\(\blacktroangleright\) Diedarski kut je kut koji čine dvije poluravnine i ravna crta \(a\) , koja je njihova zajednička granica.
\(\blacktriangleright\) Da biste pronašli kut između ravnina \(\xi\) i \(\pi\) , morate pronaći linearni kut začinjeno ili ravno) diedralnog kuta kojeg čine ravnine \(\xi\) i \(\pi\):
Korak 1: neka \(\xi\cap\pi=a\) (linija presjeka ravnina). U ravnini \(\xi\) označimo proizvoljnu točku \(F\) i nacrtamo \(FA\perp a\) ;
Korak 2: nacrtajte \(FG\perp \pi\) ;
Korak 3: prema TTP (\(FG\) - okomito, \(FA\) - koso, \(AG\) - projekcija) imamo: \(AG\perp a\) ;
Korak 4: Kut \(\kut FAG\) naziva se linearni kut diedralnog kuta kojeg čine ravnine \(\xi\) i \(\pi\) .
Imajte na umu da je trokut \(AG\) pravokutni trokut.
Također imajte na umu da je ravnina \(AFG\) konstruirana na ovaj način okomita na obje ravnine \(\xi\) i \(\pi\) . Stoga se može reći i na drugi način: kut između ravnina\(\xi\) i \(\pi\) je kut između dvije linije koje se sijeku \(c\in \xi\) i \(b\in\pi\) , koje tvore ravninu okomitu na \(\xi\ ) i \(\pi\) .
Zadatak 1 #2875
Razina zadatka: Teža od ispita
Zadana je četverokutna piramida čiji su svi bridovi jednaki, a baza je kvadrat. Pronađite \(6\cos \alpha\) , gdje je \(\alpha\) kut između njegovih susjednih bočnih strana.
Neka je \(SABCD\) dana piramida (\(S\) je vrh) čiji su bridovi jednaki \(a\) . Stoga su sve bočne strane jednaki jednakostranični trokuti. Pronađite kut između strana \(SAD\) i \(SCD\) .
Nacrtajmo \(CH\perp SD\) . Kao \(\trokut SAD=\trokut SCD\), tada će \(AH\) također biti visina \(\trokut SAD\) . Stoga je po definiciji \(\kut AHC=\alpha\) linearni diedralni kut između strana \(SAD\) i \(SCD\) .
Budući da je baza kvadrat, tada je \(AC=a\sqrt2\) . Također imajte na umu da je \(CH=AH\) visina jednakostraničnog trokuta sa stranom \(a\) , dakle \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Zatim prema kosinusnom teoremu iz \(\trokut AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Odgovor: -2
Zadatak 2 #2876
Razina zadatka: Teža od ispita
Ravnine \(\pi_1\) i \(\pi_2\) sijeku se pod kutom čiji je kosinus jednak \(0,2\) . Ravnine \(\pi_2\) i \(\pi_3\) sijeku se pod pravim kutom, a linija presjeka ravnina \(\pi_1\) i \(\pi_2\) paralelna je s linijom presjeka ravnine \(\pi_2\) i \(\ pi_3\) . Pronađite sinus kuta između ravnina \(\pi_1\) i \(\pi_3\) .
Neka linija presjeka \(\pi_1\) i \(\pi_2\) bude prava \(a\) , linija presjeka \(\pi_2\) i \(\pi_3\) je prava \ (b\) , a linija presjeka \(\pi_3\) i \(\pi_1\) je ravna crta \(c\) . Budući da \(a\paralelno b\) , onda \(c\paralelno a\paralelno b\) (prema teoremu iz dijela teorijske reference "Geometrija u prostoru" \(\rightarrow\) "Uvod u stereometriju, paralelizam").
Označite točke \(A\in a, B\in b\) tako da \(AB\perp a, AB\perp b\) (ovo je moguće jer \(a\paralelno b\) ). Zabilježite \(C\in c\) tako da je \(BC\perp c\) , dakle \(BC\perp b\) . Zatim \(AC\perp c\) i \(AC\perp a\) .
Doista, budući da je \(AB\perp b, BC\perp b\) , tada je \(b\) okomito na ravninu \(ABC\) . Budući da su \(c\paralelno a\paralelno b\) , tada su pravci \(a\) i \(c\) također okomiti na ravninu \(ABC\) , a time i svaki pravac iz ove ravnine, posebno, linija \ (AC\) .
