математика е символ на мъдростта на науката,
пример за научна строгост и простота,
еталонът за съвършенство и красота в науката.
Руският философ, професор A.V. Волошинов
Неравенства по модул
Най-трудните за решаване задачи в училищната математика са неравенствата, съдържащи променливи под знака на модула. За успешно решениетакива неравенства е необходимо да се познават добре свойствата на модула и да има умения да ги използвате.
Основни понятия и свойства
модул ( абсолютна стойност) реално число обозначено и се определя, както следва:
Да се прости свойствамодул включва следните отношения:
И .
Забележка, че последните две свойства са валидни за всяка четна степен.
Също така, ако , къде , тогава и
| Повече ▼ комплексни свойствамодул, които могат да се използват ефективно при решаване на уравнения и неравенства с модули, се формулират чрез следните теореми:
Теорема 1.За всякакви аналитични функциии неравенството.
Теорема 2.Равенство е еквивалентно на неравенството.
Теорема 3.Равенство е еквивалентно на неравенството.
Най-често срещаните неравенства в училищната математика, съдържащи неизвестни променливи под знака по модул, са неравенства на форматаи къде някаква положителна константа.
Теорема 4.Неравенство е еквивалентно на двойно неравенство, и решението на неравенствотосе свежда до решаване на множеството неравенстваи .
Тази теорема е частен случай на теореми 6 и 7.
По-сложни неравенства, съдържащи модула са неравенства от вида, и .
Методите за решаване на такива неравенства могат да бъдат формулирани с помощта на следните три теореми.
Теорема 5.Неравенство е еквивалентно на комбинацията от две системи от неравенства
И (1)
Доказателство.От тогава
Това предполага валидността на (1).
Теорема 6.Неравенство е еквивалентна на системата от неравенства
Доказателство.Като , след това от неравенствотоследва това . При това условие неравенствотои в този случай втората система от неравенства (1) се оказва непоследователна.
Теоремата е доказана.
Теорема 7.Неравенство е еквивалентно на комбинацията от едно неравенство и две системи от неравенства
И (3)
Доказателство.Тъй като , Тогава неравенството винаги изпълняван, ако .
Нека бъде , след това неравенствотоще бъде равносилно на неравенство, от което следва множеството от две неравенстваи .
Теоремата е доказана.
Разгледайте типични примери за решаване на задачи на тема „Неравенства, съдържащи променливи под знака на модула.
Решаване на неравенства с модул
Най-простият метод за решаване на неравенства с модул е методът, на базата на разширение на модула. Този метод е общ, в общия случай обаче прилагането му може да доведе до много тромави изчисления. Следователно учениците трябва да познават и други (по-ефективни) методи и техники за решаване на такива неравенства. По-специално, трябва да притежавате умения за прилагане на теореми, дадени в тази статия.
Пример 1Решете неравенството
. (4)
Решение.Неравенството (4) ще бъде решено по "класическия" метод - метода на разширение по модули. За тази цел прекъсваме числовата осточки и интервали и разгледайте три случая.
1. Ако , тогава , , , и неравенството (4) приема форматаили .
Тъй като случаят е разгледан тук, , е решение на неравенство (4).
2. Ако , тогава от неравенство (4) получавамеили . Тъй като пресечната точка на интервалитеи празно е, тогава няма решения на неравенството (4) на разглеждания интервал.
3. Ако , тогава неравенството (4) приема форматаили . Очевидно е, че е също решение на неравенството (4).
Отговор: , .
Пример 2Решете неравенството.
Решение.Да предположим, че. Като , тогава даденото неравенство приема форматаили . От тогава и оттук следваили .
Въпреки това , следователно или .
Пример 3Решете неравенството
. (5)
Решение.Като , тогава неравенството (5) е еквивалентно на неравенстватаили . Оттук, според теорема 4, имаме набор от неравенстваи .
Отговор: , .
Пример 4Решете неравенството
. (6)
Решение.Да обозначим . Тогава от неравенството (6) получаваме неравенствата , , или .
