Prije nego počnete proučavati pojam lopte, koliki je volumen lopte, razmotrite formule za izračun njegovih parametara, morate se sjetiti koncepta kruga, koji je ranije proučavan tijekom geometrije. Uostalom, većina radnji u trodimenzionalnom prostoru su slične ili proizlaze iz dvodimenzionalne geometrije, prilagođene izgledu treće koordinate i trećeg stupnja.
Što je krug?
Krug je lik na kartezijskoj ravnini (prikazano na slici 1); najčešće definicija zvuči kao "lokus svih točaka na ravnini, udaljenost od koje do zadane točke (centra) ne prelazi određeni nenegativan broj koji se naziva radijus."
Kao što možete vidjeti na slici, točka O je središte figure, a skup apsolutno svih točaka koje ispunjavaju kružnicu, na primjer, A, B, C, K, E, nisu dalje od zadanog polumjera ( nemojte ići dalje od kruga prikazanog na slici .2).
Ako je polumjer nula, tada se krug pretvara u točku.
Problemi s razumijevanjem
Učenici često brkaju ove pojmove. Lako je zapamtiti pomoću analogije. Obruč koji djeca vrte na satu tjelesnog je krug. Shvaćajući to, ili zapamtivši da su prva slova obje riječi "O", djeca će mnemonički razumjeti razliku.
Uvođenje pojma "lopta"
Kugla je tijelo (slika 3), omeđeno određenom sfernom površinom. Kakva je to "sferna površina" postat će jasno iz njezine definicije: to je mjesto svih točaka na površini, udaljenost od koje do određene točke (centra) ne prelazi određeni nenegativan broj koji se naziva polumjer. Kao što vidite, pojmovi kruga i sferne površine su slični, samo se prostori u kojima se nalaze razlikuju. Ako kuglu prikažemo u dvodimenzionalnom prostoru, dobivamo kružnicu čija je granica kružnica (kod lopte je granica sferna površina). Na slici vidimo sfernu plohu polumjera OA = OB.
Lopta zatvorena i otvorena
U vektorskim i metričkim prostorima razmatraju se i dva pojma vezana uz sfernu plohu. Ako lopta uključuje ovu sferu u sebi, onda se zove zatvorena, a ako ne, onda je u ovom slučaju lopta otvorena. To su "napredniji" koncepti, proučavaju se na institutima kada se uvode u analizu. Za jednostavnu, čak i svakodnevnu upotrebu, bit će dovoljne one formule koje se proučavaju na tečaju geometrije čvrstog tijela 10-11 razreda. Upravo o ovim pojmovima koji su dostupni gotovo svakoj prosječno obrazovanoj osobi će biti riječi dalje.
Koncepti koje trebate znati za sljedeće izračune
polumjer i promjer.
Polumjer kugle i njezin promjer određuju se na isti način kao i za kružnicu.
Radijus - segment koji povezuje bilo koju točku na granici lopte i točku koja je središte lopte.
Promjer - segment koji povezuje dvije točke na granici kugle i prolazi kroz njezino središte. Slika 5a jasno pokazuje koji su segmenti polumjeri kugle, a slika 5b prikazuje promjere kugle (segmenti koji prolaze kroz točku O).
Presjeci u kugli (lopta)
Svaki dio kugle je krug. Ako prolazi kroz središte kugle, tada se zove veliki krug (krug promjera AB), preostali dijelovi se nazivaju malim krugovima (krug promjera DC).
Površina ovih krugova izračunava se pomoću sljedećih formula:
Ovdje je S oznaka područja, R je polumjer, D je promjer. Postoji i konstanta jednaka 3,14. Ali nemojte se zbuniti da se za izračunavanje površine velikog kruga koristi polumjer ili promjer same kugle (sfere), a za određivanje površine potrebne su dimenzije polumjera malog kruga.
Postoji beskonačan broj takvih presjeka koji prolaze kroz dvije točke istog promjera koje leže na granici sfere. Kao primjer, naš planet: dvije točke na sjevernom i južnom polu, koje su krajevi Zemljine osi, i u geometrijskom smislu - krajevi promjera, i meridijani koji prolaze kroz ove dvije točke (slika 7) . To jest, broj velikih krugova u blizini sfere teži beskonačnosti u količini.
dijelovi lopte
Ako se "komad" odsječe od kugle uz pomoć neke ravnine (slika 8), tada će se zvati sferni ili sferni segment. Imat će visinu - okomitu od središta rezne ravnine na sfernu plohu O 1 K. Točka K na sfernoj površini, do koje dolazi visina, naziva se vrh sfernog segmenta. I mali krug polumjera O 1 T (u ovom slučaju, prema slici, ravnina nije prošla kroz središte kugle, ali ako presjek prolazi kroz središte, tada će kružnica presjeka biti velika) , nastao pri odsijecanju sfernog segmenta, nazvat ćemo bazu naše komadne kuglice - sferni segment.
Ako svaku točku baze sfernog segmenta povežemo sa središtem kugle, dobivamo lik koji se naziva "sferni sektor".
Ako kroz kuglu prolaze dvije ravnine, koje su međusobno paralelne, onda se onaj dio kugle koji je zatvoren između njih naziva sferni sloj (slika 9, na kojoj je prikazana kugla s dvije ravnine i zasebno sferni sloj).
Površina (naglašeni dio na slici 9. desno) ovog dijela kugle naziva se pojas (opet, radi boljeg razumijevanja, možemo povući analogiju s globusom, odnosno s njegovim klimatskim zonama - arktičkim, tropskim, umjerenim , itd.), a kružnice presjeka bit će sloj osnovne kugle. Visina sloja - dio promjera povučen okomito na rezne ravnine iz središta baza. Postoji i koncept sferne kugle. Nastaje kada ravnine koje su međusobno paralelne ne sijeku kuglu, već je dodiruju u jednoj točki.
Formule za izračunavanje volumena lopte i njezine površine
Lopta se formira rotacijom oko fiksnog promjera polukruga ili kruga. Za izračunavanje različitih parametara ovog objekta nije potrebno toliko podataka.
Volumen lopte, čija je formula za izračun gore navedena, izvedena je integracijom. Idemo preko bodova.
Razmatramo kružnicu u dvodimenzionalnoj ravnini, jer, kao što je gore spomenuto, to je krug koji je u osnovi konstrukcije lopte. Koristimo samo njegov četvrti dio (slika 10).
Uzimamo kružnicu s jediničnim polumjerom i središtem u ishodištu. Jednadžba takvog kruga je sljedeća: X 2 + Y 2 \u003d R 2. Odavde izražavamo Y: Y 2 \u003d R 2 - X 2.
Svakako imajte na umu da je rezultirajuća funkcija nenegativna, kontinuirana i opadajuća na segmentu X (0; R), jer vrijednost X u slučaju kada razmatramo četvrtinu kruga leži od nule do vrijednosti polumjera, odnosno do jednog.
Sljedeće što radimo je rotiranje naše četvrtine kruga oko x-ose. Kao rezultat, dobivamo hemisferu. Da bismo odredili njegov volumen, pribjegavamo metodama integracije.
Budući da je ovo obujam samo hemisfere, udvostručimo rezultat, iz čega dobivamo da je volumen lopte jednak:
Male nijanse
Ako trebate izračunati volumen lopte u smislu njezina promjera, zapamtite da je polumjer polovica promjera i zamijenite ovu vrijednost u gornju formulu.
Također, formula za volumen kugle može se doći kroz područje njezine granične površine - kugle. Podsjetimo da se površina kugle izračunava po formuli S = 4πr 2, integrirajući koju, također dolazimo do gornje formule za volumen lopte. Iz istih formula možete izraziti polumjer ako uvjet problema sadrži vrijednost volumena.
Mnoga tijela koja vidimo u životu ili za koja smo čuli imaju sferni oblik, kao što je nogometna lopta, kap vode koja pada tijekom kiše ili naš planet. S tim u vezi, važno je razmotriti pitanje kako pronaći volumen lopte.
Slika lopte u geometriji
Prije nego odgovorimo na pitanje lopte, pogledajmo pobliže ovo tijelo. Neki ljudi to brkaju sa kuglom. Izvana su zaista slični, ali lopta je predmet ispunjen iznutra, dok je kugla samo vanjska ljuska lopte beskonačno male debljine.
S gledišta geometrije, lopta se može predstaviti skupom točaka, a one od njih koje leže na njezinoj površini (tvore kuglu) nalaze se na istoj udaljenosti od središta lika. Ova udaljenost naziva se radijus. Zapravo, radijus je jedini parametar s kojim možete opisati bilo koja svojstva lopte, kao što su njezina površina ili volumen.
Na slici ispod prikazan je primjer lopte.
Ako pomno pogledate ovaj idealni okrugli predmet, možete pogoditi kako ga dobiti iz običnog kruga. Da biste to učinili, dovoljno je rotirati ovu ravnu figuru oko osi koja se podudara s njegovim promjerom.
Jedan od poznatih antičkih književnih izvora, u kojem se dovoljno detaljno razmatraju svojstva ove trodimenzionalne figure, je djelo grčkog filozofa Euklida - "Elementi".
Površina i volumen
Uzimajući u obzir pitanje kako pronaći volumen kuglice, osim ove količine, treba dati i formulu za njezinu površinu, budući da se oba izraza mogu povezati jedan s drugim, kao što će biti prikazano u nastavku.
Dakle, za izračunavanje volumena lopte treba primijeniti jednu od sljedeće dvije formule:
- V = 4/3 *pi * R3;
- V = 67/16 * R3.
Ovdje je R polumjer figure. Prva od gornjih formula je točna, međutim, da biste to iskoristili, morate koristiti odgovarajući broj decimalnih mjesta za broj pi. Drugi izraz daje prilično dobar rezultat, koji se od prvog razlikuje za samo 0,03%. Za niz praktičnih problema ta je točnost više nego dovoljna.
Jednaka je ovoj vrijednosti za kuglu, odnosno izražava se formulom S = 4 * pi * R2. Ako odavde izrazimo polumjer, a zatim ga zamijenimo u prvu formulu za volumen, tada ćemo dobiti: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi)).
Stoga smo razmatrali pitanja kako pronaći volumen lopte kroz polumjer i kroz površinu njezine površine. Ovi se izrazi mogu uspješno primijeniti u praksi. U nastavku članka dat ćemo primjer njihove uporabe.
Problem s kapljicama kiše
Voda, kada je u nultom stanju gravitacije, poprima oblik sferne kapi. To je zbog prisutnosti sila površinske napetosti, koje nastoje minimizirati površinu. Lopta, pak, ima najmanju vrijednost među svim geometrijskim oblicima iste mase.
Za vrijeme kiše, kap vode koja pada u nultu gravitaciju, pa joj je oblik lopte (ovdje zanemarujemo silu otpora zraka). Potrebno je odrediti volumen, površinu i polumjer ove kapi ako se zna da je njena masa 0,05 grama.
Volumen je lako odrediti, za to trebate podijeliti poznatu masu s gustoćom H 2 O (ρ \u003d 1 g / cm 3). Zatim V = 0,05 / 1 = 0,05 cm 3.
Znajući kako pronaći volumen lopte, trebali biste izraziti polumjer iz formule i zamijeniti rezultirajuću vrijednost, imamo: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4 * 3,1416)) = 0,2285 cm.
Sada zamjenjujemo vrijednost radijusa u izraz za površinu figure, dobivamo: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 cm 2.
Dakle, znajući kako pronaći volumen lopte, dobili smo odgovore na sva pitanja problema: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 i V = 0,05 cm 3.
U geometriji lopta definira se kao određeno tijelo, koje je skup svih točaka u prostoru koje se nalaze od središta na udaljenosti koja ne prelazi zadanu, a naziva se radijus lopte. Površina kugle naziva se kugla, a nastaje rotacijom polukruga oko svog promjera, koji ostaje nepomičan.
S ovim geometrijskim tijelom se vrlo često susreću projektanti i arhitekti, koji često moraju izračunati volumen kugle. Primjerice, u dizajnu prednjeg ovjesa velike većine modernih automobila koriste se takozvani kuglični ležajevi, u kojima su, kao što možete pretpostaviti iz samog naziva, kuglice jedan od glavnih elemenata. Uz njihovu pomoć spojene su glavčine upravljanih kotača i poluga. Koliko će to biti ispravno izračunati njihov volumen uvelike ovisi ne samo o trajnosti ovih jedinica i ispravnosti njihovog rada, već i o sigurnosti prometa.
U tehnologiji se široko koriste takvi dijelovi kao što su kuglični ležajevi, uz pomoć kojih se osovine pričvršćuju u fiksne dijelove različitih jedinica i sklopova i osigurava njihova rotacija. Treba napomenuti da prilikom njihovog izračuna dizajneri trebaju pronaći volumen kugle(ili bolje rečeno, loptice smještene u kavez) s visokim stupnjem točnosti. Što se tiče proizvodnje metalnih kuglica za ležajeve, one se izrađuju od metalne žice složenim tehnološkim postupkom koji uključuje faze oblikovanja, stvrdnjavanja, grubog brušenja, završnog lepljenja i čišćenja. Usput, one kuglice koje su uključene u dizajn svih kemijskih olovaka izrađene su potpuno istom tehnologijom.
Nerijetko se kugle koriste i u arhitekturi, a tamo su najčešće ukrasni elementi zgrada i drugih građevina. U većini slučajeva izrađuju se od granita, što često zahtijeva puno ručnog rada. Naravno, nije potrebno promatrati tako visoku preciznost u izradi ovih kuglica kao što su one koje se koriste u raznim jedinicama i mehanizmima.
Tako zanimljiva i popularna igra kao što je biljar nezamisliva je bez lopti. Za njihovu proizvodnju koriste se različiti materijali (kost, kamen, metal, plastika) te se koriste različiti tehnološki procesi. Jedan od glavnih zahtjeva za loptice za biljar je njihova visoka čvrstoća i sposobnost da izdrže velika mehanička opterećenja (prvenstveno udar). Osim toga, njihova površina mora biti točna kugla kako bi se osiguralo glatko i ravnomjerno kotrljanje po površini biljarskih stolova.
