U prethodnim zadacima koji su uključivali kretanje u jednom smjeru, gibanje tijela je započinjalo istovremeno iz iste točke. Razmotrimo rješavanje problema o kretanju u jednom smjeru, kada gibanje tijela počinje istovremeno, ali iz različitih točaka.
Neka biciklist i pješak izađu iz točaka A i B, udaljenih 21 km, i idu u istom smjeru: pješak brzinom 5 km na sat, biciklist 12 km na sat.
12 km na sat 5 km na sat
A B
Udaljenost između biciklista i pješaka u trenutku kada se kreću je 21 km. Za sat vremena zajedničko kretanje u jednom smjeru udaljenost između njih smanjit će se za 12-5=7 (km). 7 km na sat – brzina približavanja biciklista i pješaka:
A B
Poznavajući brzinu približavanja biciklista i pješaka, nije teško saznati za koliko će se kilometara smanjiti udaljenost između njih nakon 2 sata ili 3 sata njihova kretanja u jednom smjeru.
7*2=14 (km) – udaljenost između biciklista i pješaka smanjit će se za 14 km za 2 sata;
7*3=21 (km) – udaljenost između biciklista i pješaka smanjit će se za 21 km za 3 sata.
Svakim satom udaljenost između biciklista i pješaka se smanjuje. Nakon 3 sata razmak između njih postaje 21-21=0, tj. biciklist sustiže pješaka:
A B
U problemima "nadoknađivanja" bavimo se sljedećim količinama:
1) udaljenost između točaka od kojih počinje istovremeno kretanje;
2) brzina približavanja
3) vrijeme od trenutka početka gibanja do trenutka kada jedno od tijela koje se kreće sustigne drugo.
Znajući vrijednost dvije od ove tri veličine, možete pronaći vrijednost treće količine.
Tablica sadrži uvjete i rješenja problema koji se mogu sastaviti da bi biciklist „sustigao“ pješaka:
|
Brzina približavanja biciklista i pješaka u km na sat |
Vrijeme od trenutka početka kretanja do trenutka kada biciklist sustigne pješaka, u satima |
Udaljenost od A do B u km | ||
Izrazimo odnos između ovih veličina formulom. Označimo udaljenošću između točaka i, - brzinom približavanja, vrijeme od trenutka izlaska do trenutka kada jedno tijelo sustigne drugo.
U zadacima “catch-up” brzina približavanja najčešće nije navedena, ali se lako može pronaći iz podataka zadatka.
Zadatak. Biciklist i pješak krenuli su istovremeno u istom smjeru od dva kolektivna dobra, udaljena između njih 24 km. Biciklist se kretao brzinom 11 km na sat, a pješak je išao brzinom 5 km na sat. Koliko će sati nakon izlaska biciklist sustići pješaka?
Da biste saznali koliko će vremena nakon odlaska biciklist sustići pješaka, potrebno je podijeliti udaljenost koja je bila između njih na početku kretanja s brzinom približavanja; brzina približavanja jednaka je razlici u brzini između biciklista i pješaka.
Formula rješenja: =24: (11-5);=4.
Odgovor. Nakon 4 sata biciklist će sustići pješaka. Uvjeti i rješenja inverznih zadataka zapisani su u tablici:
|
Brzina biciklista u km na sat |
Brzina pješaka u km na sat |
Udaljenost između kolektivnih farmi u km |
Vrijeme na sat | ||
Svaki od ovih problema može se riješiti na druge načine, ali će oni biti neracionalni u usporedbi s tim rješenjima.
2. BRZINA TIJELA.PRAVOPRAVNO JEDNOKROMNO GIBANJE.
Ubrzati je kvantitativna karakteristika kretanja tijela.
Prosječna brzina- Ovo fizička količina, jednak omjeru vektora kretanja točke i vremenskog razdoblja Δt tijekom kojeg se to kretanje dogodilo. Smjer vektora prosječne brzine poklapa se sa smjerom vektora pomaka. Prosječna brzina određena je formulom:
Trenutna brzina, odnosno brzina u određenom trenutku vremena fizikalna je veličina jednaka granici kojoj teži prosječna brzina s beskonačnim opadanjem u vremenskom razdoblju Δt:
Drugim riječima, trenutna brzina u danom trenutku u vremenu je omjer vrlo malog kretanja i vrlo kratkog vremenskog razdoblja tijekom kojeg se to kretanje dogodilo.
Vektor trenutne brzine usmjeren je tangencijalno na putanju tijela (slika 1.6).
Riža. 1.6. Vektor trenutne brzine.
U SI sustavu brzina se mjeri u metrima u sekundi, odnosno jedinicom brzine smatra se brzina takvog jednolikog pravocrtnog gibanja pri kojem tijelo prijeđe put od jednog metra u jednoj sekundi. Jedinica brzine je označena sa m/s. Brzina se često mjeri u drugim jedinicama. Na primjer, kod mjerenja brzine automobila, vlaka i sl. Uobičajena jedinica je kilometri na sat:
1 km/h = 1000 m / 3600 s = 1 m / 3,6 s
1 m/s = 3600 km / 1000 h = 3,6 km/h
Zbrajanje brzina (možda isto pitanje neće nužno biti u 5).
Brzine gibanja tijela u različitim referentnim sustavima povezuje klasična zakon zbrajanja brzina.
Relativna brzina tijela fiksni referentni okvir jednak zbroju brzina tijela u pokretni referentni sustav i najpokretljiviji referentni sustav u odnosu na stacionarni.
