Функция за изграждане
Предлагаме на вашето внимание услуга за конструиране на графики на функции онлайн, всички права върху които принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или с помощта на виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца с графиката, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.
Предимства на онлайн графики
- Визуално показване на въведените функции
- Изграждане на много сложни графики
- Конструиране на имплицитно зададени графики (например елипса x^2/9+y^2/16=1)
- Възможност за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
- Контрол на мащаба, цвета на линията
- Възможност за начертаване на графики по точки, като се използват константи
- Изграждане на графики на няколко функции едновременно
- График в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))
С нас е лесно да създавате диаграми с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за изобразяване на графики за по-нататъшното им преместване в документ на Word като илюстрации при решаване на проблеми и за анализ на поведенческите характеристики на функционалните графики. Оптималният браузър за работа с диаграми на тази страница на уебсайта е Google Chrome. Правилната работа не е гарантирана при използване на други браузъри.
В този урок ще разгледаме по-отблизо графичните уравнения. Първо, нека си припомним какво е рационално уравнение и множеството от неговите решения, които образуват графиката на уравнението. Нека разгледаме по-отблизо графиката линейно уравнениеи свойства на линейна функция, научете се да четете графики. След това разгледайте графиката квадратно уравнениеи свойства на квадратична функция. Разгледайте хиперболичната функция и нейната графика и графиката на уравнението на окръжност. След това нека да преминем към конструирането и изучаването на набор от графики.
Тема: Системи уравнения
Урок: Графични уравнения
Разглеждаме рационално уравнение на формата и системата рационални уравнениямил
Казахме, че всяко уравнение в тази система има собствена графика, ако, разбира се, има решения на уравненията. Разгледахме няколко графики на различни уравнения.
Сега ще разгледаме систематично всяко от известните ни уравнения, т.е. нека прегледаме графики на уравнения.
1. Линейно уравнение с две променливи 
x, y - на първа степен; a,b,c - конкретни числа.
Пример: 
Графиката на това уравнение е права линия.
Действахме с еквивалентни трансформации - оставихме y на място, всичко останало беше преместено от другата страна с противоположни знаци. Първоначалното и полученото уравнения са еквивалентни, т.е. имат същия набор от решения. Ние знаем как да построим графика на това уравнение, а методът за построяването му е следният: намираме точките на пресичане с координатните оси и построяваме права линия с помощта на тях.
В такъв случай
Познавайки графиката на уравнението, можем да кажем много за решенията на първоначалното уравнение, а именно: ако 
ако 
Тази функция се увеличава, т.е. с увеличаване на x, y нараства. Имаме две конкретни решения, но как можем да запишем набора от всички решения?
Ако една точка има абциса x, тогава ординатата на тази точка е
Значи числа
Имахме уравнение, направихме графика, намерихме решения. Комплектът от всички двойки - колко са? Безброен.
Това е рационално уравнение
Нека намерим y и чрез еквивалентни трансформации получаваме 
Нека го поставим и вземем квадратична функция, графикът му ни е известен.
Пример: Графика на рационално уравнение.
Графиката е парабола, клоните са насочени нагоре.
Нека намерим корените на уравнението:
Нека изобразим схематично графиката ( Ориз. 2).
С помощта на графика получаваме всякаква информация както за функцията, така и за решенията на рационалното уравнение. Ние определихме интервалите с постоянен знак, сега ще намерим координатите на върха на параболата.
Уравнението има безброй решения, т.е. има безброй двойки, които отговарят на уравнението, но всички И какво може да бъде x? всеки!
Ако зададем произволно x, получаваме точка
Решението на първоначалното уравнение е наборът от двойки
3. Начертайте графика на уравнението
Необходимо е да се изрази y. Нека разгледаме два варианта.
Графиката на функция е хипербола, функцията не е дефинирана кога
Функцията намалява.
Ако вземем точка с абциса, тогава нейната ордината ще бъде равна на
Решението на първоначалното уравнение е наборът от двойки
Построената хипербола може да се измества спрямо координатните оси.
Например графиката на функция 
- също хипербола - ще бъде изместена с единица нагоре по оста y.
4. Уравнение на окръжност
Това е рационално уравнение с две променливи. Наборът от решения са точките на окръжността. Центърът в точката на радиуса е равен на R (фиг. 4).
