Напишете уравнението на равнината, минаваща през точката. Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка перпендикулярно на дадена права. Разстояние до равнина от точка

В тази статия ще говорим за това как да съставим уравнението на равнина, преминаваща през тази точкатриизмерно пространство, перпендикулярно на дадена линия. Първо ще анализираме принципа за намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права, след което ще анализираме подробно решенията типични примерии задачи.

Навигация в страницата.

Намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка в пространството перпендикулярно на дадена права.

Нека си поставим следната задача.

Нека Oxyz е фиксирано в триизмерното пространство, дадени са точка и права линия a и се изисква да се напише уравнението на равнина, минаваща през точка M 1 перпендикулярна на правата линия a.

Първо, нека си припомним един важен факт.

В уроците по геометрия в гимназиятеоремата е доказана: през дадена точка в тримерното пространство минава една равнина, перпендикулярна на дадена права (доказателството на тази теорема можете да намерите в учебника по геометрия за 10-11 клас, посочен в списъка с литература на края на статията).

Сега ще покажем как да намерим уравнението на тази единична равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия.

В постановката на задачата са ни дадени координатите x 1, y 1, z 1 на точката M 1, през която минава равнината. След това, ако намерим координатите на нормалния вектор на равнината, тогава можем да построим търсеното уравнение на равнината, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права.

Примери за съставяне на уравнение на равнина, минаваща през дадена точка перпендикулярно на дадена права.

Нека разгледаме решенията на няколко примера, в които е намерено уравнението на равнина, минаваща през дадена точка в пространството перпендикулярно на дадена права.

Пример.

Напишете уравнението на равнината, която минава през точката и е перпендикулярна на координатната права Oz.

Решение.

Насочващият вектор на координатната линия Oz очевидно е координатният вектор. Тогава нормалният вектор на равнината, чието уравнение трябва да съставим, има координати . Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през точка и имаща нормален вектор с координати:
.

Нека покажем втория начин за решаване на този проблем.

Равнината, перпендикулярна на координатната линия Oz, определя непълно общо уравнение на равнината от формата . Нека намерим стойностите на C и D, при които равнината преминава през точката, като заместим координатите на тази точка в уравнението: . По този начин числата C и D са свързани с отношението. Като вземем C=1, получаваме D=-5. Заместваме намерените C=1 и D=-5 в уравнението и получаваме желаното уравнение на равнината, перпендикулярна на правата Oz и минаваща през точката . Изглежда като .

Отговор:

Пример.

Напишете уравнението на равнина, която минава през началото и е перпендикулярна на правата .

Решение.

Тъй като равнината, чието уравнение трябва да получим, е перпендикулярна на правата линия , тогава нормалният вектор на равнината може да се приеме за насочващ вектор на дадена права линия. Тогава . Остава да напишем уравнението на равнината, минаваща през точката и имаща нормален вектор : . Това е желаното уравнение на равнина, минаваща през началото на координатите, перпендикулярни на дадена права линия.

Отговор:

Пример.

В правоъгълната координатна система Oxyz в тримерното пространство са дадени две точки и . Равнината минава през точка A перпендикулярно на правата AB. Напишете уравнението на равнината в сегменти.

Решение.

Общо уравнение на равнина, минаваща през точка и имаща нормален вектор на равнината , ще бъде записано като .

Остава да отидем до необходимото уравнение на равнината в сегменти:

.

Отговор:

В заключение отбелязваме, че има задачи, при които се изисква да се напише уравнение на равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на две дадени пресичащи се равнини. По същество решението на този проблем се свежда до съставянето на уравнение за равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия, тъй като две пресичащи се равнини определят права линия. В този случай основната трудност е процесът на намиране на координатите на нормалния вектор на равнината, чието уравнение трябва да се изготви , След това като насочващ вектор на правата линия a вземаме и:

Следователно векторът е нормалният вектор на равнината, перпендикулярна на правата a. Нека напишем уравнението на равнината, минаваща през точката и има нормален вектор :
.

Това е желаното уравнение на равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия.

Отговор:

Библиография.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 клас: учебник за общообразователните институции.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас в общообразователните институции.
Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Нека разгледаме равнината Q в пространството.Нейната позиция е напълно определена чрез определяне на вектора N, перпендикулярен на тази равнина, и някаква фиксирана точка, лежаща в равнината Q. Векторът N, перпендикулярен на равнината Q, се нарича нормален вектор на тази равнина. Ако означим с A, B и C проекциите на нормалния вектор N, тогава

Нека изведем уравнението на равнината Q, минаваща през дадена точка и имаща даден нормален вектор. За да направите това, разгледайте вектор, свързващ точка с произволна точка от равнината Q (фиг. 81).

