Ovaj vodič će vam pomoći da naučite kako matrične operacije: zbrajanje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverza matrice. Sav materijal je prikazan u jednostavnom i pristupačnom obliku, dati su relevantni primjeri, pa čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi radnje s matricama. Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>.
Pokušat ću minimizirati teorijske izračune, ponegdje su moguća objašnjenja “na prste” i korištenje neznanstvenih pojmova. Ljubitelji čvrste teorije, molimo vas da se ne upuštate u kritiku, naš je zadatak naučiti raditi s matricama.
Za SUPER-BRZU pripremu na temu (tko "gori") postoji intenzivni pdf-tečaj Matrica, determinanta i offset!
Matrica je pravokutna tablica nekih elementi. Kao elementi razmatrat ćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT je pojam. Poželjno je zapamtiti pojam, često će se javljati, nije slučajno što sam ga podebljao istaknuo.
Oznaka: matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima
Primjer: Razmotrimo matricu dva po tri:
Ova matrica se sastoji od šest elementi:
Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora o bilo kakvom oduzimanju: 
To je samo tablica (skup) brojeva!
Složit ćemo se i mi nemojte preuređivati broj, osim ako je drugačije navedeno u obrazloženju. Svaki broj ima svoju lokaciju i ne možete ih miješati!
Matrica o kojoj je riječ ima dva reda: 
i tri stupca: 
STANDARD: kada govorimo o dimenzijama matrice, onda prvi označite broj redaka, a tek onda - broj stupaca. Upravo smo razbili matricu dva po tri.
Ako je broj redaka i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva kvadrat, na primjer: 
je matrica tri po tri.
Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se takve matrice također nazivaju vektora.
Zapravo, koncept matrice znamo još od škole, uzmimo u obzir, na primjer, točku s koordinatama "x" i "y": . U suštini, koordinate točke su zapisane u matricu jedan po dva. Usput, evo vam primjera zašto je red brojeva bitan: i dvije su potpuno različite točke ravnine.
A sada prijeđimo na studiju. matrične operacije:
1) Radnja prva. Uklanjanje minusa iz matrice (Uvođenje minusa u matricu).
Vratimo se našoj matrici 
. Kao što ste vjerojatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. To je vrlo nezgodno u smislu izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je pisati toliko minusa, a samo izgleda ružno u dizajnu.
Pomaknimo minus izvan matrice promjenom predznaka SVAKOG elementa matrice:
Na nuli, kao što razumijete, znak se ne mijenja, nula - također je nula u Africi.
Obrnuti primjer: 
. Ružno izgleda.
Minus unosimo u matricu promjenom predznaka SVAKOG elementa matrice:
Pa puno je ljepše. I, što je najvažnije, bit će LAKŠE izvršiti sve radnje s matricom. Jer postoji takav matematički narodni znak: što više minusa - to je više zbrke i pogrešaka.
2) Akcija dva. Množenje matrice brojem.
Primjer:
Jednostavno je, da biste pomnožili matricu brojem, trebate svaki pomnožiti element matrice zadanim brojem. U ovom slučaju tri.
Još jedan koristan primjer:
– množenje matrice razlomkom
Pogledajmo prvo što učiniti NEMA POTREBE:
NIJE POTREBNO unositi razlomak u matricu, prvo, to samo otežava daljnje radnje s matricom, a drugo, učitelju otežava provjeru rješenja (posebno ako 
- konačni odgovor zadatka).
I pogotovo, NEMA POTREBE podijelite svaki element matrice sa minus sedam:
Iz članka Matematika za lutke ili odakle početi, sjećamo se da se decimalni razlomci sa zarezom u višoj matematici pokušavaju na sve moguće načine izbjeći.
Jedina stvar poželjno u ovom primjeru je umetnuti minus u matricu:
Ali ako SVI elementi matrice podijeljeni su sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.
Primjer:
U ovom slučaju možete POTREBA pomnožite sve elemente matrice s , budući da su svi brojevi u matrici djeljivi s 2 bez traga.
Napomena: u teoriji više matematike ne postoji školski koncept "podjele". Umjesto izraza "ovo je podijeljeno s ovim", uvijek možete reći "ovo se množi s razlomkom". Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.
3) Treća akcija. Transpozicija matrice.
Da biste transponirali matricu, trebate upisati njene retke u stupce transponirane matrice.