Na primjer, putnički vlak giba se prugom brzinom 60 km/h. Uz vagon ovog vlaka hoda osoba brzinom 5 km/h. Ako željeznicu smatramo nepomičnom i uzmemo je kao referentni sustav, tada je brzina osobe u odnosu na referentni sustav (odnosno u odnosu na željeznička pruga), bit će jednak zbroju brzina vlaka i osobe, tj
60 + 5 = 65 ako osoba hoda u istom smjeru kao i vlak
60 – 5 = 55 ako se osoba i vlak kreću u različitim smjerovima
Međutim, to vrijedi samo ako se osoba i vlak kreću duž iste linije. Ako se osoba kreće pod kutom, tada će morati uzeti u obzir ovaj kut, imajući na umu da je brzina vektorska količina.
Primjer + Zakon dodavanja pomaka označen je crvenom bojom (mislim da ovo ne treba učiti, ali za opći razvoj možete pročitati)
Sada pogledajmo gore opisani primjer detaljnije - s detaljima i slikama.
Dakle, u našem slučaju željeznica je fiksni referentni okvir. Vlak koji se kreće ovom cestom je pokretni referentni okvir. Vagon na kojem se osoba kreće je dio vlaka.
Brzina čovjeka u odnosu na kočiju (u odnosu na pokretni referentni sustav) je 5 km/h. Označimo ga slovom H.
Brzina vlaka (a time i vagona) u odnosu na fiksni referentni sustav (odnosno u odnosu na željeznicu) je 60 km/h. Označimo je slovom B. Drugim riječima, brzina vlaka je brzina referentnog okvira koji se kreće u odnosu na referentni okvir koji miruje.
Brzina čovjeka u odnosu na željeznicu (u odnosu na fiksni referentni okvir) još nam je nepoznata. Označimo ga slovom .
Povežimo koordinatni sustav XOY sa stacionarnim referentnim sustavom (sl. 1.7), a koordinatni sustav X P O P Y P s pokretnim referentnim sustavom. Pokušajmo sada pronaći brzinu osobe u odnosu na stacionarni referentni sustav, odnosno relativnu do željeznice.
U kratkom vremenskom razdoblju Δt događaju se sljedeći događaji:
Zatim, tijekom tog vremenskog razdoblja, kretanje osobe u odnosu na željeznicu je:
Ovaj zakon zbrajanja pomaka. U našem primjeru kretanje osobe u odnosu na željeznicu jednako je zbroju kretanja osobe u odnosu na vagon i vagona u odnosu na željeznicu.
Riža. 1.7. Zakon zbrajanja pomaka.
Zakon zbrajanja pomaka može se napisati na sljedeći način:
= Δ H Δt + Δ B Δt
Brzina čovjeka u odnosu na željeznicu je:
Brzina osobe u odnosu na kočiju:
Δ H = H / Δt
Brzina automobila u odnosu na željeznicu:
Stoga će brzina osobe u odnosu na željeznicu biti jednaka:
Ovo je zakonzbrajanje brzine:
Jednoliko kretanje– to je kretanje stalnom brzinom, odnosno kada se brzina ne mijenja (v = const) i ne dolazi do ubrzanja ili usporavanja (a = 0).
Pravocrtno kretanje- ovo je kretanje po ravnoj liniji, odnosno putanja pravocrtnog kretanja je ravna linija.
Ravnomjerno linearno kretanje- ovo je kretanje u kojem tijelo čini jednake pokrete u bilo kojim jednakim vremenskim intervalima. Na primjer, ako određeni vremenski interval podijelimo na intervale od jedne sekunde, tada će se tijelo pri jednolikom gibanju za svaki od tih vremenskih intervala premjestiti na istu udaljenost.
Brzina jednolikog pravocrtnog gibanja ne ovisi o vremenu i u svakoj je točki putanje usmjerena na isti način kao i kretanje tijela. To jest, vektor pomaka podudara se u smjeru s vektorom brzine. U ovom slučaju, prosječna brzina za bilo koje vremensko razdoblje jednaka je trenutnoj brzini:
Brzina ravnomjernog pravocrtnog gibanja je fizikalna vektorska veličina jednaka omjeru gibanja tijela u bilo kojem vremenskom razdoblju i vrijednosti ovog intervala t:
Dakle, brzina jednolikog pravocrtnog gibanja pokazuje koliki je pokret materijalna točka u jedinici vremena.
Kretanje s jednolikim pravocrtnim gibanjem određuje se formulom:
Prijeđena udaljenost kod pravocrtnog gibanja jednak je modulu pomaka. Ako se pozitivan smjer osi OX podudara sa smjerom kretanja, tada je projekcija brzine na os OX jednaka veličini brzine i pozitivna:
v x = v, to jest v > 0
Projekcija pomaka na os OX jednaka je:
s = vt = x – x 0
gdje je x 0 početna koordinata tijela, x je konačna koordinata tijela (ili koordinata tijela u bilo kojem trenutku)
Jednadžba gibanja, odnosno ovisnost koordinata tijela o vremenu x = x(t), ima oblik:
Ako je pozitivan smjer osi OX suprotan smjeru gibanja tijela, tada je projekcija brzine tijela na os OX negativna, brzina manja od nule (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид.
§ 1. Formula za simultano gibanje
Formule za simultano gibanje susrećemo pri rješavanju zadataka simultanog gibanja. Sposobnost rješavanja određenog problema kretanja ovisi o nekoliko čimbenika. Prije svega, potrebno je razlikovati glavne vrste problema.
Problemi koji uključuju simultano kretanje konvencionalno se dijele u 4 vrste: zadaci koji uključuju nadolazeće kretanje, zadaci koji uključuju kretanje u suprotnih smjerova, zadaci za kretanje u potjeri i zadaci za kretanje s zaostatkom.
