Примери за решаване на задачи на тема „Случайни променливи. Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива. Примерно решение Случайна променлива x се дава от функцията

Концепции математическо очакване М(х) и дисперсия д(х), въведено по-рано за дискретна случайна променлива, може да бъде разширено до непрекъснати случайни променливи.

· Математическо очакване М(х) непрекъснатата случайна променлива X се дефинира от равенството:

при условие, че този интеграл се сближава.

· Дисперсия D(х) непрекъсната случайна променлива хсе определя от равенството:

· Стандартно отклонениеσ( х) непрекъснатата случайна променлива се дефинира от равенството:

Всички свойства на математическото очакване и дисперсия, разгледани по-рано за дискретни случайни променливи, са валидни и за непрекъснатите.

Проблем 5.3.Случайна стойност хдадено диференциална функция е(х):

намирам М(х), Д(х), σ( х), както и П(1 < х< 5).

Решение:

М(х)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

д(х)=

= = /

П 1 =

Задачи

5.1. х

е(х), както и

Р(‒1/2 < х< 1/2).

5.2. Непрекъсната произволна променлива хдадено от функцията на разпределение:

Намерете диференциалната функция на разпределение е(х), както и

Р(2π /9< х< π /2).

5.3. Непрекъсната произволна променлива х

Намерете: а) число С; б) М(х), Д(х).

5.4. Непрекъсната произволна променлива хдадено от плътността на разпределение:

Намерете: а) число С; б) М(х), Д(х).

5.5. х:

Намери си) Ф(х) и начертайте неговата графика; б) М(х), Д(х), σ( х); в) вероятността при четири независими опита стойността хвзема точно 2 пъти стойността, принадлежаща на интервала (1;4).

5.6. Като се има предвид плътността на разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна променлива х:

Намери си) Ф(х) и начертайте неговата графика; б) М(х), Д(х), σ( х); в) вероятността в три независими опита стойността хще вземе точно 2 пъти стойността, принадлежаща на интервала.

5.7. Функция е(х) се дава като:

С х; б) функция на разпределение Ф(х).

5.8. Функция е(х) се дава като:

Намерете: а) стойността на константата С, при което функцията ще бъде плътността на вероятността на някаква случайна променлива х; б) функция на разпределение Ф(х).

5.9. Случайна стойност х, концентриран върху интервала (3;7), се дава от функцията на разпределение Ф(х)= хприема стойността: а) по-малко от 5, б) не по-малко от 7.

5.10. Случайна стойност х, концентриран върху интервала (-1; 4), се дава от функцията на разпределение Ф(х)= . Намерете вероятността случайната променлива хприема стойността: а) по-малко от 2, б) по-малко от 4.

5.11.

Намерете: а) число С; б) М(х); в) вероятност Р(Х > М(х)).

5.12. Случайната променлива се дава от функцията за диференциално разпределение:

Намери си) М(х); б) вероятност Р(X ≤ M(х)).

5.13. Разпределението по време се дава от плътността на вероятностите:

Докажи това е(х) наистина е разпределение на плътността на вероятностите.

5.14. Като се има предвид плътността на разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна променлива х:

Намерете число С.

5.15. Случайна стойност хразпределени по закона на Симпсън (равнобедрен триъгълник) върху отсечката [-2; 2] (фиг. 5.4). Намерете аналитичен израз за плътността на вероятността е(х) на цялата числова права.

Ориз. 5.4 Фиг. 5.5

5.16. Случайна стойност хразпределени съгласно закона правоъгълен триъгълник" в интервала (0; 4) (фиг. 5.5). Намерете аналитичен израз за плътността на вероятностите е(х) на цялата числова права.

Отговори

П (-1/2<х<1/2)=2/3.

П(2π /9<х< π /2)=1/2.

5.3. а) С=1/6, б) М(х)=3 , в) д(х)=26/81.

5.4. а) С=3/2, б) М(х)=3/5, в) д(х)=12/175.

б) М(х)= 3 , д(х)= 2/9, σ( х)= /3.

б) М(х)=2 , д(х)= 3 , σ( х)= 1,893.

5.7. а) c = ; б)

5.8. а) С=1/2; б)

5.9. а) 1/4; б) 0.

5.10. а) 3/5; б) 1.

