пример е „отворен проблем“ - можете да разгледате решението на цял клас проблеми, без да променяте израза, разглеждан в примера 
, в който вече са преодолени техническите трудности при начертаването на графики.
Задача. За какви стойности на параметъра уравнението няма решения? Отговор: при.
Задача. За какви стойности на параметъра уравнението има две решения? Запишете и двете намерени решения.
Отговор: тогава 
, 
;
Тогава 
; , Тогава 
, .
Задача. За какви стойности на параметъра уравнението има един корен? Намерете този корен. Отговор: кога кога.
Задача. Решете неравенството.
(„Точките, разположени вътре в параболите, работят“).
, ; , няма решения;
Задача 2. Намерете всички стойности на параметъра А, за всяко от които системата от неравенства 
образува отсечка с дължина 1 на числовата ос.
Решение. Нека пренапишем оригиналната система в тази форма 
Всички решения на тази система (двойки от формата ) образуват определена област, ограничена от параболи 
И 
(Фигура 1).
Очевидно решението на системата от неравенства ще бъде сегмент с дължина 1 при и при . Отговор: ; .
Задача 3. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството 
съдържа числото , а също така съдържа две отсечки с дължина , които нямат общи точки.
Решение. Според значението на неравенството; Нека пренапишем неравенството, като умножим двете страни по (), получаваме неравенството:
, ,
(1)
Неравенство (1) е еквивалентно на комбинацията от две системи:
(фиг. 2).
Очевидно интервалът не може да съдържа сегмент с дължина . Това означава, че в интервала се съдържат две непресичащи се отсечки с дължина.Това е възможно при , т.е. при . Отговор: .
Задача 4. Намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които има много решения на неравенството 
съдържа сегмент с дължина 4 и се съдържа в някакъв сегмент с дължина 7.
Решение. Нека извършим еквивалентни трансформации, като вземем предвид, че и .
, ,
; последното неравенство е еквивалентно на комбинацията от две системи:
Нека покажем областите, които съответстват на тези системи (фиг. 3).
1) Когато набор от решения е интервал с дължина по-малка от 4. Когато набор от решения е обединение на два интервала. Само интервал може да съдържа сегмент с дължина 4. Но тогава , и съюзът вече не се съдържа в нито един сегмент с дължина 7. Това означава, че те не отговарят на условието.
2) множеството от решения е интервал. Той съдържа отсечка с дължина 4 само ако дължината му е по-голяма от 4, т.е. при . Той се съдържа в сегмент с дължина 7 само ако дължината му не е по-голяма от 7, т.е. за , тогава . Отговор: .
Задача 5. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството 
съдържа числото 4 и също така съдържа две несвързани отсечки с дължина 4 всяка.
Решение. Според условията. Нека умножим двете страни на неравенството по (). Получаваме еквивалентно неравенство, в което групираме всички членове от лявата страна и го трансформираме в произведение:
, ,
, 
.
От последното неравенство следва:
1) 
2)
Нека покажем областите, които съответстват на тези системи (фиг. 4).
а) При получаваме интервал, който не съдържа числото 4. При получаваме интервал, който също не съдържа числото 4.
б) При получаваме обединението на два интервала. Непресичащите се сегменти с дължина 4 могат да бъдат разположени само в интервала . Това е възможно само ако дължината на интервала е по-голяма от 8, т.е. С тях е изпълнено и друго условие: . Отговор: .
Задача 6. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството 
съдържа някакъв сегмент с дължина 2, но не съдържа
няма сегмент с дължина 3.
Решение. Според смисъла на заданието умножаваме двете страни на неравенството по , групираме всички членове от лявата страна на неравенството и го трансформираме в произведение:
, 
. От последното неравенство следва:
1) 
2) 
Нека покажем областта, която съответства на първата система (фиг. 5).
Очевидно условието на задачата е изпълнено, ако 
. Отговор: .
Задача 7. Намерете всички стойности на параметъра, за които множеството от решения на неравенството 1+ 
се съдържа в някакъв сегмент с дължина 1 и в същото време съдържа някакъв сегмент с дължина 0,5.
Решение. 1). Нека посочим ODZ на променливата и параметъра: 
2). Нека пренапишем неравенството във формата
, 
,
(1). Неравенство (1) е еквивалентно на комбинацията от две системи:
1) 
2) 
Като се има предвид ODZ, системните решения изглеждат така:
а) 
б) 
(фиг. 6).
а) 
б)
Нека покажем региона, съответстващ на система a) (фиг. 7).Отговор: .
Задача 8. Шест числа образуват нарастваща аритметична прогресия. Първият, вторият и четвъртият член на тази прогресия са решения на неравенството 
, и останалото
не са решения на това неравенство. Намерете множеството от всички възможни стойности на първия член на такива прогресии.
Решение. I. Намерете всички решения на неравенството
А). ODZ: 
, т.е.
(взехме предвид в решението, че функцията нараства с ).
б). Неравнопоставеност в здравето на децата 
равносилно на неравенство 
, т.е. 
, Какво дава:
1). 
2). 
Очевидно решението на неравенството обслужва много значения 
.
II. Нека илюстрираме втората част от задачата за условията на нарастваща аритметична прогресия с фигурата ( ориз. 8 , където е първият член, е вторият и т.н.). Забележи това:
Или имаме система от линейни неравенства:
Нека го решим графично. Изграждаме прави линии и , както и прави линии
Тогава, .. Първият, вторият и шестият член на тази прогресия са решения на неравенството 
, а останалите не са решения на това неравенство. Намерете множеството от всички възможни стойности на разликата на тази прогресия.