Оттук, използвайки интервалния метод, получаваме . Като , тогава тук имаме система от неравенства
Решението на първото неравенство на системата (7) е обединението на два интервалаи , а решението на второто неравенство е двойното неравенство. Това предполага , че решението на системата от неравенства (7) е обединението на два интервалаи .
Отговор: ,
Пример 5Решете неравенството
. (8)
Решение. Преобразуваме неравенство (8) по следния начин:
Или .
Прилагане на интервалния метод, получаваме решение на неравенството (8).
Отговор: .
Забележка. Ако поставим и в условието на теорема 5, тогава получаваме .
Пример 6Решете неравенството
. (9)
Решение. От неравенството (9) следва. Преобразуваме неравенство (9) по следния начин:
Или
Тъй като , тогава или .
Отговор: .
Пример 7Решете неравенството
. (10)
Решение.Тъй като и , тогава или .
В тази връзка и неравенството (10) приема формата
Или
. (11)
От това следва, че или . Тъй като , тогава неравенството (11) също предполага или .
Отговор: .
Забележка. Ако приложим теорема 1 към лявата страна на неравенството (10), тогава получаваме . От тук и от неравенството (10) следва, че или . Като , тогава неравенството (10) приема форматаили .
Пример 8Решете неравенството
. (12)
Решение.От тогава и неравенство (12) предполагаили . Въпреки това , следователно или . От тук получаваме или .
Отговор: .
Пример 9Решете неравенството
. (13)
Решение.Съгласно теорема 7 решенията на неравенство (13) са или .
Нека сега. В такъв случай и неравенството (13) приема форматаили .
Ако комбинираме интервалии , тогава получаваме решение на неравенство (13) от вида.
Пример 10Решете неравенството
. (14)
Решение.Нека пренапишем неравенство (14) в еквивалентен вид: . Ако приложим теорема 1 към лявата страна на това неравенство, тогава получаваме неравенството .
От тук и от теорема 1 следва, че неравенството (14) е изпълнено за всякакви стойности.
Отговор: произволно число.
Пример 11.Решете неравенството
. (15)
Решение. Прилагане на теорема 1 към лявата страна на неравенството (15), получаваме . От тук и от неравенството (15) следва уравнението, което изглежда.
Според теорема 3, уравнението е еквивалентно на неравенството. От тук получаваме.
Пример 12.Решете неравенството
. (16)
Решение. От неравенство (16), съгласно теорема 4, получаваме системата от неравенства
При решаване на неравенствотоизползваме теорема 6 и получаваме системата от неравенстваот което следва.
Помислете за неравенството. Според теорема 7, получаваме набор от неравенстваи . Второто неравенство на населението важи за всяка реалност.
следователно, решението на неравенството (16) са.
Пример 13Решете неравенството
. (17)
Решение.Съгласно теорема 1 можем да пишем
(18)
Отчитайки неравенството (17), заключаваме, че и двете неравенства (18) се превръщат в равенства, т.е. има система от уравнения
По теорема 3 тази система от уравнения е еквивалентна на системата от неравенства
или
Пример 14Решете неравенството
. (19)
Решение.От тогава . Нека умножим двете части на неравенството (19) по израза , който за всякакви стойности приема само положителни стойности. Тогава получаваме неравенство, което е еквивалентно на неравенство (19) от вида
От тук получаваме или , къде . Тъй като и тогава решенията на неравенството (19) саи .
Отговор: , .
За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на неравенства с модула е препоръчително да се обърнете към уроците, изброени в списъка с препоръчани четива.
1. Сборник със задачи по математика за кандидати в технически университети / Изд. М.И. Scanavi. - М .: Светът и образованието, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: методи за решаване и доказване на неравенства. – М.: Ленанд / URSS, 2018. - 264 с.
3. Супрун В.П. Математика за гимназисти: нестандартни методи за решаване на задачи. - М .: КД "Либроком" / URSS, 2017. - 296 с.
Имате ли някакви въпроси?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Днес, приятели, няма да има сополи и сантименти. Вместо това ще ви изпратя в битка с един от най-страшните противници в курса по алгебра за 8-9 клас без допълнителни въпроси.