Glavne komponente ovih vrsta zadataka su:
prijeđeni put - S, brzina - ʋ, vrijeme - t.
Odnos između njih izražava se formulama:
S = ʋ · t, ʋ = S: t, t = S: ʋ.
Osim gore navedenih glavnih komponenti, pri rješavanju problema gibanja možemo susresti komponente kao što su: brzina prvog objekta - ʋ1, brzina drugog objekta - ʋ2, brzina približavanja - ʋsl., brzina uklanjanja - ʋud., vrijeme susreta - tvstr., početna udaljenost - S0 itd.
§ 2 Problemi koji uključuju nadolazeći promet
Pri rješavanju problema ovog tipa koriste se sljedeće komponente: brzina prvog objekta - ʋ1; brzina drugog objekta je ʋ2; brzina približavanja - ʋsbl.; vrijeme do sastanka - lim; put (udaljenost) koji je prešao prvi objekt - S1; put (udaljenost) koji je prešao drugi objekt - S2; cijeli put koji su prešla oba objekta je S.
Odnos između komponenti problema nadolazećeg prometa izražava se sljedećim formulama:
1. Početna udaljenost između objekata može se izračunati pomoću sljedećih formula: S = ʋsbl. · ugradbeni ili S = S1 + S2;
2. brzina približavanja nalazi se prema formulama: ʋsbl. = S: tugrađen ili ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2;
3.vrijeme sastanka izračunava se na sljedeći način:
Dva broda plove jedan prema drugom. Brzina brodova je 35 km/h i 28 km/h. Nakon koliko vremena će se sresti ako je udaljenost između njih 315 km?
ʋ1 = 35 km/h, ʋ2 = 28 km/h, S = 315 km, nijansa. = ? h.
Da biste pronašli vrijeme sastanka, morate znati početnu udaljenost i brzinu približavanja, jer kositar. = S: ʋsbl. Budući da je udaljenost poznata iz uvjeta zadatka, pronaći ćemo brzinu približavanja. ʋbl. = ʋ1 + ʋ2 = 35 + 28 = 63 km/h. Sada možemo pronaći potrebno vrijeme sastanka. ugradbeni = S: ʋsbl = 315: 63 = 5 sati Dobili smo da će se brodovi sresti za 5 sati.
§ 3 Zadaci za jurnjavu za kretanjem
Pri rješavanju problema ovog tipa koriste se sljedeće komponente: brzina prvog objekta - ʋ1; brzina drugog objekta je ʋ2; brzina približavanja - ʋsbl.; vrijeme do sastanka - lim; put (udaljenost) koji je prešao prvi objekt - S1; put (udaljenost) koji je prešao drugi objekt - S2; početna udaljenost između objekata je S.
Dijagram za zadatke ove vrste izgleda ovako:
Odnos između komponenti zadataka kretanja potjere izražava se sljedećim formulama:
1. Početna udaljenost između objekata može se izračunati pomoću sljedećih formula:
S = ʋbl. · tugradbeni ili S = S1 - S2;
2. brzina približavanja nalazi se prema formulama: ʋsbl. = S: tugrađen ili ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2;
3. Vrijeme sastanka izračunava se na sljedeći način:
ugradbeni = S: ʋbl., tbl. = S1: ʋ1 ili t ugrađeno = S2: ʋ2.
Razmotrimo primjenu ovih formula koristeći sljedeći problem kao primjer.
Tigar je jurio jelena i sustigao ga nakon 7 minuta. Kolika je početna udaljenost između njih ako je brzina tigra 700 m/min, a brzina jelena 620 m/min?
ʋ1 = 700 m/min, ʋ2 = 620 m/min, S = ? m, ugrađeno = 7 min.
Da bi se odredila početna udaljenost između tigra i jelena, potrebno je znati vrijeme susreta i brzinu približavanja, jer je S = tin. · ʋsbl. Budući da je vrijeme susreta poznato iz uvjeta problema, pronaći ćemo brzinu približavanja. ʋbl. = ʋ1 - ʋ2 = 700 - 620 = 80 m/min. Sada možemo pronaći traženu početnu udaljenost. S =ugrađen · ʋsbl = 7 · 80 = 560 m. Utvrđeno je da je početna udaljenost između tigra i jelena bila 560 metara.
§ 4 Problemi koji uključuju kretanje u suprotnim smjerovima
Pri rješavanju problema ovog tipa koriste se sljedeće komponente: brzina prvog objekta - ʋ1; brzina drugog objekta je ʋ2; brzina uklanjanja - ʋstr.; vrijeme putovanja - t.; put (udaljenost) koji je prešao prvi objekt - S1; put (udaljenost) koji je prešao drugi objekt - S2; početna udaljenost između objekata je S0; udaljenost koja će biti između objekata nakon određenog vremena - S.
Dijagram za zadatke ove vrste izgleda ovako:
Odnos između komponenti zadataka za kretanje u suprotnim smjerovima izražava se sljedećim formulama:
1. Konačna udaljenost između objekata može se izračunati pomoću sljedećih formula:
S = S0 + ʋud. · tor S = S1 + S2 + S0; a početna udaljenost - prema formuli: S0 = S - ʋsp. t.
2. Stopa uklanjanja nalazi se pomoću formula:
ʋud. = (S1 + S2) : t orʋud. = ʋ1 + ʋ2;
3. Vrijeme putovanja izračunava se na sljedeći način:
t = (S1 + S2) : ʋud., t = S1: ʋ1 ili t = S2: ʋ2.
Razmotrimo primjenu ovih formula koristeći sljedeći problem kao primjer.