5.11. а) С= 2; б) М(х)= 2; в 1- вътрешен 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. а) М(х)= π /2 ; б) 1/2

Случайна величинаНарича се величина, която в резултат на тестове, проведени при едни и същи условия, придобива различни, най-общо казано, стойности в зависимост от случайни фактори, които не се вземат предвид. Примери за произволни променливи: броят на точките, пуснати на зар, броят на дефектните продукти в партидата, отклонението на точката на удар на снаряда от целта, времето на работа на устройството и т.н. Правете разлика между дискретни и непрекъснати случайни променливи . ОтделенИзвиква се произволна променлива, чиито възможни стойности образуват изброимо множество, крайно или безкрайно (т.е. такова множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани).

НепрекъснатоИзвиква се произволна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват някакъв краен или безкраен интервал от числовата ос. Броят на стойностите на непрекъсната произволна променлива винаги е безкраен.

Случайните променливи ще бъдат обозначени с главни букви в края на латинската азбука: х, Й, ...; стойности на произволна променлива - с малки букви: X, y... . По този начин, х Обозначава целия набор от възможни стойности на произволна променлива и Х -Някакво конкретно значение.

закон за разпределениетоДискретна случайна променлива е съответствие, дадено под каквато и да е форма между възможните стойности на произволна променлива и техните вероятности.

Нека възможните стойности на произволната променлива х са . В резултат на теста случайната променлива ще приеме една от тези стойности, т.е. Ще се случи едно събитие от пълна група несъвместими по двойки събития.

Нека също така са известни вероятностите за тези събития:

Закон за разпределението на случайна величина х Може да се запише под формата на таблица, наречена Близо до разпространениеДискретна случайна променлива:

Редът на разпределение е равен (условие на нормализиране).

Пример 3.1.Намерете закона за разпределение на дискретна случайна променлива х - броят на поява на "орела" при две хвърляния на монета.

Функцията на разпределение е универсална форма за определяне на закона за разпределение както за дискретни, така и за непрекъснати случайни променливи.

Функцията на разпределение на произволна променливах Функцията се извиква Ф(х), Дефиниран на цялата числова права, както следва:

Ф(х)= П(х< х ),

т.е. Ф(х) има вероятност случайната променлива х Приема стойност по-малка от х.

Функцията на разпределение може да бъде представена графично. За дискретна случайна променлива, графиката има стъпаловидна форма. Нека построим, например, графика на функцията на разпределение на произволна променлива, дадена от следната серия (фиг. 3.1):

Ориз. 3.1. Графика на функцията на разпределение на дискретна случайна променлива

Скокове на функцията се случват в точки, съответстващи на възможните стойности на произволната променлива, и са равни на вероятностите на тези стойности. В точките на прекъсване функцията Ф(х) е непрекъснато вляво.

Графикът на функцията на разпределение на непрекъсната случайна величина е непрекъсната крива.

Ориз. 3.2. Графика на функцията на разпределение на непрекъсната случайна величина

Функцията за разпределение има следните очевидни свойства:

1) , 2) , 3) ,

4) в .

Ще наречем събитие, състоящо се в това, че е произволна променлива х Приема стойност Х,Принадлежащ към някакъв полузатворен интервал А£ х< Б, Чрез натискане на произволна променлива в интервала [ А, Б).

Теорема 3.1. Вероятността случайна променлива да попадне в интервала [ А, Б) е равно на нарастването на функцията на разпределение на този интервал:

Ако намалим интервала [ А, Б), Ако приемем, че , тогава в границата, формула (3.1) вместо вероятността за достигане на интервала дава вероятността за достигане на точката, т.е. вероятността случайната променлива да приеме стойността А:

Ако функцията на разпределение има прекъсване в точката А, Тогава границата (3.2) е равна на стойността на скок на функцията Ф(х) в точката х=А, Тоест вероятностите случайната променлива да приеме стойността А (фиг. 3.3, НО). Ако случайната променлива е непрекъсната, т.е. функцията е непрекъсната Ф(х), то границата (3.2) е равна на нула (фиг. 3.3, Б)

По този начин вероятността за всяка конкретна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула. Това обаче не означава, че събитието е невъзможно. X=А, Това само казва, че относителната честота на това събитие ще клони към нула с неограничено увеличаване на броя на тестовете.

НО)
Б)

Ориз. 3.3. Скок на функцията за разпределение

За непрекъснати случайни променливи, наред с функцията на разпределение, се използва друга форма на уточняване на закона за разпределение - плътността на разпределението.

