Има ли молив близо до вас? Разгледайте сечението му - това е правилен шестоъгълник или, както още го наричат, шестоъгълник. Разрезът на ореха, полето на шестоъгълния шах, някои сложни молекуливъглерод (например графит), снежинка, пчелна пита и други предмети. Наскоро беше открит гигантски правилен шестоъгълник. Не изглежда ли странно, че природата толкова често използва структури с тази конкретна форма за своите творения? Нека да разгледаме по-отблизо.
Правилният шестоъгълник е многоъгълник с шест равни страни и равни ъгли. от училищен курсзнаем, че има следните свойства:
- Дължината на страните му съответства на радиуса на описаната окръжност. От всички само правилният шестоъгълник има това свойство.
- Ъглите са равни един на друг, а големината на всеки е 120 °.
- Периметърът на шестоъгълник може да се намери по формулата Р=6*R, ако е известен радиусът на описаната около него окръжност, или Р=4*√(3)*r, ако окръжността е вписана в нея. R и r са радиусите на описаната и вписаната окръжност.
- Площта, заета от правилен шестоъгълник, се определя, както следва: S=(3*√(3)*R 2)/2. Ако радиусът е неизвестен, вместо него заместваме дължината на една от страните - както знаете, тя съответства на дължината на радиуса на описаната окръжност.
Един правилен шестоъгълник има такъв интересна функцияпоради което е получил такова широко разпространение в природата - той е в състояние да запълни всяка повърхност на равнината без припокривания и празнини. Има дори така наречената лема на Пал, според която правилен шестоъгълник, чиято страна е равна на 1/√(3), е универсална гума, тоест може да покрие всяко множество с диаметър една единица.
Сега разгледайте конструкцията на правилен шестоъгълник. Има няколко начина, най-лесният от които включва използването на пергел, молив и линийка. Първо начертаваме произволен кръг с пергел, след което поставяме точка на произволно място върху този кръг. Без да променяме решението на компаса, поставяме върха в тази точка, маркираме следващия прорез на кръга, продължаваме по този начин, докато получим всичките 6 точки. Сега остава само да ги свържете един с друг с прави сегменти и желаната фигура ще се окаже.
На практика има моменти, когато трябва да нарисувате голям шестоъгълник. Например, на таван от гипсокартон на две нива, около точката на закрепване на централния полилей, трябва да инсталирате шест малки лампи на долното ниво. Ще бъде много, много трудно да се намери компас с такъв размер. Как да процедираме в този случай? Как се рисува голям кръг? Много просто. Трябва да вземете здрава нишка с желаната дължина и да завържете единия й край срещу молива. Сега остава само да се намери помощник, който да притисне втория край на конеца към тавана в правилната точка. Разбира се, в този случай са възможни незначителни грешки, но е малко вероятно те изобщо да бъдат забележими за външен човек.
Партита. P \u003d a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6, където P е периметърът шестоъгълник, а a1, a2 ... a6 са дължините на страните й. Приведете мерните единици на всяка от страните към една форма - в този случай ще бъде достатъчно да добавите само числовите стойности на дължините от страните. Периметърна единица шестоъгълникще съответства на мерната единица за страните.
Примери от реалния живот
Геометрията е дял от математиката, който се занимава с изучаването на формите с различни измерения и анализа на техните свойства. В това изследване на формите многоъгълното семейство е една от най-често изучаваните форми. Полигоните са затворени от 2D плоски обекти, които имат прави страни. Многоъгълник с 6 страни и 6 ъгъла е известен като шестоъгълник. Всяка затворена плоска двумерна структура с 6 прави страни ще се нарича шестоъгълник. Думата "шестнадесетичен" означава 6, а "ъгъл" се отнася до ъгъла.
Пример: Има шестоъгълник с дължини на страните 1 cm, 2 mm, 3 mm, 4 mm, 5 mm, 6 mm. Изисква се да се намери периметърът й. Решение.1. Мерната единица за първата страна (cm) е различна от единиците за дължините на останалите страни (mm). Следователно преведете: 1 cm = 10 mm.2. 10+2+3+4+5+6=30 (mm).