Нека разгледаме конкретни примери.
а. 
Нека намалим уравнението до стандартната форма на уравнението на окръжност; за това избираме пълния квадрат на сумата:
- получи уравнението на окръжност с център в 
.
Нека начертаем уравнението 
(фиг. 5).
b. Графика на уравнението
Спомнете си, че произведението е равно на нула тогава и само ако един от факторите равно на нула, а вторият съществува.
Графиката на дадено уравнение се състои от набор от графики на първото и второто уравнения, т.е. две прави линии.
Нека го изградим (фиг. 6).
Нека построим графика на функцията.Правата линия ще минава през точката (0; -1). Но как ще върви - ще се увеличава или ще намалява? Това ще ни помогне да определим наклон, коефициентът при x е отрицателен, което означава, че функцията е намаляваща. Нека намерим пресечната точка с оста на вола, това е точката (-1; 0).
По подобен начин начертаваме графиката на второто уравнение. Правата минава през точката (0; 1), но се увеличава, защото наклонът е положителен.
Координатите на всички точки от двете построени прави са решение на уравнението.
И така, ние анализирахме графиките на най-важните рационални уравнения; те ще бъдат използвани както в графичния метод, така и за илюстриране на други методи за решаване на системи от уравнения.
1. Мордкович А.Г. и др.Алгебра 9 клас: Учебник. За общо образование Институции.- 4-то изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макаричев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: учебен. за общообразователни ученици. институции / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-мо издание, рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-то изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-то изд., изтрито. - М.: 2010. - 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 клас. В 2 части Част 2. Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Изд. А. Г. Мордкович. — 12-то изд., рев. - М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Секция по математика на College.ru ().
2. Интернет проект „Задачи“ ().
3. Образователен портал„ЩЕ РАЗРЕША ИЗПОЛЗВАНЕТО“ ().
1. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Проблемна книга за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. No 95-102.
ЦЕЛ:1) Да запознае учениците с понятието „уравнение с две променливи”;
2) Научете се да определяте степента на уравнение с две променливи;
3) Научете се да идентифицирате по дадена функциякоя фигура е графика
дадено уравнение;
4) Разглеждане на трансформации на графики с две променливи;
дадено уравнение с две променливи с помощта на програмата Agrapher;
6) Развивайте логично мисленестуденти.
I. Нов материал – пояснителна лекция с елементи на разговор.
(лекцията се провежда с помощта на слайдовете на автора; графиките се изчертават в програмата Agrapher)
T: Когато изучаваме линии, възникват два проблема:
Използвайки геометричните свойства на дадена права, намерете нейното уравнение;
Обратна задача: като се има предвид уравнението на права, изучете нейните геометрични свойства.
Разгледахме първата задача в курса по геометрия във връзка с окръжности и прави линии.
Днес ще разгледаме обратната задача.
Разгледайте уравнения от формата:
а) x(x-y)=4;б) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.
са примери за уравнения с две променливи.
Уравнения с две променливи хИ при изглежда като f(x,y)=(x,y), Където fИ – изрази с променливи хИ u.
Ако в ур. x(x-y)=4заместител на мястото на променлива хстойността му е -1, а вместо това при– стойност 3, тогава ще работи истинско равенство: 1*(-1-3)=4,
Двойка (-1; 3) стойности на променливи хИ прие решение на уравнението x(x-y)=4.
Това е решаване на уравнението с две променливи се нарича наборът от подредени двойки стойности на променливи, които образуват това уравнение в истинско равенство.
Уравненията с две променливи обикновено имат безкрайно много решения. Изключенияобразуват например уравнения като х 2 +(г 2 - 4) 2 = 0 или
2x 2 + при 2 = 0 .
Първият от тях има две решения (0; -2) и (0; 2), вторият има едно решение (0; 0).
Уравнението x 4 + y 4 +3 = 0 изобщо няма решения. Интересно е, когато стойностите на променливите в уравнението са цели числа. Чрез решаване на такива уравнения с две променливи се намират двойки цели числа. В такива случаи се казва, че уравнението е решено в цели числа.