Ако е вероятността за попадане в интервала , тогава съотношението характеризира плътността, с която вероятността се разпределя в близост до точката х. Границата на това отношение при , т.е. д. производна, се нарича Плътност на разпределение(плътност на разпределението на вероятностите, плътност на вероятностите) на произволна величина х. Съгласни сме да обозначим плътността на разпределение

По този начин плътността на разпределението характеризира вероятността случайна променлива да попадне в околността на точката Х.

Графикът на плътността на разпределение се нарича криви расиОпределения(Фигура 3.4).

Ориз. 3.4. Тип плътност на разпределение

Въз основа на дефиницията и свойствата на функцията на разпределение Ф(х), лесно е да се установят следните свойства на плътността на разпределението Ф(х):

1) Ф(х)³0

За непрекъсната случайна променлива, поради факта, че вероятността да се удари точка е нула, са валидни следните равенства:

Пример 3.2.Случайна стойност х Определя се от плътността на разпределение

Задължително:

А) Намерете стойността на коефициента НО;

Б) намерете функцията на разпределение;

В) намерете вероятността случайна променлива да попадне в интервала (0, ).

Функцията на разпределение или плътността на разпределение напълно описва произволна променлива. Често обаче при решаване на практически задачи няма нужда от пълно познаване на закона за разпределението, достатъчно е да се познават само някои от характерните му особености. За да направите това, в теорията на вероятностите се използват числени характеристики на случайна величина, изразяващи различни свойства на закона за разпределението. Основните числени характеристики са математическиОчакване, дисперсия и стандартно отклонение.

Очаквана стойностХарактеризира позицията на произволна променлива по оста на числата. Това е някаква средна стойност на произволна променлива, около която са групирани всичките й възможни стойности.

Математическо очакване на случайна променлива х Символизиран М(х) или T. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от сдвоени произведения на всички възможни стойности на случайната променлива и вероятностите за тези стойности:

Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива се определя с помощта на неправилен интеграл:

Въз основа на дефинициите е лесно да се провери валидността на следните свойства на математическото очакване:

1. (математическо очакване на неслучайна променлива ОТРавно на най-неслучайната стойност).

2. Ако ³0, тогава ³0.

4. Ако и независими, тогава .

Пример 3.3.Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива, дадена от серия от разпределения:

Решение.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Пример 3.4.Намерете математическото очакване на произволна променлива, дадена от плътността на разпределението:

Решение.

Дисперсия и стандартно отклонениеТе са характеристики на дисперсията на произволна променлива, те характеризират разпространението на възможните й стойности спрямо математическото очакване.

дисперсия д(х) случайна величина х Математическото очакване на квадратното отклонение на произволна променлива от математическото й очакване се нарича. За дискретна случайна променлива дисперсията се изразява със сумата:

(3.3)

А за непрекъснато - интегрално

(3.4)

Дисперсията има размерността на квадрата на произволна променлива. характеристика на разсейване, Съвпадение по размерStee със случайна променлива, е стандартното отклонение.

Свойства на дисперсия:

1) са постоянни. По-специално,

По-специално,

Обърнете внимание, че изчисляването на дисперсията по формула (3.5) често се оказва по-удобно, отколкото по формула (3.3) или (3.4).

Стойността се извиква ковариацияслучайни променливи.

Ако , след това стойността

Наречен Коефициент на корелацияслучайни променливи.

Може да се покаже, че ако , то величините са линейно зависими: къде

Имайте предвид, че ако са независими, тогава

Пример 3.5.Намерете дисперсията на произволна променлива, дадена от редовете на разпределение от пример 1.

Решение. За да изчислите дисперсията, трябва да знаете математическото очакване. За дадена случайна променлива по-горе беше установено: М=1.3. Изчисляваме дисперсията по формулата (3.5):

Пример 3.6.Случайната променлива се дава от плътността на разпределението

Намерете дисперсията и стандартното отклонение.

Решение. Първо намираме математическото очакване:

(като интеграл от нечетна функция през симетричен интервал).

Сега изчисляваме дисперсията и стандартното отклонение:

1. Биномиално разпределение. Случайната променлива, равна на броя "УСПЕХИ" в схемата на Бернули, има биномно разпределение: , .