Ако шестоъгълникът е правилен, тогава, за да намерите неговия периметър, умножете дължината на страната му по шест: P \u003d a * 6, където a е дължината на страната на правилната шестоъгълник.Пример.Намерете периметъра на правилния шестоъгълникс дължина на страната 10 см. Решение: 10 * 6 = 60 (cm).
Както е показано на диаграмата по-долу, шестоъгълникът има 6 страни или ръбове, 6 ъгли и 6 върха. Площта на шестоъгълника е пространството, заето в границите на шестоъгълника. Използвайки измервания на страни и ъгли, можем да намерим площта на шестоъгълника. Шестоъгълниците могат да бъдат наблюдавани в различни форми в нашата красива природа. Фигурата по-долу показва защрихованата част вътре в границите на шестоъгълника, която се нарича зона на шестоъгълника.
Този тип шестоъгълник също няма 6 равни ъгли. Ако върховете на неправилен шестоъгълник сочат навън, тогава той е известен като изпъкнал неправилен шестоъгълник, а ако върховете на шестоъгълника сочат навътре, тогава той е известен като вдлъбнат неправилен шестоъгълник, както е показано на фигурата по-долу. Тъй като измерванията на страните и ъглите не са равни, така че трябва да използваме различни стратегии, за да намерим площта на неправилния шестоъгълник. Методът за изчисляване на площта на правилен шестоъгълник е различен от метода за изчисляване на площта на неправилен шестоъгълник.
Правилният шестоъгълник има уникално свойство: радиусът на описаната около него окръжност шестоъгълникокръжност е равна на дължината на нейната страна. Следователно, ако радиусът на описаната окръжност е известен, използвайте формулата: P = R * 6, където R е радиусът на описаната окръжност.
Площ на правилен шестоъгълник: Правилният шестоъгълник има всичките 6 страни и 6 ъгъла с еднаква мярка. Когато се прекарат диагонали през центъра на шестоъгълника, се образуват 6 равностранни триъгълника с еднакъв размер. Ако се изчисли площта на един равностранен триъгълник, тогава можем лесно да изчислим площта на този правилен шестоъгълник. Следователно всички негови страни също са равни.
Сега правилният шестоъгълник се състои от 6 такива еднакви равностранни триъгълника. Пример 1: Каква е площта на правилен шестоъгълник, чиято дължина е 8 cm? Пример 2: Ако площта на правилен шестоъгълник е √12 квадратни фута, каква е дължината на страната на шестоъгълника?
Пример.Изчислете периметъра на правилния шестоъгълник, написано в кръг с диаметър 20 см. Решение. Радиусът на описаната окръжност ще бъде равен на: 20/2=10 (см). Следователно периметърът шестоъгълник: 10 * 6 = 60 (cm).
Пример: намерете площта на неправилния шестоъгълник, показан на фигурата по-долу. Шестоъгълните мрежи се използват в някои игри, но те не са толкова прости или често срещани като квадратните мрежи. Много части от тази страница са интерактивни; избирането на тип мрежа ще актуализира диаграмите, кода и текста, за да съответстват. Примерните кодове на тази страница са написани на псевдокод; те са предназначени да бъдат лесни за четене и разбиране, така че да можете да напишете своя собствена реализация.
Шестоъгълниците са шестоъгълни многоъгълници. Обикновените шестоъгълници имат всички страни с еднаква дължина. Типичните ориентации за хексаритмичните мрежи са хоризонтални и вертикални. Всеки ръб е разделен от два шестоъгълника. Всеки ъгъл е разделен от три шестоъгълника. В моята статия за частите на мрежата. в правилен шестоъгълник вътрешни ъгли 120°. Има шест "клина", всеки от които е равностранен триъгълник с 60° ъгли вътре.
Ако според условията на проблема е даден радиусът на вписаната окръжност, тогава се прилага формулата: P = 4 * √3 * r, където r е радиусът на окръжността, вписана в правилен шестоъгълник.