За всяко положение на точка M в равнината Q, векторът MHM е перпендикулярен на нормалния вектор N на равнината Q. Следователно, скаларното произведение. Нека запишем скаларното произведение по отношение на проекции. Тъй като , и е вектор, тогава

и следователно

Показахме, че координатите на всяка точка в равнината Q отговарят на уравнение (4). Лесно е да се види, че координатите на точките, които не лежат на равнината Q, не отговарят на това уравнение (в последния случай). Следователно получихме търсеното уравнение за равнината Q. Уравнение (4) се нарича уравнение на равнината, минаваща през дадена точка. Тя е на първа степен спрямо текущите координати

И така, ние показахме, че всяка равнина съответства на уравнение от първа степен по отношение на текущите координати.

Пример 1. Напишете уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора.

Решение. Тук . Въз основа на формула (4) получаваме

или, след опростяване,

Като дадем различни стойности на коефициентите A, B и C на уравнение (4), можем да получим уравнението на всяка равнина, минаваща през точката. Множеството от равнини, преминаващи през дадена точка, се нарича сноп от равнини. Уравнение (4), в което коефициентите A, B и C могат да приемат всякакви стойности, се нарича уравнение на куп равнини.

Пример 2. Съставете уравнение за равнина, минаваща през три точки (фиг. 82).

Решение. Нека напишем уравнението за куп равнини, минаващи през точката

Тази статия дава представа как да се създаде уравнение за равнина, минаваща през дадена точка в триизмерното пространство, перпендикулярно на дадена права. Нека анализираме дадения алгоритъм, като използваме примера за решаване на типични задачи.

Намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка в пространството перпендикулярно на дадена права

Нека в него е дадено тримерно пространство и правоъгълна координатна система O x y z. Дадени са също точка M 1 (x 1, y 1, z 1), права a и равнина α, минаващи през точка M 1 перпендикулярно на права a. Необходимо е да се запише уравнението на равнината α.

Преди да започнем да решаваме тази задача, нека си припомним геометричната теорема от учебната програма за 10-11 клас, която гласи:

Определение 1

През дадена точка в триизмерното пространство минава една равнина, перпендикулярна на дадена права линия.

Сега нека да разгледаме как да намерим уравнението на тази единична равнина, минаваща през началната точка и перпендикулярна на дадената права.

Възможно е да се запише общото уравнение на равнина, ако са известни координатите на точка, принадлежаща на тази равнина, както и координатите на нормалния вектор на равнината.

Условията на задачата ни дават координатите x 1, y 1, z 1 на точката M 1, през която минава равнината α. Ако определим координатите на нормалния вектор на равнината α, тогава ще можем да напишем търсеното уравнение.

Нормалният вектор на равнината α, тъй като е различен от нула и лежи на правата a, перпендикулярна на равнината α, ще бъде всеки насочващ вектор на правата a. Така задачата за намиране на координатите на нормалния вектор на равнината α се трансформира в задачата за определяне на координатите на насочващия вектор на правата линия a.

Определянето на координатите на вектора на посоката на права линия a може да се извърши по различни методи: зависи от опцията за посочване на права линия a в началните условия. Например, ако права линия a в формулировката на задачата е дадена от канонични уравнения на формата

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

или параметрични уравнения от формата:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

тогава насочващият вектор на правата линия ще има координати a x, a y и a z. В случай, когато правата линия a е представена от две точки M 2 (x 2, y 2, z 2) и M 3 (x 3, y 3, z 3), тогава координатите на вектора на посоката ще бъдат определени като ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Определение 2

Алгоритъм за намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка перпендикулярно на дадена права:

Определяме координатите на вектора на посоката на права линия a: a → = (a x, a y, a z) ;

Координатите на нормалния вектор на равнината α определяме като координатите на насочващия вектор на правата a:

n → = (A , B , C) , където A = a x, B = a y, C = a z;

Пишем уравнението на равнината, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и имаща нормален вектор n → = (A, B, C) във формата A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Това ще бъде необходимото уравнение на равнина, която минава през дадена точка в пространството и е перпендикулярна на дадена права.

Полученото общо уравнение на равнината е: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 дава възможност да се получи уравнението на равнината в сегменти или нормалното уравнение на равнината.

Нека решим няколко примера, използвайки алгоритъма, получен по-горе.

Пример 1

Дадена е точка M 1 (3, - 4, 5), през която минава равнината, като тази равнина е перпендикулярна на координатната права O z.

Решение

насочващият вектор на координатната линия O z ще бъде координатният вектор k ⇀ = (0, 0, 1). Следователно нормалният вектор на равнината има координати (0, 0, 1). Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през дадена точка M 1 (3, - 4, 5), чийто нормален вектор има координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Отговор: z – 5 = 0 .