Да, разбрахте всичко правилно: говорим за неравенства с модул. Ще разгледаме четири основни техники, с които ще се научите да решавате около 90% от тези проблеми. Какво ще кажете за останалите 10%? Е, ще говорим за тях в отделен урок. :)
Въпреки това, преди да анализирам някакви трикове там, бих искал да припомня два факта, които вече трябва да знаете. В противен случай рискувате изобщо да не разберете материала от днешния урок.
Това, което вече трябва да знаете
Капитан Евиденс сякаш намеква, че за да решите неравенства с модул, трябва да знаете две неща:
- Как се разрешават неравенствата?
- Какво е модул.
Да започнем с втората точка.
Дефиниция на модула
Тук всичко е просто. Има две дефиниции: алгебрично и графично. Да започнем с алгебрата:
Определение. Модулът на числото $x$ е или самото число, ако е неотрицателно, или числото срещу него, ако оригиналното $x$ все още е отрицателно.
Пише се така:
\[\вляво| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Казано по-просто, модулът е „число без минус“. И именно в тази двойственост (някъде не е нужно да правите нищо с оригиналния номер, но някъде трябва да премахнете някакъв минус там) и се крие цялата трудност за начинаещи студенти.
има ли още геометрична дефиниция. Също така е полезно да го знаете, но ще се позоваваме на него само в сложни и някои специални случаи, когато геометричният подход е по-удобен от алгебричния (спойлер: не днес).
Определение. Нека точката $a$ е отбелязана на реалната права. Тогава модулът $\left| x-a \right|$ е разстоянието от точката $x$ до точката $a$ на тази права.
Ако нарисувате картина, ще получите нещо подобно:
Дефиниране на графичен модул По един или друг начин от дефиницията на модула веднага следва неговата ключов имот: модулът на числото винаги е неотрицателна стойност. Този факт ще бъде червена нишка през цялата ни история днес.
Решение на неравенствата. Метод на разстояние
Сега нека се справим с неравенствата. Има много от тях, но нашата задача сега е да можем да решим поне най-простите от тях. Тези, които се свеждат до линейни неравенства, както и към метода на интервалите.
Имам два големи урока по тази тема (между другото, много, МНОГО полезни - препоръчвам да изучавате):
- Интервалният метод за неравенства(особено гледайте видеото);
- Дробно-рационални неравенства- много обемен урок, но след него изобщо няма да имате въпроси.
Ако знаете всичко това, ако фразата „да преминем от неравенство към уравнение“ не ви кара смътно да искате да се самоубиете до стената, значи сте готови: добре дошли в ада в основната тема на урока. :)
1. Неравенства от вида "Модул по-малък от функция"
Това е една от най-често срещаните задачи с модули. Необходимо е да се реши неравенство от вида:
\[\вляво| е\вдясно| \ltg\]
Всичко може да действа като функции $f$ и $g$, но обикновено те са полиноми. Примери за такива неравенства:
\[\begin(подравняване) & \left| 2x+3\вдясно| \ltx+7; \\ & \вляво| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \вляво| ((x)^(2))-2\вляво| х \вдясно|-3 \вдясно| \lt 2. \\\end(подравняване)\]
Всички те се решават буквално в един ред според схемата:
\[\вляво| е\вдясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g\quad \left(\Стрелка надясно \вляво\( \begin(подравняване) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(подравняване) \вдясно\вдясно)\]
Лесно е да се види, че се отърваваме от модула, но вместо това получаваме двойно неравенство (или, което е едно и също нещо, система от две неравенства). Но този преход отчита абсолютно всички възможни проблеми: ако числото под модула е положително, методът работи; ако е отрицателен, пак работи; и дори с най-неадекватната функция на мястото на $f$ или $g$, методът ще продължи да работи.
Естествено възниква въпросът: не е ли по-лесно? За съжаление не можете. Това е целият смисъл на модула.