Ако областта на правилната шестоъгълник, тогава за да изчислите периметъра, използвайте следното съотношение: S \u003d 3/2 * √3 * a², където S е площта на правилната шестоъгълник. От тук можете да намерите a = √(2/3 * S / √3), следователно: Р = 6 * a = 6 * √(2/3 * S / √3) = √(24 * S / √3) = √ (8 * √3 * S) = 2√(2S√3).
Даден е хексагон, който има 6 съседни хекса? Както бихте очаквали, отговорът е прост с координатите на куба, все още е доста прост с аксиалните координати и малко труден с координатите на отместването. Може също така да изчислим 6 диагонални шестоъгълника.
Като се има предвид местоположението и разстоянието, какво се вижда от това място и не е блокирано от препятствия? Най-лесният начин да направите това е да начертаете линия за всеки шестоъгълен диапазон. Ако линията не удря стени, можете да видите шестоъгълника. Задръжте мишката над шестоъгълника, за да видите как линията се простира до него и какви стени удря.
По дефиниция от планиметрията правилният многоъгълник е изпъкнал многоъгълник, чиито страни са равни една на друга и ъглите също са равни един на друг. Правилният шестоъгълник е правилен многоъгълник с шест страни. Има няколко формули за изчисляване на площта на правилен многоъгълник.
- Изпъкнал седмоъгълник е този, който няма тъпи вътрешни ъгли.
- Вдлъбната спирала е тази с тъп вътрешен ъгъл.
където a е дължината на страната на правилен шестоъгълник.
Пример.
Намерете периметъра на правилен шестоъгълник с дължина на страната 10 cm.
Решение: 10 * 6 = 60 (cm).
Правилният шестоъгълник има уникално свойство: радиусът на описаната окръжност около такъв шестоъгълник е равен на дължината на неговата страна. Следователно, ако радиусът на описаната окръжност е известен, използвайте формулата:
където R е радиусът на описаната окръжност.
Пример.
Изчислете обиколката на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност с диаметър 20 cm.
Решение.
Радиусът на описаната окръжност ще бъде равен на: 20/2=10 (cm).
Следователно периметърът на шестоъгълника е: 10 * 6 = 60 (cm). Ако според условията на проблема е даден радиусът на вписаната окръжност, тогава приложете формулата:
където r е радиусът на окръжност, вписана в правилен шестоъгълник.
Ако площта на правилния шестоъгълник е известна, използвайте следното съотношение, за да изчислите периметъра:
S = 3/2 * v3 * a?,
където S е площта на правилен шестоъгълник.
От тук можем да намерим a = v(2/3 * S / v3), следователно:
P = 6 * a = 6 * v(2/3 * S / v3) = v(24 * S / v3) = v(8 * v3 * S) = 2v(2Sv3).
Колко просто
За да намерите площта на правилен шестоъгълник онлайн, като използвате формулата, от която се нуждаете, въведете числата в полетата и щракнете върху бутона „Изчисли онлайн“.
внимание!Числата с точка (2.5) трябва да се пишат с точка (.), а не със запетая!
1. Всички ъгли на правилния шестоъгълник са 120°
2. Всички страни на правилен шестоъгълник са еднакви една с друга
Правилен шестоъгълен периметър
4. Формата на повърхността на правилен шестоъгълник
5. Радиус на отдалечената окръжност на правилен шестоъгълник
6. Диаметър на кръгла окръжност на нормален шестоъгълник
7. Радиус на въведената правилна шестоъгълна окръжност
8. Връзки между радиусите на въведени и ограничени окръжности
като , и , и , от които следва триъгълник - правоъгълен с хипотенуза - е същото като . По този начин,
10. Дължината на AB е
11. Секторна формула
Изчисляване на отсечки от правилен шестоъгълник
Ориз. 1. Правилни шестоъгълни сегменти, разбити на еднакви диаманти
1. Страната на правилния шестоъгълник е равна на радиуса на отбелязаната окръжност
2. Свързвайки точки с шестоъгълник, получаваме поредица от равни ромби (фиг.