Нека разгледаме друг начин за решаване на този проблем:

Пример 2

Равнина, която е перпендикулярна на правата O z, ще бъде дадена чрез непълно общо уравнение на равнината от формата C z + D = 0, C ≠ 0. Нека определим стойностите на C и D: тези, при които равнината преминава през дадена точка. Нека заместим координатите на тази точка в уравнението C z + D = 0, получаваме: C · 5 + D = 0. Тези. числа, C и D са свързани с отношението - D C = 5. Вземайки C = 1, получаваме D = - 5.

Нека заместим тези стойности в уравнението C z + D = 0 и да получим необходимото уравнение на равнина, перпендикулярна на правата O z и минаваща през точката M 1 (3, - 4, 5).

Ще изглежда така: z – 5 = 0.

Отговор: z – 5 = 0 .

Пример 3

Напишете уравнение за равнина, минаваща през началото и перпендикулярна на правата x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Решение

Въз основа на условията на задачата може да се твърди, че насочващият вектор на дадена права линия може да се приеме като нормален вектор n → на дадена равнина. Така: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през точка O (0, 0, 0) и имаща нормален вектор n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Получихме търсеното уравнение на равнина, минаваща през началото на координатите, перпендикулярни на дадена права.

Отговор:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Пример 4

В тримерното пространство е дадена правоъгълна координатна система O x y z, в която има две точки A (2, - 1, - 2) и B (3, - 2, 4). Равнината α минава през точка A перпендикулярно на правата A B. Необходимо е да се създаде уравнение за равнината α в сегменти.

Решение

Равнината α е перпендикулярна на правата A B, тогава векторът A B → ще бъде нормалният вектор на равнината α. Координатите на този вектор се определят като разликата между съответните координати на точки B (3, - 2, 4) и A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Общото уравнение на равнината ще бъде написано, както следва:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Сега нека съставим търсеното уравнение на равнината в сегменти:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Отговор:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Трябва също да се отбележи, че има задачи, чието изискване е да се напише уравнение на равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на две дадени равнини. Най-общо решението на този проблем е да се състави уравнение за равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права, т.к. две пресичащи се равнини определят права линия.

Пример 5

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z, в която има точка M 1 (2, 0, - 5). Дадени са и уравненията на две равнини 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0, които се пресичат по права a. Необходимо е да се създаде уравнение за равнина, минаваща през точка M 1, перпендикулярна на права линия a.

Решение

Да определим координатите на насочващия вектор на правата a. Той е перпендикулярен както на нормалния вектор n 1 → (3, 2, 0) на равнината n → (1, 0, 2), така и на нормалния вектор 3 x + 2 y + 1 = 0 на x + 2 z - 1 = 0 равнина.

След това вземаме насочващия вектор α → права a векторен продуктвектори n 1 → и n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Така векторът n → = (4, - 6, - 2) ще бъде нормалният вектор на равнината, перпендикулярна на правата a. Нека запишем търсеното уравнение на равнината:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Отговор: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

За да получим общото уравнение на равнина, нека анализираме равнината, минаваща през дадена точка.

Нека има три координатни оси, които вече са ни известни в пространството - вол, ОйИ Оз. Дръжте листа хартия така, че да остане плосък. Самолетът ще бъде самият лист и неговото продължение във всички посоки.

Позволявам Ппроизволна равнина в пространството. Всеки вектор, перпендикулярен на него, се нарича нормален вектор към този самолет. Естествено, говорим за ненулев вектор.

Ако някоя точка от равнината е известна Пи някакъв нормален вектор към него, тогава от тези две условия равнината в пространството е напълно дефинирана(през дадена точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на дадения вектор). Общото уравнение на равнината ще бъде:

И така, условията, които определят уравнението на равнината, са. За да получите себе си уравнение на равнината, имайки горната форма, вземете в самолета Ппроизволен точка М с променливи координати х, г, z. Тази точка принадлежи на равнината само ако вектор перпендикулярен на вектора(Фиг. 1). За това, съгласно условието за перпендикулярност на векторите, е необходимо и достатъчно скаларното произведение на тези вектори да бъде равно на нула, т.е.

Векторът се определя от условие. Намираме координатите на вектора с помощта на формулата :

Сега използваме формулата за скаларно произведение на вектори , изразяваме скаларното произведение в координатна форма:

Тъй като точката M(x; y; z)се избира произволно в равнината, тогава последното уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща в равнината П. За точка н, нележаща на дадена равнина, т.е. равенството (1) е нарушено.

Пример 1.Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка и перпендикулярна на вектора.

Решение. Нека използваме формула (1) и я погледнем отново:

В тази формула числата А , бИ ° Свекторни координати и числа х0 , г0 И z0 - координати на точката.

