Rešebnik Kuznjecov.
III Grafovi

Zadatak 7. Provesti cjelovito proučavanje funkcije i izgraditi njezin graf.

        Prije nego počnete preuzimati svoje opcije, pokušajte riješiti problem slijedeći primjer u nastavku za opciju 3. Neke su opcije arhivirane u .rar formatu

        7.3 Provesti potpunu studiju funkcije i nacrtati je

Odluka.

        1) Opseg:         ili        , tj.        .
.
Dakle:         .

        2) Nema točaka sjecišta s osi Ox. Doista, jednadžba         nema rješenja.
Nema točaka sjecišta s osi Oy jer        .

        3) Funkcija nije ni parna ni neparna. Ne postoji simetrija oko y-osi. Nema simetrije ni oko podrijetla. Kao
.
Vidimo da         i        .

        4) Funkcija je kontinuirana u domeni
.

; .

; .
Prema tome, točka         je točka diskontinuiteta druge vrste (beskonačni diskontinuitet).

5) Vertikalne asimptote:       

Pronađite kosu asimptotu        . Ovdje

;
.
Dakle, imamo horizontalnu asimptotu: y=0. Nema kosih asimptota.

        6) Pronađite prvu izvedenicu. Prva izvedenica:
.
I zato
.
Nađimo stacionarne točke u kojima je derivacija jednaka nuli, tj
.

        7) Pronađite drugu izvedenicu. Druga izvedenica:
.
A to je lako provjeriti, budući da

Kako istražiti funkciju i nacrtati njezin graf?

Čini se da počinjem shvaćati duševno lice vođe svjetskog proletarijata, autora sabranih djela u 55 svezaka .... Dugo putovanje počelo je s elementarnim informacijama o funkcije i grafovi, a sada rad na mukotrpnoj temi završava prirodnim rezultatom - člankom o studiji pune funkcije. Dugo očekivani zadatak formuliran je na sljedeći način:

Istražiti funkciju metodama diferencijalnog računa i na temelju rezultata istraživanja izgraditi njezin graf

Ili ukratko: ispitajte funkciju i nacrtajte je.

Zašto istraživati? U jednostavnim slučajevima neće nam biti teško baviti se elementarnim funkcijama, nacrtati graf dobiven korištenjem elementarne geometrijske transformacije itd. Međutim, svojstva i grafičke slike više složene funkcije su daleko od očitih, zbog čega je potrebna cijela studija.

Glavni koraci rješenja sažeti su u referentnom materijalu Shema proučavanja funkcija, ovo je vaš vodič za odjeljak. Muškarci trebaju postupno objašnjenje teme, neki čitatelji ne znaju odakle započeti i kako organizirati studij, a napredne studente može zanimati samo nekoliko točaka. Ali tko god da ste, dragi posjetitelju, predloženi sažetak s uputama za razne lekcije usmjerit će vas i usmjeriti u smjeru interesa u najkraćem mogućem roku. Roboti su pustili suzu =) Priručnik je sastavljen u obliku pdf datoteke i zauzeo zasluženo mjesto na stranici Matematičke formule i tablice.

Razbio sam proučavanje funkcije u 5-6 točaka:

6) Dodatne točke i grafikon na temelju rezultata istraživanja.

Što se tiče završne radnje, mislim da svi sve razumiju – bit će jako razočaravajuće ako se za nekoliko sekundi precrta i zadatak vrati na doradu. ISPRAVAN I TOČAN CRTEŽ glavni je rezultat rješenja! Vrlo je vjerojatno da će "prikriti" analitičke propuste, dok će netočan i/ili neuredan raspored uzrokovati probleme čak i uz savršeno provedenu studiju.

Treba napomenuti da se u drugim izvorima broj istraživačkih predmeta, redoslijed njihove provedbe i stil dizajna mogu značajno razlikovati od sheme koju sam predložio, ali u većini slučajeva to je sasvim dovoljno. Najjednostavnija verzija problema sastoji se od samo 2-3 stupnja i formulirana je otprilike ovako: “istraži funkciju pomoću derivacije i nacrta” ili “istraži funkciju koristeći 1. i 2. izvodnicu, dijagram”.

Naravno, ako je neki drugi algoritam detaljno analiziran u vašem priručniku za obuku ili vaš učitelj od vas strogo zahtijeva da se pridržavate njegovih predavanja, tada ćete morati napraviti neke prilagodbe rješenja. Ništa teže nego zamijeniti vilicu žlicom za motornu pilu.

