Rješavanje dekompozicije matrica po retku ili stupcu. Primjena Laplaceova teorema za izračunavanje determinanti n-tog reda (proširivanje reda ili stupca). Osnovne definicije i jednostavna svojstva

Često na sveučilištu postoje zadaci na viša matematika, u kojem je potrebno izračunati determinantu matrice. Usput, determinanta može biti samo u kvadratnim matricama. U nastavku ćemo razmotriti osnovne definicije koja svojstva determinanta ima i kako je ispravno izračunati.Također, prikazat ćemo detaljno rješenje na primjerima.

Što je determinanta matrice: izračunavanje determinante pomoću definicije

Matrična determinanta

Drugi red je broj.

Matrična determinanta označava se sa - (skraćeno od latinskog naziva determinanti), ili.

Ako: onda ispada

Podsjećamo na još nekoliko pomoćnih definicija:

Definicija

Uređeni skup brojeva koji se sastoji od elemenata naziva se redom permutacije.

Za skup koji sadrži elemente postoji faktorijel (n), koji se uvijek označava uskličnikom: . Permutacije se međusobno razlikuju samo po svom redoslijedu. Da bude jasnije, uzmimo primjer:

Razmotrimo skup od tri elementa (3, 6, 7). Ukupno postoji 6 permutacija, budući da .:

Definicija

Inverzija u permutaciji reda je uređeni skup brojeva (također se naziva i bijekcija), pri čemu dva od njih čine neku vrstu nereda. To je kada se veći od brojeva u danoj permutaciji nalazi lijevo od manjeg broja.

Iznad smo razmotrili primjer s inverzijom permutacije, gdje su postojali brojevi. Dakle, uzmimo drugi redak, gdje, sudeći po zadanim brojevima, ispada da je , I , Budući da je drugi element veći od trećeg elementa . Uzmimo za usporedbu šesti redak, gdje se nalaze brojevi: . Ovdje postoje tri para: , i , budući da title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Renderirao QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Renderirao QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Samu inverziju nećemo proučavati, ali će nam permutacije biti vrlo korisne u daljnjem razmatranju teme.

Definicija

Determinanta matrice x - broj:

je permutacija brojeva od 1 do beskonačnog broja i broj inverzija u permutaciji. Dakle, determinanta uključuje pojmove, koji se nazivaju “terminovi determinante”.

Možete izračunati determinantu matrice drugog reda, trećeg, pa čak i četvrtog. Također vrijedi spomenuti:

Definicija

determinanta matrice je broj koji je jednak

Da bismo razumjeli ovu formulu, detaljnije ćemo je opisati. Determinanta kvadratna matrica x je zbroj koji sadrži članove, a svaki je član umnožak određenog broja matričnih elemenata. Istovremeno, svaki proizvod ima element iz svakog retka i svakog stupca matrice.

Može se pojaviti prije određenog pojma ako elementi matrice u umnošku idu redom (po broju retka), a broj inverzija u permutaciji skupa brojeva stupaca je neparan.

Gore je spomenuto da se determinanta matrice označava sa ili , odnosno da se determinanta često naziva determinantom.

Dakle, da se vratimo na formulu:

Iz formule se može vidjeti da je determinanta matrice prvog reda element iste matrice.

Izračunavanje determinante matrice drugog reda

Najčešće se u praksi matrična determinanta rješava metodama drugog, trećeg, a rjeđe četvrtog reda. Razmotrimo kako se izračunava determinanta matrice drugog reda:

U matrici drugog reda slijedi da je faktorijel . Prije primjene formule

Potrebno je odrediti koje podatke dobivamo:

2. permutacije skupova: i ;

3. broj inverzija u permutaciji : i , budući da title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. odgovarajući radovi : i .

Ispada:

Na temelju prethodno navedenog dobivamo formulu za izračunavanje determinante kvadratne matrice drugog reda, odnosno x:

Razmotrite dalje konkretan primjer kako izračunati determinantu kvadratne matrice drugog reda:

Primjer

Zadatak

Izračunajte determinantu matrice x:

Odluka

Dakle, dobivamo , , , .

Da biste to riješili, trebate koristiti prethodno opisanu formulu:

Zamjenjujemo brojeve iz primjera i nalazimo:

Odgovor

Determinanta matrice drugog reda = .

Izračunavanje determinante matrice trećeg reda: primjer i rješenje pomoću formule

Definicija

Determinanta matrice trećeg reda je broj dobiven iz devet zadanih brojeva raspoređenih u kvadratnu tablicu,

Determinanta trećeg reda nalazi se na isti način kao i determinanta drugog reda. Jedina razlika je u formuli. Stoga, ako ste dobro upućeni u formulu, onda neće biti problema s rješenjem.