Konačno, niti jedno novogodišnje ili božićno drvce ne može bez takvih geometrijskih tijela kao što su kuglice. Ovi se ukrasi izrađuju u većini slučajeva od stakla puhanjem, a pri njihovoj izradi najveća se pozornost ne pridaje dimenzijskoj točnosti, već estetici proizvoda. Pritom je tehnološki proces gotovo potpuno automatiziran, a božićne kuglice pakiraju se samo ručno.
Kugla je geometrijsko tijelo okretanja nastalo rotacijom kruga ili polukruga oko svog promjera. Također, lopta je prostor omeđen sfernom površinom. Postoje mnogi stvarni sferni objekti i povezani problemi koji zahtijevaju određivanje volumena kugle.
Lopta i kugla
Krug je najstariji geometrijski lik, a drevni su mu znanstvenici pridavali sakralni značaj. Krug je simbol beskrajnog vremena i prostora, simbol svemira i bića. Prema Pitagori, krug je najljepša figura. U trodimenzionalnom prostoru krug se pretvara u kuglu, jednako idealnu, kozmičku i lijepu kao i krug.
Sfera na starogrčkom znači "lopta". Kugla je površina koju čini beskonačan broj točaka jednako udaljenih od središta lika. Prostor omeđen kuglom je sfera. Lopta je idealna geometrijska figura čiji oblik preuzimaju mnogi stvarni predmeti. Primjerice, u stvarnom životu topovske kugle, ležajevi ili kugle imaju oblik lopte, u prirodi - kapi vode, krošnje drveća ili bobica, u svemiru - zvijezde, meteori ili planeti.
Volumen lopte
Određivanje volumena sfernog lika težak je zadatak, jer se takvo geometrijsko tijelo ne može podijeliti na kocke ili trokutaste prizme čije su formule volumena već poznate. Moderna znanost omogućuje izračunavanje volumena lopte pomoću određenog integrala, ali kako je formula volumena izvedena u staroj Grčkoj, kada još nitko nije čuo za integrale? Arhimed je izračunao volumen kugle pomoću stošca i cilindra, budući da je formule za volumene ovih figura već odredio starogrčki filozof i matematičar Demokrit.
Arhimed je predstavio polovicu lopte koristeći isti stožac i cilindar, dok je polumjer svake figure bio jednak njezinoj visini R = h. Drevni znanstvenik je predstavio stožac i cilindar razbijen u beskonačan broj malih cilindara. Arhimed je shvatio da ako se volumen cilindra Vc oduzme od volumena stošca Vk, dobit će volumen jedne hemisfere Vsh:
0,5 Vsh = Vc − Vk
Volumen stošca se izračunava pomoću jednostavne formule:
Vk = 1/3 × So × h,
ali znajući da je u ovom slučaju površina kruga, a h \u003d R, tada se formula pretvara u:
Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3
Volumen cilindra izračunava se po formuli:
Vc = pi × R 2 × h,
ali uz pretpostavku da je visina cilindra jednaka njegovom polumjeru, dobivamo:
Vc = pi × R 3 .
Koristeći ove formule, Arhimed je dobio:
0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 ili Vsh = 4/3 pi × R 3
Moderna definicija formule za volumen kugle izvedena je iz integrala površine sferne površine, ali rezultat ostaje isti
Vsh = 4/3 pi × R 3
Izračun volumena lopte može biti potreban i u stvarnom životu i u rješavanju apstraktnih problema. Da biste izračunali volumen kugle pomoću online kalkulatora, trebate znati samo jedan parametar za odabir: promjer ili polumjer kugle. Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjeri iz stvarnog života
Topovske kugle
Recimo da želite znati koliko je željeza potrebno za bacanje topovske kugle kalibra šest stopa. Znate da je promjer takve jezgre 9,6 centimetara. Unesite ovaj broj u ćeliju kalkulatora "Promjer", a odgovor ćete dobiti u obrascu
Dakle, za topljenje topovske kugle određenog kalibra trebat će vam 463 kubična centimetra ili 0,463 litre lijevanog željeza.
Baloni
Neka vas zanima koliko je zraka potrebno za napuhavanje savršenog sfernog balona. Znate da je polumjer odabrane kuglice 10 cm. Upišite ovu vrijednost u ćeliju kalkulatora "Radius" i dobit ćete rezultat
To znači da će vam za napuhavanje jednog takvog balona trebati 4188 kubičnih centimetara ili 4,18 litara zraka.
Zaključak
Potreba za određivanjem volumena lopte može se pojaviti u raznim situacijama: od apstraktnih školskih problema do znanstveno-istraživačkih i proizvodnih problema. Za rješavanje pitanja bilo koje složenosti upotrijebite naš online kalkulator koji će vam odmah prikazati točan rezultat i potrebne matematičke izračune.