Но стига философстване. Нека решим няколко проблема:
Задача. Решете неравенството:
\[\вляво| 2x+3\вдясно| \ltx+7\]
Решение. И така, имаме класическо неравенство от формата „модулът е по-малък от“ - дори няма какво да се трансформира. Работим по алгоритъма:
\[\begin(подравняване) & \left| е\вдясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g; \\ & \вляво| 2x+3\вдясно| \lt x+7\Стрелка надясно -\ляво(x+7 \вдясно) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(подравняване)\]
Не бързайте да отваряте скобите, предхождани от „минус“: напълно възможно е поради бързането да направите обидна грешка.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(подравняване) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Проблемът е сведен до две елементарни неравенства. Отбелязваме техните решения на успоредни реални прави:
Пресичане на много
Отговорът ще бъде пресечната точка на тези множества.
Отговор: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Задача. Решете неравенството:
\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно|+3\вляво(x+1 \вдясно) \lt 0\]
Решение. Тази задача е малко по-трудна. Като начало изолираме модула, като преместваме втория член надясно:
\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \lt -3\ляво(x+1 \вдясно)\]
Очевидно отново имаме неравенство във формата „модулът е по-малко“, така че се отърваваме от модула според вече познатия алгоритъм:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Сега внимание: някой ще каже, че съм малко перверзник с всички тези скоби. Но още веднъж напомням, че нашата основна цел е Решете правилно неравенството и получете отговора. По-късно, когато овладеете перфектно всичко, което е описано в този урок, можете да се извратите както искате: да отваряте скоби, да добавяте минуси и т.н.
И за начало просто се отърваваме от двойния минус вляво:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\вляво(x+1\вдясно)\]
Сега нека отворим всички скоби в двойното неравенство:
Да преминем към двойното неравенство. Този път изчисленията ще бъдат по-сериозни:
\[\left\( \begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]
\[\left\( \begin(подравняване) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( подравняване)\вдясно.\]
И двете неравенства са квадратни и се решават по интервалния метод (затова казвам: ако не знаете какво е, е по-добре все още да не поемате модулите). Преминаваме към уравнението в първото неравенство:
\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ляво(x+5 \вдясно)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\край (подравняване)\]
Както можете да видите, изходът се оказа непълен. квадратно уравнение, което се решава елементарно. Сега нека се заемем с второто неравенство на системата. Там трябва да приложите теоремата на Виета:
\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\край (подравняване)\]
Отбелязваме получените числа на две успоредни линии (отделно за първото неравенство и отделно за второто):
Отново, тъй като решаваме система от неравенства, ние се интересуваме от пресечната точка на щрихованите множества: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Това е отговорът.
Отговор: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Мисля, че след тези примери схемата за решение е много ясна:
- Изолирайте модула, като преместите всички останали членове на противоположната страна на неравенството. Така получаваме неравенство от вида $\left| е\вдясно| \ltg$.
- Решете това неравенство, като се отървете от модула, както е описано по-горе. В даден момент ще е необходимо да се премине от двойно неравенство към система от два независими израза, всеки от които вече може да бъде решен поотделно.
- И накрая, остава само да пресечем решенията на тези два независими израза - и това е всичко, ще получим окончателния отговор.
Подобен алгоритъм съществува и за неравенства от следния тип, когато модулът повече функция. Има обаче няколко сериозни "но". Сега ще говорим за тези „но“.
2. Неравенства от вида "Модулът е по-голям от функцията"
Те изглеждат така:
\[\вляво| е\вдясно| \gt g\]
Подобно на предишния? Изглежда е така. Въпреки това подобни задачи се решават по съвсем различен начин. Формално схемата е следната:
\[\вляво| е\вдясно| \gt g\Стрелка надясно \left[ \begin(подравняване) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(подравняване) \вдясно.\]
С други думи, разглеждаме два случая:
- Първо, просто игнорираме модула - решаваме обичайното неравенство;
- Тогава всъщност отваряме модула със знака минус и след това умножаваме двете части на неравенството по −1 със знак.
В този случай опциите се комбинират с квадратна скоба, т.е. Имаме комбинация от две изисквания.
Обърнете внимание отново: следователно пред нас не е система, а съвкупност в отговора множествата се комбинират, а не се пресичат. Това е фундаментална разлика от предишния параграф!