Razmotrimo kvadratnu matricu trećeg reda * :

Na temelju ove matrice razumijemo da je faktorijel = , što znači da se dobivaju ukupne permutacije

Da biste pravilno primijenili formulu, morate pronaći podatke:

Dakle, ukupne permutacije skupa:

Broj inverzija u permutaciji i odgovarajući produkti = ;

Broj inverzija u permutaciji title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Permutacijske inverzije title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inverzi u permutaciji title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inverzi u permutaciji title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Sada dobivamo:

Tako smo dobili formulu za izračunavanje determinante matrice reda x:

Pronalaženje matrice trećeg reda po pravilu trokuta (Sarrusovo pravilo)

Kao što je gore spomenuto, elementi determinante 3. reda nalaze se u tri retka i tri stupca. Ako uvedemo oznaku zajednički element, tada prvi element označava broj retka, a drugi element iz indeksa označava broj stupca. Postoje glavne (elementi) i sporedne (elementi) dijagonale determinante. Članovi s desne strane nazivaju se pojmovi determinante).

Može se vidjeti da je svaki član determinante u shemi sa samo jednim elementom u svakom retku i svakom stupcu.

Možete izračunati determinantu pomoću pravila pravokutnika, koje je prikazano kao dijagram. Odrednice iz elemenata glavne dijagonale označene su crvenom bojom, kao i pojmovi iz elemenata koji se nalaze na vrhu trokuta koji imaju jednu stranu, paralelni su s glavnom dijagonalom (lijevi dijagram), uzimaju se s znak.

Sa predznakom se uzimaju pojmovi s plavim strelicama iz elemenata bočne dijagonale, kao i iz elemenata koji se nalaze na vrhovima trokuta koji imaju stranice paralelne sa bočnom dijagonalom (desni dijagram).

U sljedećem primjeru naučit ćemo kako izračunati determinantu kvadratne matrice trećeg reda.

Primjer

Zadatak

Izračunajte determinantu matrice trećeg reda:

Odluka

U ovom primjeru:

Izračunavamo determinantu koristeći formulu ili shemu opisanu gore:

Odgovor

Determinanta matrice trećeg reda =

Osnovna svojstva matričnih determinanti trećeg reda

Na temelju prethodnih definicija i formula, razmotrite glavne svojstva determinante matrice.

1. Veličina determinante se neće mijenjati kada se zamjene odgovarajući redci, stupci (takva se zamjena naziva transpozicija).

Koristeći primjer, provjerite je li determinanta matrice jednaka determinanti transponirane matrice:

Prisjetimo se formule za izračun determinante:

Transponiramo matricu:

Izračunavamo determinantu transponirane matrice:

Uvjerili smo se da je determinanta transportirane matrice jednaka izvornoj matrici, što ukazuje na ispravno rješenje.

2. Predznak determinante promijenit će se u suprotan ako se u njoj izmijene bilo koja dva njezina stupca ili dva retka.

Pogledajmo primjer:

Zadane su dvije matrice trećeg reda (x):

Potrebno je pokazati da su determinante ovih matrica suprotne.

Odluka

U matrici i u matrici redovi su se promijenili (treći iz prvog, a iz prvog u treći). Prema drugom svojstvu, determinante dviju matrica moraju se razlikovati predznakom. Odnosno, jedna matrica je pozitivna, a druga negativna. provjerimo ovo svojstvo primjenom formule za izračunavanje determinante.

Svojstvo je istinito jer .

3. Determinanta je jednaka nuli ako ima iste odgovarajuće elemente u dva retka (stupca). Neka determinanta ima iste elemente prvog i drugog stupca:

Mijenjajući iste stupce, prema svojstvu 2, dobivamo novu determinantu: = . S druge strane, nova determinanta je ista kao i izvorna, jer su odgovori isti elementi, tj. = . Iz ovih jednakosti dobivamo: = .

4. Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog retka (stupca) jednaki nuli. Ova tvrdnja proizlazi iz činjenice da svaki član determinante prema formuli (1) ima jedan, a iz svakog retka (stupca) samo jedan element koji ima samo nule.

Pogledajmo primjer:

Pokažimo da je determinanta matrice nula:

Naša matrica ima dva identična stupca (drugi i treći), stoga, na temelju ovog svojstva, determinanta mora biti jednaka nuli. Provjerimo:

Doista, determinanta matrice s dva identična stupca je nula.

5. Zajednički faktor elemenata prvog reda (stupca) može se izvaditi iz predznaka determinante:

6. Ako su elementi jednog retka ili jednog stupca determinante proporcionalni odgovarajućim elementima drugog retka (stupca), tada je takva determinanta jednaka nuli.

Doista, nakon svojstva 5, koeficijent proporcionalnosti se može izvaditi iz predznaka determinante i tada se može koristiti svojstvo 3.

7. Ako je svaki od elemenata redaka (stupaca) determinante zbroj dva člana, tada se ova determinanta može dati kao zbroj odgovarajućih determinanti:

Za provjeru dovoljno je u proširenom obliku upisati prema (1) determinantu koja se nalazi na lijevoj strani jednakosti, zatim zasebno grupirati članove koji sadrže elemente i . Svaka od rezultirajućih skupina pojmova bit će prva i druge odrednice na desnoj strani jednakosti, redom.