Provjerimo funkciju parno/neparno:

Nakon toga slijedi predložak za odjavu:
, pa ova funkcija nije ni parna ni neparna.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote.

Nema ni kosih asimptota.

Bilješka : Podsjećam te da je viši redoslijeda rasta nego , tako da je konačna granica točno " plus beskonačnost."

Otkrijmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

Drugim riječima, ako idemo udesno, onda graf ide beskonačno daleko gore, ako idemo lijevo, beskonačno daleko dolje. Da, postoje i dva ograničenja pod jednim unosom. Ako imate poteškoća s dešifriranjem znakova, posjetite lekciju o beskonačno male funkcije.

Dakle, funkcija nije ograničeno odozgo i nije ograničeno odozdo. S obzirom da nemamo break bodova, postaje jasno i raspon funkcija: je također bilo koji realan broj.

KORISNA TEHNIKA

Svaki korak zadatka donosi nove informacije o grafu funkcije, pa je u tijeku rješenja zgodno koristiti svojevrsni IZGLED. Nacrtajmo kartezijanski koordinatni sustav na nacrtu. Što se sigurno zna? Prvo, graf nema asimptote, stoga nema potrebe za crtanjem ravnih linija. Drugo, znamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti. Prema analizi izvlačimo prvu aproksimaciju:

Imajte na umu da na snazi kontinuitet funkcija uključena i činjenica da , graf mora prijeći os barem jednom. Ili možda postoji nekoliko točaka raskrižja?

3) Nule funkcije i intervali konstantnog predznaka.

Najprije pronađite točku presjeka grafa s y-osi. Jednostavno je. Potrebno je izračunati vrijednost funkcije kada:

Pola iznad razine mora.

Da biste pronašli točke presjeka s osi (nule funkcije), morate riješiti jednadžbu, a ovdje nas čeka neugodno iznenađenje:

Na kraju vreba slobodan član, što znatno otežava zadatak.

Takva jednadžba ima barem jedan pravi korijen, a najčešće je taj korijen iracionalan. U najgoroj bajci čekaju nas tri praščića. Jednadžba je rješiva ​​pomoću tzv Cardanove formule, ali oštećenje papira je usporedivo s gotovo cijelom studijom. S tim u vezi, mudrije je usmeno ili na nacrt pokušati pokupiti barem jednu cijeli korijen. Provjerimo jesu li ovi brojevi:
- ne odgovara;
- tamo je!

Ovdje je sreća. U slučaju neuspjeha, također možete testirati i, a ako ti brojevi ne odgovaraju, bojim se da su vrlo male šanse za isplativo rješenje jednadžbe. Tada je bolje potpuno preskočiti točku istraživanja - možda će nešto postati jasnije u završnom koraku, kada će se probiti dodatne točke. A ako su korijen (korijeni) očito "loši", onda je bolje šutjeti o intervalima postojanosti znakova i točnije dovršiti crtež.

Međutim, imamo lijep korijen, pa polinom dijelimo bez ostatka:

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom detaljno je obrađen u prvom primjeru lekcije. Složene granice.

Kao rezultat, lijeva strana izvorne jednadžbe se širi u proizvod:

A sada malo o zdravom načinu života. Naravno da to razumijem kvadratne jednadžbe treba rješavati svaki dan, ali danas ćemo napraviti iznimku: jednadžbu ima dva prava korijena.

Na brojevnoj liniji ucrtavamo pronađene vrijednosti i intervalna metoda definirati znakove funkcije:


og Dakle, na intervalima grafikon nalazi
ispod x-ose i u intervalima - iznad ove osi.

Rezultirajući nalazi omogućuju nam da preciziramo naš izgled, a druga aproksimacija grafa izgleda ovako:

Imajte na umu da funkcija mora imati najmanje jedan maksimum u intervalu, a najmanje jedan minimum u intervalu. No, ne znamo koliko će se puta, gdje i kada raspored “namotati”. Usput, funkcija može imati beskonačno mnogo krajnosti.

4) Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije.

Nađimo kritične točke:

Ova jednadžba ima dva realna korijena. Stavimo ih na brojevnu pravu i odredimo predznake derivacije:


Stoga se funkcija povećava za a smanjuje se za .
U trenutku kada funkcija dosegne svoj maksimum: .
U trenutku kada funkcija dosegne svoj minimum: .

