Volumen lopte. Volumen lopte Kako pronaći volumen po polumjeru

Kugla je geometrijsko tijelo okretanja nastalo rotacijom kruga ili polukruga oko svog promjera. Također, lopta je prostor omeđen sfernom površinom. Postoje mnogi stvarni sferni objekti i povezani problemi koji zahtijevaju određivanje volumena kugle.

Lopta i kugla

Krug je najstariji geometrijski lik, a drevni su mu znanstvenici pridavali sakralni značaj. Krug je simbol beskrajnog vremena i prostora, simbol svemira i bića. Prema Pitagori, krug je najljepša figura. U trodimenzionalnom prostoru krug se pretvara u kuglu, jednako idealnu, kozmičku i lijepu kao i krug.

Sfera na starogrčkom znači "lopta". Kugla je površina koju čini beskonačan broj točaka jednako udaljenih od središta lika. Prostor omeđen kuglom je sfera. Lopta je idealna geometrijska figura čiji oblik preuzimaju mnogi stvarni predmeti. Primjerice, u stvarnom životu topovske kugle, ležajevi ili kugle imaju oblik lopte, u prirodi - kapi vode, krošnje drveća ili bobica, u svemiru - zvijezde, meteori ili planeti.

Volumen lopte

Određivanje volumena sfernog lika težak je zadatak, jer se takvo geometrijsko tijelo ne može podijeliti na kocke ili trokutaste prizme čije su formule volumena već poznate. Moderna znanost omogućuje izračunavanje volumena lopte pomoću određenog integrala, ali kako je formula volumena izvedena u staroj Grčkoj, kada još nitko nije čuo za integrale? Arhimed je izračunao volumen kugle pomoću stošca i cilindra, budući da je formule za volumene ovih figura već odredio starogrčki filozof i matematičar Demokrit.

Arhimed je predstavio polovicu lopte koristeći isti stožac i cilindar, dok je polumjer svake figure bio jednak njezinoj visini R = h. Drevni znanstvenik je predstavio stožac i cilindar razbijen u beskonačan broj malih cilindara. Arhimed je shvatio da ako se volumen cilindra Vc oduzme od volumena stošca Vk, dobit će volumen jedne hemisfere Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Volumen stošca se izračunava pomoću jednostavne formule:

Vk = 1/3 × So × h,

ali znajući da je u ovom slučaju površina kruga, a h \u003d R, tada se formula pretvara u:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Volumen cilindra izračunava se po formuli:

Vc = pi × R 2 × h,

ali uz pretpostavku da je visina cilindra jednaka njegovom polumjeru, dobivamo:

Vc = pi × R 3 .

Koristeći ove formule, Arhimed je dobio:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 ili Vsh = 4/3 pi × R 3

Moderna definicija formule za volumen kugle izvedena je iz integrala površine sferne površine, ali rezultat ostaje isti

Vsh = 4/3 pi × R 3

Izračun volumena lopte može biti potreban i u stvarnom životu i u rješavanju apstraktnih problema. Da biste izračunali volumen kugle pomoću online kalkulatora, trebate znati samo jedan parametar za odabir: promjer ili polumjer kugle. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Topovske kugle

Recimo da želite znati koliko je željeza potrebno za bacanje topovske kugle kalibra šest stopa. Znate da je promjer takve jezgre 9,6 centimetara. Unesite ovaj broj u ćeliju kalkulatora "Promjer", a odgovor ćete dobiti u obrascu

Dakle, za topljenje topovske kugle određenog kalibra trebat će vam 463 kubična centimetra ili 0,463 litre lijevanog željeza.

Baloni

Neka vas zanima koliko je zraka potrebno za napuhavanje savršenog sfernog balona. Znate da je polumjer odabrane kuglice 10 cm. Upišite ovu vrijednost u ćeliju kalkulatora "Radius" i dobit ćete rezultat

To znači da će vam za napuhavanje jednog takvog balona trebati 4188 kubičnih centimetara ili 4,18 litara zraka.

Zaključak

Potreba za određivanjem volumena lopte može se pojaviti u raznim situacijama: od apstraktnih školskih problema do znanstveno-istraživačkih i proizvodnih problema. Za rješavanje pitanja bilo koje složenosti upotrijebite naš online kalkulator koji će vam odmah prikazati točan rezultat i potrebne matematičke izračune.