Otuda slijedi da \(\kut BAC=\kut (\pi_1, \pi_2)\), \(\kut ABC=\kut (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\kut BCA=\kut (\pi_3, \pi_1)\). Ispada da je \(\trokut ABC\) pravokutan, što znači \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]
Odgovor: 0,2
Zadatak 3 #2877
Razina zadatka: Teža od ispita
Zadane su linije \(a, b, c\) koje se sijeku u jednoj točki, a kut između bilo koje dvije od njih jednak je \(60^\circ\) . Pronađite \(\cos^(-1)\alpha\) , gdje je \(\alpha\) kut između ravnine koju čine prave \(a\) i \(c\) i ravnine koju čine pravci \(b\ ) i \(c\) . Odgovor dajte u stupnjevima.
Neka se pravci sijeku u točki \(O\) . Budući da je kut između bilo koje dvije od njih jednak \(60^\circ\) , tada sva tri pravca ne mogu ležati u istoj ravnini. Označimo točku \(A\) na liniji \(a\) i nacrtajmo \(AB\perp b\) i \(AC\perp c\) . Zatim \(\trokut AOB=\trokut AOC\) kao pravokutni po hipotenuzi i oštrom kutu. Stoga \(OB=OC\) i \(AB=AC\) .
Učinimo \(AH\perp (BOC)\) . Zatim prema teoremu o tri okomice \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Budući da je \(AB=AC\) , onda \(\trokut AHB=\trokut AHC\) kao pravokutni uz hipotenuzu i krak. Prema tome, \(HB=HC\) . Dakle, \(OH\) je simetrala kuta \(BOC\) (budući da je točka \(H\) jednako udaljena od stranica kuta).
Imajte na umu da smo na taj način također konstruirali linearni kut diedralnog kuta kojeg čine ravnina koju čine prave \(a\) i \(c\) i ravnina koju čine pravci \(b\) i \( c\) . Ovo je kut \(ACH\) .
Nađimo ovaj kutak. Budući da smo točku \(A\) odabrali proizvoljno, onda je izaberimo tako da je \(OA=2\) . Zatim u pravokutnom \(\trokutu AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Budući da je \(OH\) simetrala, onda \(\kut HOC=30^\circ\) , dakle, u pravokutnom \(\trokutu HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Zatim iz pravokutnog \(\trokuta ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Odgovor: 3
Zadatak 4 #2910
Razina zadatka: Teža od ispita
Ravnine \(\pi_1\) i \(\pi_2\) sijeku se duž linije \(l\) , koja sadrži točke \(M\) i \(N\) . Segmenti \(MA\) i \(MB\) okomiti su na pravu \(l\) i leže u ravninama \(\pi_1\) i \(\pi_2\), redom, i \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Pronađite \(3\cos\alpha\) , gdje je \(\alpha\) kut između ravnina \(\pi_1\) i \(\pi_2\) .
Trokut \(AMN\) je pravokutni, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , odakle \ Trokut \(BMN\) je pravokutni, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , odakle \ Pišemo kosinusni teorem za trokut \(AMB\): \ Zatim \ Budući da je kut \(\alpha\) između ravnina oštar kut, a \(\kut AMB\) je tup, tada je \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Zatim \
Odgovor: 1,25
Zadatak 5 #2911
Razina zadatka: Teža od ispita
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) je paralelepiped, \(ABCD\) je kvadrat sa stranom \(a\), točka \(M\) je osnova okomice ispuštene iz točke \(A_1\) na ravninu \ ((ABCD)\) , štoviše, \(M\) je presjek dijagonala kvadrata \(ABCD\) . Poznato je da \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Pronađite kut između ravnina \((ABCD)\) i \((AA_1B_1B)\) . Odgovor dajte u stupnjevima.
Konstruiramo \(MN\) okomito na \(AB\) kao što je prikazano na slici.