8. Vrijednosti definicije neće se promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka (stupca) pomnožene istim brojem dodaju elementu jednog retka ili jednog stupca:

Ova se jednakost dobiva iz svojstava 6 i 7.

9. Determinanta matrice , , jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg retka ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata.

Ovdje pomoću algebarskog komplementa matričnog elementa. Koristeći ovo svojstvo, možete izračunati ne samo matrice trećeg reda, već i matrice višeg reda ( x ili x ). Drugim riječima, ovo je rekurzivna formula koja je potrebna za izračunavanje determinante matrice bilo kojeg narudžba. Zapamtite to, jer se često koristi u praksi.

Vrijedi reći da se korištenjem devetog svojstva mogu izračunati determinante matrica ne samo četvrtog, već i višeg reda. Međutim, u ovom slučaju morate izvršiti puno računskih operacija i biti oprezni, jer će najmanja pogreška u znakovima dovesti do pogrešne odluke. Matrice višeg reda najprikladnije se rješavaju Gaussovom metodom, a o tome ćemo kasnije.

10. Odrednica umnoška matrica istog reda jednak je proizvodu njihove odrednice.

Pogledajmo primjer:

Primjer

Zadatak

Uvjerite se da je determinanta dviju matrica i jednaka umnošku njihovih determinanti. Zadane dvije matrice:

Odluka

Prvo, nalazimo proizvod determinanti dviju matrica i .

Sada izvodimo množenje obje matrice i tako izračunavamo determinantu:

Odgovor

U to smo se uvjerili

Izračunavanje determinante matrice Gaussovom metodom

Matrična determinanta ažurirano: 22. studenog 2019. od: Znanstveni članci.Ru

Prilikom rješavanja zadataka iz više matematike vrlo je često potrebno izračunati determinantu matrice. Determinanta matrice pojavljuje se u linearnoj algebri, analitička geometrija, matematička analiza i drugi dijelovi više matematike. Dakle, jednostavno se ne može bez vještine rješavanja odrednica. Također, za samotestiranje možete besplatno preuzeti kalkulator determinanti, on vas neće naučiti rješavati determinante sam, ali je vrlo zgodan, jer je uvijek dobro znati točan odgovor unaprijed!

Neću davati strogu matematičku definiciju determinante i, općenito, nastojat ću minimizirati matematičku terminologiju, to većini čitatelja neće olakšati. Svrha ovog članka je naučiti vas kako riješiti determinante drugog, trećeg i četvrtog reda. Cijelo gradivo je prikazano u jednostavnom i pristupačnom obliku, a čak i pun (prazan) kotlić u višoj matematici, nakon pažljivog proučavanja gradiva, moći će ispravno riješiti determinante.

U praksi najčešće možete pronaći odrednicu drugog reda, na primjer: , i determinantu trećeg reda, na primjer: .

Odrednica četvrtog reda također nije antikvitet, a do njega ćemo doći na kraju lekcije.

Nadam se da svi razumiju sljedeće: Brojevi unutar determinante žive sami od sebe i nema govora ni o kakvom oduzimanju! Ne možete mijenjati brojeve!

(Konkretno, moguće je izvesti parne permutacije redaka ili stupaca determinante s promjenom njezina predznaka, ali to često nije potrebno - pogledajte sljedeću lekciju Svojstva determinante i snižavanje njenog reda)

Dakle, ako je dana bilo koja determinanta, onda ne dirajte ništa u njoj!

Notacija: Ako je zadana matrica , tada je njegova determinanta označena s . Također, vrlo često se odrednica označava latiničnim slovom ili grčkim.

1)Što znači riješiti (pronaći, otkriti) odrednicu? Za izračunavanje determinante je PRONAĆI BROJ. Upitnici u gornjim primjerima su sasvim obični brojevi.

2) Sada ostaje shvatiti KAKO pronaći ovaj broj? Da biste to učinili, morate primijeniti određena pravila, formule i algoritme, o kojima će sada biti riječi.

Krenimo od odrednice "dva" do "dva":

OVO TREBA ZAPAMTITI barem za vrijeme studiranja više matematike na fakultetu.

Pogledajmo odmah primjer:

Spreman. Najvažnije, NEMOJTE BRKATI ZNAKOVE.

Matrična determinanta tri po tri može se otvoriti na 8 načina, 2 su jednostavna, a 6 normalna.