Математическото очакване на случайна променлива, разпределена според биномния закон е

Дисперсията на това разпределение е .

2. Поасоново разпределение ,

Математическо очакване и дисперсия на случайна променлива с разпределение на Поасон , .

Разпределението на Поасон често се използва, когато имаме работа с броя на събитията, които се случват в интервал от време или пространство, като например броя на колите, пристигащи на автомивка за един час, броя на спиранията на машината на седмица, броя на на пътнотранспортни произшествия и др.

Случайната променлива има Геометрично разпределениес параметър if приема стойности с вероятности . Случайна променлива с такова разпределение има смисъл Номера на първия успешен теств схемата на Бернули с вероятността за успех. Таблицата за разпределение изглежда така:

3. Нормална дистрибуция. Нормалният закон за разпределението на вероятностите заема специално място сред другите закони за разпределение. В теорията на вероятностите се доказва, че плътността на вероятността на сумата от независими или Слабо зависим, равномерно малки (т.е. играещи приблизително една и съща роля) членове с неограничено увеличаване на техния брой се доближават до нормалния закон за разпределение толкова близо, колкото желаете, независимо какви закони на разпределението имат тези термини (централната гранична теорема на А. М. Ляпунов).

СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

Пример 2.1.Случайна стойност хдадено от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приема стойности между (2.5; 3.6).

Решение: хв интервала (2.5; 3.6) може да се определи по два начина:

Пример 2.2.При какви стойности на параметрите НОи ATфункция Ф(х) = A + Be - xможе да бъде функция на разпределение за неотрицателни стойности на произволна променлива х.

Решение:Тъй като всички възможни стойности на произволната променлива хпринадлежат на интервала , то за да може функцията да бъде функция на разпределение за х, имотът трябва да притежава:

Отговор: .

Пример 2.3.Случайната променлива X се дава от функцията на разпределение

Намерете вероятността, в резултат на четири независими опита, стойността хточно 3 пъти ще вземе стойност, принадлежаща на интервала (0,25; 0,75).

Решение:Вероятност за достигане на стойност хв интервала (0,25; 0,75) намираме по формулата:

Пример 2.4.Вероятността топката да удари коша при едно хвърляне е 0,3. Начертайте закона за разпределение на броя попадения в три хвърляния.

Решение:Случайна стойност х- броят на попаденията в коша с три хвърляния - може да приема стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятностите, които х

х:

Пример 2.5.Двама стрелци правят един изстрел към целта. Вероятността да го улучите от първия стрелец е 0,5, втория - 0,4. Запишете закона за разпределение на броя попадения в целта.

Решение:Намерете закона за разпределение на дискретна случайна променлива х- броят на попаденията в целта. Нека събитието е попадение в целта от първия стрелец, и - удар от втория стрелец, и - съответно, техните пропуски.

Нека съставим закона за разпределението на вероятностите на SV х:

Пример 2.6.Тествани са 3 елемента, работещи независимо един от друг. Продължителността на времето (в часове) на безотказната работа на елементите има функции на плътност на разпределение: за първия: Ф 1 (T) =1-е- 0,1 T, за второто: Ф 2 (T) = 1-е- 0,2 T, за третия: Ф 3 (T) =1-е- 0,3 T. Намерете вероятността в интервала от време от 0 до 5 часа: само един елемент ще се повреди; само два елемента ще се провалят; и трите елемента се провалят.

Решение:Нека използваме дефиницията на генериращата функция на вероятностите:

Вероятността при независими опити, при първото от които вероятността за настъпване на събитие НОравно , във второто и т.н. събитието НОсе появява точно веднъж, е равно на коефициента при в разширението на генериращата функция в степени на . Нека намерим вероятностите за повреда и неотказ съответно на първия, втория и третия елемент във времевия интервал от 0 до 5 часа:

Нека създадем генерираща функция:

Коефициентът при е равен на вероятността събитието НОще се появи точно три пъти, тоест вероятността за повреда и на трите елемента; коефициентът при е равен на вероятността точно два елемента да се провалят; коефициентът при е равен на вероятността само един елемент да се повреди.

Пример 2.7.Дадена плътност на вероятността е(х) случайна величина х:

Намерете функцията на разпределение F(x).

Решение:Използваме формулата:

Така функцията на разпределение има формата:

Пример 2.8.Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Съставете закона за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент.