с квадрати
Ориз. Сегменти от правилен шестоъгълник, разбити на еднакви триъгълници
3. Добавете диагонал , , в ромби получаваме шест еднакви триъгълника с повърхности
3. Отсечки от нормален шестоъгълник, разделени на триъгълници
4. Тъй като нормалният шестоъгълник е 120°, площта и те ще бъдат еднакви
5. Площи и използваме квадратната формула на реален триъгълник 
.
Имайки предвид, че в нашия случай височината е , но основата е , получаваме го
Площ на нормален шестоъгълникТова е числото, което е характерно за правилен шестоъгълник в единици площ.
Реален шестоъгълник (шестоъгълник)Това е шестоъгълник, в който всички страници и ъгли са еднакви.
[редактиране] Легенда
Въведете запис:
— дължина на страницата;
н- брой клиенти, n=6;
Ре радиусът на въведената окръжност;
РТова е радиусът на окръжността;
α - половината от централния ъгъл, α = π / 6;
P6- размерът на правилен шестоъгълник;
SΔ- повърхността на равен триъгълник с основа, равна на страната, а страните са равни на радиуса на окръжността;
S6Това е площта на нормален шестоъгълник.
[редактиране] Формули
Формулата се използва за площта на правилен n-ъгълник в n=6:
S_6=\frac(3a^2)(2)CTG\frac(\pi)(6)\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6=6S_(\triangle)\S_(\triangle)=\frac(e^2)( 4) CTG\frac(\pi)(6)\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6=\frac(1)(2)P_6r\P_6=\right(\math)(Math)\Leftrightarrow S_6=6R^2\sin\frac (\ pi)(6)\cos\frac((pi)Frac(\pi)(6)\R=\frac(a)(2\sin\frac(\pi)(6))\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6 = 6r ^2tg \frac(pi)(6),\r=R\cos\frac(\pi)(6)
Използване на тригонометрични ъгли за ъгли α = π / 6:
S_6=\FRAC(3\sqrt(3))(2)^2\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6=6S_(\triangle)\S_(\triangle)=\FRAC(\sqrt(3))(4)^ 2\ Стрелка наляво \Leftrightarrow S_6=\frac(1)(2)P_6r\P_6=6a,\r=\FRAC(\sqrt(3))(2)A\Leftrightarrow\Leftrightarrow S_6=\FRAC(3\sqrt( 3) ) (2) R^2, \R=A\Leftrightarrow\\r=\frac(\sqrt(3))(2)R leftrightarrow S_6=2\sqrt(3)r^2
където (Math)\(pi\)sin\frac(6)=\frac(1)(2)\cos\frac(\pi)(6)=\FRAC(\sqrt(3))(2) , tg \frac(\pi)(6)=\frac(\sqrt(3))(3)pi)(6)=\sqrt(3)
[редактиране] Други многоъгълници
Обща площ на шестоъгълника // KhanAcademyNussian
Пчелите стават шестоъгълни без помощта на пчелите
Може да се направи типичен мрежест модел, ако клетките са триъгълни, квадратни или шестоъгълни.
Шестоъгълната форма е по-голяма от останалите, което ви позволява да съхранявате по стените, оставяйки по-малко сок върху гребените с такива клетки. За първи път тази "икономика" на пчелите е отбелязана в IV. век. Д. и в същото време беше предложено, че пчелите при изграждането на часовници „трябва да бъдат контролирани от математически план“.
Въпреки това, с изследователи от Кардифския университет, техническата слава на пчелите е силно преувеличена: правилната геометрична форма на шестоъгълната клетка на пчелната пита възниква от появата на тяхната физическа сила и единствените помощници на насекомите.
Защо е прозрачен?
Марк Медовник
Роден от кристали?
Николай Юшкин
По своята структура най-простите най-прости биосистеми и въглеводородните кристали са най-простите.