Budući da je \(ABCD\) kvadrat sa stranicom \(a\) i \(MN\perp AB\) i \(BC\perp AB\) , tada \(MN\paralelno BC\) . Budući da je \(M\) presjek dijagonala kvadrata, tada je \(M\) središnja točka \(AC\) , dakle, \(MN\) je srednja crta i \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) je projekcija \(A_1N\) na ravninu \((ABCD)\) , a \(MN\) je okomito na \(AB\) , tada, prema teoremu o tri okomice, \( A_1N\) okomito je na \(AB \), a kut između ravnina \((ABCD)\) i \((AA_1B_1B)\) je \(\kut A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\ugao A_1NM = 60^(\circ)\]
Odgovor: 60
Zadatak 6 #1854
Razina zadatka: Teža od ispita
U kvadratu \(ABCD\) : \(O\) je presjek dijagonala; \(S\) nije u ravnini kvadrata, \(SO \perp ABC\) . Pronađite kut između ravnina \(ASD\) i \(ABC\) ako su \(SO = 5\) i \(AB = 10\) .
Pravokutni trokut \(\trokut SAO\) i \(\trokut SDO\) jednaki su po dvije strane i kut između njih (\(SO \perp ABC\) \(\Strelica desno\) \(\kut SOA = \kut SOD = 90^\krug\); \(AO = DO\) , jer \(O\) je točka presjeka dijagonala kvadrata, \(SO\) je zajednička stranica) \(\Strelica desno\) \(AS = SD\) \(\Strelica desno\) \(\trokut ASD\) je jednakokračan. Točka \(K\) je središnja točka \(AD\) , tada je \(SK\) visina u trokutu \(\trokut ASD\) , a \(OK\) je visina u trokutu \ (AOD\) \(\ Desno\) ravnina \(SOK\) okomita je na ravnine \(ASD\) i \(ABC\) \(\Strelica desno\) \(\kut SKO\) je linearni kut jednak do traženog diedralnog kuta.
U \(\trokut SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Strelica desno\) \(\trokut SOK\) je jednakokračni pravokutni trokut \(\Strelica desno\) \(\kut SKO = 45^\circ\) .
Odgovor: 45
Zadatak 7 #1855
Razina zadatka: Teža od ispita
U kvadratu \(ABCD\) : \(O\) je presjek dijagonala; \(S\) nije u ravnini kvadrata, \(SO \perp ABC\) . Pronađite kut između ravnina \(ASD\) i \(BSC\) ako je \(SO = 5\) i \(AB = 10\) .
Pravokutni trokut \(\trokut SAO\) , \(\trokut SDO\) , \(\trokut SOB\) i \(\trokut SOC\) jednaki su po dvije stranice i kut između njih (\(SO \perp ABC) \) \(\Strelica desno\) \(\ kut SOA = \ kut SOD = \ kut SOB = \ kut SOC = 90^\krug\); \(AO = OD = OB = OC\) , jer \(O\) je točka presjeka dijagonala kvadrata, \(SO\) je zajednička stranica) \(\Strelica desno\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Strelica desno\) \(\trokut ASD\) i \(\trokut BSC\) su jednakokračne. Točka \(K\) je središnja točka \(AD\) , tada je \(SK\) visina u trokutu \(\trokut ASD\) , a \(OK\) je visina u trokutu \ (AOD\) \(\ Desno\) ravnina \(SOK\) okomita je na ravninu \(ASD\) . Točka \(L\) je središnja točka \(BC\) , tada je \(SL\) visina trokuta \(\trokut BSC\) , a \(OL\) je visina trokuta \ (BOC\) \(\ Desno\) ravnina \(SOL\) (aka ravnina \(SOK\) ) okomita je na ravninu \(BSC\) . Tako dobivamo da je \(\kut KSL\) linearni kut jednak željenom diedralnom kutu.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Strelica desno\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - visine u jednakim jednakokračnim trokutima, koje se mogu pronaći pomoću Pitagorinog teorema: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). To se vidi \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Strelica desno\) za trokut \(\trokut KSL\) vrijedi inverzni Pitagorin teorem \(\Rightarrow\) \(\trokut KSL\) je pravokutni trokut \(\Strelica desno\) \(\ugao KSL = 90^\ krug\) .
Odgovor: 90
Priprema učenika za ispit iz matematike, u pravilu, počinje ponavljanjem osnovnih formula, uključujući one koje vam omogućuju određivanje kuta između ravnina. Unatoč činjenici da je ovaj dio geometrije dovoljno detaljno obrađen u okviru školski kurikulum, mnogi maturanti trebaju ponoviti osnovno gradivo. Razumijevajući kako pronaći kut između ravnina, srednjoškolci će tijekom rješavanja problema moći brzo izračunati točan odgovor i računati na pristojne ocjene na temelju jedinstvenog državnog ispita.