Primjer:
Transponirana matrica
Ovdje je samo jedan redak i, prema pravilu, mora biti napisan u stupcu:
je transponirana matrica.
Transponirana matrica se obično označava superskriptom ili crtom u gornjem desnom kutu.
Korak po korak primjer:
Transponirana matrica 
Prvo prepisujemo prvi red u prvi stupac:
Zatim prepisujemo drugi red u drugi stupac: 
I konačno, prepisujemo treći red u treći stupac:
Spreman. Grubo rečeno, transponirati znači okrenuti matricu na svoju stranu.
4) Radnja četiri. Zbroj (razlika) matrica.
Zbroj matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SVE MATRICE SAVITI. Za obavljanje zbrajanja (oduzimanja) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.
Na primjer, ako je data matrica dva po dva, onda se ona može dodati samo matrici dva po dva i ništa drugo! 
Primjer:
Dodajte matrice 
i 
Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:
Za razliku matrica, pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.
Primjer:
Pronađite razliku matrica 
, 
I kako lakše riješiti ovaj primjer, da se ne zbunimo? Preporučljivo je riješiti se nepotrebnih minusa, za to ćemo dodati minus u matricu:
Napomena: u teoriji više matematike ne postoji školski koncept "oduzimanja". Umjesto izraza "oduzmi ovo od ovoga", uvijek možete reći "ovome dodajte negativan broj". Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj zbrajanja.
5) Radnja peta. Množenje matrice.
Koje se matrice mogu množiti?
Da bi se matrica pomnožila s matricom, tako da je broj stupaca matrice jednak broju redaka matrice.
Primjer:
Je li moguće pomnožiti matricu s matricom?
Dakle, možete pomnožiti podatke matrice.
Ali ako se matrice preurede, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!
Stoga je množenje nemoguće:
Nisu rijetki zadaci s trikom, kada se od učenika traži da pomnoži matrice čije je množenje očito nemoguće.
Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množiti matrice na oba načina.
Na primjer, za matrice, a moguće su i množenje i množenje
Ovo je jedna od najčešćih matričnih operacija. Matrica koja se dobije nakon množenja naziva se matrični umnožak.
Matrični proizvod A m × n na matricu B n × k bit će matrica cm × k tako da matrični element C smješten u i-ti red i j-ti stupac, odnosno element c ij jednak je zbroju proizvoda elemenata i th red matrice A na relevantne elemente j th stupac matrice B.
Postupak množenja matrica moguće je samo ako je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge matrice.
Primjer:
Je li moguće pomnožiti matricu s matricom?
m =n, što znači da možete množiti podatke matrice.
Ako se matrice izmijene, tada s takvim matricama množenje više neće biti moguće.
m≠ n, tako da ne možete raditi množenje:
Nerijetko možete pronaći zadatke s trikom kada se učeniku ponudi matrice za množenje, čije je množenje očito nemoguće.
Imajte na umu da je ponekad moguće množiti matrice na oba načina. Na primjer, za matrice, a moguće i kao množenje MN, tako je i množenje N.M.
Ovo nije jako teška akcija. Množenje matrice najbolje je razumjeti na konkretnim primjerima, kao Sama definicija može biti vrlo zbunjujuća.
Počnimo s najjednostavnijim primjerom:
Mora se pomnožiti sa . Prije svega, dajemo formulu za ovaj slučaj:
- ovdje je dobar uzorak.
Pomnožite s .
Formula za ovaj slučaj je: .
Množenje matrice i rezultat:
Kao rezultat toga, tzv. nulta matrica.
Vrlo je važno zapamtiti da "pravilo preuređivanja mjesta pojmova" ovdje ne funkcionira, jer gotovo uvijek MN≠ NM. Stoga, proizvodnja operacija množenja matrice ni pod kojim okolnostima ne smiju se mijenjati.
Sada razmotrite primjere množenja matrice trećeg reda:
Pomnožiti 
na .
Formula je vrlo slična prethodnim:
Matrično rješenje: 
.
Ovo je isto množenje matrice, samo se uzima prosti broj umjesto druge matrice. Kao što možete pretpostaviti, ovo množenje je mnogo lakše izvesti.
Primjer množenja matrice brojem:
Ovdje je sve jasno – kako bi pomnožiti matricu brojem, potrebno je svaki element matrice uzastopno pomnožiti s navedenim brojem. U ovom slučaju, 3.