S parkirališta su istovremeno krenula dva automobila u suprotnim smjerovima. Brzina jednog je 70 km/h, drugog 50 km/h. Kolika će biti udaljenost između njih nakon 4 sata ako je udaljenost između parkirališta 45 km?
ʋ1 = 70 km/h, ʋ2 = 50 km/h, S0 = 45 km, S = ? km, t = 4 sata.
Da biste pronašli udaljenost između automobila na kraju putovanja, morate znati vrijeme putovanja, početnu udaljenost i brzinu uklanjanja, budući da je S = ʋstr. · t+ S0 Budući da su vrijeme i početna udaljenost poznati iz uvjeta zadatka, naći ćemo brzinu uklanjanja. ʋud. = ʋ1 + ʋ2 = 70 + 50 = 120 km/h. Sada možemo pronaći potrebnu udaljenost. S = ʋud. · t+ S0 = 120 · 4 + 45 = 525 km. Utvrdili smo da će nakon 4 sata između automobila biti udaljenost od 525 km
§ 5 Problemi koji uključuju kretanje s odmakom
Pri rješavanju problema ovog tipa koriste se sljedeće komponente: brzina prvog objekta - ʋ1; brzina drugog objekta je ʋ2; brzina uklanjanja - ʋstr.; vrijeme putovanja - t.; početna udaljenost između objekata je S0; udaljenost koja će postati između objekata nakon određenog vremena - S.
Dijagram za zadatke ove vrste izgleda ovako:
Odnos između komponenti zadataka kretanja s odmakom izražava se sljedećim formulama:
1. Početna udaljenost između objekata može se izračunati pomoću sljedeće formule: S0 = S - ʋstr.·t; a udaljenost koja će nakon određenog vremena postati između objekata je prema formuli: S = S0 + ʋsp. t;
2. Stopa uklanjanja nalazi se pomoću formula: ʋstr.= (S - S0) : t ili ʋsp. = ʋ1 - ʋ2;
3. Vrijeme se izračunava na sljedeći način: t = (S - S0) : ʋsnaga.
Razmotrimo primjenu ovih formula koristeći sljedeći problem kao primjer:
Dva su automobila napustila dva grada u istom smjeru. Brzina prvog je 80 km/h, a drugog 60 km/h. Za koliko sati će biti 700 km između automobila ako je udaljenost između gradova 560 km?
ʋ1 = 80 km/h, ʋ2 = 60 km/h, S = 700 km, S0 = 560 km, t = ? h.
Da biste pronašli vrijeme, morate znati početnu udaljenost između objekata, udaljenost na kraju puta i brzinu uklanjanja, budući da je t = (S - S0) : ʋstr. Budući da su obje udaljenosti poznate iz uvjeta zadatka, odredimo brzinu uklanjanja. ʋud. = ʋ1 - ʋ2 = 80 - 60 = 20 km/h. Sada možemo pronaći potrebno vrijeme. t = (S - S0) : ʋsp = (700 - 560) : 20 = 7h. Dobili smo da će za 7 sati između automobila biti 700 km.
§ 6 Kratki sažetak teme lekcije
S istodobnim nadolazećim kretanjem i kretanjem u potjeri, udaljenost između dva pokretna objekta se smanjuje (dok se ne sretnu). Za jedinicu vremena smanjuje se za ʋsbl., a za cijelo vrijeme kretanja prije susreta smanjit će se za početnu udaljenost S. To znači da je u oba slučaja početna udaljenost jednaka brzini približavanja pomnoženoj s vremenom kretanja do susreta: S = ʋsbl. · tbl.. Jedina razlika je u tome što kada je nadolazeći promet, ʋbl. = ʋ1 + ʋ2, a kod kretanja iza ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2.
Kada se krećete u suprotnim smjerovima i s odmakom, udaljenost između objekata se povećava, pa do susreta neće doći. Za jedinicu vremena povećava se za ʋsud., a za cijelo vrijeme gibanja povećat će se za vrijednost umnoška ʋsud.· t. To znači da je u oba slučaja udaljenost između objekata na kraju puta jednaka zbroju početne udaljenosti i umnoška ʋstr.·t. S = S0 + ʋstr. · t. Jedina je razlika što kod suprotnog kretanja ʋstr. = ʋ1 + ʋ2, a kod kretanja s odmakom ʋstr. = ʋ1 - ʋ2.
Popis korištene literature:
- Peterson L.G. Matematika. 4. razred. 2. dio / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 96 str.: ilustr.
- Matematika. 4. razred. Smjernice udžbeniku matematike “Learning to Learn” za 4. razred / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 280 str.: ilustr.
- Zach S.M. Svi zadaci za udžbenik matematike za 4. razred L.G. Peterson i skup neovisnih i testovi. Savezni državni obrazovni standard. – M.: UNWES, 2014.
- CD ROM. Matematika. 4. razred. Skripte lekcija za udžbenik za 2. dio Peterson L.G. – M.: Yuventa, 2013.
Korištene slike:
Dakle, recimo da se naša tijela kreću u istom smjeru. Što mislite koliko bi moglo biti slučajeva za takvo stanje? Tako je, dva.
Zašto se to događa? Siguran sam da ćete nakon svih primjera lako shvatiti kako izvesti ove formule.
kužiš Dobro napravljeno! Vrijeme je da riješimo problem.
Četvrti zadatak
Kolja ide na posao autom brzinom od km/h. Kolega Kolja Vova vozi brzinom od km/h. Kolja živi kilometrima daleko od Vove.
Koliko će trebati Vovi da stigne Kolju ako su otišli iz kuće u isto vrijeme?
Jeste li brojali? Usporedimo odgovore - pokazalo se da će Vova sustići Kolju za sat ili nekoliko minuta.