Počnimo s dva jednostavna načina

Slično determinanti "dva po dva", determinanta "tri po tri" može se proširiti pomoću formule:

Formula je duga i lako je pogriješiti zbog nepažnje. Kako izbjeći neugodne pogreške? Za to je izmišljena druga metoda za izračunavanje determinante, koja se zapravo poklapa s prvom. Zove se Sarrusova metoda ili metoda "paralelnih traka".
Zaključak je da se prvi i drugi stupac pripisuju desno od determinante i da su linije pažljivo nacrtane olovkom:

Čimbenici koji se nalaze na "crvenim" dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom "plus".
Faktori koji se nalaze na "plavim" dijagonalama uključeni su u formulu sa predznakom minus:

Primjer:

Usporedite ta dva rješenja. Lako je vidjeti da je to ISTO, samo u drugom slučaju faktori formule su malo preuređeni, a što je najvažnije, vjerojatnost pogreške je mnogo manja.

Sada razmotrite šest normalnih načina za izračunavanje determinante

Zašto normalno? Jer u velikoj većini slučajeva odrednice treba otvoriti na ovaj način.

Kao što možete vidjeti, determinanta tri po tri ima tri stupca i tri retka.
Odrednicu možete riješiti proširivanjem na bilo koji red ili na bilo koji stupac.
Dakle, ispada 6 načina, dok se u svim slučajevima koristi istog tipa algoritam.

Matrična determinanta jednak je zbroju produkti elemenata retka (stupca) odgovarajućim algebarskim dodacima. Strašno? Sve je puno jednostavnije, koristit ćemo neznanstveni, ali razumljiv pristup, dostupan čak i osobi koja je daleko od matematike.

U sljedećem primjeru proširit ćemo determinantu na prvom redu.
Da bismo to učinili, potrebna nam je matrica znakova: . Lako je uočiti da su znakovi u razmaku.

Pažnja! Matrica znakova je moj vlastiti izum. Ovaj koncept nije znanstven, ne treba ga koristiti u konačnom dizajnu zadataka, on samo pomaže razumjeti algoritam za izračunavanje determinante.

Prvo ću dati kompletno rješenje. Opet, uzimamo našu eksperimentalnu determinantu i izvodimo izračune:

I glavno pitanje: KAKO to dobiti od determinante "tri po tri":
?

Dakle, determinanta "tri po tri" svodi se na rješavanje tri male determinante, ili kako se još zovu, MALOLJETNICI. Preporučam zapamtiti pojam, pogotovo jer je nezaboravan: minor - mali.

Čim se odabere način proširenja determinante na prvom redu, očito se sve vrti oko toga:

Elementi se obično gledaju s lijeva na desno (ili odozgo prema dolje ako je odabran stupac)

Idemo, prvo se pozabavimo prvim elementom niza, odnosno jedinicom:

1) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

2) Zatim pišemo sam element:

3) MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem je prvi element:

Preostala četiri broja čine odrednicu "dva po dva" koja se zove MALOLJETNI zadanog elementa (jedinice).

Prelazimo na drugi element linije.

4) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

5) Zatim pišemo drugi element:

6) MENTALNO precrtajte redak i stupac koji sadrže drugi element:

Pa, treći element prvog retka. Bez originalnosti

7) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

8) Zapišite treći element:

9) MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem je treći element:

Preostala četiri broja zapisana su malom odrednicom.

Ostali koraci nisu teški, budući da već znamo brojati odrednice "dva po dva". NEMOJTE BRKATI ZNAKOVE!

Slično, determinanta se može proširiti na bilo koji redak ili na bilo koji stupac. Naravno, u svih šest slučajeva odgovor je isti.

Odrednica "četiri puta četiri" može se izračunati pomoću istog algoritma.
U ovom slučaju, matrica znakova će se povećati:

U sljedećem primjeru proširio sam determinantu na četvrtom stupcu:

A kako se to dogodilo, pokušajte sami shvatiti. Više informacija će doći kasnije. Ako netko želi riješiti odrednicu do kraja, točan odgovor je: 18. Za trening je bolje otvoriti odrednicu u nekom drugom stupcu ili drugom redu.

Vježbati, otkrivati, kalkulirati vrlo je dobro i korisno. Ali koliko ćete vremena potrošiti na veliku odrednicu? Zar ne postoji brži i pouzdaniji način? Predlažem da se upoznate s učinkovite metode računanje determinanti u drugom satu – Svojstva determinante. Smanjenje reda determinante .

BUDI OPREZAN!

U općem slučaju, pravilo za izračunavanje determinanti $n$-tog reda je prilično glomazno. Za determinante drugog i trećeg reda postoje racionalni načini za njihovo izračunavanje.

Proračuni determinanti drugog reda

Za izračunavanje determinante matrice drugog reda potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti umnožak elemenata sekundarne dijagonale:

$$\lijevo| \begin(niz)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(niz)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu drugog reda $\left| \begin(niz)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(niz)\right|$

Odluka.$\lijevo| \begin(niz)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(niz)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69 dolara

Odgovor.$\lijevo| \begin(niz)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(niz)\right|=69$

Metode za izračun determinanti trećeg reda

Postoje pravila za izračunavanje determinanti trećeg reda.

pravilo trokuta

Shematski se ovo pravilo može prikazati na sljedeći način:

Umnožak elemenata u prvoj determinanti koji su povezani linijama uzima se sa znakom plus; slično, za drugu odrednicu uzimaju se odgovarajući produkti sa predznakom minus, t.j.

$$\lijevo| \begin(niz)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(niz)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Primjer

Vježbajte. Izračunajte $\left| \begin(niz)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (niz)\right|$ metodom trokuta.