Glavne nijanse
Kako pitanje kako pronaći diedralni kut ne uzrokuje poteškoće, preporučujemo da slijedite algoritam rješenja koji će vam pomoći da se nosite sa zadacima ispita.
Najprije morate odrediti liniju duž koje se sijeku ravnine.
Zatim na ovoj liniji trebate odabrati točku i nacrtati dvije okomice na nju.
Sljedeći korak je pronalaženje trigonometrijska funkcija diedralni kut, koji tvore okomice. Najprikladnije je to učiniti uz pomoć dobivenog trokuta, čiji je kut dio.
Odgovor će biti vrijednost kuta ili njegova trigonometrijska funkcija.
Priprema za ispit zajedno sa Shkolkovom ključ je vašeg uspjeha
U procesu učenja uoči polaganja ispita, mnogi studenti suočeni su s problemom pronalaženja definicija i formula koje vam omogućuju izračunavanje kuta između 2 ravnine. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci točno kada je potreban. A da biste pronašli potrebne formule i primjere njihove ispravne primjene, uključujući i pronalaženje kuta između ravnina na Internetu, ponekad morate potrošiti puno vremena.
Matematički portal "Shkolkovo" nudi novi pristup pripremi za državni ispit. Nastava na našoj web stranici pomoći će učenicima da prepoznaju najteže dijelove za sebe i popune praznine u znanju.
Pripremili smo i jasno prezentirali sav potreban materijal. Osnovne definicije i formule prikazane su u odjeljku "Teorijska referenca".
Radi boljeg usvajanja gradiva predlažemo i vježbanje odgovarajućih vježbi. Veliki izbor zadataka različitog stupnja složenosti, na primjer, prikazan je u odjeljku Katalog. Svi zadaci sadrže detaljan algoritam za pronalaženje točnog odgovora. Popis vježbi na stranici se stalno nadopunjuje i ažurira.
Vježbajući u rješavanju zadataka u kojima je potrebno pronaći kut između dvije ravnine, učenici imaju priliku spremiti bilo koji zadatak online u "Favorite". Zahvaljujući tome, moći će mu se vraćati potreban broj puta i s njim razgovarati o tijeku njegove odluke školski učitelj ili tutor.
Za korištenje pregleda prezentacija stvorite Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
DVOSTRUKI KUT Učitelj matematike GOU srednja škola №10 Eremenko M.A.
Glavni ciljevi lekcije: Upoznati pojam diedralnog kuta i njegovog linearnog kuta Razmotriti zadatke za primjenu ovih pojmova
Definicija: Diedralni kut je lik kojeg čine dvije poluravnine sa zajedničkom graničnom linijom.
Vrijednost diedralnog kuta je vrijednost njegovog linearnog kuta. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB je linearni kut diedralnog kuta ACD B
Dokažimo da su svi linearni kutovi diedralnog kuta međusobno jednaki. Promotrimo dva linearna kuta AOB i A 1 OB 1 . Zrake OA i OA 1 leže na istoj strani i okomite su na OO 1, pa su suusmjerene. Zrake OB i OB 1 također su suusmjerene. Stoga je ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (kao kutovi s kosmjernim stranicama).
Primjeri diedralnih kutova:
Definicija: Kut između dviju ravnina koje se sijeku je najmanji od diedralnih kutova koje čine te ravnine.
Zadatak 1: U kocki A ... D 1 pronađite kut između ravnina ABC i CDD 1 . Odgovor: 90o.
Zadatak 2: U kocki A ... D 1 pronađite kut između ravnina ABC i CDA 1 . Odgovor: 45o.
Zadatak 3: U kocki A ... D 1 pronađite kut između ravnina ABC i BDD 1 . Odgovor: 90o.
Zadatak 4: U kocki A ... D 1 pronađite kut između ravnina ACC 1 i BDD 1 . Odgovor: 90o.
Zadatak 5: U kocki A ... D 1 pronađite kut između ravnina BC 1 D i BA 1 D . Rješenje: Neka je O središte B D. A 1 OC 1 je linearni kut diedralnog kuta A 1 B D C 1 .