Utvrđene činjenice guraju naš predložak u prilično krut okvir:

Nepotrebno je reći da je diferencijalni račun moćna stvar. Pozabavimo se konačno oblikom grafa:

5) Konveksnost, konkavnost i točke pregiba.

Pronađite kritične točke druge derivacije:

Definirajmo znakove:


Funkcijski graf je konveksan na i konkavan na . Izračunajmo ordinatu prevojne točke: .

Gotovo se sve raščistilo.

6) Ostaje pronaći dodatne točke koje će pomoći da se točnije izgradi graf i izvrši samotestiranje. U ovom slučaju, malo ih je, ali nećemo zanemariti:

Izvršimo crtež:

Točka pregiba označena je zelenom bojom, dodatne točke su označene križićima. Graf kubične funkcije je simetričan u odnosu na njezinu inleksnu točku, koja se uvijek nalazi točno u sredini između maksimuma i minimuma.

Tijekom zadatka dao sam tri hipotetska međucrteža. U praksi je dovoljno nacrtati koordinatni sustav, označiti pronađene točke i nakon svake točke proučavanja mentalno odgonetnuti kako bi graf funkcije mogao izgledati. Studentima s dobrom razinom pripremljenosti neće biti teško izvesti takvu analizu samo u svojim mislima bez uključivanja nacrta.

Za neovisna odluka:

Primjer 2

Istražite funkciju i izgradite graf.

Ovdje je sve brže i zabavnije, približan primjer završetka na kraju lekcije.

Proučavanjem frakcijskih racionalnih funkcija otkriva se mnogo tajni:

Primjer 3

Metodama diferencijalnog računa istražiti funkciju i na temelju rezultata istraživanja konstruirati njezin graf.

Odluka: prva faza studije ne razlikuje se ni po čemu značajno, s iznimkom rupe u području definicije:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim točke, domena: .

, pa ova funkcija nije ni parna ni neparna.

Očito je da je funkcija neperiodična.

Graf funkcije sastoji se od dvije kontinuirane grane koje se nalaze u lijevoj i desnoj poluravnini - to je možda najvažniji zaključak 1. stavka.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

a) Uz pomoć jednostranih granica proučavamo ponašanje funkcije u blizini sumnjive točke, gdje vertikalna asimptota jasno mora biti:

Doista, funkcije traju beskrajni jaz u točki
a pravac (os) je vertikalna asimptota grafike .

b) Provjerite postoje li kose asimptote:

Da, linija je kosa asimptota grafike ako .

Nema smisla analizirati granice, jer je već jasno da je funkcija u zagrljaju sa svojom kosom asimptotom nije ograničeno odozgo i nije ograničeno odozdo.

Druga točka studije donijela je mnogo važnih informacija o funkciji. Napravimo grubu skicu:

Zaključak br. 1 odnosi se na intervale konstantnosti predznaka. Kod "minus beskonačnosti" graf funkcije je jedinstveno lociran ispod x-osi, a kod "plus beskonačnosti" je iznad ove osi. Osim toga, jednostrane granice nam govore da je i lijevo i desno od točke funkcija također veća od nule. Imajte na umu da u lijevoj poluravnini graf mora barem jednom prijeći os x. U desnoj poluravnini možda nema nula funkcije.

Zaključak br. 2 je da se funkcija povećava na i lijevo od točke (ide “odozdo prema gore”). Desno od ove točke, funkcija se smanjuje (ide “od vrha prema dnu”). Desna grana grafa svakako mora imati barem jedan minimum. S lijeve strane ekstremi nisu zajamčeni.

Zaključak br. 3 daje pouzdane podatke o udubljenosti grafa u blizini točke. Za sada ne možemo ništa reći o konveksnosti/konkavnosti u beskonačnosti, budući da se pravac može pritisnuti na svoju asimptotu i odozgo i odozdo. Općenito govoreći, postoji analitički način da se to shvati upravo sada, ali oblik grafikona "za ništa" bit će jasniji u kasnijoj fazi.

Zašto toliko riječi? Za kontrolu daljnjih točaka istraživanja i izbjegavanje pogrešaka! Daljnji izračuni ne bi trebali biti u suprotnosti s izvedenim zaključcima.

3) Točke presjeka grafa s koordinatnim osi, intervali konstantnog predznaka funkcije.

Graf funkcije ne prelazi os.

Metodom intervala određujemo znakove:

, ako ;
, ako .

Rezultati stavka u potpunosti su u skladu sa Zaključkom br. 1. Nakon svakog koraka pogledajte nacrt, mentalno se osvrnite na studiju i dovršite crtanje grafa funkcije.