Като цяло много студенти имат много объркване със съюзи и кръстовища, така че нека разгледаме този въпрос веднъж завинаги:
- "∪" е знак за конкатенация. Всъщност това е стилизирана буква "U", която дойде при нас на английскии е съкращение за "Съюз", т.е. „Асоциации“.
- "∩" е знакът за пресичане. Тази глупост не дойде отникъде, а просто се появи като опозиция на "∪".
За да го запомните още по-лесно, просто добавете крака към тези знаци, за да направите очила (само не ме обвинявайте, че насърчавам наркоманията и алкохолизма сега: ако изучавате сериозно този урок, значи вече сте наркоман):
Разлика между пресичане и обединение на множества В превод на руски това означава следното: съюзът (колекцията) включва елементи от двата набора, следователно, не по-малко от всеки един от тях; но пресечната точка (системата) включва само онези елементи, които са както в първия набор, така и във втория. Следователно пресечната точка на множествата никога не е по-голяма от изходните множества.
Значи стана по-ясно? Това е страхотно. Да преминем към практиката.
Задача. Решете неравенството:
\[\вляво| 3x+1 \вдясно| \gt 5-4x\]
Решение. Действаме по схемата:
\[\вляво| 3x+1 \вдясно| \gt 5-4x\Стрелка надясно \left[ \begin(подравняване) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(подравняване) \ правилно.\]
Ние решаваме всяко неравенство на населението:
\[\left[ \begin(подравняване) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]
\[\left[ \begin(подравняване) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]
\[\left[ \begin(подравняване) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Маркираме всеки получен набор на числовата линия и след това ги комбинираме:
Съюз на множества
Очевидно отговорът е $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Отговор: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Задача. Решете неравенството:
\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \gtx\]
Решение. Добре? Не, всичко е същото. Преминаваме от неравенство с модул към набор от две неравенства:
\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \gt x\Стрелка надясно \left[ \begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\край (подравняване) \вдясно.\]
Решаваме всяко неравенство. За съжаление корените няма да са много добри там:
\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\край (подравняване)\]
Във второто неравенство има и малко игра:
\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\край (подравняване)\]
Сега трябва да отбележим тези числа на две оси - по една ос за всяко неравенство. Въпреки това, трябва да маркирате точките в правилния ред: колкото по-голямо е числото, толкова повече точката се измества надясно.
И тук чакаме настройка. Ако всичко е ясно с числата $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (членовете в числителя на първия дроб са по-малки от членовете в числителя на втория, така че сумата също е по-малка), с числата $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ също няма да има затруднения (положително число очевидно е по-отрицателно), но с последната двойка всичко не е толкова просто. Кое е по-голямо: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ или $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Подреждането на точките върху числовите прави и всъщност отговорът ще зависи от отговора на този въпрос.
Така че нека сравним:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
Изолирахме корена, получихме неотрицателни числа от двете страни на неравенството, така че имаме право да квадратираме двете страни:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Мисля, че е безсмислено, че $4\sqrt(13) \gt 3$, така че $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, накрая точките по осите ще бъдат подредени така:
Случай с грозни корени
Нека ви напомня, че решаваме множество, така че отговорът ще бъде обединението, а не пресечната точка на защрихованите множества.
Отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\вдясно)$
Както можете да видите, нашата схема работи чудесно както за прости задачи, така и за много трудни. Единственото „слабо място“ в този подход е, че трябва правилно да сравнявате ирационалните числа (и повярвайте ми: това не са само корени). Но отделен (и много сериозен урок) ще бъде посветен на въпросите за сравнение. И продължаваме напред.
3. Неравенства с неотрицателни "опашки"
И така стигнахме до най-интересното. Това са неравенства от вида:
\[\вляво| е\вдясно| \gt\вляво| g\вдясно|\]
Най-общо казано, алгоритъмът, за който ще говорим сега, е валиден само за модула. Той работи във всички неравенства, където има гарантирани неотрицателни изрази отляво и отдясно:
Какво да правим с тези задачи? Просто запомни:
При неравенства с неотрицателни опашки и двете страни могат да бъдат повдигнати до всяка естествена степен. Няма да има допълнителни ограничения.