Problem 6: U tetraedru DABC svi su bridovi jednaki, točka M je središte brida AC. Dokažite da je ∠ DMB linearni kut diedralnog kuta BACD .
Rješenje: Trokuti ABC i ADC su pravilni, pa je BM ⊥ AC i DM ⊥ AC i stoga je ∠ DMB linearni kut diedralnog kuta DACB .
Zadatak 7: Iz vrha B trokuta ABC, čija stranica AC leži u ravnini α, povučena je okomica BB 1 na ovu ravninu. Nađite udaljenost od točke B do pravca AC i do ravnine α ako je AB=2, ∠BAC=150 0 i diedralni kut BACB 1 je 45 0 .
Rješenje: ABC je tupokutni trokut s tupim kutom A, pa osnovica visine BK leži na produžetku stranice AC. VC je udaljenost od točke B do AC. BB 1 - udaljenost od točke B do ravnine α
2) Budući da je AS ⊥VK, onda je AS⊥KV 1 (prema teoremu obrnuto teoremu o tri okomice). Stoga je ∠VKV 1 linearni kut diedralnog kuta BACB 1 i ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d
TEKST OBJAŠNJENJE LEKCIJE:
U planimetriji su glavni objekti linije, segmenti, zrake i točke. Zrake koje izlaze iz jedne točke tvore jedan od svojih geometrijskih oblika – kut.
Znamo da se linearni kut mjeri u stupnjevima i radijanima.
U stereometriji se objektima dodaje ravnina. Lik kojeg čine pravac a i dvije poluravnine sa zajedničkom granicom a koje u geometriji ne pripadaju istoj ravnini naziva se diedralni kut. Poluravnine su lica diedralnog kuta. Ravna crta a je rub diedralnog kuta.
Diedarski kut, kao i linearni kut, može se imenovati, mjeriti, graditi. To je ono što ćemo saznati u ovoj lekciji.
Pronađite diedralni kut na modelu tetraedra ABCD.
Diedarski kut s rubom AB naziva se CABD, gdje točke C i D pripadaju različitim stranama kuta, a brid AB se naziva sredinom
Oko nas postoji mnogo objekata s elementima u obliku diedralnog kuta.
U mnogim gradovima u parkovima su postavljene posebne klupe za pomirenje. Klupa je izrađena u obliku dvije nagnute ravnine koje se konvergiraju prema središtu.
U izgradnji kuća često se koristi takozvani zabatni krov. Krov ove kuće izrađen je u obliku diedralnog kuta od 90 stupnjeva.
Diedralni kut se također mjeri u stupnjevima ili radijanima, ali kako ga izmjeriti.
Zanimljivo je da krovovi kuća leže na rogovima. A sanduk rogova tvori dvije krovne padine pod određenim kutom.
Prebacimo sliku na crtež. Na crtežu, za pronalaženje diedralnog kuta, na njegovom je rubu označena točka B. Iz te točke povučene su dvije grede BA i BC okomito na rub kuta. Kut ABC koji čine te zrake naziva se linearni kut diedralnog kuta.
Stupanjska mjera diedralnog kuta jednaka je stupnjskoj mjeri njegovog linearnog kuta.
Izmjerimo kut AOB.
Mjera stupnja zadanog diedralnog kuta je šezdeset stupnjeva.
Linearni kutovi za diedarski kut mogu se nacrtati u beskonačnom broju, važno je znati da su svi jednaki.
Promotrimo dva linearna kuta AOB i A1O1B1. Zrake OA i O1A1 leže na istoj strani i okomite su na pravu OO1, pa su suusmjerene. Zrake OB i O1B1 su također suusmjerene. Stoga je kut AOB jednak kutu A1O1B1 kao kutovi sa susmjernim stranicama.
Dakle, diedralni kut karakterizira linearni kut, a linearni kutovi su oštar, tupi i pravi. Razmotrimo modele diedralnih kutova.
Tupi kut je onaj čiji je linearni kut između 90 i 180 stupnjeva.
Pravi kut ako mu je linearni kut 90 stupnjeva.
Akutni kut, ako je njegov linearni kut između 0 i 90 stupnjeva.
Dokažimo jedno od važnih svojstava linearnog kuta.