U ovom primjeru, brojnik je podijeljen član po član nazivnikom, što je vrlo korisno za diferencijaciju:

Zapravo, to je već učinjeno pri pronalaženju asimptota.

- kritična točka.

Definirajmo znakove:

povećava za i smanjuje se na

U trenutku kada funkcija dosegne svoj minimum: .

Također nije bilo odstupanja sa Zaključkom broj 2 i, najvjerojatnije, na dobrom smo putu.

To znači da je graf funkcije konkavan u cijeloj domeni definicije.

Izvrsno - i ne trebate ništa crtati.

Nema pregibnih točaka.

Konkavnost je u skladu sa Zaključkom br. 3, štoviše, pokazuje da se u beskonačnosti (i tamo i tamo) nalazi graf funkcije viši njegova kosa asimptota.

6) Zadatak ćemo savjesno pričvrstiti dodatnim bodovima. Ovdje se moramo potruditi, jer znamo samo dvije točke iz studije.

I slika koju su, vjerojatno, mnogi odavno poslali:

Tijekom zadatka potrebno je paziti da nema proturječnosti između faza studije, ali ponekad je situacija hitna ili čak očajnički slijepa. Ovdje se analitika "ne konvergira" - i to je to. U ovom slučaju preporučam hitnu tehniku: pronađemo što više točaka koje pripadaju grafu (koliko je strpljenja dovoljno) i označimo ih na koordinatnoj ravnini. Grafička analiza pronađenih vrijednosti u većini slučajeva će vam reći gdje je istina, a gdje laž. Osim toga, graf se može unaprijed izraditi pomoću nekog programa, na primjer, u istom Excelu (jasno je da to zahtijeva vještine).

Primjer 4

Koristeći se metodama diferencijalnog računa, istražiti funkciju i izgraditi njezin graf.

Ovo je "uradi sam" primjer. U njemu je samokontrola pojačana ravnomjernošću funkcije - graf je simetričan u odnosu na os, a ako nešto u vašoj studiji proturječi ovoj činjenici, potražite grešku.

Parna ili neparna funkcija može se istražiti samo za , a zatim se može koristiti simetrija grafa. Ovo rješenje je optimalno, ali izgleda, po mom mišljenju, vrlo neobično. Osobno razmatram cijelu brojčanu os, ali još uvijek nalazim dodatne točke samo s desne strane:

Primjer 5

Provedite potpunu studiju funkcije i nacrtajte njezin graf.

Odluka: jurio jako:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj realnoj liniji: .

To znači da je ova funkcija neparna, njen graf je simetričan u odnosu na ishodište.

Očito je da je funkcija neperiodična.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote

Za funkciju koja sadrži eksponent, obično odvojeno proučavanje "plus" i "minus beskonačnost", međutim, naš život olakšava upravo simetrija grafa - ili postoji asimptota s lijeve i desne strane, ili je nema. Stoga se obje beskonačne granice mogu rasporediti pod jednim unosom. U tijeku rješenja koristimo se L'Hopitalovo pravilo:

Ravna crta (os) je horizontalna asimptota grafa na .

Obratite pažnju na to kako sam pametno izbjegao cijeli algoritam za pronalaženje kose asimptote: granica je sasvim legalna i pojašnjava ponašanje funkcije u beskonačnosti, a horizontalna asimptota je pronađena "kao u isto vrijeme".

Iz kontinuiteta nadalje i postojanja horizontalne asimptote slijedi da je funkcija ograničeno odozgo i ograničeno odozdo.

3) Točke presjeka grafa s koordinatnim osi, intervali konstantnosti.

Ovdje također skraćujemo rješenje:
Graf prolazi kroz ishodište.

Nema drugih točaka sjecišta s koordinatnim osovinama. Štoviše, intervali konstantnosti su očiti, a os se ne može nacrtati: , što znači da predznak funkcije ovisi samo o "x":
, ako ;
, ako .

4) Povećanje, smanjenje, ekstremi funkcije.


su kritične točke.

Točke su simetrične oko nule, kako i treba biti.

Definirajmo znakove derivacije:


Funkcija se povećava na intervalu i smanjuje na intervalima

U trenutku kada funkcija dosegne svoj maksimum: .