Извикват се две уравнения, които имат еднакъв набор от решения еквивалентни уравнения. Например уравнението x(x + y 2) = x + 1 е уравнение от трета степен, тъй като може да се трансформира в уравнението xy 2 + x 2 - x-1 = 0, дясната страна на което е полином от стандартна форма от трета степен.
Степента на уравнение с две променливи, представена във формата F(x, y) = 0, където F(x, y) е полином от стандартна форма, се нарича степен на полинома F(x, y).
Ако всички решения на уравнение с две променливи се изобразят като точки в координатната равнина, ще получите графика на уравнение с две променливи.
Графикуравнение с две променливи е набор от точки, чиито координати служат като решения на това уравнение.
И така, графиката на уравнението ax + by + c = 0е права линия, ако поне един от коефициентите аили b не е равно на нула (фиг. 1). Ако a = b = c = 0, тогава графиката на това уравнение е координатна равнина (фиг. 2), ако a = b = 0, А c0, тогава графиката е празен комплект (фиг. 3).
Графика на уравнение y = a x 2 + от + cе парабола (фиг. 4), графика на уравнението xy=k (k0) – хипербола (фиг. 5). Графика на уравнение х 2 + y 2 = r, където x и y са променливи, r е положително число, е кръгс център в началото и радиус равен на r(фиг. 6). Графиката на уравнението е елипса, Където аИ b– голяма и малка полуос на елипсата (фиг. 7).
Изграждането на графики на някои уравнения се улеснява от използването на техните трансформации. Нека помислим конвертиране на графики на уравнения в две променливии формулирайте правилата, по които се извършват най-простите трансформации на графики на уравнения
1) Графиката на уравнението F (-x, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0, като се използва симетрия спрямо оста u.
2) Графиката на уравнението F (x, -y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 с помощта на симетрия спрямо оста х.
3) Графиката на уравнението F (-x, -y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0, като се използва централна симетрия спрямо началото.
4) Графиката на уравнението F (x-a, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 чрез преместване успоредно на оста x с |a| единици (вдясно, ако а> 0 и наляво ако А < 0).
5) Графиката на уравнението F (x, y-b) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 чрез преместване на |b| единици, успоредни на оста при(нагоре, ако b> 0 и надолу ако b < 0).
6) Графиката на уравнението F (ax, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 чрез компресиране към оста y и a пъти, ако А> 1 и чрез разтягане от оста y по пъти, ако е 0< А < 1.
7) Графиката на уравнението F (x, by) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0, като се използва компресия към оста x в bпъти ако b> 1 и чрез разтягане от оста x по пъти, ако е 0 < b < 1.
Ако графиката на някое уравнение се завърти на определен ъгъл близо до началото, тогава новата графика ще бъде графиката на друго уравнение. Важни са частните случаи на завъртане под ъгли 90 0 и 45 0.
8) Графиката на уравнението F (x, y) = 0 в резултат на въртене по посока на часовниковата стрелка близо до началото на координатите под ъгъл от 90 0 се превръща в графиката на уравнението F (-y, x) = 0, и обратно на часовниковата стрелка в графиката на уравнението F (y, -x) = 0.
9) Графиката на уравнението F (x, y) = 0 в резултат на завъртане по посока на часовниковата стрелка близо до началото на координатите под ъгъл от 45 0 се превръща в графиката на уравнението F = 0 и обратно на часовниковата стрелка в графиката на уравнението F 
= 0.
От правилата, които разгледахме за трансформиране на графики на уравнения с две променливи, лесно се получават правила за трансформиране на графики на функции.
Пример 1. Нека покажем, че като начертаем графика на уравнението х 2 + y 2 + 2x – 8y + 8 = 0е кръг (фиг. 17).
Нека трансформираме уравнението, както следва:
1) групирайте термините, съдържащи променливата хи съдържаща променлива прии си представете всяка група членове под формата на пълен квадратен тричлен: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;
2) запишете получените тричлени като квадрат на сумата (разликата) на два израза: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;
3) нека анализираме, съгласно правилата за трансформиране на графики на уравнения с две променливи, уравнението (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: графиката на това уравнение е кръг с център в точка (-1; 4) и радиус от 3 единици.
Пример 2: Нека начертаем графика на уравнението х 2 + 4у 2 = 9 .