Još jedan koristan primjer:
- množenje matrice razlomkom.
Prije svega, pokažimo što se ne smije raditi:
Prilikom množenja matrice s razlomkom, nije potrebno unositi razlomak u matricu, jer to, prije svega, samo komplicira daljnje radnje s matricom, a drugo, učitelju otežava provjeru rješenja .
I, štoviše, nema potrebe dijeliti svaki element matrice sa -7:
.
Ono što bi trebalo učiniti u ovom slučaju je dodati minus matrici:
.
Da imate primjer kada bi se svi elementi matrice podijelili sa 7 bez ostatka, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.
U ovom primjeru moguće je i potrebno sve elemente matrice pomnožiti s ½, jer svaki element matrice je djeljiv sa 2 bez ostatka.
Napomena: u teoriji više matematike ne postoji školski koncept "podjele". Umjesto izraza "ovo je podijeljeno s ovim", uvijek možete reći "ovo se množi s razlomkom". Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.
Prije svega, ŠTO bi trebao biti rezultat množenja tri matrice? Mačka neće roditi miša. Ako je množenje matrice izvedivo, tada će rezultat također biti matrica. Pa, moj učitelj algebre ne vidi kako objašnjavam zatvorenost algebarske strukture s obzirom na njene elemente =)
Umnožak triju matrica može se izračunati na dva načina:
1) pronađite i zatim pomnožite s matricom "ce": ;
2) ili prvo pronađite, a zatim izvršite množenje.
Rezultati će se nužno podudarati, i u teoriji ovo svojstvo naziva se asocijativnost množenja matrice:
Primjer 6
Pomnožite matrice na dva načina
Algoritam rješenja dvokorak: pronađite umnožak dviju matrica, zatim ponovno pronađite umnožak dviju matrica.
1) Koristite formulu
Akcija prva:
Radnja dva:
2) Koristite formulu
Akcija prva:
Radnja dva:
Odgovor:
Poznatiji i standardniji, naravno, prvi je način rješavanja, tamo "kao da je sve u redu". Usput, o narudžbi. U zadatku koji se razmatra često se javlja iluzija da je riječ o nekakvoj permutaciji matrica. Oni nisu ovdje. Opet vas podsjećam na to u općem slučaju, MATRICE SE NE TREBA ZAMJENJIVATI. Dakle, u drugom odlomku, u drugom koraku, izvodimo množenje, ali ni u kojem slučaju. S običnim brojevima bi takav broj prošao, ali ne i s matricama.
Svojstvo asocijativnosti množenja vrijedi ne samo za kvadratne, već i za proizvoljne matrice - samo ako se pomnože:
Primjer 7
Pronađite umnožak triju matrica
Ovo je "uradi sam" primjer. U otopini uzorka proračuni su provedeni na dva načina, analizirajte koji je način isplativiji i kraći.
Svojstvo asocijativnosti množenja matrice odvija se za veći broj faktora.
Sada je vrijeme da se vratimo moćima matrica. Kvadrat matrice se razmatra na samom početku i nalazi se na dnevnom redu.
Matrice su tablice brojeva koji su međusobno povezani. Na njima je moguće izvesti niz raznih operacija, o kojima ćemo vam reći u nastavku.
Veličina matrice je određena njenim zapovijedi- broj redaka $m$ i stupaca $n$ koji se nalaze u njemu. Redove čine elementi koji stoje na vodoravnim crtama, a stupce tvore elementi koji stoje na ravnim okomitim crtama. Ako je broj redaka jednak broju stupaca, redoslijed tablice koja se razmatra određuje samo jedna vrijednost $m = n$.
Napomena 1
Za bilo koji element matrice, prvi se u indeksu upisuje broj retka u kojem se nalazi, a drugi broj stupca, to jest, $a_(ij)$ znači da je element u $i$-tom redu a u $j$- ohmskom stupcu.
Zbrajanje i oduzimanje
Dakle, o zbrajanju i oduzimanju. Te se radnje mogu izvesti samo s matricama iste veličine.
Za izvođenje ovih radnji potrebno je izvršiti zbrajanje ili oduzimanje svakog elementa matrice s elementom druge matrice, koji je u istoj poziciji kao i element u prvoj.
Kao primjer, pronađimo zbroj $A+B$, gdje je:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(pmatrix)$
i $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \end(pmatrix)$
Zbroj bilo kojeg elementa novodobivene matrične tablice $A + B$ jednak je $a_(ij) + b_(ij)$, na primjer, element s indeksom $11$ jednak je $a_(11) + b_ (11)$, a cijeli rezultat izgleda tako:
$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33 ) \\ \end(pmatrix)$
Oduzimanje za dvije matrice $A-B$ provodi se na sličan način, ali će se svaki element nove matrice rezultata izračunati pomoću formule $a_(ij) – b_(ij)$.
Imajte na umu da se zbrajanje i oduzimanje za matrice mogu izvesti samo ako je njihov redoslijed isti.
Primjer 1
Riješite sljedeće primjere matrice: $A + B$; $A-B$.
$A=\begin(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$
$B=\begin(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$
Obrazloženje:
Radnje se izvode za svaki par elemenata $a_(ij)$ i $b_(ij)$, redom:
$A+B=\begin(pmatrix) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \ \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$
$A-B=\begin(pmatrix) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$
Množenje matrice brojem
Da bi se tablica matrice pomnožila s nekim brojem, svaki element matrice mora se pomnožiti s tim brojem, odnosno bilo kojim elementom nove matrice $C$, koji je rezultat umnoška $A$ na $λ $, bit će jednako $s_(ij)= λ\cdot a_(ij)$.
Primjer 2
Pomnožite $A$ s $λ$ gdje je $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ i $λ =5 $:
$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.
Proizvod matričnih tablica
Ovaj zadatak je nešto teži od prethodnih, ali u isto vrijeme ni u njemu nema ništa teško.
Za izvođenje množenja dviju matrica $A \cdot B$, broj stupaca u $A$ mora odgovarati broju redaka u $B$.
Matematički, ovo se može napisati kao:
$A_(m \puta n)\cdot B_(n \puta p) = C_(m \puta p)$
To jest, gledajući umnožene izvorne matrice, možete odmah odrediti redoslijed rezultirajuće nove. Na primjer, ako trebate pomnožiti $A_(3 \puts 2)$ i $B_(2 \times 3)$, rezultat će biti $3 \puts 3$:
$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11 ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$
Ako broj stupaca prvog matričnog množitelja ne odgovara broju redaka drugog matričnog množitelja, tada se množenje ne može izvesti.
Primjer 3
Riješi primjer:
$A \times B = ?$ ako je $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ i $B = \ begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end(pmatrix)$.
$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $
$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 ) + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin( pmatrix ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end(pmatrix)$.
Pronalaženje determinante matrice
Determinanta matrice označava se kao $Δ$ ili $\det$.
Napomena 2
Odrednica se može pronaći samo za kvadratne matrice.
U najjednostavnijem slučaju, kada se matrica sastoji od samo jednog elementa, njena determinanta je jednaka ovom elementu: $det A = |a_(11)|= a_(11)$
Možete izračunati determinantu iz matrice reda dva slijedeći sljedeće pravilo:
Definicija 1
Determinanta matrice veličine 2 jednaka je razlici između umnožaka elemenata na glavnoj dijagonali i umnoška elemenata na sekundarnoj dijagonali:
$\begin(niz)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(niz) = a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)\cdot a_(21)$
Ako je determinanta matrice $3 \puta 3$, tada je možete pronaći pomoću mnemoničkih pravila: Sarrus ili trokuti, također možete rastaviti matricu u retku ili stupcu ili koristiti Gaussove transformacije.
Za veće determinante mogu se koristiti Gaussove transformacije i proširenje redaka.
Inverzne matrice
Po analogiji s uobičajenim množenjem broja s njegovim recipročnim $(1+\frac1x= 1)$, množenjem inverzne matrice $A^(-1)$ s izvornom matricom nastaje matrica identiteta $E$.
Najjednostavniji način rješenja kada se traži inverzna matrica je Jordan Gauss. Jedinična matrica iste veličine upisuje se pored matrice zamorčića, a zatim se izvorna matrica svodi na jediničnu matricu uz pomoć transformacija, a sve izvedene radnje se ponavljaju s $E$.
Primjer 4
Dana $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$
Dobiti inverznu matricu.
Riješenje:
Pišemo zajedno $A$ i desno od njega odgovarajuću veličinu $E$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(array)$
Dobivamo nulu u zadnjem retku na prvom mjestu: dodajemo mu gornju, pomnoženu s $-3$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$
Sada resetujemo zadnji element prvog retka. Da biste to učinili, dodajte donji redak u gornji redak:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$
Drugi dijelimo sa $-2$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(array)$
Dobio rezultat:
$A=\begin(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$
Transponirajuće matrične tablice
Transpozicija je promjena redaka i stupaca u matrici ili determinanti na mjestima uz zadržavanje njihovog izvornog redoslijeda. Determinanta transponirane matrice tablice $A^T$ bit će jednaka determinanti izvorne matrice $A$.
Primjer 5
Transponirajte matricu $A$ i provjerite se pronalaženjem determinante $A$ i tablice transponirane matrice.
$A=\begin(pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end(pmatrix)$
Riješenje:
Za determinantu primjenjujemo Sarrusovu metodu:
$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot (-3) - 1 \cdot 6 \cdot (-2) - 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 - 12 - 24+ 24 + 12 + 15 = 0 $.
Dobili smo degeneriranu matricu.
Sada izvršimo transpoziciju $A$, za to ćemo baciti matricu na desnu stranu:
$A^T = \begin(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$
Nađite determinantu za $A^T$ koristeći isto pravilo:
$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) - 1 \cdot (-2) \cdot 6 - (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.
Definicija 1Umnožak matrica (C=AB) je operacija samo za konzistentne matrice A i B, u kojoj je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B:
C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
Primjer 1
Podaci matrice:
- A = a (i j) dimenzija m × n;
- B = b (i j) p × n
Matrica C, čiji se elementi c i j izračunavaju sljedećom formulom:
c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m
Primjer 2
Izračunajmo proizvode AB=BA:
A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1
Rješenje pomoću pravila množenja matrice:
A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3
Pronađeni su umnožak A B i B A, ali to su matrice različitih veličina: A B nije jednako B A.
Svojstva množenja matrice
Svojstva množenja matrice:
- (A B) C = A (B C) - asocijativnost množenja matrice;
- A (B + C) \u003d A B + A C - distributivno množenje;
- (A + B) C \u003d A C + B C - distributivnost množenja;
- λ (A B) = (λ A) B
Provjerite svojstvo #1: (A B) C = A (B C) :
(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,
A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .
Primjer 2
Provjeravamo svojstvo br. 2: A (B + C) \u003d A B + A C:
A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,
A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58.
Umnožak tri matrice
Umnožak tri matrice A B C izračunava se na 2 načina:
- pronađite A B i pomnožite s C: (A B) C;
- ili pronađite prvo B C, a zatim pomnožite A (B C) .
Pomnožite matrice na 2 načina:
4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1
Algoritam akcije:
- pronaći umnožak 2 matrice;
- zatim ponovno pronađite umnožak 2 matrice.
jedan). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21
2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .
Koristimo formulu A B C \u003d (A B) C:
jedan). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12
2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3
Odgovor: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3
Množenje matrice brojem
Definicija 2Umnožak matrice A brojem k je matrica B \u003d A k iste veličine, koja se dobiva iz originala množenjem s danim brojem svih njegovih elemenata:
b i , j = k × a i , j
Svojstva množenja matrice brojem:
- 1 × A = A
- 0 × A = nula matrica
- k(A + B) = kA + kB
- (k + n) A = k A + n A
- (k×n)×A = k(n×A)
Pronađite umnožak matrice A \u003d 4 2 9 0 sa 5.
5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Množenje matrice vektorom
Definicija 3Da biste pronašli umnožak matrice i vektora, morate pomnožiti prema pravilu red po stupac:
- ako množite matricu vektorom stupca, broj stupaca u matrici mora odgovarati broju redaka u vektoru stupca;
- rezultat množenja vektora stupca je samo vektor stupca:
A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × 1 × 1 + ⋯ 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 1 m
- ako množite matricu vektorom retka, tada matrica koja se množi mora biti isključivo vektor stupca, a broj stupaca mora odgovarati broju stupaca u vektoru retka:
A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Primjer 5
Pronađite umnožak matrice A i vektora stupca B:
A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2
Primjer 6
Pronađite umnožak matrice A i vektora retka B:
A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2
A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Odgovor: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