Odluka.$\lijevo| \begin(niz)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (niz)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Odgovor.

Sarus vlada

Desno od determinante dodaju se prva dva stupca i uzimaju se umnožaci elemenata na glavnoj dijagonali i na njoj paralelnim dijagonalama sa znakom plus; i umnožak elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala paralelnih s njom, sa predznakom minus:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Primjer

Vježbajte. Izračunajte $\left| \begin(niz)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (niz)\right|$ pomoću Sarrusovog pravila.

Odluka.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54 $$

Odgovor.$\lijevo| \begin(niz)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (niz)\desno|=54$

Proširenje determinante u redak ili stupac

Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata retka determinante i njihovih algebarskih komplemenata. Obično odaberite red/stupac u kojem/to ima nule. Redak ili stupac na kojem se provodi dekompozicija bit će označen strelicom.

Primjer

Vježbajte. Proširujući prvi red, izračunajte determinantu $\left| \begin(niz)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \desno|$

Odluka.$\lijevo| \begin(niz)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \desno| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

Odgovor.

Ova metoda omogućuje da se izračun determinante svede na izračun determinante nižeg reda.

Primjer

Vježbajte. Izračunajte $\left| \begin(niz)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \desno|$

Odluka. Na redovima determinante izvršimo sljedeće transformacije: od drugog retka oduzimamo prva četiri, a od trećeg prvi red, pomnožen sa sedam, kao rezultat, prema svojstvima determinante, dobivamo determinantu jednaka zadanoj.

$$\lijevo| \begin(niz)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \desno|=\lijevo| \begin(niz)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(niz)\right|=$$

$$=\lijevo| \begin(niz)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ kraj (niz)\desno|=\lijevo| \begin(niz)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(niz)\right|=0$$

Odrednica je nula jer su drugi i treći red proporcionalni.

Odgovor.$\lijevo| \begin(niz)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \desno|=0$

Da bi se izračunale determinante četvrtog reda i više, koristi se proširenje retka/stupca ili svođenje na trokutasti oblik, ili korištenje Laplaceovog teorema.

Dekompozicija determinante u smislu elemenata retka ili stupca

Primjer

Vježbajte. Izračunajte $\left| \begin(niz)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , proširujući ga u elemente nekog retka ili nekog stupca.

Odluka. Izvršimo najprije elementarne transformacije na recima determinante, čineći što više nula u retku ili u stupcu. Da bismo to učinili, prvo od prvog retka oduzmemo devet trećina, od drugog pet trećina i od četvrtog tri trećine, dobijemo:

$$\lijevo| \begin(niz)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(niz)\desno|=\lijevo| \begin(niz)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(niz)\desno|=\ lijevo| \begin(niz)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(niz)\right|$$

Dobivenu determinantu proširujemo elementima prvog stupca:

$$\lijevo| \begin(niz)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(niz)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \lijevo| \begin(niz)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ kraj(niz)\desno|+0$$

Rezultirajuća determinanta trećeg reda također je proširena elementima retka i stupca, nakon što su prethodno dobivene nule, na primjer, u prvom stupcu. Da bismo to učinili, oduzimamo dva druga retka od prvog retka, a drugi od trećeg:

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Odgovor.$\lijevo| \begin(niz)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(niz)\right|=0$

Komentar

Posljednju i pretposljednju odrednicu nije bilo moguće izračunati, ali odmah zaključiti da su jednake nuli, budući da sadrže proporcionalne redove.

Dovođenje determinante u trokutasti oblik

Uz pomoć elementarnih transformacija nad recima ili stupcima determinanta se svodi na trokutasti oblik, a zatim je njezina vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu $\Delta=\left| \begin(niz)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ dovodeći ga u trokutasti oblik.

Odluka. Prvo napravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale. Sve transformacije bit će lakše izvesti ako je element $a_(11)$ jednak 1. Da bismo to učinili, mijenjamo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, uzrokovati da promijeni znak u suprotan:

$$\Delta=\lijevo| \begin(niz)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(niz)\desno|=-\lijevo| \begin(niz)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(niz)\right|$$

$$\Delta=-\lijevo| \begin(niz)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(niz)\right|$$

Zatim dobivamo nule u drugom stupcu umjesto elemenata ispod glavne dijagonale. I opet, ako je dijagonalni element jednak $\pm 1$ , tada će izračuni biti jednostavniji. Da bismo to učinili, mijenjamo drugi i treći redak (i u isto vrijeme mijenjamo u suprotan predznak determinante):

$$\Delta=\lijevo| \begin(niz)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(niz)\right|$$

Podsjetimo Laplaceov teorem:
Laplaceov teorem:

Neka je k redaka (ili k stupaca) proizvoljno odabrano u determinanti d reda n, . Tada je zbroj proizvoda svih minora k-tog reda sadržanih u odabranim recima i njihovih algebarskih komplemenata jednak determinanti d.