Решение:Случайна стойност х- броят на неуспешните елементи в един експеримент - може да приеме стойностите: 0, 1, 2, 3. Вероятностите, които хприема тези стойности, намираме по формулата на Бернули:

Така получаваме следния закон за разпределението на вероятностите на произволна променлива х:

Пример 2.9.Има 4 стандартни части в партида от 6 части. 3 елемента бяха избрани на случаен принцип. Начертайте закона за разпределение на броя на стандартните части между избраните.

Решение:Случайна стойност х- броят на стандартните части сред избраните - може да приема стойности: 1, 2, 3 и има хипергеометрично разпределение. Вероятностите, че х

където -- броят на частите в партидата;

-- броя на стандартните части в партидата;

– брой избрани части;

-- броя на стандартните части сред избраните.

Пример 2.10.Случайната променлива има плътност на разпределение

където и не са известни, но , a и . Намерете и .

Решение:В този случай случайната променлива хима триъгълно разпределение (разпределение на Симпсън) на интервала [ а, б]. Числови характеристики х:

следователно, . Решавайки тази система, получаваме две двойки стойности: . Тъй като според условието на задачата накрая имаме: .

Отговор: .

Пример 2.11.Средно за 10% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователните суми във връзка с настъпване на застрахователно събитие. Изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на такива договори между четири произволно избрани.

Решение:Математическото очакване и дисперсията могат да бъдат намерени с помощта на формулите:

Възможни стойности на SV (брой договори (от четири) с настъпване на застрахователно събитие): 0, 1, 2, 3, 4.

Използваме формулата на Бернули, за да изчислим вероятностите за различен брой договори (от четири), за които са платени застрахователните суми:

Серията за разпространение на CV (броя на договорите с настъпване на застрахователно събитие) има формата:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Отговор: , .

Пример 2.12.От петте рози две са бели. Напишете закон за разпределение за произволна променлива, изразяваща броя на белите рози между две, взети едновременно.

Решение:В проба от две рози може или да няма бяла роза, или може да има една или две бели рози. Следователно, случайната променлива хможе да приема стойности: 0, 1, 2. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

където -- брой рози;

-- брой бели рози;

– броят на едновременно взети рози;

-- броят на белите рози сред взетите.

Тогава законът за разпределение на произволна променлива ще бъде както следва:

Пример 2.13.Сред 15-те сглобени агрегата 6 се нуждаят от допълнително смазване. Начертайте закона за разпределение на броя на единиците, нуждаещи се от допълнително смазване, между пет произволно избрани от общия брой.

Решение:Случайна стойност х- броят на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване измежду петте избрани - може да приема стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометрично разпределение. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

където -- броя на сглобените единици;

-- брой единици, изискващи допълнително смазване;

– броят на избраните агрегати;

-- броят на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред избраните.

Тогава законът за разпределение на произволна променлива ще бъде както следва:

Пример 2.14.От 10 часовника, получени за ремонт, 7 се нуждаят от общо почистване на механизма. Часовниците не се сортират по вид ремонт. Майсторът, искайки да намери часовник, който се нуждае от почистване, ги разглежда един по един и, след като намери такъв часовник, спира по-нататъшното гледане. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя гледани часове.

Решение:Случайна стойност х- броят на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване измежду петте избрани - може да приеме следните стойности: 1, 2, 3, 4. Вероятностите, които хприема тези стойности, намираме по формулата:

Тогава законът за разпределение на произволна променлива ще бъде както следва:

Сега нека изчислим числените характеристики на количеството:

Отговор: , .

Пример 2.15.Абонатът е забравил последната цифра на нужния му телефонен номер, но помни, че е странна. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя набирания, които е направил, преди да удари желания номер, ако набере последната цифра на случаен принцип и не набере набраната цифра в бъдеще.

Решение:Случайната променлива може да приема стойности: . Тъй като абонатът не набира набраната цифра в бъдеще, вероятностите за тези стойности са равни.

Нека съставим серия на разпределение на произволна променлива:


	0,2

Нека изчислим математическото очакване и дисперсията на броя на опитите за набиране:

Отговор: , .

Пример 2.16.Вероятността за отказ по време на тестовете за надеждност за всяко устройство от серията е равна на стр. Определете математическото очакване на броя на неуспешните устройства, ако са тествани нуреди.