Нека си представим 4y 2 във формата (2y) 2, получаваме уравнението x 2 + (2y) 2 = 9, чиято графика може да бъде получена от окръжността x 2 + y 2 = 9 чрез компресиране на оста x с a коефициент 2.
Начертайте окръжност с център в началото и радиус 3 единици.
Нека намалим разстоянието на всяка точка от оста X с 2 пъти и да получим графика на уравнението
x 2 + (2y) 2 = 9.
Получихме фигурата чрез компресиране на кръга до един от неговите диаметри (до диаметъра, който лежи на оста X). Тази фигура се нарича елипса (фиг. 18).
Пример 3. Нека разберем каква е графиката на уравнението x 2 - y 2 = 8.
Нека използваме формулата F= 0.
Замествайки в това уравнение вместо X и вместо Y, получаваме:
T: Каква е графиката на уравнението y = ?
D: Графиката на уравнението y = е хипербола.
U: Преобразувахме уравнението от вида x 2 - y 2 = 8 в уравнението y =.
Коя линия ще бъде графиката на това уравнение?
D: И така, графиката на уравнението x 2 - y 2 = 8 е хипербола.
U: Кои прави са асимптоти на хиперболата y = .
D: Асимптотите на хиперболата y = са правите линии y = 0 и x = 0.
U: Когато въртенето приключи, тези прави линии ще се превърнат в прави линии = 0 и = 0, тоест в прави линии y = x и y = - x. (фиг. 19).
Пример 4: Нека разберем каква форма ще приеме уравнението y = x 2 на параболата, когато се завърти около началото на координатната система на ъгъл 90 0 по часовниковата стрелка.
Използвайки формулата F (-y; x) = 0, в уравнението y = x 2 заменяме променливата x с – y, а променливата y с x. Получаваме уравнението x = (-y) 2, т.е. x = y 2 (фиг. 20).
Разгледахме примери за графики на уравнения от втора степен с две променливи и открихме, че графиките на такива уравнения могат да бъдат парабола, хипербола, елипса (по-специално кръг). Освен това графиката на уравнение от втора степен може да бъде двойка прави (пресичащи се или успоредни).Това е така нареченият изроден случай. Така че графиката на уравнението x 2 - y 2 = 0 е двойка пресичащи се прави (фиг. 21a), а графиката на уравнението x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 е успоредни прави.
II Консолидация.
(на учениците се раздават „Инструкционни карти“ за построяване на графики на уравнения с две променливи в програмата Agrapher (Приложение 2) и карти „Практическа задача“ (Приложение 3) с формулирането на задачи 1-8. Учителят демонстрира графики на уравнения за задачи 4-5 на слайдове ).
Упражнение 1. Кои от двойките (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; -) са решения на уравнението:
а) x 2 - y 2 = 0, б) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?
Решение:
Заместване в дадено уравнение, като вземем координатите на тези точки една по една, се убеждаваме, че нито една дадена двойка не е решение на уравнението x 2 - y 2 = 0, а решенията на уравнението x 3 - 1 = x 2 y + 6y са двойките (5;4), (1;0) и (-1; -).
125 - 1 = 100 + 24 (I)
1 - 1= 0 + 0 (I)
125 – 1 = -100 – 24 (L)
1 – 1 = - - (I)
Отговор:А); б) (5; 4), (1; 0), (-1; -).
Задача 2. Намерете решения на уравнението xy 2 - x 2 y = 12, в което стойността хе равно на 3.
Решение: 1) Заместете стойността 3 вместо X в даденото уравнение.
2) Получаваме квадратно уравнение за променливата Y, имащо формата:
3y 2 - 9y = 12.
4) Нека решим това уравнение:
3y 2 - 9y – 12 = 0
D = 81 + 144 = 225
Отговор: двойките (3;4) и (3;-1) са решения на уравнението xy 2 - x 2 y = 12
Задача 3. Определете степента на уравнението:
а) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; в) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;
б) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; г) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).
Отговор: а) 3; б) 5; на 4; г) 4.
Задача 4. Коя фигура е графиката на уравнението:
а) 2x = 5 + 3y; б) 6 x 2 - 5x = y – 1; в) 2(x + 1) = x 2 - y;
г) (x - 1,5)(x - 4) = 0; д) xy – 1,2 = 0; д) x 2 + y 2 = 9.