На първо място, ще се интересуваме от квадратурата - той изгаря модули и корени:
\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ляво(\sqrt(f) \вдясно))^(2))=f. \\\край (подравняване)\]
Просто не бъркайте това с вземането на корена на квадрата:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Бяха направени безброй грешки, когато ученик забрави да инсталира модул! Но това е съвсем различна история (това са сякаш ирационални уравнения), така че няма да навлизаме в нея сега. Нека по-добре да решим няколко проблема:
Задача. Решете неравенството:
\[\вляво| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \надясно|\]
Решение. Веднага забелязваме две неща:
- Това е нестрого неравенство. Точките на числовата линия ще бъдат избити.
- И двете страни на неравенството очевидно са неотрицателни (това е свойство на модула: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Следователно можем да квадратираме двете страни на неравенството, за да се отървем от модула и да решим проблема, използвайки обичайния интервален метод:
\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]
На последната стъпка изневерих малко: промених последователността на термините, използвайки четността на модула (всъщност умножих израза $1-2x$ по −1).
\[\begin(подравняване) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ вдясно)\вдясно)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Решаваме по интервалния метод. Нека преминем от неравенство към уравнение:
\[\begin(подравняване) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]
Отбелязваме намерените корени на числовата права. Още веднъж: всички точки са засенчени, защото първоначалното неравенство не е строго!
Да се отървем от знака на модула
Нека ви напомня за особено упоритите: вземаме знаците от последното неравенство, което беше записано преди да преминем към уравнението. И рисуваме върху необходимите площи в същото неравенство. В нашия случай това е $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Това е. Проблема решен.
Отговор: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Задача. Решете неравенството:
\[\вляво| ((x)^(2))+x+1 \вдясно|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \вдясно|\]
Решение. Правим всичко по същия начин. Няма да коментирам - просто погледнете последователността на действията.
Нека го направим на квадрат:
\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \вдясно| \вдясно))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left((x)^(2))+3x+4 \вдясно))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left((x)^(2))+3x+4 \ вдясно))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \вдясно)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Метод на разстояние:
\[\begin(подравняване) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Стрелка надясно x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Стрелка надясно D=16-40 \lt 0\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
Има само един корен на числовата права:
Отговорът е цяла гама
Отговор: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Малка бележка за последната задача. Както един от моите студенти точно отбеляза, и двата подмодулни израза в това неравенство са очевидно положителни, така че знакът на модула може да бъде пропуснат без вреда за здравето.
Но това вече е съвсем различно ниво на мислене и различен подход - условно може да се нарече метод на последствията. За него - в отделен урок. И сега нека да преминем към последната част на днешния урок и да разгледаме един универсален алгоритъм, който винаги работи. Дори когато всички предишни подходи бяха безсилни. :)
4. Метод за изброяване на опциите
Ами ако всички тези трикове не работят? Ако неравенството не се сведе до неотрицателни опашки, ако е невъзможно да се изолира модулът, ако изобщо болка-тъга-копнеж?
Тогава на сцената излиза „тежката артилерия“ на цялата математика - методът на изброяване. По отношение на неравенствата с модула, това изглежда така:
- Изпишете всички изрази на подмодула и ги приравнете на нула;
- Решете получените уравнения и маркирайте намерените корени на една числова права;
- Правата линия ще бъде разделена на няколко секции, в рамките на които всеки модул има фиксиран знак и следователно недвусмислено се разширява;
- Решете неравенството на всеки такъв участък (можете отделно да разгледате граничните корени, получени в параграф 2 - за надеждност). Комбинирайте резултатите - това ще бъде отговорът. :)
Е, как? Слаб? Лесно! Само за дълго време. Да видим на практика:
Задача. Решете неравенството:
\[\вляво| x+2 \вдясно| \lt\вляво| x-1 \вдясно|+x-\frac(3)(2)\]
Решение. Тази глупост не се свежда до неравенства като $\left| е\вдясно| \lt g$, $\left| е\вдясно| \gt g$ или $\left| е\вдясно| \lt\вляво| g \right|$, така че да продължим.
