Във всяка матрица могат да бъдат свързани два ранга: ранг на ред (ранг на система от редове) и ранг на колона (ранг на система от колони).
Теорема
Рангът на реда на матрицата е равен на ранга на нейната колона.
Ранг на матрицата
Определение
Ранг на матрицата$A$ е рангът на неговата система от редове или колони.
Означава се с $\operatorname(rang) A$
На практика, за да се намери рангът на матрица, се използва следното твърдение: рангът на матрица е равен на броя на ненулевите редове, след като матрицата е била намалена до стъпаловидна форма.
Елементарните трансформации над редове (колони) на матрица не променят нейния ранг.
Рангът на стъпковата матрица е равен на броя на нейните ненулеви редове.
Пример
Упражнение.Намерете ранга на матрица $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $
Решение.Използвайки елементарни трансформации над нейните редове, редуцираме матрицата $A$ до стъпкова форма. За да направите това, първо извадете вторите две от третия ред:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
От втория ред изваждаме четвъртия ред, умножен по 4; от третата - две четвърти:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Добавяме първите пет към втория ред и три трети към третия:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Разменете първия и втория ред:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Отговор.$ \име на оператора (ранг) A=2 $
Метод на малки граници
Друг метод за намиране на ранга на матрица се основава на тази теорема - метод на малки граници. Същността на този метод е да се намерят непълнолетни, като се започне от по-ниски степени и се премине към по-високи. Ако минорът от $n$-ти ред е различен от нула и всички $n+1$-ти минори са равни на нула, тогава рангът на матрицата ще бъде равен на $n$.
Пример
Упражнение.Намерете ранга на матрица $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ с помощта на метода на малки граници.
Решение.Минори от минимален ред са минори от първи ред, които са равни на елементите на матрицата $A$. Да разгледаме, например, второстепенното $ M_(1)=1 \neq 0 $ . разположени в първия ред и първата колона. Ограждайки го с втория ред и втората колона, получаваме второстепенния $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; помислете за друг минор от втори ред, за това ограждаме минора $M_1$ с помощта на втория ред и третата колона, тогава имаме минора $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , тоест рангът на матрицата е поне две. След това разглеждаме минорите от трети ред, които обграждат минора $ M_(2)^(2) $. Има две такива второстепенни: комбинация от третия ред с втората колона или с четвъртата колона. Ние изчисляваме тези второстепенни.
Преди за квадратна матрица 
ред е въведено понятието непълнолетен 
елемент 
. Припомнете си, че това беше името на определителя на поръчката 
, получена от детерминантата 
зачеркване 
-ти ред и 
-та колона.
Нека се представим сега обща концепциянезначителен. Нека разгледаме някои не непременно квадратниматрица 
. Нека изберем някои 
номера на редове 
и 
номера на колони 
.
Определение.
Дребна поръчка 
матрици 
(съответстващ на избраните редове и колони) се нарича детерминанта на реда 
, образуван от елементи, стоящи в пресечната точка на избраните редове и колони, т.е. номер
.
Всяка матрица има толкова много второстепенни от даден ред 
По колко начина могат да бъдат избрани номерата на редовете? 
и колони 
.
Определение. В матрицата 
размери 
ред минор 
Наречен основен, ако е различно от нула, и всички малки от порядъка 
са нула или малки от порядъка 
в матрицата 
абсолютно не.
Ясно е, че може да има няколко различни базисни минори в една матрица, но всички базисни минори имат еднакъв ред. Всъщност, ако всички непълнолетни на ред 
са равни на нула, тогава те са равни на нула и всички минори от ред 
, и, следователно, от всички по-високи порядки.
Определение. Ранг на матрицатасе нарича ред на основния минор, или, с други думи, най-големият ред, за който съществуват ненулеви минори. Ако всички елементи на една матрица са равни на нула, тогава рангът на такава матрица по дефиниция се счита за нула.
Ранг на матрицата 
ще бъде отбелязано със символа 
. От дефиницията на ранга следва, че за матрицата 
размери 
справедливо съотношение.
Два начина за изчисляване на ранга на матрица
а) Метод на фрингинг минор
Нека минорът се намери в матрицата 
ти ред, различен от нула. Помислете само за тези непълнолетни 
-ти ред, които съдържат (съграждат) минор 
: ако всички са нула, тогава рангът на матрицата е 
. В противен случай сред граничещите минори има ненулев минор 
ред и цялата процедура се повтаря.
Пример 9
. Намерете ранга на матрица 
по метода на граничещите непълнолетни.
Избираме минор от втори ред 
. Има само един минор от трети ред, граничещ с избрания минор 
. Нека го изчислим.
Толкова незначителен 
основен, а рангът на матрицата е равен на нейния ред, т.е. 
Ясно е, че сортирането на минори по този начин в търсене на базис едно е задача, свързана с големи изчисления, ако размерите на матрицата не са много малки. Има обаче по-лесен начин за намиране на ранга на матрица - чрез елементарни трансформации.
б) Метод на елементарните преобразувания
Определение. Елементарни матрични трансформациинарича следните трансформации:
умножаване на низ с различно от нула число;
добавяне на друг ред към един ред;
линия пермутация;
същите трансформации на колони.
Трансформации 1 и 2 се извършват елемент по елемент.
Чрез комбиниране на трансформации от първи и втори вид можем да добавим линейна комбинация от останалите линии към всяка линия.
Теорема. Елементарните трансформации не променят ранга на матрицата.
(няма доказателство)
Идеята за практичен метод за изчисляване на ранга на матрица
се състои в това, че с помощта на елементарни преобразувания дадената матрица 
водят до гледката
,
(5)
в които „диагоналните“ елементи 
са различни от нула, а елементите, разположени под "диагоналните" са равни на нула. Нека извикаме матрицата 
този вид триъгълник (в противен случай се нарича диагонал, трапец или стълбище). След като донесе матрицата 
в триъгълна форма, можем веднага да запишем това 
.
Наистина, 
(защото елементарните трансформации не променят ранга). Но матрицата 
има ненулев минор на ред 
:
,
и всеки второстепенен от ордена 
съдържа нулевия низ и следователно е нулев.
Нека сега формулираме практически правило за изчисляване на рангаматрици 
използване на елементарни трансформации: за намиране на ранга на матрица 
трябва да се доведе до триъгълна форма с помощта на елементарни трансформации 
. След това рангът на матрицата 
ще бъде е равно на числотоненулеви редове в получената матрица 
.
Пример 10
Намерете ранга на матрица 
метод на елементарни трансформации
Решение.
Нека разменим първия и втория ред (тъй като първият елемент от втория ред е −1 и ще е удобно да извършваме трансформации с него). В резултат на това получаваме матрица, еквивалентна на дадената.
Обозначете 
-ти ред на матрицата – 
. Трябва да доведем оригиналната матрица до триъгълна форма. Ще считаме първата линия за водеща, тя ще участва във всички трансформации, но самата тя остава непроменена.
На първия етап извършваме трансформации, които ни позволяват да получим нули в първата колона, с изключение на първия елемент. За да направите това, от втория ред извадете първия, умножен по 2 
, добавете първия ред към третия ред 
, а от третото изваждаме първото, умножено по 3 
Получаваме матрица, чийто ранг съвпада с ранга на дадената матрица. Нека го обозначим със същата буква 
:
.
Тъй като трябва да доведем матрицата до формата (5), изваждаме втория от четвъртия ред. При това имаме:
.
Получава се триъгълна матрица и може да се заключи, че 
, т.е. броят на ненулевите редове. Накратко решението на проблема може да се напише по следния начин:
Числото r се нарича ранг на матрицата A, ако:
1) матрицата A съдържа ненулев минор от порядък r;
2) всички минори от порядък (r + 1) и по-високи, ако съществуват, са равни на нула.
В противен случай рангът на матрицата е най-високият порядък на ненулев минор.
Обозначения: rangA , r A или r .
От определението следва, че r е положително цяло число. За нулева матрица рангът се счита за нула.
Сервизно задание. Онлайн калкулаторът е предназначен да намира матричен ранг. Решението се записва във формат Word и Excel. вижте пример за решение.
Инструкция. Изберете размера на матрицата, щракнете върху Напред.
Определение . Нека е дадена матрица с ранг r. Всяка матрица, различна от нула и от порядък r, се нарича основна, а редовете и колоните на нейните компоненти се наричат основни редове и колони.
Според тази дефиниция матрицата A може да има няколко базисни минори.
Рангът на матрицата за идентичност E е n (брой редове).
Пример 1 . Дадени са две матрици, 
и техните непълнолетни лица 
, 
. Кое от тях може да се вземе за основа?
Решение. Минорът M 1 =0, така че не може да бъде основа за нито една от матриците. Малък M 2 =-9≠0 и има ред 2, така че може да се приеме като базови матрици на A или / и B, при условие че те имат рангове, равни на 2. Тъй като detB=0 (като детерминанта с две пропорционални колони), тогава rangB=2 и M 2 могат да бъдат взети като базов минор на матрица B. Рангът на матрица A е 3, поради факта, че detA=-27≠ 0 и следователно порядъкът, в който базисният минор на тази матрица трябва да бъде 3, тоест M 2 не е основа за матрицата A . Забележете, че матрицата A има уникален базисен минор, равен на детерминантата на матрицата A .
Теорема (за базис минор).
Всеки ред (колона) на матрица е линейна комбинация от нейните основни редове (колони).
Следствия от теоремата.
- Всички (r+1) колони (редове) на матрица с ранг r са линейно зависими.
- Ако рангът на една матрица е по-малък от броя на нейните редове (колони), тогава нейните редове (колони) са линейно зависими. Ако rangA е равен на броя на неговите редове (колони), тогава редовете (колоните) са линейно независими.
- Детерминантата на матрица A е равна на нула тогава и само тогава, когато нейните редове (колони) са линейно зависими.
- Ако друг ред (колона), умножен по число, различно от нула, се добави към ред (колона) на матрица, тогава рангът на матрицата няма да се промени.
- Ако задраскате ред (колона) в матрицата, който е линейна комбинация от други редове (колони), тогава рангът на матрицата няма да се промени.
- Рангът на матрицата е равен на максималния брой нейни линейно независими редове (колони).
- Максималният брой линейно независими редове е същият като максималния брой линейно независими колони.
Пример 2 . Намерете ранга на матрица 
.
Решение.
Въз основа на дефиницията на ранга на матрица ще търсим минор от най-висок порядък, който е различен от нула. Първо, трансформираме матрицата в по-проста форма. За да направите това, умножете първия ред на матрицата по (-2) и добавете към втория, след това го умножете по (-1) и добавете към третия.
Помислете за правоъгълна матрица. Ако в тази матрица изберем произволно клинии и кколони, след което се формират елементите в пресечната точка на избраните редове и колони квадратна матрица k-ти ред. Детерминантата на тази матрица се нарича k-ти ред минорматрица A. Очевидно матрицата A има минори от произволен ред от 1 до най-малкото от числата m и n. Сред всички ненулеви минори на матрицата A има поне един минор, чийто ред е най-голям. Нарича се най-големият от ненулевите редове на минорите на дадена матрица рангматрици. Ако рангът на матрица А е r, тогава това означава, че матрицата A има ненулев минор от ред r, но всеки минор от порядък по-голям от r, е равно на нула. Рангът на матрица A се означава с r(A). Очевидно е, че връзката
Изчисляване на ранга на матрица с помощта на минори
Рангът на матрицата се намира или чрез граниченето на второстепенни, или чрез метода на елементарни трансформации. Когато се изчислява ранга на матрица по първия начин, трябва да се премине от минори от по-нисък ред към минори от по-висок висок ред. Ако ненулев минор D от k-ти ред на матрицата A вече е намерен, тогава трябва да се изчислят само (k + 1)-ти ред минори, граничещи с минор D, т.е. съдържащ го като второстепенен. Ако всички те са нула, тогава рангът на матрицата е к.
Пример 1Намерете ранга на матрица по метода на граничещите второстепенни
.
Решение.Започваме с минори от 1-ви ред, т.е. от елементите на матрицата A. Да изберем например минорния (елемент) М 1 = 1, намиращ се в първия ред и първата колона. Ограничавайки с помощта на втория ред и третата колона, получаваме минора M 2 = , който е различен от нула. Сега се обръщаме към минори от 3-ти ред, граничещи с M 2 . Има само две от тях (можете да добавите втора колона или четвърта). Ние ги изчисляваме: 
=
0. Така се оказаха всички граничещи минори от трети ред нула. Рангът на матрица A е две.
Изчисляване на ранга на матрица чрез елементарни трансформации
ЕлементарноСледните матрични трансформации се наричат:
1) пермутация на всеки два реда (или колони),
2) умножаване на ред (или колона) с нещо различно от нулево число,
3) добавяне към един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножен по някакво число.
Двете матрици се наричат еквивалентен, ако едното от тях се получава от другото с помощта на краен набор от елементарни трансформации.
Най-общо казано, еквивалентните матрици не са равни, но ранговете им са равни. Ако матриците A и B са еквивалентни, това се записва по следния начин: A~б.
КанониченМатрицата е матрица, която има няколко единици подред в началото на главния диагонал (числото на които може да е нула), а всички останали елементи са равни на нула, например,
.
С помощта на елементарни трансформации на редове и колони всяка матрица може да бъде сведена до канонична. Рангът на каноничната матрица е равен на броя единици на нейния главен диагонал.
Пример 2Намерете ранга на матрица
и го приведе в каноничен вид.
Решение.Извадете първия ред от втория ред и пренаредете тези редове:
.
Сега от втория и третия ред извадете първия, умножен съответно по 2 и 5:
;
извадете първия от третия ред; получаваме матрицата
което е еквивалентно на матрицата A, тъй като се получава от нея чрез краен набор от елементарни трансформации. Очевидно рангът на матрица B е 2 и следователно r(A)=2. Матрицата B може лесно да се сведе до каноничната. Изваждайки първата колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на първия ред, с изключение на първия, а елементите на останалите редове не се променят. След това, изваждайки втората колона, умножена по съответните числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на втория ред, с изключение на втория, и получаваме каноничната матрица:
.