Usporedimo naša rješenja...
Crtež izgleda ovako:
Slično vašem? Dobro napravljeno!
Budući da se u zadatku postavlja pitanje koliko dugo nakon što su se momci upoznali, a otišli su u isto vrijeme, vrijeme koje su putovali bit će isto, kao i mjesto sastanka (na slici je označeno točkom). Pri sastavljanju jednadžbi uzmimo vrijeme za.
Dakle, Vova je krenuo na mjesto sastanka. Kolja je krenuo prema mjestu sastanka. To je jasno. Sada pogledajmo os kretanja.
Počnimo s putem kojim je išao Kolja. Njegov put () prikazan je na slici kao segment. Od čega se sastoji Vovin put ()? Tako je, iz zbroja segmenata i, gdje je početna udaljenost između momaka, i jednaka je putanji kojom je Kolja prošao.
Na temelju ovih zaključaka dobivamo jednadžbu:
kužiš Ako ne, samo ponovno pročitajte ovu jednadžbu i pogledajte točke označene na osi. Crtanje pomaže, zar ne?
sati ili minuta minuta.
Nadam se da ste iz ovog primjera shvatili koliko je važna uloga Bravo crtanje!
I glatko krećemo dalje, ili bolje rečeno, već smo prešli na sljedeću točku našeg algoritma - dovođenje svih veličina u istu dimenziju.
Pravilo tri "R" - dimenzija, razumnost, proračunatost.
Dimenzija.
Problemi ne daju uvijek istu dimenziju za svakog sudionika u pokretu (kao što je bio slučaj u našim lakim problemima).
Na primjer, možete pronaći zadatke u kojima se kaže da su se tijela kretala određeni broj minuta, a njihova brzina gibanja navedena je u km/h.
Ne možemo samo uzeti i zamijeniti vrijednosti u formulu - odgovor će biti netočan. Čak i u pogledu mjernih jedinica, naš odgovor "pada" na testu razumnosti. Usporedi:
Vidiš li? Kod pravilnog množenja smanjujemo i mjerne jedinice, te prema tome dobivamo razuman i točan rezultat.
Što se događa ako ne prijeđemo na jedan mjerni sustav? Odgovor ima čudnu dimenziju i rezultat je % netočan.
Pa da vas za svaki slučaj podsjetim na značenja osnovnih jedinica za duljinu i vrijeme.
Jedinice duljine:
centimetar = milimetri
decimetar = centimetri = milimetri
metar = decimetri = centimetri = milimetri
kilometar = metara
Vremenske jedinice:
minuta = sekunde
sat = minute = sekunde
dan = sati = minute = sekunde
Savjet: Kada pretvarate mjerne jedinice vezane za vrijeme (minute u sate, sate u sekunde itd.), zamislite brojčanik sata u svojoj glavi. Golim okom se vidi da su minute četvrtina brojčanika, t.j. sati, minute su trećina brojčanika, tj. sat, a minuta je sat.
A sada vrlo jednostavan zadatak:
Maša je minutama vozila bicikl od kuće do sela brzinom od km/h. Kolika je udaljenost između kuće za automobile i sela?
Jeste li brojali? Točan odgovor je km.
minute su sat, a druge minute od sata (mentalno smo zamislili brojčanik sata i rekli da su minute četvrt sata), odnosno - min = sati.
Razumnost.
Razumijete da brzina automobila ne može biti km/h, osim ako, naravno, ne govorimo o sportskom automobilu? Čak štoviše, ne može biti negativno, zar ne? Dakle, racionalnost, o tome se radi)
Kalkulacija.
Provjerite “prolazi” li vaše rješenje dimenzije i razumnost, pa tek onda provjerite izračune. Logično je – ako postoji nekonzistentnost s dimenzijom i racionalnošću, onda je lakše sve prekrižiti i krenuti tražiti logičke i matematičke pogreške.
“Ljubav prema stolovima” ili “kada crtanje nije dovoljno”
Problemi s kretanjem nisu uvijek tako jednostavni kao što smo ih prije rješavali. Vrlo često, kako biste ispravno riješili problem, trebate ne samo nacrtati kompetentnu sliku, već i napraviti tablicu uz sve uvjete koji su nam dani.
Prvi zadatak
Biciklist i motociklist krenuli su istodobno od točke do točke, a udaljenost između njih je kilometra. Poznato je da motociklist prijeđe više kilometara na sat od biciklista.
Odredite brzinu biciklista ako se zna da je na točku stigao minutama kasnije od motociklista.
Ovo je zadatak. Saberi se i pročitaj nekoliko puta. Jeste li ga pročitali? Počnite crtati - ravna linija, točka, točka, dvije strelice...
Općenito, nacrtajte, a sada ćemo usporediti što ste dobili.
Malo je prazno, zar ne? Nacrtajmo stol.
Kao što se sjećate, svi zadaci kretanja sastoje se od sljedećih komponenti: brzina, vrijeme i put. Upravo će se od tih stupaca sastojati svaka tablica u takvim problemima.
Istina, dodat ćemo još jednu kolonu - Ime, o kojima pišemo podatke - motociklist i biciklist.
Također naznačite u zaglavlju dimenzija, u koji ćete unijeti tamošnje vrijednosti. Sjećate se koliko je ovo važno, zar ne?
Jeste li dobili ovakav stol?
Sada analizirajmo sve što imamo i istovremeno unosimo podatke u tablicu i sliku.
Prvo što imamo je put kojim su prošli biciklist i motociklist. Isti je i jednak km. Unesimo ga!
Uzmimo brzinu biciklista kao, tada će brzina motociklista biti...