Изчисленията са много прости: заместваме тези числа във формулата и получаваме

Умножаваме всичко, което трябва да се умножи и добавяме само числа (които нямат букви). Резултат:

Търсеното уравнение на равнината в този пример се оказа изразено чрез общо уравнение от първа степен по отношение на променливи координати x, y, zпроизволна точка от равнината.

И така, уравнение от формата

Наречен общо уравнение на равнината .

Пример 2.Вграждане в правоъгълник Декартова системакоординатна равнина, дадена от уравнението .

Решение. За да се построи равнина, е необходимо и достатъчно да се знаят три нейни точки, които не лежат на една права линия, например точките на пресичане на равнината с координатните оси.

Как да намерите тези точки? За намиране на пресечната точка с оста Оз, трябва да замените нули за X и Y в уравнението, дадено в описанието на проблема: х = г= 0 . Следователно получаваме z= 6. Така дадената равнина пресича оста Озв точката А(0; 0; 6) .

По същия начин намираме пресечната точка на равнината с оста Ой. При х = z= 0 получаваме г= −3, тоест точката б(0; −3; 0) .

И накрая намираме пресечната точка на нашата равнина с оста вол. При г = z= 0 получаваме х= 2, тоест точка ° С(2; 0; 0) . Въз основа на трите точки, получени в нашето решение А(0; 0; 6) , б(0; −3; 0) и ° С(2; 0; 0) построи дадената равнина.

Нека сега да разгледаме специални случаи общо уравнениесамолет. Това са случаи, когато определени коефициенти на уравнение (2) стават нула.

1. Кога D= 0 уравнение определя равнина, минаваща през началото, тъй като координатите на точката 0 (0; 0; 0) удовлетворяват това уравнение.

2. Кога А= 0 уравнение определя равнина, успоредна на оста вол, тъй като нормалният вектор на тази равнина е перпендикулярен на оста вол(неговата проекция върху оста волравно на нула). По същия начин, когато B= 0 самолет успоредна на оста Ой, и когато C= 0 самолет успоредна на оста Оз.

3. Кога A=D= 0 уравнение дефинира равнина, минаваща през оста вол, тъй като е успореден на оста вол (А=D= 0). По същия начин равнината минава през оста Ой, а равнината през оста Оз.

4. Кога A=B= 0 уравнение определя равнина, успоредна на координатната равнина xOy, тъй като е успореден на осите вол (А= 0) и Ой (б= 0). По същия начин равнината е успоредна на равнината yOz, а самолетът си е самолет xOz.

5. Кога A=B=D= 0 уравнение (или z = 0) определя координатната равнина xOy, тъй като е успореден на равнината xOy (A=B= 0) и минава през началото ( D= 0). По същия начин, ур. y = 0 в пространството определя координатната равнина xOz, и уравнението x = 0 - координатна равнина yOz.

Пример 3.Създайте уравнение на равнината П, минаваща през оста Ойи точка.

Решение. Така че равнината минава през оста Ой. Следователно в нейното уравнение г= 0 и това уравнение има формата . За определяне на коефициентите АИ ° Снека се възползваме от факта, че точката принадлежи на равнината П .

Следователно сред неговите координати има такива, които могат да бъдат заменени в уравнението на равнината, което вече сме извели (). Нека погледнем отново координатите на точката:

М0 (2; −4; 3) .

Между тях х = 2 , z= 3 . Заместете ги в уравнението общ изгледи получаваме уравнението за нашия конкретен случай:

2А + 3° С = 0 .

Оставете 2 Аот лявата страна на уравнението, преместете 3 ° Сот дясната страна и получаваме

А = −1,5° С .

Заместване на намерената стойност Ав уравнението, получаваме

или .

Това е уравнението, изисквано в примерното условие.

Решете сами проблема с уравнението на равнината и след това вижте решението

Пример 4.Дефинирайте равнина (или равнини, ако са повече от една) по отношение на координатните оси или координатните равнини, ако равнината(ите) е дадена от уравнението.

Решения на типични проблеми, възникващи в тестове- в ръководството „Задачи на равнината: паралелност, перпендикулярност, пресичане на три равнини в една точка.“

Уравнение на равнина, минаваща през три точки

Както вече споменахме, необходимо и достатъчно условие за построяване на равнина, освен една точка и нормалния вектор, са и три точки, които не лежат на една права.

Нека са дадени три различни точки , и , които не лежат на една и съща линия. Тъй като посочените три точки не лежат на една и съща права, векторите не са колинеарни и следователно всяка точка в равнината лежи в същата равнина с точките и тогава и само ако векторите , и копланарен, т.е. тогава и само когато смесен продукт на тези векторие равно на нула.