Ако такъв минерал се допълни с протеинови компоненти, тогава получаваме истински протоорганизъм. Така започва началото на концепцията за кристализиране на произхода на живота.
Спор за структурата на водата
Маленков Г.Г.
Противоречията относно структурата на водата са повод за безпокойство от десетилетия в научната общност, както и в хората, които не се занимават с наука. Този интерес не е случаен: структурата на водата понякога се приписва на лечебни свойства и мнозина смятат, че тази структура може да бъде контролирана по някакъв начин. физичен методили просто силата на ума.
А какво е мнението на учените, които десетилетия изследват загадките на водата в течно и твърдо състояние?
Мед и лечение
Стоймир Младенов
Използване на опита на други изследователи и резултатите от експериментални и клинични експериментални изследвания, авторът обръща внимание на лечебните свойства на пчелите и метода на използването им в медицината като част от техните възможности.
За да бъде тази работа по-стабилна на външен вид и за да може читателят да придобие по-цялостен поглед върху икономическото и медицинското значение на пчелите в книгата, други пчелни продукти, които са неразривно свързани с живота на пчелите, а именно пчелната отрова, пчелно млечице, цветен прашец, восък, ще бъдат разгледани накратко и прополис, както и връзката между науката и тези продукти.
Каустика в равнината и във Вселената
Каустиците са всеобхватни оптични повърхности и криви, които възникват, когато светлината се отразява и унищожава.
Каустиците могат да бъдат описани като линии или повърхности с концентриран лъч светлина.
Как работи транзисторът?
Те са навсякъде: във всеки електроуред, от телевизора до старото тамагочи.
Ние не знаем нищо за тях, защото ги възприемаме като реалност. Но без тях светът би се променил напълно. полупроводници. За това какво представлява и как работи.
Нека хлебарката се окаже бурна
Международен екип от учени установи колко лесно е за мухите да летят при много ветровити условия. Оказа се, че дори при условия на значителни удари, специален механизъм за създаване на повдигащи сили позволява на насекомите да останат в движение с минимални допълнителни разходи за енергия.
Установен е механизмът на самоорганизация на нанокристалите от карбонати и силикати в биоморфната структура
Елена Наймарк
Испански учени са открили механизъм, който може да предизвика спонтанно образуване на карбонатни и силикатни кристали с много сложна и необичайна форма.
Тези кристални неоплазми са подобни на биоморфи - неорганични структури, получени с участието на живи организми. И механизмът, водещ до такава мимикрия, е изненадващо прост - това е само спонтанна флуктуация в pH на разтвор на карбонати и силикати на границата между твърд кристали течната среда, която се образува.
Фалшиви проби за високо налягане
Комаров С.М.
с каква формула да намерим площта на правилен шестоъгълник от страница 2?
- това са шест едностранни триъгълника със страна 2
повърхността на равностранен триъгълник е a и квадратният корен е 3 делено на 4, където a = 2 - Площта на кулата е 12 * основата на височината. Шестоъгълникът е шестоъгълен многоъгълник, разделен на шест равни триъгълника.
всички равностранни триъгълници с ъгъл 60 градуса и страна 2 см намерете височината на питагоровата теорема 2 в квадрати = 1 височина на квадрат на корен квадратен, така че височина = 3S = 12 * 2 * 3 + корен квадратен от 3 часа TP 6 означава корен 6 от 3
- Характеристика на правилния шестоъгълник е равенството на неговата страна t и радиуса на отдалечения кръг (R = t).
Нормалната площ на шестоъгълник се изчислява с помощта на уравнението:
Истински шестоъгълник
- Нормалната площ на шестоъгълник е 3x за корен квадратен. 3 x R2 / 2, където R е радиусът на окръжността около него. В правилния шестоъгълник има една и съща страна на шестоъгълника = 2, тогава площта ще бъде равна на квадрата на корена 6x. от 3.
Внимание, само ДНЕС!
С въпрос: Как да намерите площта на шестоъгълник?, можете да срещнете не само в изпита по геометрия и т.н., това знание ще бъде полезно в ежедневието, например за правилното и точно изчисляване на площта на стаята по време на процеса на ремонт. Чрез заместване на необходимите стойности във формулата ще бъде възможно да се определи необходимия брой ролки тапети, плочки за баня или кухня и др.
Някои факти от историята
Геометрията е била използвана още в древен Вавилони други държави, съществували по същото време с него. Изчисленията помогнаха при изграждането на значителни структури, защото благодарение на тях архитектите знаеха как да поддържат вертикалата, правилно да съставят план и да определят височината.
Естетиката също имаше голямо значение, и тук отново влезе в игра геометрията. Днес тази наука е необходима на строител, резач, архитект, а не на специалист.
Следователно е по-добре да можете да изчислявате S цифри, за да разберете, че формулите могат да бъдат полезни на практика.
Площ на правилен 6-ъгълник
Така че имаме шестоъгълна фигура с равни страни и ъгли. В ежедневието често имаме възможност да срещнем предмети с правилна шестоъгълна форма.
Например:
- винт;
- пчелни пити;
- снежинка.
Шестоъгълната фигура най-икономично запълва пространството в самолета. Разгледайте тротоарните плочи, напаснати една към друга, за да няма луфтове.
Всеки ъгъл е 120˚. Страната на фигурата е равна на радиуса на описаната окръжност.
Изчисляване
Необходимата стойност може да се изчисли чрез разделяне на фигурата на шест триъгълника с равни страни.
След като се изчисли S на един от триъгълниците, лесно се определя общият. Проста формула, тъй като правилният шестоъгълник всъщност е шест равни триъгълници. По този начин, за да го изчислите, намерената площ на всеки триъгълник се умножава по 6.
Ако начертаем перпендикуляр от центъра на шестоъгълника към която и да е от страните му, получаваме сегмент - апотема.
Нека да видим как да намерим S на шестоъгълник, ако апотемата е известна:
- S =1/2×периметър×апотема.
- Да вземем апотема, равна на 5√3 cm.
- Намираме периметъра с помощта на апотемата: тъй като апотемата е перпендикулярна на страната на 6-ъгълника, ъглите на триъгълника, образуван с апотемата, са 30˚-60˚-90˚. Всяка страна на триъгълника съответства на: x-x√3-2x, където късата срещу ъгъл от 30˚ е x; дългата страна спрямо ъгъла от 60˚ е x√3, а хипотенузата е 2x.
- Апотемата x√3 може да бъде заменена във формулата a=x√3. Ако апотемата е 5√3, замествайки тази стойност, получаваме: 5√3cm=x√3, или x=5cm.
- Късата страна на триъгълника е 5 cm, тъй като тази стойност е половината от дължината на страната на 6-ъгълника. Умножавайки 5 по 2, получаваме 10 см, което е стойността на дължината на страната.
- Умножаваме получената стойност по 6 и получаваме стойността на периметъра - 60 см.
Заместваме получените резултати във формулата: S=1/2×периметър×апотема
S=½×60cm×5√3
Ние вярваме:
Ние опростяваме отговора, за да се отървем от корените. Резултатът ще бъде изразен в квадратни сантиметри: ½×60cm×5√3cm=30×5√3cm=150√3cm=259.8s m².
Как да намерите площта на неправилен шестоъгълник
Има няколко опции:
- Разбивка на 6-ъгълник на други фигури.
- трапецовиден метод.
- Изчисляване на S неправилни многоъгълници с помощта на координатни оси.
Изборът на метод се определя от първоначалните данни.
Метод на трапец
Шестоъгълникът е разделен на отделни трапеци, след което се изчислява площта на всяка получена фигура.
Използване на координатни оси
Използваме координатите на върховете на многоъгълника:
- Записваме координатите на върховете x и y в таблицата. Последователно изберете върховете, "движейки се" обратно на часовниковата стрелка, допълвайки списъка чрез повторно записване на координатите на първия връх.
- Умножете стойността x на 1-ви връх по стойността на y на 2-ри връх и продължете да умножавате. Обобщаваме резултатите.
- Умножаваме стойностите на координатите на y1-ия връх по стойностите на x-координатите на втория връх. Сумираме резултатите.
- Извадете сумата, получена в 4-тия етап, от сумата, получена в третия етап.
- Разделяме резултата, получен на предишния етап, и намираме това, което търсихме.
Разделяне на шестоъгълник на други форми
Многоъгълниците се разделят на други форми: трапец, триъгълници, правоъгълници. Използвайки формулите за изчисляване на площите на изброените фигури, необходимите стойности се изчисляват и сумират.
Един неправилен шестоъгълник може да се състои от два паралелограма. За да се изчисли площта на паралелограма, дължината му се умножава по ширината му и след това се добавят вече познатите две области.
Площ на равностранен шестоъгълник
Правилният шестоъгълник има шест равни страни. Площта на една равностранна фигура е равна на 6S триъгълници, на които е разделен правилен шестоъгълник. Всеки триъгълник в правилен шестоъгълник е равен, следователно, за да се изчисли площта на такава фигура, е достатъчно да се знае площта на поне един триъгълник.
За да намерите желаната стойност, използвайте формулата за площта на обикновената фигура, описана по-горе.
Темата за многоъгълниците се провежда в училищна програмано не му обръщат достатъчно внимание. Междувременно е интересно и това е особено вярно за правилния шестоъгълник или шестоъгълник - в крайна сметка много природни обекти имат тази форма. Те включват пчелни пити и др. Тази форма се прилага много добре в практиката.
Определение и конструкция
Правилният шестоъгълник е плоска фигура, която има шест страни с еднаква дължина и същия брой равни ъгли.
Ако си припомним формулата за сумата от ъглите на многоъгълник
се оказва, че в тази цифра е равна на 720 °. Е, тъй като всички ъгли на фигурата са равни, лесно е да се изчисли, че всеки от тях е равен на 120 °.
Начертаването на шестоъгълник е много просто, всичко, от което се нуждаете, е пергел и линийка.
Инструкциите стъпка по стъпка ще изглеждат така:
Ако желаете, можете да направите без линия, като начертаете пет кръга с еднакъв радиус.
Така получената фигура ще бъде правилен шестоъгълник и това може да се докаже по-долу.
Имотите са прости и интересни
За да разберете свойствата на правилния шестоъгълник, има смисъл да го разделите на шест триъгълника:
Това ще помогне в бъдеще за по-ясно показване на неговите свойства, основните от които са:
- диаметър на описаната окръжност;
- диаметър на вписаната окръжност;
- квадрат;
- периметър.
Описаната окръжност и възможност за застрояване
Възможно е да се опише кръг около шестоъгълник и освен това само един. Тъй като тази фигура е правилна, можете да го направите съвсем просто: начертайте ъглополовяща от два съседни ъгъла вътре. Те се пресичат в точка О и заедно със страната между тях образуват триъгълник.
Ъглите между страната на шестоъгълника и ъглополовящите ще бъдат 60° всеки, така че определено можем да кажем, че триъгълник, например AOB, е равнобедрен. И тъй като третият ъгъл също ще бъде равен на 60 °, той също е равностранен. От това следва, че отсечките OA и OB са равни, което означава, че могат да служат за радиус на окръжността.
След това можете да отидете на следващата страна и да начертаете ъглополовяща от ъгъла в точка С. Ще се получи друг равностранен триъгълник, а страната AB ще бъде обща за две наведнъж, а OS ще бъде следващият радиус, през който преминава същата окръжност. Ще има общо шест такива триъгълника и те ще имат общ връх в точка O. Оказва се, че ще бъде възможно да се опише кръгът, а той е само един и радиусът му е равен на страната на шестоъгълника :
Ето защо е възможно да се изгради тази фигура с помощта на пергел и линийка.