Ako s takvim promjenjivo rješenje Ako zadatak ne uspije, u redu je, uzet ćemo drugi dok ne dođemo do pobjedničkog. To se događa, glavna stvar je ne biti nervozan!
Tablica se promijenila. Ostala nam je samo jedna nepopunjena kolona - vrijeme. Kako pronaći vrijeme kada postoji put i brzina?
Tako je, udaljenost podijelimo s brzinom. Unesite ovo u tablicu.
Sada je naša tablica popunjena, sada možemo unijeti podatke u crtež.
Što možemo odražavati na to?
Dobro napravljeno. Brzina kretanja motociklista i biciklista.
Ponovno pročitajmo zadatak, pogledajmo sliku i ispunjenu tablicu.
Koji se podaci ne odražavaju u tablici ili slici?
Pravo. Vrijeme kada je motociklist stigao prije biciklista. Znamo da je vremenska razlika minuta.
Što da radimo sljedeće? Tako je, vrijeme koje nam je dano pretvorite iz minuta u sate, jer brzina nam je dana u km/h.
Čarolija formula: sastavljanje i rješavanje jednadžbi - manipulacije do jedinog točnog odgovora.
Dakle, kao što možda pretpostavljate, sada hoćemo šminka jednadžba.
Sastavljanje jednadžbe:
Pogledajte svoju tablicu, posljednji uvjet koji nije uključen u nju i razmislite, odnos između čega i čega možemo staviti u jednadžbu?
Pravo. Možemo napraviti jednadžbu na temelju vremenske razlike!
Logično? Biciklist je vozio više; ako motociklistu oduzmemo njegovo vrijeme, dobit ćemo razliku.
Ova jednadžba je racionalna. Ako ne znate što je to, pročitajte temu "".
Pojmove dovodimo pod zajednički nazivnik:
Otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove: Fuj! kužiš Okušajte se u sljedećem problemu.
Rješenje jednadžbe:
Iz ove jednadžbe dobivamo sljedeće:
Otvorimo zagrade i premjestimo sve na lijevu stranu jednadžbe:
Voila! Imamo jednostavan kvadratna jednadžba. Odlučimo se!
Dobili smo dva moguća odgovora. Da vidimo što imamo? Tako je, brzina biciklista.
Sjetimo se pravila “3P”, točnije “razumnosti”. Znaš li što mislim? Točno! Brzina ne može biti negativna, pa je naš odgovor km/h.
Drugi zadatak
Dva biciklista su istovremeno krenula na vožnju dugu -kilometar. Prvi je vozio za jedan km/h brže od drugog, a na cilj je stigao satima ranije od drugog. Odredi brzinu biciklista koji je stigao drugi do cilja. Odgovorite u km/h.
Podsjetit ću vas na algoritam rješenja:
- Pročitajte problem nekoliko puta i shvatite sve detalje. kužiš
- Počnite crtati sliku - u kojem se smjeru kreću? koliko su putovali? Jeste li ga nacrtali?
- Provjerite jesu li sve vaše veličine iste dimenzije i počnite ukratko zapisivati uvjete problema, praveći tablicu (sjećate li se koji grafovi postoje?).
- Dok sve ovo pišete, razmislite za što uzeti? Jeste li odabrali? Zapiši u tablicu! Pa, sada je jednostavno: sastavimo jednadžbu i riješimo je. Da, i na kraju - sjetite se “3R”!
- Sve sam napravio? Dobro napravljeno! Saznao sam da je brzina biciklista km/h.
-"Koje je boje tvoj auto?" - "Ona je prekrasna!" Točni odgovori na postavljena pitanja
Nastavimo razgovor. Dakle, koja je brzina prvog biciklista? km/h? Stvarno se nadam da sada ne kimate glavom!
Pažljivo pročitajte pitanje: “Kolika je brzina prvi biciklista?
Razumiješ li što želim reći?
Točno! Primljeno je nije uvijek odgovor na postavljeno pitanje!
Pažljivo pročitajte pitanja - možda ćete nakon što ih pronađete morati izvršiti još neke manipulacije, na primjer, dodati km/h, kao u našem zadatku.
Još nešto - često je u zadacima sve naznačeno u satima, a odgovor se traži u minutama ili se svi podaci daju u km, a odgovor se traži u metrima.
Pazite na dimenzije ne samo tijekom samog rješavanja, već i prilikom zapisivanja odgovora.
Problemi s kružnim kretanjem
Tijela u problemima mogu se kretati ne nužno ravno, već i kružno, na primjer, biciklisti se mogu voziti po kružnoj stazi. Pogledajmo ovaj problem.
Zadatak br. 1
Biciklist je napustio točku na kružnoj ruti. Nekoliko minuta kasnije još se nije vratio na točku, a motociklist je napustio točku za njim. Nekoliko minuta nakon izlaska sustigao je biciklista prvi put, a nekoliko minuta nakon toga i drugi put.
Odredi brzinu biciklista ako je duljina puta km. Odgovorite u km/h.
Rješenje problema broj 1
Pokušajte nacrtati sliku za ovaj problem i ispunite tablicu za njega. Evo što sam dobio:
Između susreta biciklist je prešao udaljenost, a motociklist - .
No, u isto vrijeme motociklist je odvezao točno jedan krug više, što je vidljivo sa slike:
Nadam se da razumijete da oni zapravo nisu vozili spiralno - spirala samo shematski prikazuje da voze u krug, prolazeći iste točke na ruti nekoliko puta.
kužiš Pokušajte sami riješiti sljedeće probleme:
Zadaci za samostalan rad:
- Dva motocikla kreću istodobno u jednom smjeru od dviju dija-metalnih, ali pro-ti-na-točnih točaka kružne rute, čija je duljina jednaka km. Nakon koliko minuta se ciklusi prvi put izjednače ako je brzina jednog od njih km/h veća od brzine drugog?ho-ho?