Задача 5. Напишете уравнение, чиято графика е симетрична на графиката на уравнението x 2 - xy + 3 = 0 (фиг. 24) по отношение на: а) ос х; б) оси при; в) права y = x; г) права линия y = -x.
Задача 6. Съставете уравнение, чиято графика се получава чрез разтягане на графиката на уравнението y = x 2 -3 (фиг. 25):
а) от оста x 2 пъти; б) от оста y 3 пъти.
Проверете с програмата Agrapher дали задачата е изпълнена правилно.
Отговор: а)y - x 2 + 3 = 0 (фиг. 25а); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (фиг. 25b).
б) линиите са успоредни, движещи се успоредно на оста x 1 единица надясно и успоредно на оста y 3 единици надолу (фиг. 26b);
в) прави линии се пресичат, симетрично показване спрямо оста x (фиг. 26в);
г) прави линии се пресичат, симетрично показване спрямо оста y (фиг. 26d);
д) линиите са успоредни, симетрично показване спрямо началото (фиг. 26д);
д) пресичане на прави линии, завъртане около началото на 90 по часовниковата стрелка и симетрично показване спрямо оста x (фиг. 26f).
III. Самостоятелна работаобразователен характер.
(на учениците се дават карти „Самостоятелна работа“ и „Таблица за отчитане на резултатите от самостоятелната работа“, в която учениците записват отговорите си и след самопроверка оценяват работата според предложената схема) Приложение 4 ..
I. вариант.
а) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; б) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2 (x + y).
а) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; б) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.
x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.
а) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;
б) x 2 -y 2 = 1;
в) х - у 2 = 9.
x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.
Посочете координатите на центъра на кръга и неговия радиус.
6. Как трябва да се премести хиперболата y = в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме вида x 2 - y 2 = 16?
Проверете отговора си, като начертаете графика с помощта на Agrapher.
7. Как трябва да се премести параболата y = x 2 в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме формата x = y 2 - 1
Вариант II.
1. Определете степента на уравнението:
а)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); б) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.
2. Двойката числа (-2;3) решение ли е на уравнението:
а) x 2 -y 2 -3x = 1; б) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.
3. Намерете множеството решения на уравнението:
x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.
4. Какъв вид крива (хипербола, кръг, парабола) е набор от точки, ако уравнението на тази крива има формата:
а) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9
б) у 2 - х 2 =1
в) x = y 2 - 1.
(проверете с програмата Agrapher дали задачата е изпълнена правилно)
5. С помощта на програмата Agrapher начертайте уравнението:
x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.
6. Как трябва да се премести хиперболата y = в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме вида x 2 - y 2 = 28?
7. Как трябва да се премести параболата y = x 2 в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме вида x = y 2 + 9.
Правоъгълна координатна система е двойка перпендикулярни координатни линии, наречени координатни оси, които са разположени така, че да се пресичат в началната си точка.
Обозначаването на координатните оси с буквите x и y е общоприето, но буквите могат да бъдат всякакви. Ако се използват буквите x и y, тогава се нарича равнината xy-равнина. Различните приложения могат да използват букви, различни от x и y, и както е показано на фигурите по-долу, има такива uv самолетИ ts-равнина.
Поръчан чифт
Под поръчания чифт реални числаимаме предвид две реални числа в определен ред. Всяка точка P в координатната равнина може да бъде свързана с уникална подредена двойка реални числа чрез начертаване на две прави през P: едната перпендикулярна на оста x, а другата перпендикулярна на оста y.
Например, ако вземем (a,b)=(4,3), тогава върху координатната лента
Да се построи точка P(a,b) означава да се определи точка с координати (a,b) на координатната равнина. Например, различни точки са нанесени на фигурата по-долу.
В правоъгълна координатна система координатните оси разделят равнината на четири области, наречени квадранти. Те са номерирани обратно на часовниковата стрелка с римски цифри, както е показано на фигурата.
Дефиниция на графика
Графикуравнение с две променливи x и y, е множеството от точки на xy-равнината, чиито координати са членове на множеството от решения на това уравнение
Пример: начертайте графика на y = x 2
Тъй като 1/x е недефинирано, когато x=0, можем да начертаем само точки, за които x ≠0
Пример: Намерете всички пресечни точки с оси
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Нека y = 0, тогава 3x = 6 или x = 2
е желаното х-пресечане.
След като установихме, че x=0, намираме, че пресечната точка на оста y е точката y=3.
По този начин можете да решите уравнение (b), а решението за (c) е дадено по-долу
х-пресечна
Нека y = 0
1/x = 0 => x не може да бъде определено, т.е. няма пресичане с оста y
Нека x = 0
y = 1/0 => y също е недефиниран, => няма пресичане с оста y
На фигурата по-долу точките (x,y), (-x,y), (x,-y) и (-x,-y) представляват ъглите на правоъгълника.
Една графика е симетрична спрямо оста x, ако за всяка точка (x,y) на графиката, точка (x,-y) също е точка на графиката.
Една графика е симетрична спрямо оста y, ако за всяка точка от графиката (x,y), точка (-x,y) също принадлежи на графиката.
Една графика е симетрична спрямо центъра на координатите, ако за всяка точка (x,y) на графиката, точка (-x,-y) също принадлежи на тази графика.
определение:
График функциив координатната равнина се определя като графиката на уравнението y = f(x)
Начертайте f(x) = x + 2
Пример 2. Начертайте графика на f(x) = |x|
Графиката съвпада с правата y = x за x > 0 и с линия y = -x
за х< 0 .
графика на f(x) = -x
Комбинирайки тези две графики, получаваме
графика f(x) = |x|
Пример 3: Начертайте графика
t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =
= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Следователно тази функция може да бъде написана като
y = x + 2 x ≠ 2
Графика h(x)= x 2 - 4 Или x - 2
графика y = x + 2 x ≠ 2
Пример 4: Начертайте графика
Графики на функции с преместване
Да предположим, че е известна графиката на функцията f(x).
Тогава можем да намерим графиките
y = f(x) + c - графика на функция f(x), преместена
UP c стойности
y = f(x) - c - графика на функция f(x), преместена
НАДОЛУ със стойности c
y = f(x + c) - графика на функция f(x), преместена
НАЛЯВО чрез c стойности
y = f(x - c) - графика на функцията f(x), преместена
Точно по c стойности
Пример 5: Изграждане
графика y = f(x) = |x - 3| + 2
Нека преместим графиката y = |x| 3 стойности НАДЯСНО, за да получите графиката
Нека преместим графиката y = |x - 3| ДО 2 стойности, за да получите графиката y = |x - 3| + 2
Начертайте графика
y = x 2 - 4x + 5
Нека преобразуваме даденото уравнение, както следва, добавяйки 4 към двете страни:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Тук виждаме, че тази графика може да бъде получена чрез преместване на графиката на y = x 2 надясно с 2 стойности, защото x - 2, и нагоре с 1 стойност, защото +1.
y = x 2 - 4x + 5
Отражения
(-x, y) е отражение на (x, y) около оста y
(x, -y) е отражение на (x, y) около оста x
Графиките y = f(x) и y = f(-x) са отражения една на друга спрямо оста y
Графиките y = f(x) и y = -f(x) са отражения една на друга спрямо оста x
Графиката може да се получи чрез отразяване и преместване:
Начертайте графика
Нека намерим отражението му спрямо оста у и ще получим графика
Нека преместим тази графика точнос 2 стойности и получаваме графика
Ето графиката, която търсите
Ако f(x) се умножи по положителна константа c, тогава
графиката f(x) се компресира вертикално, ако 0< c < 1
графиката f(x) се разтяга вертикално, ако c > 1
Кривата не е графика на y = f(x) за никоя функция f
Нека се даде уравнение с две променливи F(x; y). Вече сте се запознали с начините за аналитично решаване на такива уравнения. Много решения на такива уравнения могат да бъдат представени под формата на графика.
Графиката на уравнението F(x; y) е набор от точки на координатната равнина xOy, чиито координати удовлетворяват уравнението.
За да начертаете графика на уравнения с две променливи, първо изразете променливата y в уравнението чрез променливата x.
Със сигурност вече знаете как да изграждате различни графики на уравнения с две променливи: ax + b = c – права линия, yx = k – хипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окръжност, чийто радиус е равно на R, а центърът е в точка O(a; b).
Пример 1.
Начертайте графика на уравнението x 2 – 9y 2 = 0.
Решение.
Нека разложим на фактори лявата страна на уравнението.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, тоест y = x/3 или y = -x/3.
Отговор: Фигура 1.
Специално място заема дефинирането на фигури в равнината чрез уравнения, съдържащи знака абсолютна стойност, които ще разгледаме подробно. Нека разгледаме етапите на конструиране на графики на уравнения от вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.
Първото уравнение е еквивалентно на системата
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) или y = -f(x).
Тоест неговата графика се състои от графики на две функции: y = f(x) и y = -f(x), където f(x) ≥ 0.
За да начертаете второто уравнение, начертайте две функции: y = f(x) и y = -f(x).
Пример 2.
Начертайте графика на уравнението |y| = 2 + x.
Решение.
Даденото уравнение е еквивалентно на системата
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 или y = -x – 2.
Изграждаме много точки.
Отговор: Фигура 2.
Пример 3.
Начертайте уравнението |y – x| = 1.
Решение.
Ако y ≥ x, тогава y = x + 1, ако y ≤ x, тогава y = x – 1.
Отговор: Фигура 3.
При конструирането на графики на уравнения, съдържащи променлива под знака на модула, е удобно и рационално да се използва метод на площта, базирано на разделяне на координатната равнина на части, в които всеки субмодулен израз запазва своя знак.
Пример 4.
Начертайте графика на уравнението x + |x| + y + |y| = 2.
Решение.
В този пример знакът на всеки субмодулен израз зависи от координатния квадрант.
1) В първата координатна четвърт x ≥ 0 и y ≥ 0. След разширяване на модула даденото уравнение ще изглежда така:
2x + 2y = 2 и след опростяване x + y = 1.
2) Във втората четвърт, където x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) През третото тримесечие х< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) В четвъртото тримесечие, когато x ≥ 0 и y< 0 получим, что x = 1.
Ще начертаем това уравнение по четвъртинки.
Отговор: Фигура 4.
Пример 5.
Начертайте набор от точки, чиито координати удовлетворяват равенството |x – 1| + |y – 1| = 1.
Решение.
Нулите на субмодулните изрази x = 1 и y = 1 разделят координатната равнина на четири области. Нека разделим модулите по региони. Нека подредим това под формата на таблица.
| Регион |
Знак за подмодулен израз |
Полученото уравнение след разширяване на модула |
| аз | x ≥ 1 и y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | х< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | х< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 и y< 1 | x – y = 1 |
Отговор: Фигура 5.
В координатната равнина могат да се задават фигури и неравенства.
Графика на неравенствотос две променливи е множеството от всички точки на координатната равнина, чиито координати са решения на това неравенство.
Нека помислим алгоритъм за конструиране на модел за решаване на неравенства с две променливи:
- Запишете уравнението, съответстващо на неравенството.
- Начертайте графика на уравнението от стъпка 1.
- Изберете произволна точка в една от полуравнините. Проверете дали координатите на избраната точка удовлетворяват това неравенство.
- Начертайте графично множеството от всички решения на неравенството.
Нека първо разгледаме неравенството ax + bx + c > 0. Уравнението ax + bx + c = 0 определя права линия, разделяща равнината на две полуравнини. Във всяка от тях функцията f(x) = ax + bx + c запазва своя знак. За да се определи този знак, достатъчно е да се вземе всяка точка, принадлежаща на полуравнината, и да се изчисли стойността на функцията в тази точка. Ако знакът на функцията съвпада със знака на неравенството, то тази полуравнина ще бъде решението на неравенството.
Нека да разгледаме примери за графични решения на най-често срещаните неравенства с две променливи.
1) ax + bx + c ≥ 0. Фигура 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Фигура 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Фигура 8.
4) y ≥ x 2 . Фигура 9.
5)
xy ≤ 1. Фигура 10. 
Ако имате въпроси или искате да практикувате чертане върху равнина, моделирайте наборите от всички решения на неравенства в две променливи, като използвате математическо моделиране, можете да похарчите безплатен 25 минутен урок с онлайн учител след като се регистрирате. За да продължите да работите с учител, ще имате възможност да изберете тарифен план, който ви подхожда.
Все още имате въпроси? Не знаете как да нарисувате фигура в координатна равнина?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