Е, площта на този кръг ще бъде стандартна:
Вписан кръг
Центърът на описаната окръжност съвпада с центъра на вписаната. За да проверим това, можем да начертаем перпендикуляри от точка O към страните на шестоъгълника. Те ще бъдат височините на онези триъгълници, които съставят шестоъгълника. А в равнобедрен триъгълник височината е медианата по отношение на страната, на която лежи. Така тази височина не е нищо друго освен перпендикулярна ъглополовяща, която е радиусът на вписаната окръжност.
Височината на равностранен триъгълник се изчислява просто:
h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2
И тъй като R=a и r=h, се оказва, че
r=R(√3)/2.
Така вписаната окръжност минава през центровете на страните на правилен шестоъгълник.
Площта му ще бъде:
S=3πa²/4,
тоест три четвърти от описаното.
Периметър и площ
Всичко е ясно с периметъра, това е сумата от дължините на страните:
Р=6а, или P=6R
Но площта ще бъде равна на сумата от всичките шест триъгълника, на които може да бъде разделен шестоъгълникът. Тъй като площта на триъгълник се изчислява като половината от произведението на основата и височината, тогава:
S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2или
S=3R²(√3)/2
Тези, които желаят да изчислят тази площ през радиуса на вписаната окръжност, могат да направят така:
S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)
Занимателни конструкции
Триъгълник може да бъде вписан в шестоъгълник, чиито страни ще свързват върховете през едно:
Те ще бъдат общо две, а налагането им едно върху друго ще даде звездата на Давид. Всеки от тези триъгълници е равностранен. Това е лесно да се провери. Ако погледнете страната AC, тогава тя принадлежи на два триъгълника наведнъж - BAC и AEC. Ако в първия от тях AB \u003d BC, а ъгълът между тях е 120 °, тогава всеки от останалите ще бъде 30 °. От това можем да направим логични изводи:
- Височината на ABC от върха B ще бъде равна на половината от страната на шестоъгълника, тъй като sin30°=1/2. Тези, които желаят да проверят това, могат да бъдат посъветвани да преизчислят според теоремата на Питагор, тя пасва идеално тук.
- Страната AC ще бъде равна на два радиуса на вписаната окръжност, което отново се изчислява с помощта на същата теорема. Тоест AC=2(a(√3)/2)=а(√3).
- Триъгълниците ABC, CDE и AEF са равни по двете страни и ъгъла между тях и оттук следва равенството на страните AC, CE и EA.
Пресичайки се един с друг, триъгълниците образуват нов шестоъгълник, който също е правилен. Лесно се доказва:
Така фигурата отговаря на признаците на правилен шестоъгълник - има шест равни страни и ъгли. От равенството на триъгълниците във върховете е лесно да се изведе дължината на страната на новия шестоъгълник:
d=а(√3)/3
Това ще бъде и радиусът на описаната около него окръжност. Радиусът на вписания ще бъде половината от страната на големия шестоъгълник, което беше доказано при разглеждането на триъгълника ABC. Височината му е точно половината от страната, следователно втората половина е радиусът на окръжността, вписана в малкия шестоъгълник:
r₂=а/2
S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2
Оказва се, че площта на шестоъгълника вътре в звездата на Давид е три пъти по-малка от тази на големия, в който е вписана звездата.
От теория към практика
Свойствата на шестоъгълника се използват много активно както в природата, така и в различни области на човешката дейност. На първо място, това се отнася за болтовете и гайките - шапките на първия и втория не са нищо повече от правилен шестоъгълник, ако не вземете предвид фаските. Размерът на гаечните ключове съответства на диаметъра на вписания кръг - т.е. разстоянието между противоположните страни.
Намери своето приложение и шестоъгълни плочки. Той е много по-рядко срещан от четириъгълния, но е по-удобно да го поставите: три плочки се събират в една точка, а не четири. Композициите могат да бъдат много интересни:
Произвеждат се и бетонови тротоарни плочи.
Разпространението на шестоъгълника в природата се обяснява просто. По този начин е най-лесно да монтирате кръгове и топки плътно върху равнина, ако имат еднакъв диаметър. Поради това пчелните пити имат такава форма.