Za izračunavanje determinanti u općem slučaju, k se uzima jednakim 1. To jest, u determinanti d reda n proizvoljno se bira redak (ili stupac). Tada je zbroj proizvoda svih elemenata sadržanih u odabranom retku (ili stupcu) i njihovih algebarskih komplemenata jednak determinanti d.

Primjer:
Izračunaj determinantu

Odluka:

Odaberimo proizvoljan redak ili stupac. Iz razloga koji će postati očigledan malo kasnije, ograničit ćemo naš izbor na treći red ili četvrti stupac. I zaustavite se na trećoj liniji.

Poslužimo se Laplaceovim teoremom.

Prvi element odabranog retka je 10, nalazi se u trećem redu i prvom stupcu. Izračunajmo mu algebarski komplement, t.j. pronađite determinantu dobivenu brisanjem stupca i retka na kojem ovaj element stoji (10) i saznajte predznak.

"plus ako je zbroj brojeva svih redaka i stupaca u kojima se nalazi minor M paran, a minus ako je ovaj zbroj neparan."
I uzeli smo minor, koji se sastoji od jednog elementa 10, koji se nalazi u prvom stupcu trećeg reda.

Tako:

Četvrti član ovog zbroja je 0, zbog čega vrijedi odabrati retke ili stupce s maksimalnim brojem nula elemenata.

Odgovor: -1228

Primjer:
Izračunaj determinantu:

Odluka:
Odaberimo prvi stupac, jer dva elementa u njemu jednaka su 0. Proširimo determinantu u prvom stupcu.

Svaku od determinanti trećeg reda proširujemo u smislu prvog i drugog reda

Proširujemo svaku od determinanti drugog reda u prvom stupcu

Odgovor: 48
Komentar: pri rješavanju ovog problema nisu korištene formule za izračun determinanti 2. i 3. reda. Korišteno je samo proširenje po retku ili stupcu. Što dovodi do snižavanja redoslijeda determinanti.

Formulacija problema

Zadatak uključuje upoznavanje korisnika s osnovnim pojmovima numeričkih metoda, kao što su determinanta i inverzna matrica, te različitim načinima njihovog izračunavanja. U ovom teorijskom izvješću, jednostavnim i pristupačnim jezikom, najprije su predstavljeni osnovni pojmovi i definicije na temelju kojih se provode daljnja istraživanja. Korisnik možda nema posebna znanja iz područja numeričkih metoda i linearne algebre, ali može lako koristiti rezultate ovog rada. Radi jasnoće, dan je program za izračunavanje determinante matrice nekoliko metoda, napisan u programskom jeziku C ++. Program se koristi kao laboratorijski stalak za izradu ilustracija za izvještaj. Također se provodi studija metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Dokazana je beskorisnost izračunavanja inverzne matrice, pa se u radu daju optimalniji načini rješavanja jednadžbi bez njenog izračunavanja. Objašnjeno je zašto postoji toliko različitih metoda za izračunavanje determinanti i inverznih matrica te se analiziraju njihovi nedostaci. Također se razmatraju pogreške u izračunu determinante te se procjenjuje postignuta točnost. Osim ruskih termina, u radu se koriste i njihovi engleski ekvivalenti kako bi se razumjelo pod kojim nazivima tražiti numeričke postupke u knjižnicama i što znače njihovi parametri.

Osnovne definicije i jednostavna svojstva

Determinanta

Uvedimo definiciju determinante kvadratne matrice bilo kojeg reda. Ova definicija će ponavljajuća, odnosno da biste ustanovili koja je determinanta matrice reda, morate već znati koja je determinanta matrice reda. Također imajte na umu da determinanta postoji samo za kvadratne matrice.

Determinanta kvadratne matrice bit će označena s ili det .

Definicija 1. determinanta kvadratna matrica poziva se broj drugog reda .

determinanta kvadratna matrica reda naziva se broj

gdje je determinanta matrice reda dobivena iz matrice brisanjem prvog retka i stupca s brojem .

Radi jasnoće, zapisujemo kako možete izračunati determinantu matrice četvrtog reda:

Komentar. Stvarni izračun determinanti za matrice iznad trećeg reda na temelju definicije koristi se u iznimnim slučajevima. U pravilu se proračun provodi prema drugim algoritmima, o kojima će biti riječi kasnije i koji zahtijevaju manje računskog rada.

Komentar. U definiciji 1, točnije bi bilo reći da je determinanta funkcija definirana na skupu matrica kvadratnog reda i uzima vrijednosti u skupu brojeva.

Komentar. U literaturi se umjesto pojma "determinanta" koristi i izraz "determinanta" koji ima isto značenje. Od riječi "odrednica" nastala je oznaka det.

Razmotrimo neka svojstva determinanti koje formuliramo u obliku tvrdnji.

Izjava 1. Prilikom transponiranja matrice determinanta se ne mijenja, odnosno .

Izjava 2. Determinanta umnoška kvadratnih matrica jednaka je umnošku determinanti faktora, odnosno .

Izjava 3. Ako se dva retka u matrici zamijene, tada će njena determinanta promijeniti predznak.

Izjava 4. Ako matrica ima dva identična reda, tada je njezina determinanta nula.

U budućnosti ćemo morati zbrajati nizove i niz množiti brojem. Te ćemo operacije nad redovima (stupcima) izvoditi na isti način kao i operacije nad matricama reda (matricama stupaca), odnosno element po element. Rezultat će biti redak (stupac), koji se u pravilu ne podudara s recima izvorne matrice. U prisutnosti operacija zbrajanja redaka (stupaca) i njihovog množenja brojem, možemo govoriti i o linearnim kombinacijama redaka (stupaca), odnosno zbrojima s brojčanim koeficijentima.

Izjava 5. Ako se redak matrice pomnoži s brojem, tada će se njegova determinanta pomnožiti s tim brojem.

Izjava 6. Ako matrica sadrži nulti red, tada je njezina determinanta nula.

Izjava 7. Ako je jedan od redaka matrice jednak drugom pomnoženom s brojem (reti su proporcionalni), tada je determinanta matrice nula.

Izjava 8. Neka i-ti red u matrici izgleda kao . Zatim, pri čemu se matrica dobije iz matrice zamjenom i-tog retka s redom, a matrica se dobije zamjenom i-tog retka s redom.

Izjava 9. Ako se jedan od redaka matrice doda drugom, pomnožen s brojem, tada se determinanta matrice neće promijeniti.

Izjava 10. Ako je jedan od redaka matrice linearna kombinacija njegovih ostalih redaka, tada je determinanta matrice nula.

Definicija 2. Algebarsko zbrajanje elementu matrice naziva se broj jednak , gdje je determinanta matrice dobivena iz matrice brisanjem i-tog retka i j-tog stupca. Algebarski komplement matričnom elementu označava se s .

Primjer. Neka bude . Zatim

Komentar. Koristeći algebarske dodatke, definicija 1 determinante može se napisati na sljedeći način:

Izjava 11. Dekompozicija determinante u proizvoljan niz.

Determinanta matrice zadovoljava formulu

Primjer. Izračunati .

Odluka. Koristimo proširenje u trećem retku, isplativije je, jer u trećem retku dva broja od tri su nule. Dobiti

Izjava 12. Za kvadratnu matricu reda na , imamo odnos .

Izjava 13. Sva svojstva determinante formulirane za retke (izjave 1 - 11) vrijede i za stupce, a posebno vrijedi proširenje determinante u j-ti stupac i jednakost na .

Izjava 14. Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata njene glavne dijagonale.

Posljedica. Determinanta matrice identiteta jednaka je jedan, .

Zaključak. Gore navedena svojstva omogućuju pronalaženje determinanti matrica dovoljno visokog reda uz relativno malu količinu izračuna. Algoritam izračuna je sljedeći.

Algoritam za stvaranje nula u stupcu. Neka je potrebno izračunati determinantu reda. Ako je , tada zamijenite prvi redak i bilo koji drugi redak u kojem prvi element nije nula. Kao rezultat toga, determinanta , bit će jednaka determinanti nove matrice s suprotnim predznakom. Ako je prvi element svakog retka jednak nuli, tada matrica ima nulti stupac i, prema izjavama 1, 13, njezina je determinanta jednaka nuli.

Dakle, to smatramo već u izvornoj matrici. Ostavite prvi red nepromijenjen. Dodajmo drugom retku prvi redak, pomnožen brojem. Tada će prvi element drugog reda biti jednak .

Preostali elementi novog drugog retka bit će označeni s , . Determinanta nove matrice prema tvrdnji 9 jednaka je . Pomnožite prvi redak brojem i dodajte ga trećem. Prvi element novog trećeg retka bit će jednak

Preostali elementi novog trećeg retka bit će označeni s , . Determinanta nove matrice prema tvrdnji 9 jednaka je .

Nastavit ćemo proces dobivanja nula umjesto prvih elemenata nizova. Konačno, prvi redak pomnožimo brojem i dodamo ga zadnjem retku. Rezultat je matrica, označena s , koja ima oblik

i . Za izračunavanje determinante matrice koristimo ekspanziju u prvom stupcu

Od tad

Determinanta matrice reda nalazi se na desnoj strani. Na njega primjenjujemo isti algoritam, a izračun determinante matrice će se svesti na izračun determinante matrice reda. Proces se ponavlja dok ne dođemo do determinante drugog reda, koja se izračunava po definiciji.

Ako matrica nema nikakva specifična svojstva, tada nije moguće značajno smanjiti količinu izračuna u odnosu na predloženi algoritam. Još jedna dobra strana ovog algoritma je da je lako napisati program za računalo za izračunavanje determinanti matrica velikih redova. U standardnim programima za izračunavanje determinanti ovaj se algoritam koristi s manjim promjenama povezanim s minimiziranjem učinka pogrešaka zaokruživanja i pogrešaka ulaznih podataka u računalnim izračunima.

Primjer. Izračunaj matričnu determinantu .

Odluka. Prvi red ostaje nepromijenjen. U drugi red dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. U treći red dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. Četvrtom retku dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. Kao rezultat, dobivamo

Istim algoritmom izračunavamo determinantu matrice reda 3 koja se nalazi na desnoj strani. Prvi red ostavljamo nepromijenjenim, u drugi red dodajemo prvi, pomnožen brojem :

U treći red dodajemo prvi, pomnožen brojem :

Kao rezultat, dobivamo

Odgovor. .

Komentar. Iako su u izračunima korišteni razlomci, rezultat je bio cijeli broj. Doista, korištenjem svojstava determinanti i činjenice da su izvorni brojevi cijeli brojevi, operacije s razlomcima mogle bi se izbjeći. Ali u inženjerskoj praksi brojevi su iznimno rijetko cijeli brojevi. Stoga će elementi determinante u pravilu biti decimalni razlomci i nije preporučljivo koristiti nikakve trikove za pojednostavljenje izračuna.

inverzna matrica

Definicija 3. Matrica se zove inverzna matrica za kvadratnu matricu ako .

Iz definicije proizlazi da će inverzna matrica biti kvadratna matrica istog reda kao i matrica (inače jedan od proizvoda ili ne bi bio definiran).

inverzna matrica jer je matrica označena sa . Dakle, ako postoji, onda .

Iz definicije inverzne matrice proizlazi da je matrica inverzna matrici, tj. Matrice i može se reći da su inverzne jedna drugoj ili međusobno inverzne.

Ako je determinanta matrice nula, tada njen inverz ne postoji.

Budući da je za pronalaženje inverzne matrice važno je li determinanta matrice jednaka nuli ili nije, uvodimo sljedeće definicije.

Definicija 4. Nazovimo kvadratnu matricu degenerirati ili posebna matrica, ako nedegenerirani ili nesingularna matrica, ako .

Izjava. Ako postoji inverzna matrica, ona je jedinstvena.

Izjava. Ako je kvadratna matrica nedegenerirana, tada postoji njezin inverz i (1) gdje su algebarski dodaci elementima .

Teorema. Inverzna matrica za kvadratnu matricu postoji ako i samo ako je matrica nesingularna, inverzna matrica jedinstvena i formula (1) vrijedi.

Komentar. Posebnu pozornost treba obratiti na mjesta koja zauzimaju algebarski dodaci u formuli inverzne matrice: prvi indeks pokazuje broj stupac, a drugi je broj linije, u koji treba upisati izračunati algebarski komplement.

Primjer. .

Odluka. Pronalaženje determinante

Budući da je , tada je matrica nedegenerirana, a inverz za nju postoji. Pronalaženje algebarskih dodataka:

Inverznu matricu sastavljamo tako da nađene algebarske dodatke postavimo tako da prvi indeks odgovara stupcu, a drugi retku: (2)

Rezultirajuća matrica (2) je odgovor na problem.

Komentar. U prethodnom primjeru, točnije bi bilo napisati odgovor ovako:
(3)

No, oznaka (2) je kompaktnija i s njom je prikladnije provoditi daljnje izračune, ako ih ima. Stoga je zapisivanje odgovora u obliku (2) poželjno ako su elementi matrice cijeli brojevi. Obrnuto, ako su elementi matrice decimale, tada je bolje napisati inverznu matricu bez faktora ispred.

Komentar. Prilikom pronalaženja inverzne matrice morate izvesti dosta izračuna i neobično pravilo za slaganje algebarskih zbrajanja u konačnoj matrici. Stoga postoji velika vjerojatnost pogreške. Da biste izbjegli pogreške, trebali biste napraviti provjeru: izračunajte umnožak izvorne matrice prema konačnoj u jednom ili drugom redu. Ako je rezultat matrica identiteta, tada je inverzna matrica ispravno pronađena. U suprotnom, trebate potražiti pogrešku.

Primjer. Nađi inverz matrice .

Odluka. - postojati.

Odgovor: .

Zaključak. Pronalaženje inverzne matrice po formuli (1) zahtijeva previše izračuna. Za matrice četvrtog reda i više, to je neprihvatljivo. Pravi algoritam za pronalaženje inverzne matrice bit će dan kasnije.