- Od jedne točke na kružnoj autocesti, duljine jednake km, u jednom trenutku kreću dva motociklista u istom smjeru. Brzina prvog motocikla jednaka je km/h, a minutu nakon starta bio je ispred drugog motocikla za jedan krug. Nađi brzinu drugog motocikla. Odgovorite u km/h.
Rješenja zadataka za samostalan rad:
- Neka je km/h brzina prvog motocikla, tada je brzina drugog motocikla jednaka km/h. Neka ciklusi budu jednaki prvi put nakon nekoliko sati. Da bi ciklusi bili jednaki, brži ih mora savladati s početne udaljenosti jednake duljini rute.
Dobijamo da je vrijeme sati = minute.
- Neka je brzina drugog motocikla jednaka km/h. U sat vremena prvi je motocikl prešao više kilometara od drugog pa dobivamo jednadžbu:
Brzina drugog motociklista je km/h.
Trenutni problemi
Sada kada ste izvrsni u rješavanju problema "na kopnu", prijeđimo u vodu i pogledajmo zastrašujuće probleme povezane s strujom.
Zamislite da imate splav i spustite ga u jezero. Što mu se događa? Pravo. Stoji jer je jezero, bara, lokva, ipak, još voda.
Trenutna brzina u jezeru je .
Splav će se pomaknuti samo ako sami počnete veslati. Brzina koju postigne bit će vlastita brzina splavi. Nije važno gdje plivate - lijevo, desno, splav će se kretati brzinom kojom vi veslate. To je jasno? Logično je.
Sada zamislite da spuštate splav na rijeku, okrenete se da uzmete konop..., okrenete se, a on... otpluta...
Ovo se događa jer rijeka ima strujnu brzinu, koji vašu splav nosi u smjeru struje.
Brzina mu je nula (stojite u šoku na obali i ne veslate) - kreće se brzinom struje.
kužiš
Zatim odgovorite na ovo pitanje: "Kojom brzinom će splav plutati niz rijeku ako sjedite i veslate?" Misliti o tome?
Ovdje postoje dvije moguće opcije.
Opcija 1 - prepustite se toku.
I onda plivate svojom brzinom + brzina struje. Čini se da ti tok pomaže da ideš naprijed.
2. opcija - t Plivaš protiv struje.
teško? Tako je, jer vas struja pokušava “baciti” natrag. Sve se više trudite barem plivati metara, odnosno brzina kojom se krećete jednaka je vašoj vlastitoj brzini - brzini struje.
Recimo da trebate preplivati kilometar. Kada ćeš brže prijeći ovu udaljenost? Kada ćete se prepustiti struji ili protiv nje?
Riješimo problem i provjerimo.
Dodajmo našoj stazi podatke o brzini struje - km/h i vlastitoj brzini splavi - km/h. Koliko ćete vremena provesti krećući se uz i protiv struje?
Naravno, bez poteškoća ste se nosili s ovim zadatkom! Uz struju treba sat vremena, a protiv struje sat vremena!
To je cijela bit zadataka na kretanje sa strujom.
Zakomplicirajmo malo zadatak.
Zadatak br. 1
Brodu s motorom trebalo je sat vremena da putuje od točke do točke i sat vremena da se vrati.
Odredi brzinu struje ako je brzina čamca u mirnoj vodi km/h
Rješenje problema broj 1
Označimo udaljenost između točaka kao, a brzinu struje kao.
| Put S | Brzina v, km/h |
Vrijeme t, sati |
|
| A -> B (uzvodno) | 3 | ||
| B -> A (nizvodno) | 2 |
Vidimo da čamac ide istim putem, odnosno:
Što smo naplatili?
Trenutna brzina. Onda će ovo biti odgovor :)
Brzina struje je km/h.
Zadatak br. 2
Kajak je krenuo od točke do točke udaljene km od. Nakon što se na točki zadržao sat vremena, kajak se vratio i vratio u točku c.
Odredi (u km/h) vlastitu brzinu kajaka ako je poznato da je brzina rijeke km/h.
Rješenje problema br. 2
Pa krenimo. Pročitajte zadatak nekoliko puta i nacrtajte. Mislim da to lako možete riješiti sami.
Jesu li sve veličine izražene u istom obliku? Ne. Naše vrijeme odmora naznačeno je u satima i minutama.
Pretvorimo ovo u sate:
sat minute = h.
Sada su sve količine izražene u jednom obliku. Počnimo popunjavati tablicu i pronalaziti što ćemo uzeti.
Neka je brzina kajaka. Tada je jednaka brzina kajaka nizvodno i protiv struje.
Zapišimo te podatke, kao i put (kao što razumijete, isti je) i vrijeme, izraženo putem i brzinom, u tablicu:
| Put S | Brzina v, km/h |
Vrijeme t, sati |
|
| Protiv potoka | 26 | ||
| S protokom | 26 |
Izračunajmo koliko je vremena kajak proveo na svom putu:
Je li plivala sve sate? Ponovno pročitajmo zadatak.
Ne, ne sve. Imala je sat odmora, pa od sati oduzimamo vrijeme odmora koje smo već preračunali u sate:
h kajak je stvarno lebdio.
Dovedimo sve pojmove pod zajednički nazivnik:
Otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove. Zatim rješavamo dobivenu kvadratnu jednadžbu.
Mislim da i ovo možete sami riješiti. Kakav ste odgovor dobili? Imam km/h.
Sažmimo to
NAPREDNA RAZINA
Zadaci kretanja. Primjeri
Razmotrimo primjeri s rješenjimaza svaku vrstu zadatka.
Kretanje sa strujom
Neki od najjednostavnijih zadataka su problemi riječne plovidbe. Njihova cijela suština je sljedeća:
- ako se krećemo s protokom, brzina struje se pribraja našoj brzini;
- ako se krećemo protiv struje, brzina struje se oduzima od naše brzine.
Primjer #1:
Brod je plovio od točke A do točke B za sati i natrag za sati. Odredi brzinu struje ako je brzina čamca u mirnoj vodi km/h.
Rješenje #1:
Označimo udaljenost između točaka s AB, a brzinu struje s.
Stavimo sve podatke iz uvjeta u tablicu:
| Put S | Brzina v, km/h |
Vrijeme t, sati | |
| A -> B (uzvodno) | AB | 50-x | 5 |
| B -> A (nizvodno) | AB | 50+x | 3 |
Za svaki red ove tablice potrebno je napisati formulu:
Zapravo, ne morate pisati jednadžbe za svaki redak tablice. Vidimo da je put koji je čamac priješao naprijed i natrag isti.
To znači da možemo izjednačiti udaljenost. Da bismo to učinili, koristimo odmah formula za udaljenost:
Često morate koristiti formula za vrijeme:
Primjer #2:
Brod prijeđe udaljenost od kilometara protiv struje jedan sat duže nego uz struju. Odredi brzinu čamca u mirnoj vodi ako je brzina struje km/h.
Rješenje #2:
Pokušajmo odmah sastaviti jednadžbu. Vrijeme uzvodno je jedan sat duže od vremena nizvodno.
Napisano je ovako:
Sada, umjesto svaki put, zamijenimo formulu:
Dobio uobičajeno racionalna jednadžba, riješimo to:
Očito, brzina ne može biti negativan broj, pa je odgovor km/h.
Relativno gibanje
Ako se neka tijela gibaju relativno jedno u odnosu na drugo, često je korisno izračunati njihovu relativnu brzinu. Jednako je:
- zbroj brzina ako se tijela gibaju jedno prema drugome;
- razlike u brzini ako se tijela gibaju u istom smjeru.
Primjer br. 1
Dva automobila krenula su iz točaka A i B istovremeno jedan prema drugom brzinama km/h i km/h. Za koliko minuta će se sresti? Ako je udaljenost između točaka km?
I metoda rješenja:
Relativna brzina automobila km/h. To znači da ako sjedimo u prvom autu, on nam se čini nepomičan, ali nam se drugi automobil približava brzinom od km/h. Budući da je udaljenost između automobila u početku km, vrijeme koje će biti potrebno da drugi automobil prođe prvi:
Metoda II:
Vrijeme od početka kretanja do susreta automobila očito je isto. Označimo ga. Zatim je prvi automobil vozio stazom, a drugi - .
Ukupno su prešli sve kilometre. Sredstva,
Ostali pokretni zadaci
Primjer #1:
Automobil je napustio točku A do točke B. U isto vrijeme s njim je krenuo drugi automobil koji je točno polovicu puta vozio brzinom km/h manjom od prve, a drugu polovicu puta vozio je brzinom km/h.
Kao rezultat toga, automobili su stigli u točku B u isto vrijeme.
Nađite brzinu prvog automobila ako je poznato da je veća od km/h.
Rješenje #1:
Lijevo od znaka jednakosti zapisujemo vrijeme prvog automobila, a desno - drugog:
Pojednostavimo izraz s desne strane:
Podijelimo svaki član s AB:
Rezultat je obična racionalna jednadžba. Nakon što ga riješimo, dobivamo dva korijena:
Od njih je samo jedan veći.
Odgovor: km/h.
Primjer br. 2
Biciklist je krenuo s točke A kružne rute. Nekoliko minuta kasnije još se nije vratio na točku A, a od točke A za njim je krenuo motociklist. Nekoliko minuta nakon izlaska sustigao je biciklista prvi put, a nekoliko minuta nakon toga i drugi put. Odredi brzinu biciklista ako je duljina puta km. Odgovorite u km/h.
Riješenje:
Ovdje ćemo izjednačiti udaljenost.
Neka je brzina biciklista, a brzina motociklista - . Do trenutka prvog susreta biciklist je bio na cesti minutama, a motociklist - .
Istovremeno su prešli jednake udaljenosti:
Između susreta biciklist je prešao udaljenost, a motociklist - . No, u isto vrijeme motociklist je odvezao točno jedan krug više, što je vidljivo sa slike:
Nadam se da razumijete da zapravo nisu vozili u spirali, spirala samo shematski prikazuje da voze u krug, prolazeći iste točke na ruti nekoliko puta.
Dobivene jednadžbe rješavamo u sustavu:
SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE
1. Osnovna formula
2. Relativno gibanje
- Ovo je zbroj brzina ako se tijela gibaju jedno prema drugome;
- razlika u brzini ako se tijela gibaju u istom smjeru.
3. Kretanje s tokom:
- Ako se krećemo sa strujom, brzina struje se dodaje našoj brzini;
- ako se krećemo protiv struje, brzina struje se oduzima od brzine.
Pomogli smo Vam riješiti probleme s kretanjem...
Sad je tvoj red...
Ako ste pažljivo pročitali tekst i sami riješili sve primjere, spremni smo se kladiti da ste sve razumjeli.
A ovo je već pola puta.
Napišite ispod u komentarima, jeste li shvatili probleme s kretanjem?
Koji uzrokuju najviše poteškoća?
Shvaćate li da su zadaci za "posao" gotovo ista stvar?
Pišite nam i sretno na ispitima!