Изписваме подмодулни изрази, приравняваме ги на нула и намираме корените:
\[\begin(подравняване) & x+2=0\Стрелка надясно x=-2; \\ & x-1=0\Стрелка надясно x=1. \\\край (подравняване)\]
Като цяло имаме два корена, които разделят числовата права на три секции, вътре в които всеки модул се разкрива уникално:
Разделяне на числовата права с нули на субмодуларни функции
Нека разгледаме всеки раздел поотделно.
1. Нека $x \lt -2$. Тогава и двата израза на подмодула са отрицателни и първоначалното неравенство се пренаписва, както следва:
\[\begin(подравняване) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(подравняване)\]
Имаме доста просто ограничение. Нека го пресечем с първоначалното предположение, че $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(подравняване) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно x\in \varnothing \]
Очевидно променливата $x$ не може едновременно да бъде по-малка от −2, но по-голяма от 1,5. В тази област няма решения.
1.1. Нека отделно разгледаме граничния случай: $x=-2$. Нека просто заместим това число в първоначалното неравенство и да проверим: важи ли?
\[\begin(подравняване) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \вдясно|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
Очевидно веригата от изчисления ни доведе до погрешно неравенство. Следователно първоначалното неравенство също е невярно и $x=-2$ не е включено в отговора.
2. Сега нека $-2 \lt x \lt 1$. Левият модул вече ще се отваря с "плюс", но десният все още е с "минус". Ние имаме:
\[\begin(подравняване) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\край(подравняване)\]
Отново се пресичаме с първоначалното изискване:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\rightarrow x\in \varnothing \]
И отново празен комплектрешения, тъй като няма числа, които са едновременно по-малки от −2,5 и по-големи от −2.
2.1. И отново специален случай: $x=1$. Заместваме в първоначалното неравенство:
\[\begin(подравняване) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \вляво| 3\вдясно| \lt\вляво| 0 \вдясно|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
Подобно на предишния „специален случай“, числото $x=1$ очевидно не е включено в отговора.
3. Последната част от реда: $x \gt 1$. Тук всички модули са разширени със знак плюс:
\[\begin(подравняване) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(подравняване)\ ]
И отново пресичаме намереното множество с оригиналното ограничение:
\[\left\( \begin(подравняване) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно x\in \left(4,5;+\infty \вдясно)\]
Най-накрая! Намерихме интервала, който ще бъде отговорът.
Отговор: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
И накрая, една забележка, която може да ви спаси от глупави грешки при решаването на реални проблеми:
Решенията на неравенствата с модули обикновено са непрекъснати множества на числовата права - интервали и отсечки. Много по-рядко изолирани точки. И още по-рядко се случва границите на решението (краят на сегмента) да съвпадат с границата на разглеждания диапазон.
Следователно, ако границите (същите тези „специални случаи“) не са включени в отговора, тогава областите вляво-дясно от тези граници почти сигурно също няма да бъдат включени в отговора. И обратното: границата, въведена в отговор, което означава, че някои области около нея също ще бъдат отговори.
Имайте това предвид, когато проверявате решенията си.
Решаване на неравенства онлайн
Преди да решите неравенствата, е необходимо да разберете добре как се решават уравненията.
Няма значение дали неравенството е строго () или нестрого (≤, ≥), първата стъпка е да решите уравнението, като замените знака за неравенство с равенство (=).
Обяснете какво означава да разрешите неравенство?
След като изучава уравненията, ученикът има следната картина в главата си: трябва да намерите такива стойности на променливата, за които и двете части на уравнението приемат същите стойности. С други думи, намерете всички точки, където важи равенството. Всичко е правилно!
Когато се говори за неравенства, те имат предвид намирането на интервалите (отсечките), на които важи неравенството. Ако в неравенството има две променливи, тогава решението вече няма да бъде интервали, а някои области в равнината. Познайте какво ще бъде решението на неравенството в три променливи?
Как да решим неравенствата?
Методът на интервалите (известен още като методът на интервалите) се счита за универсален начин за решаване на неравенства, който се състои в определяне на всички интервали, в рамките на които ще бъде изпълнено даденото неравенство.
Без да навлизаме в вида на неравенството, в този случай това не е същността, необходимо е да се реши съответното уравнение и да се определят неговите корени, последвано от обозначаването на тези решения по числовата ос.
Какъв е правилният начин да се запише решението на неравенство?
Когато сте определили интервалите за решаване на неравенството, трябва правилно да напишете самото решение. Има важен нюанс - границите на интервалите са включени в решението?
Тук всичко е просто. Ако решението на уравнението удовлетворява ODZ и неравенството не е строго, тогава границата на интервала се включва в решението на неравенството. Иначе не.
Като се има предвид всеки интервал, решението на неравенството може да бъде самият интервал, или полуинтервал (когато една от границите му удовлетворява неравенството), или сегмент - интервал заедно с неговите граници.
Важен момент
Не мислете, че само интервали, полуинтервали и сегменти могат да бъдат решение на неравенство. Не, в решението могат да бъдат включени и отделни точки.
Например, неравенството |x|≤0 има само едно решение - точка 0.
И неравенството |x|
За какво е калкулаторът за неравенство?
Калкулаторът за неравенство дава правилния краен отговор. В този случай в повечето случаи се дава илюстрация на числова ос или равнина. Можете да видите дали границите на интервалите са включени в решението или не - точките се показват запълнени или пробити.
Благодарение на онлайн калкулаторнеравенства, можете да проверите дали сте намерили правилно корените на уравнението, отбелязали сте ги върху реалната ос и сте проверили изпълнението на условието за неравенство върху интервалите (и границите)?
Ако отговорът ви се различава от отговора на калкулатора, тогава определено трябва да проверите отново своето решение и да идентифицирате допуснатата грешка.
Колкото повече човек разбира, толкова по-силно е желанието му да разбере
Тома Аквински
Методът на интервалите ви позволява да решавате всякакви уравнения, съдържащи модула. Същността на този метод е да се раздели числовата ос на няколко секции (интервали), като е необходимо оста да се раздели с нулите на изразите в модулите. След това, на всяка от получените секции, всеки израз на подмодул е положителен или отрицателен. Следователно всеки от модулите може да бъде разширен или със знак минус или със знак плюс. След тези действия остава само да се реши всяко от получените прости уравнения на разглеждания интервал и да се комбинират получените отговори.
Нека разгледаме този метод на конкретен пример.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.
1) Намерете нулите на изразите в модулите. За да направите това, ние ги приравняваме на нула и решаваме получените уравнения.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
2) Подредете получените точки в желания ред на координатната линия. Те ще разбият цялата ос на четири секции.
3) Да определим на всеки от получените участъци знаците на изразите в модулите. За да направите това, ние заместваме в тях всякакви числа от интервалите, които ни интересуват. Ако резултатът от изчислението е положително число, тогава поставяме "+" в таблицата, а ако числото е отрицателно, тогава поставяме "-". Това може да се изобрази така: 
4) Сега ще решим уравнението на всеки от четирите интервала, отваряйки модулите със знаците, които са в таблицата. И така, помислете за първия интервал:
I интервал (-∞; -3). На него всички модули се отварят със знак "-". Получаваме следното уравнение:
-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. Представяме подобни термини, като предварително отворихме скобите в полученото уравнение:
X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6
Полученият отговор не е включен в разглеждания интервал, така че не е необходимо да го записвате в крайния отговор.
II интервал [-3; -един). На този интервал в таблицата има знаци "-", "-", "+". Ето как разкриваме модулите на оригиналното уравнение:
-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Опростете, като разширите скобите:
X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. Представяме в полученото уравнение следното:
х = 6/5. Полученото число не принадлежи на разглеждания интервал, така че не е коренът на оригиналното уравнение.
III интервал [-1; 2). Отваряме модулите на оригиналното уравнение със знаците, които са на фигурата в третата колона. Получаваме:
(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Отървете се от скобите, преместете членовете, съдържащи променливата x, в лявата страна на уравнението и несъдържащите x вдясно . Ще има:
x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6
Числото 2 не е включено в разглеждания интервал.
IV интервал)