Ravnina linearnog kuta okomita je na rub diedralnog kuta.
Neka je kut AOB linearni kut zadanog diedralnog kuta. Po konstrukciji su zrake AO i OB okomite na pravu a.
Ravnina AOB prolazi kroz dva pravca koja se sijeku AO i OB prema teoremu: ravnina prolazi kroz dva pravca koja se sijeku, i to samo jedan.
Pravac a je okomit na dva pravca koja se sijeku koja leže u ovoj ravnini, što znači da je, po predznaku okomite pravca i ravnine, pravac a okomit na ravninu AOB.
Za rješavanje problema važno je znati izgraditi linearni kut zadanog diedralnog kuta. Konstruiraj linearni kut diedralnog kuta s bridom AB za tetraedar ABCD.
Govorimo o diedralnom kutu, koji tvori, prvo, brid AB, jedna faseta ABD, druga faseta ABC.
Evo jednog načina za izgradnju.
Nacrtajmo okomicu iz točke D na ravninu ABC, označimo točku M kao osnovu okomice. Podsjetimo da se u tetraedru baza okomice poklapa sa središtem upisane kružnice u bazi tetraedra.
Nacrtajte nagib od točke D okomito na rub AB, označite točku N kao bazu nagiba.
U trokutu DMN segment NM bit će projekcije kosog DN na ravninu ABC. Prema teoremu o tri okomice, brid AB bit će okomit na projekciju NM.
To znači da su stranice kuta DNM okomite na brid AB, što znači da je konstruirani kut DNM traženi linearni kut.
Razmotrimo primjer rješavanja problema izračunavanja diedralnog kuta.
Jednakokračni trokut ABC i pravilni trokut ADB ne leže u istoj ravnini. Segment CD okomit je na ravninu ADB. Nađite diedralni kut DABC ako je AC=CB=2cm, AB=4cm.
Diedralni kut DABC jednak je njegovom linearnom kutu. Izgradimo ovaj kutak.
Nacrtajmo kosi SM okomit na brid AB, budući da je trokut ACB jednakokračan, tada će se točka M poklopiti sa središtem brida AB.
Pravac CD okomit je na ravninu ADB, što znači da je okomit na pravac DM koji leži u ovoj ravnini. A segment MD je projekcija kosog SM na ravninu ADB.
Pravac AB po konstrukciji je okomit na kosi CM, što znači da je po teoremu o tri okomice okomit na projekciju MD.
Dakle, dvije okomice CM i DM nalaze se na brid AB. Dakle, oni tvore linearni kut SMD diedralnog kuta DABC. I ostaje nam da ga pronađemo iz pravokutnog trokuta SDM.
Budući da je odsječak SM medijan i visina jednakokračnog trokuta ASV, onda je prema Pitagorinom teoremu krak SM 4 cm.
Iz pravokutnog trokuta DMB, prema Pitagorinom teoremu, krak DM jednak je dvama korijenima od tri.
Kosinus kuta iz pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjednog kraka MD i hipotenuze CM i jednak je trima korijenima od tri po dva. Dakle, kut CMD je 30 stupnjeva.
Stereometrija
Poglavlje 9
9.8. Diedralni kut i njegov linearni kut
Ravnina je podijeljena ravnom linijom koja u njoj leži na dvije poluravnine.
Definicija 1
Lik koji čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne ravne, zajedno s dijelom prostora omeđenog tim poluravninama, naziva se diedralni kut. Poluravnine nazivaju se lica, a njihova zajednička ravna linija naziva se brid diedralnog kuta.
Lica diedralnog kuta dijele prostor na dva područja: unutarnju regiju zadanog diedralnog kuta i njegovu vanjsku regiju.
Definicija 2
Kaže se da su dva diedralna kuta jednaka ako se jedan od njih može kombinirati s drugim na način da su njihova unutarnja područja poravnata.
Definicija 3
Kut između dviju okomica na rub diedralnog kuta, povučen u njegovim stranama iz jedne točke brida, naziva se linearni kut diedralnog kuta.
jedan . Kut () koji nastaje presjekom diedralnog kuta ravninom okomitom na njegov rub je linearni kut zadanog diedralnog kuta.