Zbog imovine (neobičnost funkcije) minimum se može izostaviti:

Budući da se funkcija smanjuje na intervalu , tada se, očito, graf nalazi na "minus beskonačnost" pod, ispod sa svojom asimptotom. Na intervalu se funkcija također smanjuje, ali ovdje je suprotno - nakon što prođe kroz maksimalnu točku, pravac se približava osi odozgo.

Iz navedenog također slijedi da je graf funkcije konveksan na "minus beskonačnost", a konkavan na "plus beskonačnost".

Nakon ove točke studije nacrtano je i područje vrijednosti funkcije:

Ako niste razumjeli neke točke, još jednom vas pozivam da u svoju bilježnicu nacrtate koordinatne osi i s olovkom u rukama ponovno analizirate svaki zaključak zadatka.

5) Konveksnost, konkavnost, fleksije grafa.

su kritične točke.

Simetrija točaka je očuvana i, najvjerojatnije, ne griješimo.

Definirajmo znakove:


Graf funkcije je konveksan na i konkavno na .

Potvrđena je konveksnost/konkavnost u ekstremnim intervalima.

Na svim kritičnim točkama na grafikonu postoje pregibi. Nađimo ordinate prevojnih točaka, a opet smanjimo broj izračuna, koristeći neparnost funkcije:

Ako je u zadatku potrebno provesti cjelovito proučavanje funkcije f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijom njezina grafa, onda ćemo ovaj princip detaljno razmotriti.

Za rješavanje problema ove vrste treba koristiti svojstva i grafove glavnih elementarnih funkcija. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:

Pronalaženje domene definicije

Budući da se istraživanje provode na domeni funkcije, potrebno je započeti s ovim korakom.

Primjer 1

Navedeni primjer uključuje pronalaženje nula nazivnika kako bismo ih isključili iz DPV-a.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kao rezultat, možete dobiti korijene, logaritme i tako dalje. Tada se ODZ može tražiti korijen čak i stupanj tipa g (x) 4 po nejednadžbi g (x) ≥ 0 , za logaritam log a g (x) po nejednadžbi g (x) > 0 .

Istraživanje granica ODZ-a i pronalaženje vertikalnih asimptota

Postoje vertikalne asimptote na granicama funkcije, kada su jednostrane granice u takvim točkama beskonačne.

Primjer 2

Na primjer, razmotrite granične točke jednake x = ± 1 2 .

Zatim je potrebno proučiti funkciju kako bi se pronašla jednostrana granica. Tada dobivamo: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

To pokazuje da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su pravci x = ± 1 2 okomite asimptote grafa.

Ispitivanje funkcije i za parne ili neparne

Kada je ispunjen uvjet y (- x) = y (x), funkcija se smatra parnom. To sugerira da se graf nalazi simetrično u odnosu na O y. Kada je uvjet y (- x) = - y (x) ispunjen, funkcija se smatra neparnom. To znači da simetrija ide u odnosu na ishodište koordinata. Ako barem jedna nejednakost nije uspjela, dobivamo funkciju općeg oblika.

Ispunjenje jednakosti y (- x) = y (x) pokazuje da je funkcija parna. Prilikom konstruiranja potrebno je uzeti u obzir da će postojati simetrija u odnosu na O y.

Za rješavanje nejednakosti koriste se intervali povećanja i smanjenja s uvjetima f "(x) ≥ 0 i f" (x) ≤ 0, redom.

Definicija 1

Stacionarne točke su točke koje pretvaraju derivaciju u nulu.

Kritične točke su unutarnje točke iz domene gdje je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.

Prilikom donošenja odluke potrebno je uzeti u obzir sljedeće točke:

• za postojeće intervale povećanja i smanjenja nejednakosti oblika f "(x) > 0 kritične točke nisu uključene u rješenje;
• točke u kojima je funkcija definirana bez konačnog izvoda moraju biti uključene u intervale povećanja i smanjenja (na primjer, y = x 3, gdje točka x = 0 čini funkciju definiranom, derivacija ima vrijednost beskonačnosti u ovom trenutku, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 je uključen u interval povećanja);
• kako bi se izbjegle nesuglasice, preporuča se korištenje matematičke literature koju preporuča Ministarstvo obrazovanja.

Uključivanje kritičnih točaka u intervale porasta i opadanja u slučaju da one zadovoljavaju domenu funkcije.

Definicija 2

Za određujući intervale povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je pronaći:

• izvedenica;
• kritične točke;
• razbiti domenu definicije uz pomoć kritičnih točaka na intervale;
• odrediti predznak derivacije u svakom od intervala, gdje je + povećanje, a - smanjenje.

