Свойства и графики на тригонометрични функции. Тригонометрични функции на числов аргумент. Графика и свойства на функцията y \u003d sin x Функции на числов аргумент

Назад напред

Внимание! Предварителният преглед на слайда е само за информационни цели и може да не представлява пълния обхват на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока:

1. Развитие на умения и способности за прилагане на тригонометрични формули за опростяване на тригонометричните изрази.
2. Прилагане на принципа на действения подход в обучението на учениците, развитие на комуникативните умения и толерантността на учениците, умението да слушат и чуват другите и да изразяват мнението си.
3. Повишаване на интереса на учениците към математиката.

Тип урок:обучение.

Тип урок:урок за развитие на умения.

Форма на обучение:група.

Тип група: група, седнала заедно. Ученици с различни нива на обучение, информираност по този предмет, съвместими ученици, което им позволява да се допълват и обогатяват взаимно.

Оборудване:дъска; парче тебешир; таблица "Тригонометър"; маршрутни листове; карти с букви (A, B, C.) за завършване на теста; табели с имена на екипажа; оценъчни листове; таблици с имената на етапите на пътя; магнити, мултимедиен комплекс.

По време на занятията

Учениците седят на групи: 4 групи по 5-6 души. Всяка група представлява екипаж на превозни средства с имена, съответстващи на имената на тригонометричните функции, оглавявани от кормчия. Всеки екипаж получава маршрутен лист и се определя целта: да премине успешно дадения маршрут, без грешки. Урокът е придружен от презентация.

I. Организационен момент.

Учителят съобщава темата на урока, целта на урока, хода на урока, плана за работа на групите, ролята на кормчиите.

Встъпително слово на учителя:

– момчета! Запишете числото и темата на урока: „Тригонометрични функции на числов аргумент“.

Днес в урока ще научим:

1. Изчислете стойностите на тригонометричните функции;
2. Опростете тригонометричните изрази.

За това трябва да знаете:

1. Дефиниции на тригонометрични функции
2. Тригонометрични отношения (формули).

Отдавна се знае, че една глава е добре, но две са по-добре, затова днес работите в групи. Известно е също, че пътят ще бъде овладян от ходещият. Но живеем в епоха на скорости и времето е ценно, което означава, че можем да кажем това: „Ездачът ще овладее пътя“, така че днес ще имаме урок под формата на играта Математическо рали. Всяка група е екипажът на автомобила, воден от кормчия.

Цел на играта:

• успешно завършване на маршрута за всеки екипаж;
• разкриват рали шампиони.

Името на екипажите съответства на марката на автомобила, с който се движите.

Представени са екипажите и техните рулеви:

• Екипаж - "синус"
• Екипаж - "косинус"
• Екипаж - "тангента"
• Екипаж - "котангенс"

Мотото на състезанието: "Побързайте бавно!"

Трябва да бягате по "математическия терен" с много препятствия.

На всеки екипаж бяха издадени маршрутни листове. Екипажи, които знаят дефиниции и тригонометрични формули, ще могат да преодоляват препятствия.

По време на бягането всеки рулеви води екипажа, като помага и оценява приноса на всеки член на екипажа за преодоляване на маршрута под формата на „плюси“ и „минуси“ в протокола. За всеки верен отговор групата получава „+“, неправилен „-“.

Трябва да преодолеете следните етапи на пътя:

I етап. SDA (правила на пътя).
II етап. Инспекция.
III етап. Крос кънтри състезания.
IV етап. Внезапното спиране е злополука.
V етап. Спиране.
VI етап. Завършек.
VII етап. Резултати.

И така по пътя!

I етап. SDA (правила на пътя).

1) Във всеки екипаж рулевите раздават билети на всеки член на екипажа с теоретични въпроси:

1. Кажете определението на синуса на числото t и неговите знаци в четвъртинки.
2. Кажете определението на косинуса на числото t и неговите знаци в четвъртинки.
3. Назовете най-малките и най-големите стойности на sin t и cos t.
4. Кажете определението на тангенса на числото t и неговите знаци в четвъртинки.
5. Кажете определението на котангенса на числото t и неговите знаци в четвъртинки.
6. Кажете ни как да намерим стойността на функцията sin t от известно число t.

2) Съберете "разбитите" формули. Има маса на тайна дъска (вижте по-долу). Екипажите трябва да коригират формулите. Всеки отбор записва отговора на дъската под формата на ред от съответните букви (по двойки).

Отговор: ab, vg, de, таралеж, zi, yk.

II етап. Инспекция.

Устна работа: тест.

На тайната дъска е написано: задача: опростете израза.

До него са написани отговорите. Екипажите определят верните отговори за 1 мин. и вземете съответния набор от букви.

Отговор: S.V.A.

III етап. Крос кънтри състезания.

3 минути до екипажите за среща за решаване на задачата, а след това представителите на екипажите записват решението на таблото. Когато представителите на екипажа завършат записването на решението на първата задача, всички ученици (заедно с учителя) проверяват правилността и рационалността на решенията и ги записват в тетрадка. Рулевите оценяват приноса на всеки член на екипажа със знаците "+" и "-" в оценъчните листове.

Задачи от учебника:

• Екипаж - "синус": No 118 g;
• Екипаж - "косинус": No 122 а;
• Екипаж - "тангента": No 123 g;
• Екипаж - "котангенс": No125

IV етап. Внезапното спиране е злополука.

– Колата ти се е развалила. Вашият автомобил трябва да бъде оправен.

За всеки екипаж са дадени отчети, но те съдържат грешки. Намерете тези грешки и обяснете защо са допуснати. Изразите използват тригонометрични функциисъответстващи на марките на вашите машини.

V етап. Спиране.

Вие сте уморени и трябва да си починете. Докато екипажът почива, рулевите обобщават предварителните резултати: разглеждат „плюсовете“ и „минусите“ на членовете на екипажа и на екипажа като цяло.

За студенти:

3 или повече "+" - оценка "5";
2 "+" - оценка "4";
1 "+" - резултат "3".

За екипажите:"+" и "-" се отменят взаимно. Отчитат се само останалите знаци.

Познайте шарадата.

От числата вземаш първата ми сричка,
Вторият - от думата "горд".
И караш третите коне,
Четвъртият ще е блеенето на овца.
Петата ми сричка е същата като първата
Последната буква в азбуката е шестата,
И ако познаеш правилно,
Тогава по математика ще получите раздел като този.
(тригонометрия)

Думата "тригонометрия" (от гръцките думи "trigonon" - триъгълник и "metreo" - измервам) означава "измерване на триъгълници". Появата на тригонометрията е свързана с развитието на географията и астрономията – науката за движението на небесните тела, устройството и развитието на Вселената.

В резултат на направените астрономически наблюдения се наложи да се определи положението на светилата, да се изчислят разстояния и ъгли. Тъй като някои разстояния, например от Земята до други планети, не могат да бъдат измерени директно, учените започнаха да разработват методи за намиране на връзки между страните и ъглите на триъгълник, в който два върха са разположени на земята, а третият е планета или звезда. Такива връзки могат да бъдат получени чрез изучаване на различни триъгълници и техните свойства. Ето защо астрономическите изчисления доведоха до решението (т.е. намирането на елементите) на триъгълника. Това прави тригонометрията.

Началото на тригонометрията е открито в древен Вавилон. Вавилонските учени успяха да предскажат слънчеви и лунни затъмнения. Някои сведения от тригонометричен характер се намират в древните паметници на други народи от древността.

VI етап. Завършек.

За да преминете успешно финалната линия, остава да се стегнете и да направите „тръпка“. В тригонометрията е много важно да можете бързо да определяте стойностите на sin t, cost, tgt, ctg t, където 0 ≤ t ≤ . Затворете учебниците.

Екипажите последователно назовават стойностите на функциите sin t, cost, tgt, ctg t, ако:

VII етап. Резултати.

Резултати от играта.

Кормячите предават оценъчни листове. Определя се екипажът, станал шампион на "Математическото рали" и се характеризира работата на останалите групи. Следват имената на получилите оценки "5" и "4".

Резултати от урока.

- Момчета! Какво научихте в клас днес? (опростете тригонометричните изрази; намерете стойностите​​ на тригонометричните функции). Какво трябва да знаете за това?

• дефиниции и свойства на sin t, cos t, tg t, ctg t;
• отношения, свързани със стойностите на различни тригонометрични функции;
• знаци на тригонометрични функции по четвъртините на числов кръг.
• стойности на тригонометричните функции на първата четвърт на числовия кръг.

- Мисля, че разбирате, че формулите трябва да се познават добре, за да се прилагат правилно. Освен това разбрахте, че тригонометрията е много важна част от математиката, тъй като се използва в други науки: астрономия, география, физика и т.н.

Домашна работа:

• за ученици, получили „5“ и „4“: §6, бр.128а, 130а, 134а.
• за други ученици: §6, #119g, #120g, #121g.

Определение 1:Числовата функция, дадена с формулата y=sin x, се нарича синус.

Тази крива се нарича синусоида.

Свойства на функцията y=sin x

2. Обхват на функцията: E(y)=[-1; един]

3. Функция за четност:

y=sin x – нечетно,.

4. Периодичност: sin(x+2πn)=sin x, където n е цяло число.

Тази функция приема същите стойности след определен интервал. Това свойство на функция се извиква периодичност.Интервалът е периодът на функцията.

За функцията y=sin x периодът е 2π.

Функцията y=sin x е периодична, с период T=2πn, n е цяло число.

Най-малкият положителен период T=2π.

Математически това може да се запише като: sin(x+2πn)=sin x, където n е цяло число.

Определение 2:Числовата функция, дадена с формулата y=cosx, се нарича косинус.

Свойства на функцията y=cos x

1. Обхват на функцията: D(y)=R

2. Обхват на функцията: E(y)=[-1;1]

3. Функция за четност:

y=cos x е четно.

4. Периодичност: cos(x+2πn)=cos x, където n е цяло число.

Функцията y=cos x е периодична, с период Т=2π.

Определение 3:Числената функция, дадена с формулата y=tg x, се нарича допирателна.

Свойства на функцията y=tg x

1. Домен на функцията: D(y) - всички реални числа с изключение на π/2+πk, k е цяло число. Защото в тези точки допирателната не е дефинирана.

3. Функция за четност:

y=tg x е нечетно.

4. Периодичност: tg(x+πk)=tg x, където k е цяло число.

Функцията y=tg x е периодична с период π.

Определение 4:Числената функция, дадена с формулата y=ctg x, се нарича котангенс.

Свойства на функцията y=ctg x

1. Функционална област: D(y) - всички реални числа, с изключение на πk, k е цяло число. Тъй като в тези точки котангенсът не е дефиниран.

2. Обхват на функцията: E(y)=R.

Основната тригонометрична идентичност в руските учебници по математика е съотношението sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

Разгледахме най-основните тригонометрични функции (не се заблуждавайте, освен синус, косинус, тангенс и котангенс, има много други функции, но повече за тях по-късно), но засега ще разгледаме някои от основни свойства на вече изследваните функции.

Тригонометрични функции на числов аргумент

Каквото и реално число t да се вземе, може да му бъде присвоено уникално дефинирано число sin(t) . Вярно е, че правилото за съответствие е доста сложно и се състои в следното.

За да намерите стойността на sin(t) по числото t, трябва:

1. позиционирайте числовата окръжност в координатната равнина така, че центърът на окръжността да съвпада с началото, а началната точка A на окръжността да удари точката (1; 0);
2. намерете точка от окръжността, съответстваща на числото t;
3. намерете ординатата на тази точка.
4. тази ордината е желаният sin(t) .

Всъщност говорим за функцията s = sin(t) , където t е всяко реално число. Можем да изчислим някои стойности на тази функция (например sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \)и др.), познаваме някои от неговите свойства.

По същия начин можем да предположим, че вече сме получили някои идеи за още три функции: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) Всички тези функции се наричат ​​тригонометрични функции на числовия аргумент t .

Свързване на тригонометрични функции

Както вие, надявам се, предполагате, че всички тригонометрични функции са взаимосвързани и дори без да знаете стойността на едната, тя може да бъде намерена чрез другата.

Например, най-важната формула на цялата тригонометрия е основна тригонометрична идентичност:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Както можете да видите, знаейки стойността на синуса, можете да намерите стойността на косинуса и обратно. Също така много често срещани формули, свързващи синус и косинус с тангенс и котангенс:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

От последните две формули може да се изведе още една тригометрична идентичност, свързваща този път допирателната и котангенса:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Сега нека видим как работят тези формули на практика.

ПРИМЕР 1. Опростете израза: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) Първо, пишем допирателната, запазвайки квадрата:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Сега въвеждаме всичко под общ знаменател и получаваме:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

И накрая, както виждаме, числителят може да бъде сведен до единица според основната тригонометрична идентичност, като в резултат получаваме: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

б) С котангенса извършваме всички същите действия, само знаменателят вече няма да има косинус, а синус и отговорът ще се окаже така:

\[ 1+ \ кошара^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

След като изпълнихме тази задача, ние изведохме още две много важни формули, които свързват нашите функции, които също трябва да знаете като опакото на ръката си:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Трябва да знаете наизуст всички формули, представени в рамките, в противен случай по-нататъшното изучаване на тригонометрията без тях е просто невъзможно. В бъдеще ще има повече формули и ще има много от тях и ви уверявам, че определено ще ги помните дълго време или може би няма да ги помните, но ВСЕКИ трябва да знае тези шест парчета !