Определянето на центъра на тежестта на произволно тяло чрез последователно сумиране на силите, действащи върху отделните му части, е трудна задача; улеснява се само за тела със сравнително проста форма.
Нека тялото се състои само от две тежести с маса и свързани с прът (фиг. 125). Ако масата на пръта е малка в сравнение с масите и , тогава тя може да бъде пренебрегната. Всяка от масите се влияе от гравитацията, равна съответно на и; и двете са насочени вертикално надолу, тоест успоредни един на друг. Както знаем, резултантната на две успоредни сили е приложена в точката , която се определя от условието
Ориз. 125. Определяне на центъра на тежестта на тяло, състоящо се от два товара
Следователно центърът на тежестта разделя разстоянието между два товара в съотношение, обратно на отношението на техните маси. Ако това тяло е окачено в точка, то ще остане в равновесие.
Тъй като две равни маси имат общ център на тежестта в точка, която разполовява разстоянието между тези маси, веднага става ясно, че например центърът на тежестта на хомогенен прът се намира в средата на пръта (фиг. 126) .
Тъй като всеки диаметър на хомогенен кръгъл диск го разделя на две напълно еднакви симетрични части (фиг. 127), центърът на тежестта трябва да лежи върху всеки диаметър на диска, т.е. в точката на пресичане на диаметрите - в геометричния центъра на диска. Разсъждавайки по подобен начин, можем да открием, че центърът на тежестта на хомогенна топка лежи в нейния геометричен център, центърът на тежестта на хомогенна топка кубоидлежи в пресечната точка на неговите диагонали и т.н. Центърът на тежестта на обръч или пръстен лежи в неговия център. Последният пример показва, че центърът на тежестта на тялото може да лежи извън тялото.
Ориз. 126. Центърът на тежестта на еднороден прът е в средата му
Ориз. 127. Центърът на хомогенен диск лежи в неговия геометричен център
Ако тялото има неправилна форма или ако е нехомогенно (например има кухини), тогава изчисляването на позицията на центъра на тежестта често е трудно и тази позиция е по-удобна за намиране чрез опит. Нека, например, е необходимо да се намери центърът на тежестта на парче шперплат. Нека го закачим на конец (фиг. 128). Очевидно в равновесно положение центърът на тежестта на тялото трябва да лежи върху продължението на нишката, в противен случай силата на тежестта ще има момент спрямо точката на окачване, който ще започне да върти тялото. Следователно, начертавайки права линия върху нашето парче шперплат, представляваща продължението на нишката, можем да твърдим, че центърът на тежестта лежи на тази права линия.
Наистина, като окачим тялото в различни точки и начертаем вертикални линии, ще се уверим, че всички те се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тялото (тъй като трябва да лежи едновременно на всички такива линии). По подобен начин може да се определи положението на центъра на тежестта не само на плоска фигура, но и на по-сложно тяло. Положението на центъра на тежестта на самолета се определя чрез търкалянето му с колела върху платформата на везната. Резултатът от силите на тежестта върху всяко колело ще бъде насочен вертикално и можете да намерите линията, по която действа, по закона за добавяне на успоредни сили.
Ориз. 128. Точката на пресичане на вертикални линии, начертани през точките на окачване, е центърът на тежестта на тялото
При промяна на масите на отделните части на тялото или при промяна на формата на тялото се променя положението на центъра на тежестта. И така, центърът на тежестта на самолета се движи, когато горивото се изразходва от резервоарите, когато се зарежда багаж и т.н. За визуален експеримент, илюстриращ движението на центъра на тежестта, когато се променя формата на тялото, е удобно да се вземе две еднакви пръти, свързани с панта (фиг. 129). В случай, че прътите са продължение един на друг, центърът на тежестта лежи върху оста на прътите. Ако прътите са огънати на пантата, тогава центърът на тежестта е извън прътите, върху ъглополовящата на ъгъла, който образуват. Ако върху една от решетките се постави допълнително натоварване, тогава центърът на тежестта ще се премести към това натоварване.