2. Vrijednost linearnog kuta ne ovisi o položaju njegova vrha na bridu, tj.
3 . Linearni kutovi jednakih diedralnih kutova su jednaki (slijedi iz definicija 2 i 3).
Definicija 4
Od dva diedralna kuta, onaj koji ima veći (manji) linearni kut naziva se veći (manji). Za mjerne jedinice diedarskih kutova uzimaju se takvi diedrski kutovi čiji su linearni kutovi jednaki
Pojam diedralnog kuta
Da bismo uveli pojam diedralnog kuta, prvo se prisjetimo jednog od aksioma stereometrije.
Bilo koja ravnina može se podijeliti na dvije poluravnine pravca $a$ koje leži u ovoj ravnini. U ovom slučaju točke koje leže u istoj poluravni nalaze se na istoj strani prave $a$, a točke koje leže u različitim poluravninama nalaze se na suprotnim stranama prave $a$ (slika 1. ).
Slika 1.
Na ovom aksiomu temelji se princip konstruiranja diedralnog kuta.
Definicija 1
Figura se zove diedralni kut ako se sastoji od pravca i dvije poluravnine ovog pravca koje ne pripadaju istoj ravnini.
U ovom slučaju nazivaju se poluravnine diedralnog kuta lica, i ravna linija koja razdvaja poluravnine - diedralni rub(Sl. 1).
Slika 2. Diedral kut
Stupanj mjera diedralnog kuta
Definicija 2
Biramo proizvoljnu točku $A$ na rubu. Kut između dvije linije koje leže u različitim poluravninama, okomito na rub i sijeku se u točki $A$ naziva se linearni kut diedral kut(slika 3).
Slika 3
Očito, svaki diedralni kut ima beskonačan broj linearnih kutova.
Teorem 1
Svi linearni kutovi jednog diedralnog kuta su međusobno jednaki.
Dokaz.
Razmotrimo dva linearna kuta $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (slika 4).
Slika 4
Budući da zrake $OA$ i $(OA)_1$ leže u istoj poluravnini $\alpha $ i okomite su na jednu ravnu liniju, one su kosmjerne. Budući da zrake $OB$ i $(OB)_1$ leže u istoj poluravnini $\beta $ i okomite su na jednu ravnu liniju, one su kosmjerne. Stoga
\[\kut AOB=\kut A_1(OB)_1\]
Zbog proizvoljnosti izbora linearnih kutova. Svi linearni kutovi jednog diedralnog kuta su međusobno jednaki.
Teorem je dokazan.
Definicija 3
Stupanjska mjera diedralnog kuta je stupanjska mjera linearnog kuta diedralnog kuta.
Primjeri zadataka
Primjer 1
Neka su nam zadane dvije neokomite ravnine $\alpha $ i $\beta $ koje se sijeku duž pravca $m$. Točka $A$ pripada ravnini $\beta $. $AB$ je okomica na pravac $m$. $AC$ je okomita na ravninu $\alpha $ (točka $C$ pripada $\alpha $). Dokažite da je kut $ABC$ linearni kut diedralnog kuta.
Dokaz.
Nacrtajmo sliku prema stanju zadatka (slika 5.).
Slika 5
Da bismo to dokazali, prisjetimo se sljedećeg teorema
Teorem 2: Ravna crta koja prolazi kroz bazu nagnutog, okomita na nju, okomita je na njegovu projekciju.
Budući da je $AC$ okomita na ravninu $\alpha $, tada je točka $C$ projekcija točke $A$ na ravninu $\alpha $. Stoga je $BC$ projekcija kosog $AB$. Prema teoremu 2, $BC$ je okomito na brid diedralnog kuta.
Tada kut $ABC$ zadovoljava sve zahtjeve za definiranje linearnog kuta diedralnog kuta.
Primjer 2
Diedralni kut je $30^\circ$. Na jednoj od strana nalazi se točka $A$, koja je udaljena $4$ cm od druge strane. Pronađite udaljenost od točke $A$ do ruba diedralnog kuta.
Odluka.
Pogledajmo sliku 5.
Po pretpostavci imamo $AC=4\ cm$.
A-priorat mjera stupnja diedarski kut, imamo da je kut $ABC$ jednak $30^\circ$.
Trokut $ABC$ je pravokutni trokut. Po definiciji sinusa oštrog kuta
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