Primjer 3

Pronađite derivaciju na domeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Odluka

Za rješavanje trebate:

• pronađite stacionarne točke, ovaj primjer ima x = 0 ;
• pronaći nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula na x = ± 1 2 .

Izlažemo točke na numeričkoj osi kako bismo odredili derivaciju na svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju točku iz intervala i napraviti izračun. Ako je rezultat pozitivan, na grafu crtamo +, što znači povećanje funkcije, a - njezino smanjenje.

Na primjer, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, što znači da prvi interval s lijeve strane ima znak +. Razmotrite broj crta.

Odgovor:

• dolazi do porasta funkcije na intervalu - ∞ ; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ];
• dolazi do smanjenja na intervalu [0; 1 2) i 1 2 ; +∞ .

Na dijagramu, koristeći + i -, prikazani su pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice označavaju smanjenje i povećanje.

Ekstremne točke funkcije su točke u kojima je funkcija definirana i kroz koje derivacija mijenja predznak.

Primjer 4

Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x = 0, tada je vrijednost funkcije u njemu f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kada se predznak derivacije promijeni s + na - i prolazi kroz točku x \u003d 0, tada se točka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom točkom. Kada se predznak promijeni iz - u +, dobivamo minimalni bod.

Konveksnost i konkavnost određuju se rješavanjem nejednadžbi oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 . Rjeđe koriste naziv ispupčenje prema dolje umjesto udubljenje, i izbočenje prema gore umjesto izbočenje.

Definicija 3

Za određivanje praznina konkavnosti i konveksnosti potrebno:

• naći drugu izvedenicu;
• naći nule funkcije drugog izvoda;
• razbiti područje definicije točkama koje se pojavljuju u intervale;
• odrediti predznak jaza.

Primjer 5

Pronađite drugu derivaciju iz domene definicije.

Odluka

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Pronalazimo nule brojnika i nazivnika, pri čemu, koristeći naš primjer, imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2

Sada trebate staviti točke na brojevnu liniju i odrediti predznak druge derivacije iz svakog intervala. Shvaćamo to

Odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
• funkcija je konkavna od praznina - ∞ ; - 1 2 i 1 2 ; +∞ .

Definicija 4

prevojna točka je točka oblika x 0 ; f(x0) . Kada ima tangentu na graf funkcije, onda kada prođe kroz x 0, funkcija mijenja predznak u suprotan.

Drugim riječima, to je takva točka kroz koju prolazi druga derivacija i mijenja predznak, a u samim točkama jednaka je nuli ili ne postoji. Sve točke se smatraju domenom funkcije.

U primjeru se vidjelo da nema prevojnih točaka, budući da drugi izvod mijenja predznak prolazeći kroz točke x = ± 1 2 . Oni, pak, nisu uključeni u domenu definicije.

Pronalaženje horizontalnih i kosih asimptota

Prilikom definiranja funkcije u beskonačnosti, treba tražiti horizontalne i kose asimptote.

Definicija 5

Kose asimptote predstavljena ravnim linijama dano jednadžbom y = k x + b , gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Za k = 0 i b, ne jednaka beskonačnosti, nalazimo da kosa asimptota postaje horizontalno.

Drugim riječima, asimptote su linije kojima se graf funkcije približava beskonačno. To pridonosi brzoj izgradnji grafa funkcije.

Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati granicu funkcije na tim beskonačnostima kako bi se razumjelo kako će se ponašati graf funkcije.

Primjer 6

Kao primjer, razmotrite to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Nakon što istražite funkciju, možete je početi graditi.

Izračunavanje vrijednosti funkcije u međutočkama

Da bi crtanje bilo što točnije, preporuča se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije u međutočkama.

Primjer 7

Iz primjera koji smo razmotrili potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u točkama x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = 1 4. Budući da je funkcija parna, dobivamo da se vrijednosti podudaraju s vrijednostima u tim točkama, odnosno dobivamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Napišimo i riješimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za određivanje maksimuma i minimuma funkcije, prevojnih točaka, međutočaka potrebno je izgraditi asimptote. Za prikladno označavanje, intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti, konkavnosti su fiksni. Razmotrite donju sliku.

Kroz označene točke potrebno je povući linije grafikona, što će vam omogućiti da se približite asimptoti, prateći strelice.

Time je završeno potpuno proučavanje funkcije. Postoje slučajevi konstruiranja nekih elementarnih funkcija za koje se koriste geometrijske transformacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter