Нека се обърнем към графиката на функцията y \u003d x 3 - 3x 2. Разгледайте околността на точката x = 0, т.е. някакъв интервал, съдържащ тази точка. Логично е да има такава околност на точката x = 0, че най-висока стойностфункцията y \u003d x 3 - 3x 2 в този квартал приема в точката x \u003d 0. Например, на интервала (-1; 1) най-голямата стойност, равна на 0, функцията приема в точката x \u003d 0. Точката x \u003d 0 се нарича максимална точка на тази функция.
По същия начин точката x \u003d 2 се нарича минимална точка на функцията x 3 - 3x 2, тъй като в тази точка стойността на функцията не е по-голяма от нейната стойност в друга точка в близост до точката x \u003d 2 , например кварталът (1,5; 2,5).
Така точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f (x), ако има околност на точката x 0 - такава, че неравенството f (x) ≤ f (x 0) е изпълнено за всички x от това квартал.
Например, точката x 0 \u003d 0 е максималната точка на функцията f (x) \u003d 1 - x 2, тъй като f (0) \u003d 1 и неравенството f (x) ≤ 1 е вярно за всички стойности от х.
Минималната точка на функцията f (x) се нарича точка x 0, ако има такава околност на точката x 0, че неравенството f (x) ≥ f (x 0) е изпълнено за всички x от тази околност.
Например, точката x 0 \u003d 2 е минималната точка на функцията f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, тъй като f (2) \u003d 3 и f (x) ≥ 3 за всички x .
Крайните точки се наричат минимални точки и максимални точки.
Нека се обърнем към функцията f(x), която е дефинирана в някаква околност на точката x 0 и има производна в тази точка.
Ако x 0 е екстремна точка на диференцируема функция f (x), тогава f "(x 0) \u003d 0. Това твърдение се нарича теорема на Ферма.
Теоремата на Ферма е ясна геометричен смисъл: в екстремалната точка допирателната е успоредна на оста x и следователно нейната наклон
f "(x 0) нула.
Например функцията f (x) \u003d 1 - 3x 2 има максимум в точката x 0 \u003d 0, нейната производна f "(x) \u003d -2x, f "(0) = 0.
Функцията f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 има минимум в точката x 0 \u003d 2, f "(x) = 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .
Имайте предвид, че ако f "(x 0) \u003d 0, тогава това не е достатъчно, за да се твърди, че x 0 е непременно екстремалната точка на функцията f (x).
Например, ако f (x) \u003d x 3, тогава f "(0) \u003d 0. Точката x \u003d 0 обаче не е екстремна точка, тъй като функцията x 3 нараства по цялата реална ос.
Така че точките на екстремум на диференцируема функция трябва да се търсят само сред корените на уравнението
f "(x) \u003d 0, но коренът на това уравнение не винаги е екстремна точка.
Стационарни точки са точки, в които производната на функция е равна на нула.
Следователно, за да бъде точката x 0 точка на екстремум, е необходимо тя да бъде стационарна точка.
Разгледайте достатъчни условия стационарната точка да бъде точка на екстремум, т.е. условия, при които стационарна точка е минимална или максимална точка на функция.
Ако производната отляво на неподвижната точка е положителна, а отдясно е отрицателна, т.е. производната променя знака "+" на знак "-" при преминаване през тази точка, тогава тази стационарна точка е максималната точка.
Наистина, в този случай вляво от стационарната точка функцията расте, а вдясно намалява, т.е. дадена точкае максималната точка.
Ако производната промени знака "-" на знак "+", когато преминава през стационарна точка, тогава тази стационарна точка е минимална точка.
Ако производната не променя знака при преминаване през неподвижна точка, т.е. производната е положителна или отрицателна отляво и отдясно на стационарната точка, тогава тази точка не е точка на екстремум.
Нека разгледаме един от проблемите. Намерете екстремните точки на функцията f (x) \u003d x 4 - 4x 3.
Решение.
1) Намерете производната: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).
2) Намерете стационарни точки: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.
3) Използвайки метода на интервала, ние установяваме, че производната f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) е положителна за x\u003e 3, отрицателна за x< 0 и при 0 < х < 3.
4) Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 0 знакът на производната не се променя, тази точка не е екстремна точка.
5) Производната променя знака "-" на знака "+", когато преминава през точката x 2 \u003d 3. Следователно x 2 \u003d 3 е минималната точка.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.
Както можете да видите, този знак на екстремума на функцията изисква наличието на производна поне до втори ред в точката .
Пример.
Намерете екстремума на функцията.
Решение.
Да започнем с обхвата: 
Нека разграничим оригиналната функция: 
х=1, тоест това е точката на възможен екстремум. Намираме втората производна на функцията и изчисляваме нейната стойност при х=1:
Следователно, чрез второто достатъчно екстремално условие, х=1- максимална точка. Тогава 
е максимумът на функцията.
Графична илюстрация.
Отговор:
Третото достатъчно условие за екстремум на функция.
Нека функцията y=f(x)има производни до н-ти ред в -околност на точка и производни до n+1ред в самата точка. Нека и .
Пример.
Намерете екстремни точки на функция 
.
Решение.
Оригиналната функция е цяла рационална, нейната област на дефиниране е целият набор от реални числа.
Нека разграничим функцията: 
Производната изчезва, когато 
, следователно това са точките на възможен екстремум. Нека използваме третото достатъчно условие за екстремум.
Намираме второто производно и изчисляваме стойността му в точките на възможен екстремум (ще пропуснем междинните изчисления): 
Следователно е максималната точка (за третия достатъчен знак на екстремума имаме n=1и ).
За да се изясни естеството на точките 
намерете третата производна и изчислете нейната стойност в тези точки: 
Следователно е инфлексната точка на функцията ( n=2и ).
Остава да се справим с точката. Намираме четвъртата производна и изчисляваме нейната стойност в тази точка: 
Следователно е минималната точка на функцията.
Графична илюстрация.
Отговор:
Максималната точка е минималната точка на функцията.
10. Екстремуми на функция Дефиниция на екстремум
Извиква се функцията y = f(x). повишаване на (намаляващ) в някакъв интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).
Ако диференцируема функция y = f(x) на сегмент нараства (намалява), тогава нейната производна на този сегмент f "(x) 0
(f "(x) 0).
Точка х относноНаречен локална максимална точка (минимум) на функцията f(x), ако има околност на точката х относно, за всички точки от които е вярно неравенството f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).
Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни екстремуми.
екстремни точки
Необходими условия за екстремум. Ако точка х относное екстремна точка на функцията f (x), тогава или f "(x o) \u003d 0, или f (x o) не съществува. Такива точки се наричат критичен,където самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.
Първото достатъчно условие.Позволявам х относно- критична точка. Ако f "(x) при преминаване през точка х относнопроменя знака плюс на минус, след това в точката х относнофункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако производната не променя знака при преминаване през критична точка, тогава в точката х относноняма екстремум.
Второто достатъчно условие.Нека функцията f(x) има производна f "(x) в околност на точката х относнои втората производна в самата точка х относно. Ако f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка х относное локална минимална (максимална) точка на функцията f(x). Ако =0, тогава трябва или да се използва първото достатъчно условие, или да се включат по-високи производни.
На сегмент функцията y = f(x) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.
Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Тъй като f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3. Екстремните точки могат бъдете само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 2, производната променя знака плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 \u003d 3, производната променя знака минус на плюс, следователно в точката x 2 \u003d 3 функцията има минимум. След като изчислим стойностите на функцията в точките x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.
Определения:
екстремумнаименувайте максималната или минималната стойност на функция върху даден набор.
крайна точкае точката, в която се достига максималната или минималната стойност на функцията.
Максимална точкае точката, в която се достига максималната стойност на функцията.
Ниска точкае точката, в която се достига минималната стойност на функцията.
Обяснение.
На фигурата, в близост до точката x = 3, функцията достига максималната си стойност (т.е. в близост до тази конкретна точка няма по-висока точка). В околността на x = 8 тя отново има максимална стойност (отново, нека поясним: точно в тази околност няма точка отгоре). В тези точки увеличението се заменя с намаление. Те са максимални точки:
xmax = 3, xmax = 8.
В близост до точката x = 5 се достига минималната стойност на функцията (т.е. в близост до x = 5 няма точка отдолу). В този момент намалението се заменя с увеличение. Това е минималната точка:
Максималните и минималните точки са екстремни точки на функцията, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.
Критични и стационарни точки на функцията:
Необходимо условие за екстремум:
Достатъчно условие за екстремум:
На сегмента, функцията г = f(х) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.
Алгоритъм за изследване на непрекъсната функцияг = f(х) за монотонност и екстремуми:
Може също да се каже, че в тези точки посоката на движение на функцията се променя: ако функцията спре да пада и започне да расте, това е минимална точка, напротив, максимум.
Минимумът и максимумът се наричат заедно екстремуми на функцията.
С други думи, всичките пет точки, подчертани на диаграмата по-горе, са крайности.
Благодарение на това намирането на тези точки не е проблем, дори и да нямате графика на функцията.
внимание!Когато пишат крайностиили високи/ниски стойности означават стойността на функцията, т.е. \(y\). Когато пишат крайни точкиили Highs/Low се отнася до X, при които се достигат Highs/Low. Например на фигурата по-горе \(-5\) е минималната (или екстремумната) точка, а \(1\) е минималната (или екстремумната).
Как да намерим точките на екстремума на функция по графиката на производната (7 задача от изпита)?
Нека намерим заедно броя на екстремните точки на функцията според графиката на производната, използвайки пример:
Имаме графика - така че търсим в кои точки на графиката производната е равна на нула. Очевидно това са точките \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Броят на точките на екстремума на функцията е \(5\).
внимание!Ако се даде график производнафункции, но трябва да намерите екстремни точки на функцията, ние не броим върховете и спадовете на производната! Преброяваме точките, в които производната на функцията изчезва (т.е. пресича оста \(x\).
Как да намерим точките на максимум или минимум на функция по графиката на производната (7 задача от изпита)?
За да отговорите на този въпрос, трябва да запомните още две важни правила:
- Производната е положителна, когато функцията нараства.
- Производната е отрицателна, когато функцията намалява.
Използвайки тези правила, нека намерим минималната и максималната точка на функцията върху графиката на производната.
Ясно е, че минимумите и максимумите трябва да се търсят сред точките на екстремума, т.е. сред \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) и \(3\).
За да улесним решаването на задачата, първо поставяме на фигурата знаците плюс и минус, обозначаващи знака на производната. След това стрелките - обозначаващи нарастване, намаляване на функцията.
Нека започнем с \(-13\): до \(-13\) производната е положителна, т.е. функцията расте, след - производната е отрицателна т.е. функцията пада. Ако си представите това, става ясно, че \(-13\) е максималната точка.
\(-11\): производната е първо положителна и след това отрицателна, така че функцията нараства и след това намалява. Отново се опитайте да начертаете това наум и ще ви стане очевидно, че \(-11\) е минимумът.
\(- 9\): функцията нараства и след това намалява - максимумът.
\(-7\): минимум.
\(3\): максимум.
Всичко по-горе може да се обобщи в следните заключения:
- Функцията има максимум, където производната е нула и променя знака от плюс на минус.
- Функцията има минимум, където производната е нула и променя знака от минус на плюс.
Как да намерим точките на максимума и минимума, ако формулата на функцията е известна (12 USE задача)?
За да отговорите на този въпрос, трябва да направите всичко същото като в предишния параграф: да намерите къде производната е положителна, къде е отрицателна и къде е равна на нула. За да стане по-ясно, ще напиша алгоритъм с примерно решение:
- Намерете производната на функцията \(f"(x)\).
- Намерете корените на уравнението \(f"(x)=0\).
- Начертайте оста \(x\) и маркирайте върху нея точките, получени в стъпка 2, начертайте дъгите в интервалите, на които е разделена оста. Подпишете над оста \ (f "(x) \) и под оста \ (f (x) \).
- Определете знака на производната във всеки интервал (интервален метод).
- Поставете знак на производната във всяка празнина (над оста) и използвайте стрелка, за да посочите увеличението (↗) или намалението (↘) на функцията (под оста).
- Определете как се е променил знакът на производната при преминаване през точките, получени в стъпка 2:
- ако \(f'(x)\) промени знака от "\(+\)" на "\(-\)", тогава \(x_1\) е максималната точка;
- ако \(f'(x)\) промени знака от "\(-\)" на "\(+\)", тогава \(x_3\) е минималната точка;
- ако \(f'(x)\) не е променил знака, тогава \(x_2\) може да бъде инфлексна точка.
Всичко! Открити високи и ниски точки.
Изобразявайки точки на оста, в които производната е равна на нула, скалата може да бъде игнорирана. Поведението на функцията може да бъде показано, както е показано на фигурата по-долу. Така ще бъде по-ясно къде е максимумът и къде е минимумът.
Пример(ИЗПОЛЗВАНЕ). Намерете максималната точка на функцията \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Намерете производната на функцията: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Приравнете го към нула и решете уравнението:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. - 6. Нека поставим точки върху реалната ос и определим как се променя знакът на производната и как се движи функцията:
Сега е очевидно, че максималната точка е \(-2\).
Отговор. \(-2\).
Екстремалната точка на функция е точката в областта на функцията, където стойността на функцията приема минимална или максимална стойност. Стойностите на функцията в тези точки се наричат екстремуми (минимум и максимум) на функцията.
Определение. Точка х1 функционален обхват f(х) е наречен максимална точка на функцията , ако стойността на функцията в тази точка е по-голяма от стойностите на функцията в точки, достатъчно близки до нея, разположени отдясно и отляво на нея (т.е. неравенството f(х0 ) > f(х 0 + Δ х) х1 максимум.
Определение. Точка х2 функционален обхват f(х) е наречен минимална точка на функцията, ако стойността на функцията в тази точка е по-малка от стойностите на функцията в точки, достатъчно близки до нея, разположени отдясно и отляво на нея (т.е. неравенството f(х0 ) < f(х 0 + Δ х) ). В този случай се казва, че функцията има в точката х2 минимум.
Да кажем точката х1 - максимална точка на функцията f(х) . След това в интервала до х1 функцията се увеличава, така че производната на функцията е по-голяма от нула ( f "(х) > 0 ), и в интервала след х1 функцията намалява, така че производна на функцияпо-малко от нула ( f "(х) < 0 ). Тогда в точке х1
Нека приемем също, че точката х2 - минимална точка на функцията f(х) . След това в интервала до х2 функцията е намаляваща и производната на функцията е по-малка от нула ( f "(х) < 0 ), а в интервале после х2 функцията нараства и производната на функцията е по-голяма от нула ( f "(х) > 0 ). В този случай също в точката х2 производната на функцията е нула или не съществува.
Теорема на Ферма (необходим критерий за съществуване на екстремум на функция). Ако точка х0 - екстремна точка на функцията f(х), тогава в тази точка производната на функцията е равна на нула ( f "(х) = 0 ) или не съществува.
Определение. Наричат се точките, в които производната на функцията е равна на нула или не съществува критични точки .
Пример 1Нека разгледаме функция.
В точката х= 0 производната на функцията е равна на нула, следователно точката х= 0 е критичната точка. Въпреки това, както може да се види на графиката на функцията, тя нараства в цялата област на дефиниция, така че точката х= 0 не е екстремна точка на тази функция.
По този начин условията, че производната на функция в точка е равна на нула или не съществува, са необходими условия за екстремум, но не са достатъчни, тъй като могат да бъдат дадени други примери за функции, за които тези условия са изпълнени, но функцията няма екстремум в съответната точка. Ето защо трябва да има достатъчно индикации, които позволяват да се прецени дали има екстремум в дадена критична точка и какъв – максимум или минимум.
Теорема (първият достатъчен критерий за съществуване на екстремум на функция).Критична точка х0 f(х), ако производната на функцията промени знака при преминаване през тази точка и ако знакът се промени от "плюс" на "минус", тогава максималната точка, а ако от "минус" на "плюс", тогава минималната точка .
Ако е близо до точката х0 , вляво и вдясно от нея, производната запазва знака си, това означава, че функцията или само намалява, или само нараства в някаква околност на точката х0 . В този случай в точката х0 няма екстремум.
Така, за да определите екстремалните точки на функцията, трябва да направите следното :
- Намерете производната на функция.
- Приравнете производната на нула и определете критичните точки.
- Мислено или на хартия маркирайте критичните точки на цифровата ос и определете знаците на производната на функцията в получените интервали. Ако знакът на производната се промени от "плюс" на "минус", тогава критичната точка е максималната точка, а ако от "минус" на "плюс", тогава критичната точка е минималната точка.
- Изчислете стойността на функцията в точките на екстремума.
Пример 2Намерете екстремуми на функция 
.
Решение. Нека намерим производната на функцията:
Приравнете производната на нула, за да намерите критичните точки:
.
Тъй като за всякакви стойности на "x" знаменателят не е равен на нула, тогава приравняваме числителя на нула:
Имам една критична точка х= 3 . Определяме знака на производната в интервалите, ограничени от тази точка:
в диапазона от минус безкрайност до 3 - знак минус, тоест функцията намалява,
в диапазона от 3 до плюс безкрайност - знак плюс, тоест функцията се увеличава.
Тоест точка х= 3 е минималната точка.
Намерете стойността на функцията в минималната точка:
Така се намира екстремната точка на функцията: (3; 0) и тя е минималната точка.
Теорема (вторият достатъчен критерий за съществуване на екстремум на функция).Критична точка х0 е екстремната точка на функцията f(х), ако втората производна на функцията в тази точка не е равна на нула ( f ""(х) ≠ 0 ), освен това, ако втората производна е по-голяма от нула ( f ""(х) > 0 ), тогава максималната точка и ако втората производна е по-малка от нула ( f ""(х) < 0 ), то точкой минимума.
Забележка 1. Ако в точка х0 както първата, така и втората производна изчезват, тогава в този момент е невъзможно да се прецени наличието на екстремум въз основа на втория достатъчен знак. В този случай трябва да използвате първия достатъчен критерий за екстремума на функцията.
Забележка 2. Вторият достатъчен критерий за екстремум на функция също е неприложим, когато първата производна не съществува в стационарната точка (тогава втората производна също не съществува). В този случай също е необходимо да се използва първият достатъчен критерий за екстремума на функцията.
Локалният характер на екстремумите на функцията
От горните дефиниции следва, че екстремумът на функцията има локален характер - това е най-голямата и най-малката стойност на функцията в сравнение с най-близките стойности.
Да предположим, че смятате приходите си за период от една година. Ако през май сте спечелили 45 000 рубли, а през април 42 000 рубли и през юни 39 000 рубли, тогава майската печалба е максимумът на функцията за печалба в сравнение с най-близките стойности. Но през октомври сте спечелили 71 000 рубли, през септември 75 000 рубли, а през ноември 74 000 рубли, така че приходите през октомври са минимумът на функцията за печалба в сравнение със близките стойности. И можете лесно да видите, че максимумът сред стойностите на април-май-юни е по-малък от минимума на септември-октомври-ноември.
Най-общо казано, една функция може да има няколко екстремума на интервал и може да се окаже, че всеки минимум на функцията е по-голям от всеки максимум. И така, за функцията, показана на фигурата по-горе, .
Тоест не трябва да се мисли, че максимумът и минимумът на функцията са съответно нейните максимални и минимални стойности за целия разглеждан сегмент. В точката на максимума функцията има най-голяма стойност само в сравнение с онези стойности, които има във всички точки, достатъчно близки до максималната точка, а в точката на минимум, най-малката стойност само в сравнение с тези стойности че има във всички точки достатъчно близо до минималната точка.
Следователно можем да прецизираме концепцията за екстремни точки на функция, дадена по-горе, и да наречем минималните точки локални минимални точки, а максималните точки - локални максимални точки.
Търсим заедно екстремума на функцията
Пример 3
Решение Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос. Негова производна 
също съществува на цялата числова ос. Следователно в този случай като критични точки служат само тези, при които , т.е. , откъде и . Критични точки и разделете цялата област на функцията на три интервала на монотонност: . Избираме по една контролна точка във всяка от тях и намираме знака на производната в тази точка.
За интервала референтната точка може да бъде: намираме . Като вземем точка в интервала, получаваме , И като вземем точка в интервала, имаме . И така, в интервалите и , и в интервала . Според първия достатъчен знак на екстремума, в точката няма екстремум (тъй като производната запазва знака си в интервала), а функцията има минимум в точката (тъй като производната променя знака от минус на плюс при преминаване през тази точка). Намерете съответните стойности на функцията: , и . В интервала функцията намалява, тъй като в този интервал , а в интервала нараства, тъй като в този интервал.
За да изясним конструкцията на графиката, намираме нейните точки на пресичане с координатните оси. Когато получим уравнение, чиито корени и , т.е. две точки (0; 0) и (4; 0) от графиката на функцията са намерени. Използвайки цялата получена информация, изграждаме графика (вижте в началото на примера).
За самопроверка по време на изчисления можете да използвате онлайн калкулатор на деривати .
Пример 4Намерете екстремума на функцията и изградете нейната графика.
Домейнът на функцията е цялата числова ос, с изключение на точката, т.е. .
За да съкратим изследването, можем да използваме факта, че тази функция е четна, тъй като 
. Следователно неговата графика е симетрична спрямо оста Ойи изследването може да се извърши само за интервала .
Намиране на производната 
и критични точки на функцията:
1) 
;
2) 
,
но функцията претърпява прекъсване в тази точка, така че не може да бъде точка на екстремум.
По този начин, дадена функцияима две критични точки: и . Като вземем предвид паритета на функцията, проверяваме само точката по втория достатъчен знак на екстремума. За да направим това, намираме втората производна 
и определете неговия знак при : получаваме . Тъй като и , тогава е минималната точка на функцията, докато 
.
За да получите по-пълна картина на графиката на функцията, нека разберем нейното поведение в границите на областта на дефиниция:
(тук символът показва желанието хдо нула вдясно и хостава положителен; по подобен начин означава стремеж хдо нула вляво и хостава отрицателна). По този начин, ако , тогава . След това намираме
,
тези. ако , тогава .
Графиката на функцията няма пресечни точки с осите. Картината е в началото на примера.
За самопроверка по време на изчисления можете да използвате онлайн калкулатор на деривати .
Продължаваме заедно да търсим екстремуми на функцията
Пример 8Намерете екстремума на функцията.
Решение. Намерете домейна на функцията. Тъй като неравенството трябва да е в сила, получаваме от .
Нека намерим първата производна на функцията.