Prije nego počnete proučavati pojam lopte, koliki je volumen lopte, razmotrite formule za izračun njegovih parametara, morate se sjetiti koncepta kruga, koji je ranije proučavan tijekom geometrije. Uostalom, većina radnji u trodimenzionalnom prostoru su slične ili proizlaze iz dvodimenzionalne geometrije, prilagođene izgledu treće koordinate i trećeg stupnja.

Što je krug?

Krug je lik na kartezijskoj ravnini (prikazano na slici 1); najčešće definicija zvuči kao "lokus svih točaka na ravnini, udaljenost od koje do zadane točke (centra) ne prelazi određeni nenegativan broj koji se naziva radijus."

Kao što možete vidjeti na slici, točka O je središte figure, a skup apsolutno svih točaka koje ispunjavaju kružnicu, na primjer, A, B, C, K, E, nisu dalje od zadanog polumjera ( nemojte ići dalje od kruga prikazanog na slici .2).

Ako je polumjer nula, tada se krug pretvara u točku.

Problemi s razumijevanjem

Učenici često brkaju ove pojmove. Lako je zapamtiti pomoću analogije. Obruč koji djeca vrte na satu tjelesnog je krug. Shvaćajući to, ili zapamtivši da su prva slova obje riječi "O", djeca će mnemonički razumjeti razliku.

Uvođenje pojma "lopta"

Kugla je tijelo (slika 3), omeđeno određenom sfernom površinom. Kakva je to "sferna površina" postat će jasno iz njezine definicije: to je mjesto svih točaka na površini, udaljenost od koje do određene točke (centra) ne prelazi određeni nenegativan broj koji se naziva polumjer. Kao što vidite, pojmovi kruga i sferne površine su slični, samo se prostori u kojima se nalaze razlikuju. Ako kuglu prikažemo u dvodimenzionalnom prostoru, dobivamo kružnicu čija je granica kružnica (kod lopte je granica sferna površina). Na slici vidimo sfernu plohu polumjera OA = OB.

Lopta zatvorena i otvorena

U vektorskim i metričkim prostorima razmatraju se i dva pojma vezana uz sfernu plohu. Ako lopta uključuje ovu sferu u sebi, onda se zove zatvorena, a ako ne, onda je u ovom slučaju lopta otvorena. To su "napredniji" koncepti, proučavaju se na institutima kada se uvode u analizu. Za jednostavnu, čak i svakodnevnu upotrebu, bit će dovoljne one formule koje se proučavaju na tečaju geometrije čvrstog tijela 10-11 razreda. Upravo o ovim pojmovima koji su dostupni gotovo svakoj prosječno obrazovanoj osobi će biti riječi dalje.

Koncepti koje trebate znati za sljedeće izračune

polumjer i promjer.

Polumjer kugle i njezin promjer određuju se na isti način kao i za kružnicu.

Radijus - segment koji povezuje bilo koju točku na granici lopte i točku koja je središte lopte.

Promjer - segment koji povezuje dvije točke na granici kugle i prolazi kroz njezino središte. Slika 5a jasno pokazuje koji su segmenti polumjeri kugle, a slika 5b prikazuje promjere kugle (segmenti koji prolaze kroz točku O).

Presjeci u kugli (lopta)

Svaki dio kugle je krug. Ako prolazi kroz središte lopte, tada se zove veliki krug (krug promjera AB), preostali dijelovi se nazivaju malim krugovima (krug promjera DC).

Površina ovih krugova izračunava se pomoću sljedećih formula:

Ovdje je S oznaka područja, R je polumjer, D je promjer. Postoji i konstanta jednaka 3,14. Ali nemojte se zbuniti da se za izračunavanje površine velikog kruga koristi polumjer ili promjer same kugle (sfere), a za određivanje površine potrebne su dimenzije polumjera malog kruga.

Postoji beskonačan broj takvih presjeka koji prolaze kroz dvije točke istog promjera koje leže na granici sfere. Kao primjer, naš planet: dvije točke na sjevernom i južnom polu, koje su krajevi Zemljine osi, i u geometrijskom smislu - krajevi promjera, i meridijani koji prolaze kroz ove dvije točke (slika 7) . To jest, broj velikih krugova u blizini sfere teži beskonačnosti u količini.

dijelovi lopte

Ako se "komad" odsječe od kugle uz pomoć neke ravnine (slika 8), tada će se zvati sferni ili sferni segment. Imat će visinu - okomitu od središta rezne ravnine na sfernu plohu O 1 K. Točka K na sfernoj površini, do koje dolazi visina, naziva se vrh sfernog segmenta. I mali krug polumjera O 1 T (u ovom slučaju, prema slici, ravnina nije prošla kroz središte kugle, ali ako presjek prolazi kroz središte, tada će kružnica presjeka biti velika) , nastao pri odsijecanju sfernog segmenta, nazvat ćemo bazu naše komadne kuglice - sferni segment.

Ako svaku točku baze sfernog segmenta povežemo sa središtem kugle, dobivamo lik koji se naziva "sferni sektor".

Ako kroz kuglu prolaze dvije ravnine, koje su međusobno paralelne, onda se onaj dio kugle koji je zatvoren između njih naziva sferni sloj (slika 9, na kojoj je prikazana kugla s dvije ravnine i zasebno sferni sloj).

Površina (naglašeni dio na slici 9. desno) ovog dijela kugle naziva se pojas (opet, radi boljeg razumijevanja, možemo povući analogiju s globusom, odnosno s njegovim klimatskim zonama - arktičkim, tropskim, umjerenim , itd.), a kružnice presjeka bit će sloj osnovne kugle. Visina sloja - dio promjera povučen okomito na rezne ravnine iz središta baza. Postoji i koncept sferne kugle. Nastaje kada ravnine koje su međusobno paralelne ne sijeku kuglu, već je dodiruju u jednoj točki.

Formule za izračunavanje volumena lopte i njezine površine

Lopta se formira rotacijom oko fiksnog promjera polukruga ili kruga. Za izračunavanje različitih parametara ovog objekta nije potrebno toliko podataka.

Volumen lopte, čija je formula za izračun gore navedena, izvedena je integracijom. Idemo preko bodova.

Razmatramo kružnicu u dvodimenzionalnoj ravnini, jer, kao što je gore spomenuto, to je krug koji je u osnovi konstrukcije lopte. Koristimo samo njegov četvrti dio (slika 10).

Uzimamo kružnicu s jediničnim polumjerom i središtem u ishodištu. Jednadžba takvog kruga je sljedeća: X 2 + Y 2 \u003d R 2. Odavde izražavamo Y: Y 2 \u003d R 2 - X 2.

Svakako imajte na umu da je rezultirajuća funkcija nenegativna, kontinuirana i opadajuća na segmentu X (0; R), jer vrijednost X u slučaju kada razmatramo četvrtinu kruga leži od nule do vrijednosti polumjera, odnosno do jednog.

Sljedeće što radimo je rotiranje naše četvrtine kruga oko x-ose. Kao rezultat, dobivamo hemisferu. Da bismo odredili njegov volumen, pribjegavamo metodama integracije.

Budući da je ovo obujam samo hemisfere, udvostručimo rezultat, iz čega dobivamo da je volumen lopte jednak:

Male nijanse

Ako trebate izračunati volumen lopte u smislu njezina promjera, zapamtite da je polumjer polovica promjera i zamijenite ovu vrijednost u gornju formulu.

Također, formula za volumen kugle može se doći kroz područje njezine granične površine - kugle. Podsjetimo da se površina kugle izračunava po formuli S = 4πr 2, integrirajući koju, također dolazimo do gornje formule za volumen lopte. Iz istih formula možete izraziti polumjer ako uvjet problema sadrži vrijednost volumena.

WikiHow pažljivo prati rad urednika kako bi osigurao da svaki članak zadovoljava naše visoke standarde kvalitete.

Polumjer kuglice (označen kao r ili R) je segment koji povezuje središte lopte s bilo kojom točkom na njezinoj površini. Kao iu slučaju kružnice, polumjer lopte je važna veličina koja je potrebna za pronalaženje promjera, opsega, površine i/ili volumena lopte. Ali polumjer kugle se također može pronaći iz zadane vrijednosti promjera, opsega i drugih veličina. Koristite formulu u kojoj možete zamijeniti te vrijednosti.

Koraci

Formule za izračun polumjera

Izračunajte polumjer iz promjera. Polumjer je polovica promjera, pa koristite formulu d = D/2. Ovo je ista formula koja se koristi za izračunavanje polumjera i promjera kružnice.

• Na primjer, zadana lopta promjera 16 cm. Polumjer ove lopte: r = 16/2 = 8 cm. Ako je promjer 42 cm, tada je polumjer 21 cm (42/2=21).

1. Izračunajte polumjer iz opsega kružnice. Koristite formulu: r = C/2π. Budući da je opseg C = πD = 2πr, tada formulu za izračun opsega podijelite s 2π i dobijete formulu za pronalaženje polumjera.

   • Na primjer, zadana lopta s opsegom od 20 cm. Polumjer ove lopte je: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Ista formula se koristi za izračunavanje polumjera i opsega kružnice.

2. Izračunajte polumjer iz volumena kugle. Koristite formulu: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Volumen kuglice izračunava se po formuli V = (4/3)πr 3 . Odvajajući r na jednoj strani jednadžbe, dobivate formulu ((V / π) (3/4)) 3 \u003d r, odnosno da biste izračunali polumjer, podijelite volumen lopte s π, pomnožite rezultat za 3/4, a rezultat podignite na stepen 1/3 (ili uzmite kubni korijen).

   • Na primjer, zadana lopta s volumenom od 100 cm 3. Polumjer ove kugle izračunava se na sljedeći način:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83) (3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 cm= r

3. Izračunajte polumjer površine. Koristite formulu: r = √(A/(4 π)). Površina lopte izračunava se po formuli A = 4πr 2. Izoliranjem r na jednoj strani jednadžbe dobivate formulu √(A/(4π)) = r, odnosno da biste izračunali polumjer, trebate uzeti kvadratni korijen površine podijeljen s 4π. Umjesto uzimanja korijena, izraz (A/(4π)) se može povisiti na stepen 1/2.

   • Na primjer, zadana kugla s površinom od 1200 cm 3 . Polumjer ove kugle izračunava se na sljedeći način:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 cm= r

   Definicija osnovnih veličina

   1. Zapamtite osnovne veličine koje su relevantne za izračunavanje polumjera lopte. Polumjer lopte je segment koji povezuje središte lopte s bilo kojom točkom na njezinoj površini. Polumjer kugle može se izračunati iz zadanih vrijednosti promjera, opsega, volumena ili površine.

      Koristite vrijednosti ovih veličina da pronađete polumjer. Polumjer se može izračunati iz zadanih vrijednosti promjera, opsega, volumena i površine. Štoviše, ove se vrijednosti mogu pronaći iz zadane vrijednosti radijusa. Da biste izračunali radijus, jednostavno pretvorite formule da biste pronašli zadane vrijednosti. Ispod su formule (u kojima postoji polumjer) za izračunavanje promjera, opsega, volumena i površine.

   Pronalaženje polumjera iz udaljenosti između dviju točaka

   1. Pronađite koordinate (x, y, z) središta lopte. Polumjer kugle jednak je udaljenosti između njezina središta i bilo koje točke koja leži na površini kugle. Ako su poznate koordinate središta lopte i bilo koje točke koja leži na njezinoj površini, možete pronaći polumjer lopte pomoću posebne formule izračunavanjem udaljenosti između dvije točke. Prvo pronađite koordinate središta lopte. Imajte na umu da, budući da je lopta trodimenzionalna figura, točka će imati tri koordinate (x, y, z), a ne dvije (x, y).

      • Razmotrimo primjer. Zadana je lopta u središtu s koordinatama (4,-1,12) . Koristite ove koordinate da pronađete polumjer lopte.

   2. Pronađite koordinate točke na površini kugle. Sada morate pronaći koordinate (x, y, z) bilo koji točka na površini kugle. Budući da su sve točke koje leže na površini lopte smještene na istoj udaljenosti od središta lopte, bilo koja točka može se odabrati za izračunavanje polumjera lopte.

      • U našem primjeru, pretpostavimo da neka točka koja leži na površini lopte ima koordinate (3,3,0) . Izračunavanjem udaljenosti između ove točke i središta lopte, pronaći ćete polumjer.

   3. Izračunajte polumjer pomoću formule d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Nakon što ste naučili koordinate središta lopte i točke koja leži na njegovoj površini, možete pronaći udaljenost između njih, koja je jednaka polumjeru lopte. Udaljenost između dvije točke izračunava se formulom d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), gdje je d udaljenost između točke, (x 1, y 1 ,z 1) su koordinate središta lopte, (x 2 ,y 2 ,z 2) su koordinate točke koja leži na površini lopte.

      • U ovom primjeru, umjesto (x 1, y 1, z 1), zamijenite (4, -1,12) i umjesto (x 2, y 2, z 2) zamijenite (3,3,0):
        • d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d=12,69. Ovo je željeni polumjer lopte.

   4. Imajte na umu da je u općim slučajevima r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Sve točke koje leže na površini lopte nalaze se na istoj udaljenosti od središta lopte. Ako se u formuli za određivanje udaljenosti između dvije točke "d" zamijeni s "r", dobiva se formula za izračunavanje polumjera lopte iz poznatih koordinata (x 1, y 1, z 1) središta lopta i koordinate (x 2, y 2, z 2 ) bilo koja točka koja leži na površini kugle.

      • Kvadratirajte obje strane ove jednadžbe i dobit ćete r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Imajte na umu da ova jednadžba odgovara jednadžbi kugle r 2 = x 2 + y 2 + z 2 sa središtem na (0,0,0).
   • Ne zaboravite na redoslijed kojim se izvode matematičke operacije. Ako se ne sjećate ovog redoslijeda, a vaš kalkulator zna raditi sa zagradama, upotrijebite ih.
   • Ovaj članak govori o izračunavanju polumjera lopte. Ali ako imate problema s učenjem geometrije, najbolje je započeti s izračunom količina povezanih s loptom u smislu poznatog radijusa.
   • π (Pi) je slovo grčke abecede, što znači konstanta jednaka omjeru promjera kruga i duljine njegovog opsega. Pi je iracionalan broj koji nije zapisan kao omjer realnih brojeva. Postoji mnogo aproksimacija, na primjer, omjer 333/106 omogućit će vam da pronađete broj Pi s točnošću do četiri znamenke nakon decimalne točke. U pravilu koriste približnu vrijednost pi, koja je 3,14.

Definicija lopte

Lopta je tijelo čije su sve točke iz određene točke na udaljenosti koja ne prelazi R.

Online kalkulator

Zadana točka na koju se misli u definiciji lopte naziva se centar ovu loptu. A spomenuta udaljenost je radius ove lopte.

Kugla, po analogiji s krugom, također ima promjer DD D, što je dvostruko veće od polumjera:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

Formula za volumen kugle u smislu njezina polumjera

Volumen kugle izračunava se pomoću sljedeće formule:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R je polumjer zadane kugle.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Lopta je upisana u kocku, dijagonala dd d koji je jednak 500 vidi \sqrt(500)\text( vidi)5 0 0 ​ cm . Pronađite volumen kugle.

Riješenje

D=500 d=\sqrt(500) d=5 0 0 ​

Prvo morate odrediti duljinu stranice kocke. Pretpostavit ćemo da je jednako a a a. Dakle, dijagonala kocke je (na temelju Pitagorinog teorema):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)d=a 2 + a 2 + a 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d=3 ⋅ a 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad=3 ​ ⋅ a

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ a

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))a =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12,9 a\približno 12,9 a ≈1 2 . 9

Ako je kugla upisana u kocku, tada je njezin polumjer jednak polovici duljine stranice te kocke. Kao rezultat, imamo:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ​ ⋅ a

R = 1 2 ⋅ 12,9 ≈ 6,4 R=\frac(1)(2)\cdot 12,9\približno 6,4R=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Posljednja faza je pronalaženje volumena lopte pomoću formule:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097 ,5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\približno 1097,5\text( cm)^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 cm3

Odgovor

1097, 5 cm3. 1097,5\tekst(cm)^3.1 0 9 7 , 5 cm3 .

Formula za volumen kugle u smislu njezina promjera

Volumen kugle također se može pronaći u smislu njezina promjera. Da bismo to učinili, koristimo odnos između polumjera i promjera kuglice:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

R = D 2 R=\frac(D)(2) R=2 D​

Zamijenite ovaj izraz u formulu za volumen lopte:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ D 3

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =6 π ​ ⋅ D 3

DD D je promjer kugle.

Promjer kuglice je 15 cm. 15\tekst (cm.) 1 5 cm . Pronađite njegov volumen.

Riješenje

D=15 D=15 D=1 5

Vrijednost promjera odmah zamijenite u formulu:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ cca 1766,25\tekst(cm)^3V =6 π ​ ⋅ D 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 cm3

Odgovor

$1766.25\text{cm3 .}$