център на тежесттаТвърдото тяло е геометрична точка, която е твърдо свързана с това тяло и е център на паралелни гравитационни сили, приложени към отделни елементарни частици на тялото (Фигура 1.6).
Радиус вектор на тази точка
Фигура 1.6
За хомогенно тялоположението на центъра на тежестта на тялото не зависи от материала, а се определя от геометричната форма на тялото.
Ако специфичното тегло на хомогенно тяло γ , тегло елементарна частицатяло
П k = γΔV к (П = γV ) заместете във формулата, за да определите r ° С , ние имаме
Откъдето, проектирайки се върху осите и преминавайки към границата, получаваме координатите на центъра на тежестта на хомогенен обем
По същия начин за координатите на центъра на тежестта на хомогенна повърхност с площ С (Фигура 1.7, а)
Фигура 1.7
За координатите на центъра на тежестта на хомогенна дължина Л (Фигура 1.7, b)
Методи за определяне на координатите на центъра на тежестта
Въз основа на предишното общи формули, можете да посочите начини за определяне на координатите на центровете на тежестта на твърдите тела:
1 Аналитичен(чрез интегриране).
2 Метод на симетрия. Ако тялото има равнина, ос или център на симетрия, тогава неговият център на тежестта лежи съответно в равнината на симетрия, оста на симетрия или в центъра на симетрия.
3 Експериментален(метод на окачване на тялото).
4 разделяне. Тялото е разделено на краен брой части, за всяка от които позицията на центъра на тежестта ° С и площ С известен. Например проекцията на тяло върху равнина xOy (Фигура 1.8) може да се представи като две плоски фигури с площи С 1 И С 2 (S=S 1 +S 2 ). Центровете на тежестта на тези фигури са в точките ° С 1 (х 1 ,г 1 ) И ° С 2 (х 2 ,г 2 ) . Тогава координатите на центъра на тежестта на тялото са
Фигура 1.8
5Допълнение(метод на отрицателните площи или обеми). Специален случай на метода на разделяне. Прилага се за тела с изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изрез и на изреза. Например, трябва да намерите координатите на центъра на тежестта на плоска фигура (Фигура 1.9):
Фигура 1.9
Центрове на тежестта на най-простите фигури
Фигура 1.10
1 триъгълник
Центърът на тежестта на зоната на триъгълника съвпада с точката на пресичане на неговите медиани (Фигура 1.10, а).
DM=MB , CM= (1/3)сутринта .
2 Дъга от окръжност
Дъгата има ос на симетрия (Фигура 1.10, b). Центърът на тежестта лежи на тази ос, т.е. г ° С = 0 .
дл – дъгов елемент, дл = Rdφ , Р е радиусът на окръжността, x = Rcosφ , L= 2aR ,
Следователно:
х ° С = R(sinα/α) .
3 Кръгъл сектор
Радиус сектор Р с централен ъгъл 2 α има ос на симетрия вол , върху който е разположен центърът на тежестта (Фигура 1.10, c).
Разделяме сектора на елементарни сектори, които могат да се считат за триъгълници. Центровете на тежестта на елементарните сектори са разположени върху дъгата на окръжност с радиус (2/3) Р .
Центърът на тежестта на сектора съвпада с центъра на тежестта на дъгата AB :
14. Методи за уточняване на движението на точка.
С векторния метод за уточняване на движение, позицията на точка се определя от радиус вектора, изчертан от фиксирана точка в избраната референтна система.
С координатния метод за определяне на движение, координатите на точка се определят като функция на времето:
Това са параметричните уравнения на траекторията на движеща се точка, в които времето играе ролята на параметър T . За да запишете уравнението му в ясна форма, е необходимо да ги изключите T .
С естествения метод за уточняване на движението се задават траекторията на точката, началото на траекторията с посочване на положителната референтна посока, законът за промяна на дъговата координата: s=s(t) . Този метод е удобен за използване, ако траекторията на точката е известна предварително.
15. 1.2 Точкова скорост
Помислете за движението на точка за малък период от време Δt :
средна скорост на точка за определен период от време Dt . Скоростта на точка в даден момент
Точкова скоросте кинематична мярка на неговото движение, равна на производната по време на радиус вектора на тази точка в разглежданата отправна система. Векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията на точката в посоката на движение.
Определянето на центъра на тежестта на произволно тяло чрез последователно сумиране на силите, действащи върху отделните му части, е трудна задача; улеснява се само за тела със сравнително проста форма.
Нека тялото се състои само от две тежести с маса и свързани с прът (фиг. 125). Ако масата на пръта е малка в сравнение с масите и , тогава тя може да бъде пренебрегната. Всяка от масите се влияе от гравитацията, равна съответно на и; и двете са насочени вертикално надолу, тоест успоредни един на друг. Както знаем, резултантната на две успоредни сили е приложена в точката , която се определя от условието
Ориз. 125. Определяне на центъра на тежестта на тяло, състоящо се от два товара
Следователно центърът на тежестта разделя разстоянието между два товара в съотношение, обратно на отношението на техните маси. Ако това тяло е окачено в точка, то ще остане в равновесие.
Тъй като две равни маси имат общ център на тежестта в точка, която разполовява разстоянието между тези маси, веднага става ясно, че например центърът на тежестта на хомогенен прът се намира в средата на пръта (фиг. 126) .
Тъй като всеки диаметър на хомогенен кръгъл диск го разделя на две напълно еднакви симетрични части (фиг. 127), центърът на тежестта трябва да лежи върху всеки диаметър на диска, т.е. в точката на пресичане на диаметрите - в геометричния центъра на диска. Разсъждавайки по подобен начин, можем да установим, че центърът на тежестта на хомогенна топка е в нейния геометричен център, центърът на тежестта на хомогенен правоъгълен паралелепипед е в пресечната точка на неговите диагонали и т.н. Центърът на тежестта на обръч или пръстен лежи в центъра му. Последният пример показва, че центърът на тежестта на тялото може да лежи извън тялото.
Ориз. 126. Центърът на тежестта на еднороден прът е в средата му
Ориз. 127. Центърът на хомогенен диск лежи в неговия геометричен център
Ако тялото има неправилна форма или ако е нехомогенно (например има кухини), тогава изчисляването на позицията на центъра на тежестта често е трудно и тази позиция е по-удобна за намиране чрез опит. Нека, например, е необходимо да се намери центърът на тежестта на парче шперплат. Нека го закачим на конец (фиг. 128). Очевидно в равновесно положение центърът на тежестта на тялото трябва да лежи върху продължението на нишката, в противен случай силата на тежестта ще има момент спрямо точката на окачване, който ще започне да върти тялото. Следователно, начертавайки права линия върху нашето парче шперплат, представляваща продължението на нишката, можем да твърдим, че центърът на тежестта лежи на тази права линия.
Наистина, като окачим тялото в различни точки и начертаем вертикални линии, ще се уверим, че всички те се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тялото (тъй като трябва да лежи едновременно на всички такива линии). По подобен начин може да се определи положението на центъра на тежестта не само на плоска фигура, но и на по-сложно тяло. Положението на центъра на тежестта на самолета се определя чрез търкалянето му с колела върху платформата на везната. Резултатът от силите на тежестта върху всяко колело ще бъде насочен вертикално и можете да намерите линията, по която действа, по закона за добавяне на успоредни сили.
Ориз. 128. Точката на пресичане на вертикални линии, начертани през точките на окачване, е центърът на тежестта на тялото
При промяна на масите на отделните части на тялото или при промяна на формата на тялото се променя положението на центъра на тежестта. И така, центърът на тежестта на самолета се движи, когато горивото се изразходва от резервоарите, когато се зарежда багаж и т.н. За визуален експеримент, илюстриращ движението на центъра на тежестта, когато се променя формата на тялото, е удобно да се вземе две еднакви пръти, свързани с панта (фиг. 129). В случай, че прътите са продължение един на друг, центърът на тежестта лежи върху оста на прътите. Ако прътите са огънати на пантата, тогава центърът на тежестта е извън прътите, върху ъглополовящата на ъгъла, който образуват. Ако върху една от решетките се постави допълнително натоварване, тогава центърът на тежестта ще се премести към това натоварване.
Ориз. 129. а) Центърът на тежестта на прътите, свързани с шарнир, разположен на една права линия, лежи върху оста на прътите, б) Центърът на тежестта на огъната система от пръти е извън прътите
81.1. Къде е центърът на тежестта на две еднакви тънки пръчици с дължина 12 см и закрепени под формата на буквата Т?
81.2. Докажете, че центроидът на равномерна триъгълна плоча лежи в пресечната точка на медианите.
Ориз. 130. Към упражнение 81.3
81.3. Хомогенна дъска с маса 60 kg лежи върху две опори, както е показано на фиг. 130. Определете силите, действащи върху опорите.
Центърът на тежестта е точката, през която минава линията на действие на резултантните елементарни сили на тежестта. Той има свойството на център на паралелни сили (Е. М. Никитин, § 42). Ето защо формули за определяне на положението на центъра на тежестта различни тела
изглежда като:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .
Ако тялото, чийто център на тежестта трябва да се определи, може да бъде идентифицирано с фигура, съставена от линии (например затворен или отворен контур, направен от тел, както на фиг. 173), тогава теглото G i на всеки сегмент l i може да се представи като продукт
G i \u003d l i d,
където d е теглото на единица дължина на материала, което е постоянно за цялата фигура.
След заместване във формули (1) вместо G i техните стойности l i d, постоянният фактор d във всеки член на числителя и знаменателя може да бъде изваден от скоби (извън знака на сумата) и намален. По този начин, формули за определяне на координатите на центъра на тежестта на фигура, съставена от отсечки, ще приеме формата:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i.
Ако тялото има формата на фигура, съставена от равнини или извити повърхности, разположени по различни начини (фиг. 174), тогава теглото на всяка равнина (повърхност) може да бъде представено по следния начин:
G i = F i p,
където F i са площите на всяка повърхност, а p е теглото на единица площ на фигурата.
След като заместим тази стойност на G i във формули (1), получаваме формули за координатите на центъра на тежестта на фигура, съставена от площи:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .
Ако едно хомогенно тяло може да бъде разделено на прости части с определена геометрична форма (фиг. 175), тогава теглото на всяка част
G i = V i γ,
където V i е обемът на всяка част, а γ е теглото на единица обем на тялото.
След като заместим стойностите на G i във формули (1), получаваме формули за определяне на координатите на центъра на тежестта на тяло, съставено от хомогенни обеми:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i .
Когато се решават някои задачи за определяне на положението на центъра на тежестта на телата, понякога е необходимо да се знае къде се намира центърът на тежестта на дъга от окръжност, кръгъл сектор или триъгълник.
Ако радиусът на дъгата r е известен и централен ъгъл 2α, свита от дъга и изразена в радиани, тогава позицията на центъра на тежестта C (фиг. 176, a) спрямо центъра на дъгата O се определя по формулата:
(5) x c = (r sin α)/α.
Ако е дадена хорда AB=b на дъгата, то във формула (5) е възможно да се направи замяната
sinα = b/(2r)
и тогава
(5a) x c = b/(2α).
В специален случай за полукръг и двете формули ще приемат формата (фиг. 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.
Положението на центъра на тежестта на кръговия сектор, ако е даден неговият радиус r (фиг. 176, c), се определя по формулата:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).
Ако е дадена хордата на сектора, тогава:
(6a) x c = b/(3α).
В специален случай за полукръг и двете последни формули ще приемат формата (фиг. 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).
Центърът на тежестта на площта на всеки триъгълник е разположен от всяка страна на разстояние, равно на една трета от съответната височина.
В правоъгълен триъгълник центърът на тежестта е в пресечната точка на перпендикуляри, издигнати към краката от точки, разположени на разстояние една трета от дължината на краката, като се брои от върха прав ъгъл(фиг. 177).
При решаване на задачи за определяне на положението на центъра на тежестта на всяко еднородно тяло, съставено или от тънки пръти (линии), или от плочи (площи), или от обеми, е препоръчително да се придържате към следния ред:
1) начертайте тяло, чието положение на центъра на тежестта трябва да се определи. Тъй като всички размери на тялото обикновено са известни, трябва да се спазва мащабът;
2) разделяне на тялото на съставни части (линейни сегменти или области или обеми), чието положение на центровете на тежестта се определя въз основа на размера на тялото;
3) определят или дължини, или площи, или обеми съставни части;
4) изберете местоположението на координатните оси;
5) определяне на координатите на центровете на тежестта на съставните части;
6) заменете намерените стойности на дължините или площите или обемите на отделните части, както и координатите на техните центрове на тежестта, в подходящите формули и изчислете координатите на центъра на тежестта на цялото тяло;
7) според намерените координати, посочете на фигурата позицията на центъра на тежестта на тялото.
§ 23. Определяне на положението на центъра на тежестта на тяло, съставено от тънки хомогенни пръти
§ 24. Определяне на положението на центъра на тежестта на фигури, съставени от плочи
В последната задача, както и в задачите, дадени в предходния параграф, разделянето на фигурите на съставни части не създава особени затруднения. Но понякога фигурата има такава форма, която ви позволява да я разделите на съставните части по няколко начина, например тънка правоъгълна плоча с триъгълен разрез (фиг. 183). Когато се определя позицията на центъра на тежестта на такава плоча, нейната площ може да бъде разделена на четири правоъгълника (1, 2, 3 и 4) и един правоъгълен триъгълник 5 - по няколко начина. Две опции са показани на фиг. 183, а и б.
Най-рационален е начинът за разделяне на фигурата на съставните й части, при който се образува най-малък брой от тях. Ако фигурата има изрези, тогава те също могат да бъдат включени в броя на съставните части на фигурата, но площта на изрязаната част се счита за отрицателна. Следователно това разделение се нарича метод на отрицателните площи.
Плочата на фиг. 183, c се разделя с помощта на този метод само на две части: правоъгълник 1 с площта на цялата плоча, сякаш е цяла, и триъгълник 2 с площ, която считаме за отрицателна.
§ 26. Определяне на положението на центъра на тежестта на тяло, съставено от части с проста геометрична форма
За решаване на задачи за определяне на позицията на центъра на тежестта на тяло, съставено от части, които имат проста геометрична форма, е необходимо да имате умения за определяне на координатите на центъра на тежестта на фигури, съставени от линии или области .
Автор: Да вземем тяло с произволна форма. Възможно ли е да се окачи на конец, така че след окачване да запази позицията си (т.е. да не започне да се върти), когато всякаквипървоначална ориентация (фиг. 27.1)?
С други думи, има ли такава точка, спрямо която сумата от моментите на силите на гравитацията, действащи върху различни части на тялото, би била равна на нула при всякаквиориентация на тялото в пространството?
Читател: Да, така мисля. Такава точка се нарича центъра на тежестта на тялото.
Доказателство.За простота, помислете за тяло под формата на плоска плоча с произволна форма, произволно ориентирана в пространството (фиг. 27.2). Вземете координатната система х 0прис начало в центъра на масата – точка СЪС, Тогава x C = 0, при C = 0.
Нека представим това тяло като комплект Голям бройточкови маси m i, позицията на всяка от които е дадена от радиус вектора .
По дефиниция на центъра на масата и координатата x C = .
Тъй като в нашата координатна система x C= 0, тогава . Нека умножим това уравнение по жи получи
Както се вижда от фиг. 27.2, | x i| е рамото на силата. И ако x i> 0, тогава моментът на силата М и> 0 и ако x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iмомент на сила ще бъде M i = m i gx i .Тогава равенство (1) е еквивалентно на , където М ие моментът на гравитацията. А това означава, че при произволна ориентация на тялото, сумата от моментите на силите на гравитацията, действащи върху тялото, ще бъде равна на нула спрямо неговия център на масата.
За да бъде тялото, което разглеждаме, в равновесие, е необходимо да се приложи към него в точка СЪСсила T = мгсочещи вертикално нагоре. Моментът на тази сила около точката СЪС нула.
Тъй като разсъжденията ни по никакъв начин не зависеха от това как точно е ориентирано тялото в пространството, доказахме, че центърът на тежестта съвпада с центъра на масата, което и трябваше да се докаже.
Задача 27.1.Намерете центъра на тежестта на безтегловен прът с дължина л, в краищата на които са фиксирани две точкови маси T 1 и T 2 .
| T 1 T 2 л | Решение. Ще търсим не центъра на тежестта, а центъра на масата (тъй като те са едно и също). Нека представим оста х(фиг. 27.3).  Ориз. 27.3 |
| x C =? | |
Отговор: далеч от масата T 1 .
СПРИ СЕ! Решете сами: B1-B3.
Твърдение 1 . Ако хомогенното плоско тяло има ос на симетрия, центърът на тежестта е върху тази ос.
Наистина, за всяка точкова маса m i, разположена вдясно от оста на симетрия, има същата точкова маса, разположена симетрично по отношение на първата (фиг. 27.4). В този случай сумата от моментите на силите .
Тъй като цялото тяло може да бъде представено като разделено на подобни двойки точки, общият момент на тежестта спрямо всяка точка, лежаща на оста на симетрия, е нула, което означава, че центърът на тежестта на тялото също е разположен на тази ос. Това води до важен извод: ако тялото има няколко оси на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи в пресечната точка на тези оси(фиг. 27.5).
Ориз. 27.5 
Твърдение 2. Ако две тела с маси T 1 и T 2 са свързани в едно, тогава центърът на тежестта на такова тяло ще лежи на права линия, свързваща центровете на тежестта на първото и второто тяло (фиг. 27.6).
Ориз. 27.6 
Ориз. 27.7
Доказателство.Нека подредим съставното тяло така, че сегментът, свързващ центровете на тежестта на телата, да е вертикален. След това сумата от моментите на тежестта на първото тяло по отношение на точката СЪС 1 е равна на нула, а сумата от моментите на тежестта на второто тяло спрямо точката СЪС 2 е нула (фиг. 27.7).
забележи това рамогравитация на всяка точкова маса t iсъщото по отношение на всяка точка от сегмента СЪС 1 СЪС 2 , а оттам и моментът на тежестта спрямо всяка точка, лежаща на сегмента СЪС 1 СЪС 2 са еднакви. Следователно гравитацията на цялото тяло е нула по отношение на всяка точка от сегмента СЪС 1 СЪС 2. Така центърът на тежестта на съставното тяло лежи върху сегмента СЪС 1 СЪС 2 .
Твърдение 2 предполага важен практически извод, който е ясно формулиран под формата на инструкции.
инструкция,
как да намерите центъра на тежестта твърдо тялоако може да се счупи
на части, като позициите на центровете на тежестта на всяка от тях са известни
1. Заменете всяка част с маса, разположена в центъра на тежестта на тази част.
2. Намерете център на тежестта(и това е същото като центъра на тежестта) на получената система от точкови маси, като изберете удобна координатна система х 0при, по формулите:
Наистина, нека позиционираме съставното тяло по такъв начин, че сегментът СЪС 1 СЪС 2 беше хоризонтално и ще го окачим на конци в точки СЪС 1 и СЪС 2 (фиг. 27.8, А). Ясно е, че тялото ще бъде в равновесие. И този баланс няма да бъде нарушен, ако заменим всяко тяло с точкови маси T 1 и T 2 (фиг. 27.8, b).
Ориз. 27.8
СПРИ СЕ! Решете сами: C3.
Задача 27.2.Топки с маса са поставени в два върха на равностранен триъгълник Tвсеки. Третият връх съдържа топка с маса 2 T(Фиг. 27.9, А). Страна на триъгълник А. Определете центъра на тежестта на тази система.
| T 2T А |  Ориз. 27.9 |
| x C = ? при C = ? | |
Решение. Въвеждаме координатната система х 0при(Фиг. 27.9, b). Тогава
,
.
Отговор: x C = А/2; ; центърът на тежестта лежи на половината от височината AD.