Решение:Дискретната случайна променлива X е броят на неизправните устройства в ннезависими тестове, при всеки от които вероятността за неуспех е равна на п,разпределени според биномния закон. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя на опитите и вероятността събитие да се случи в един опит:

Пример 2.17.Дискретна случайна променлива хприема 3 възможни стойности: с вероятност ; с вероятност и с вероятност. Намерете и знаейки, че M( х) = 8.

Решение:Използваме дефинициите на математическото очакване и закона за разпределение на дискретна случайна променлива:

Намираме: .

Пример 2.18.Отделът за технически контрол проверява продуктите за стандартност. Вероятността артикулът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 артикула. Намерете математическото очакване на произволна променлива х- броя на партидите, всяка от които съдържа точно 4 стандартни продукта, ако 50 партиди подлежат на проверка.

Решение:В този случай всички проведени експерименти са независими и вероятностите всяка партида да съдържа точно 4 стандартни продукта са еднакви, следователно математическото очакване може да се определи по формулата:

къде е броят на партиите;

Вероятността една партида да съдържа точно 4 стандартни артикула.

Намираме вероятността по формулата на Бернули:

Отговор: .

Пример 2.19.Намерете дисперсията на произволна променлива х– брой събития на събитието Ав два независими опита, ако вероятностите за настъпване на събитие в тези опити са еднакви и е известно, че М(х) = 0,9.

Решение:Проблемът може да бъде решен по два начина.

1) Възможни CB стойности х: 0, 1, 2. Използвайки формулата на Бернули, ние определяме вероятностите за тези събития:

, , .

След това законът за разпределението хизглежда като:

От дефиницията на математическото очакване ние определяме вероятността:

Нека намерим дисперсията на SW х:

2) Можете да използвате формулата:

Отговор: .

Пример 2.20.Математическо очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива хса съответно 20 и 5. Намерете вероятността, че в резултат на теста хще вземе стойността, съдържаща се в интервала (15; 25).

Решение:Вероятност за удряне на нормална случайна променлива хна участъка от до се изразява чрез функцията на Лаплас:

Пример 2.21.Дадена функция:

При каква стойност на параметъра ° Стази функция е плътността на разпределението на някаква непрекъсната случайна променлива х? Намерете математическото очакване и дисперсията на произволна променлива х.

Решение:За да може дадена функция да бъде плътността на разпределението на някаква произволна променлива, тя трябва да е неотрицателна и трябва да отговаря на свойството:

следователно:

Изчислете математическото очакване, като използвате формулата:

Изчислете дисперсията по формулата:

Т е стр. Необходимо е да се намери математическото очакване и дисперсията на тази случайна величина.

Решение:Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на поява на събитие в независими опити, при всяко от които вероятността за настъпване на събитие е , се нарича биномен. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението на броя на опитите и вероятността за настъпване на събитието А в един опит:

Пример 2.25.Към целта се извършват три независими изстрела. Вероятността за уцелване на всеки изстрел е 0,25. Определете стандартното отклонение на броя на попаденията с три изстрела.

Решение:Тъй като се извършват три независими опита и вероятността за настъпване на събитието A (попадане) във всеки опит е една и съща, ще приемем, че дискретната случайна променлива X - броят на попаденията в целта - се разпределя според бинома закон.

Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението от броя на опитите и вероятностите за възникване и невъзникване на събитие в един опит:

Пример 2.26.Средният брой клиенти, посещаващи застрахователната компания за 10 минути е трима. Намерете вероятността поне един клиент да пристигне през следващите 5 минути.

Среден брой клиенти, пристигащи за 5 минути: . .

Пример 2.29.Времето за изчакване на приложение в опашката на процесора се подчинява на експоненциален закон за разпределение със средна стойност от 20 секунди. Намерете вероятността следващата (произволна) заявка да изчака процесора повече от 35 секунди.

Решение:В този пример очакването , а процентът на отказ е .

Тогава желаната вероятност е:

Пример 2.30.Група от 15 ученици провежда среща в зала с 20 реда по 10 места. Всеки ученик заема произволно място в залата. Каква е вероятността не повече от трима души да бъдат на седмо място в реда?

Решение:

Пример 2.31.

Тогава според класическата дефиниция на вероятността:

където -- броят на частите в партидата;

-- броя на нестандартните части в партидата;

– брой избрани части;

-- броя на нестандартните части сред избраните.

Тогава законът за разпределение на случайната величина ще бъде както следва.

както е известно, случайна величина се нарича променлива, която може да приеме определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а техните стойности - със съответните малки букви (x, y, z). Случайните променливи се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива се нарича случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Законът за разпределението на дискретна случайна величина е функция, която свързва стойностите на произволна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределението може да се уточни по един от следните начини.

1 . Законът за разпределението може да бъде даден от таблицата:

където λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в)като се използва функция на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).

Свойства на функцията F(x)

3 . Законът за разпределението може да бъде зададен графично – разпределителен многоъгълник (многоъгълник) (виж задача 3).

Имайте предвид, че за да разрешите някои проблеми, не е необходимо да знаете закона за разпределението. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределението. Това може да бъде число, което има значението на "средната стойност" на произволна променлива, или число, което показва средния размер на отклонението на произволна променлива от средната й стойност. Числата от този вид се наричат числови характеристики на произволна променлива.

Основни числени характеристики на дискретна случайна величина :

Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
За биномно разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
Дисперсия дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2) − 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на произволна променлива от нейното математическо очакване.
За биномно разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ
Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).

Примери за решаване на задачи по темата "Законът за разпределение на дискретна случайна променлива"

Задача 1.

Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях ще спечелят 500 рубли, 10 ще спечелят 100 рубли, 20 ще спечелят 50 рубли и 50 ще спечелят 10 рубли. Определете закона за разпределението на вероятностите на случайната променлива X - печалби на билет.

Решение. Според условието на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Броят на билетите без печалба е 1000 - (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Представяме получения закон под формата на таблица:

Намерете математическото очакване на X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение за броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете полигон за разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.

Решение. 1. Дискретната произволна променлива X=(брой неуспешни елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 =0 (нито един от елементите на устройството не е неуспешен), x 2 =1 (един елемент е неуспешен), x 3 =2 ( два елемента не успяха) и x 4 = 3 (три елемента не успяха).

Отказите на елементите са независими един от друг, вероятностите за повреда на всеки елемент са равни една на друга, следователно е приложимо Формулата на Бернули . Като се има предвид, че по условие, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, ние определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Проверете: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Следователно желаният закон за биномиално разпределение X има формата:

Върху оста на абсцисата нанасяме възможните стойности x i, а на оста на ординатите - съответните вероятности p i . Нека построим точки M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Свързвайки тези точки с линейни сегменти, получаваме желания полигон за разпределение.

3. Намерете функцията на разпределение F(x) = P(X

За x ≤ 0 имаме F(x) = P(X<0) = 0;
за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x > 3 ще бъде F(x) = 1, тъй като събитието е сигурно.

Графика на функцията F(x)

4. За биномното разпределение X:
- математическо очакване М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Упражнение 1. Плътността на разпределението на непрекъсната случайна променлива X има формата:
Намирам:
а) параметър A ;
б) функция на разпределение F(x) ;
в) вероятността за попадане на произволна променлива X в интервала;
г) математическо очакване MX и дисперсия DX .
Начертайте графика на функциите f(x) и F(x) .

Задача 2. Намерете дисперсията на случайната променлива X, дадена от интегралната функция.

Задача 3. Намерете математическото очакване на произволна променлива X при дадена функция на разпределение.

Задача 4. Плътността на вероятността на някаква случайна променлива се дава, както следва: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Намерете коефициент A, функция на разпределение F(x), математическо очакване и дисперсия, както и вероятността произволна променлива да приеме стойност в интервала. Начертайте графики f(x) и F(x).

Задача. Функцията на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива се дава, както следва:

Определете параметрите a и b , намерете израза за плътността на вероятността f(x), математическото очакване и дисперсията, както и вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала . Начертайте графики f(x) и F(x).

Нека намерим функцията на плътността на разпределението като производна на функцията на разпределение.
F′=f(x)=a
Знаейки, че ще намерим параметъра a:

или 3a=1, откъдето a = 1/3
Намираме параметъра b от следните свойства:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, откъдето b = -1/3
Следователно функцията на разпределение е: F(x) = (x-1)/3

Очаквана стойност.

Дисперсия.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Намерете вероятността случайна променлива да приеме стойност в интервала
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Пример №1. Дадена е плътността на разпределението на вероятностите f(x) на непрекъсната случайна променлива X. Задължително: