Imajući sa sobom samo jednu formulu i znajući u početku koliki je promjer ili polumjer, lako možete izračunati površinu lopte. Formula će izgledati tako S=4πR2, gdje se broj "pi" množi s 4, a zatim s polumjerom kuglice na kvadratnu snagu. Ali prije izravnih izračuna, trebali biste odmah razumjeti uvjete.
Tumačenje vrijednosti
Ovo treba znati:
- Lopta- geometrijski objekt koji je rezultat rotacijskih polukružnih kretanja oko središta. Bilo koja točka na površini kugle je na istoj udaljenosti od središta.
- Sfera- nije isto što i lopta. Ako je trodimenzionalni objekt i uključuje unutarnji prostor, onda je sfera samo površina ovog objekta i ima samo svoje područje. Drugim riječima, ne može se reći da kugla ima toliki volumen, za razliku od lopte.
- pi" je konstantan broj jednak omjeru opsega kruga i njegovog promjera. U skraćenom obliku, obično se označava brojem jednakim 3,14. Ali zapravo, nakon tri ima više od tisuću znamenki!
- Polumjer kugle je ½ njenog promjera.. Točan promjer može se izračunati pomoću nekoliko ravnih i ravnomjernih predmeta. Vi samo trebate stegnuti loptu između ovih predmeta, koji stežu loptu i koji se nalaze okomito jedan na drugi, a zatim izmjerite rezultirajući promjer.
- Kvadratni stupanj označava se kao dvojka i znači da se taj broj mora jednom pomnožiti sam sa sobom. Kad bi snaga broja bila u obliku trojke, tada bi bilo potrebno dva puta pomnožiti sam sa sobom. Zapisujući izraz na papir, možete razumjeti zašto se koriste točno dva i tri, a ne jedan i dva.
- Volumen- vrijednost koja označava veličinu u prostoru koji zauzima objekt. Volumen kugle ovisi o promjeru. Formula će biti jednaka četiri trećine, pomnožena s brojem "pi" i ponovno pomnožena s kuckastim polumjerom.
- Kvadrat- vrijednost koja označava veličinu površine objekta, ali ne i unutarnjeg prostora.
Zanimljivosti
Zanimljivo je:
- Pi ima svoje klubove obožavatelja diljem svijeta. Članovi društva nastoje zapamtiti što više likova iz ovog broja, a pokušavaju i odgonetnuti univerzalne tajne koje se kriju u broju.
- Površina Zemlje iznosi samo 29,2% ukupne površine. Točan broj područja teško je imenovati zbog neravne topografije Zemlje, poput udubljenja i planina.
- Poznavanje formule površine sfere može se primijeniti u svakodnevnom životu. Također, ovo znanje može potisnuti protivnika u sporu.
Demonstriranjem opsega svog znanja iz područja geometrije možete na početku dati poštovanje, a serviserima i prodavačima možete jasno dati do znanja da se ne možete samo prevariti.
Primjena formule
Pogledajmo primjer, kako izračunati površinu okrugle kugle, čiji je promjer 50 cm. Slijedeći formulu, trebate podijeliti 50 s dva (da biste dobili polumjer), kvadrirajte rezultirajući broj i pomnožite cijelu stvar prvo s 4, a zatim s 3,14. Kao rezultat, dobivamo broj od 7850 četvornih centimetara.
Formula površine primjenjuje ne samo među učiteljima u školi i istraživačima u laboratoriju. Ova formula može biti korisna običnom slikaru. Uostalom, ako je lopta velika, a boja mala, onda se postavlja pitanje - hoće li mu ova mješavina biti dovoljna da oslika cijeli predmet. I ovo je daleko od jedinog svakodnevnog slučaja u kojem formula može dobro doći.
Formula volumena Također može biti od koristi građevinskom timu koji vrši popravke. I nije važno o kakvom se objektu radi - o industrijskoj zgradi, maloj kući ili običnom stanu. To je ono što razlikuje profesionalce – svoje znanje znaju primijeniti u praksi.
Ali kako biti ako nije moguće izmjeriti predmet? Takvo pitanje može se pojaviti u slučaju ogromne veličine objekta ili njegove nepristupačnosti. U tom slučaju mogu pomoći elektroničke tehnologije koje se temelje na skeniranju prostora određenim frekvencijama i laserima. Uz modernu tehnologiju nije potrebno znati sve formule napamet. Dovoljno je imati internetsku vezu i otići na bilo koji online kalkulator.
Općenito je prihvaćeno da je prvi koji je pronašao i zaključio formulu za volumen i površinu lopte , bio Arhimed. Ovo je najveći starogrčki znanstvenik koji je živio 300 godina prije naše ere. On nije bio samo matematičar, već i fizičar i inženjer. Jedan je od prvih koji je pokušao “digitalizirati” svijet oko nas. Njegovi se teoremi i spisi koriste do danas.
Arhimed je bio taj koji je definirao granice broja "pi" i označio ih bez ikakvih modernih naprava. Sam Arhimed bio je vrlo ponosan na pronađenu formulu, uz pomoć koje se izračunava volumen lopte. Njegovi potomci u čast toga prikazali su cilindar i kuglu na njegovom nadgrobnom spomeniku.
Da se nekim čudom ponovno rodi u naše vrijeme, odmah bi mogao preobraziti ovaj svijet i dovesti ga na novu razinu.
Video
Koristeći ovaj video kao primjer, bit će vam lako razumjeti kako pronaći površinu lopte.
Mnogi od nas vole igrati nogomet, ili smo barem gotovo svi čuli za ovu poznatu sportsku igru. Svi znaju da se nogomet igra s loptom.
Ako pitate prolaznika kakav geometrijski oblik ima lopta, neki će reći da je oblik lopte, a neki da je oblik kugle. Dakle, koji je u pravu? A koja je razlika između kugle i kugle?
Važno!
Lopta je svemirsko tijelo. Iznutra je lopta ispunjena nečim. Stoga sfera može pronaći volumen.
Primjeri lopte u životu: lubenica i čelična kugla.
Kugla i kugla, kao i kružnica, imaju središte, polumjer i promjer.
Važno!
Sfera je površina kugle. Možete pronaći površinu kugle.
Primjeri sfere u životu: odbojkaška i stolnoteniska lopta.
Kako pronaći površinu kugle
Zapamtiti!
Formula površine sfere: S=4 π R 2
Da biste pronašli površinu kugle, morate se sjetiti što je snaga broja. Poznavajući definiciju stupnja, formulu za površinu kugle možemo napisati na sljedeći način.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;
Učvrstiti stečeno znanje i riješiti problem za površinu kugle.
Zubareva 6. razred. broj 692(a)
Zadatak:
- Izračunajte površinu kugle ako je njezin polumjer
1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
= = =
= 188 88 - R3 = 1
- R = 1 m
Važno!
Dragi roditelji!
U konačnom izračunu polumjera nije potrebno prisiljavati dijete da izračuna kubni korijen. Učenici 6. razreda još nisu položili i ne znaju definiciju korijena u matematici.
U 6. razredu pri rješavanju takvog zadatka koristiti metodu nabrajanja.
Pitajte učenika koji će broj, ako se sam pomnoži 3 puta, dati jedan.
Definicija lopte
lopta nazovi skup točaka udaljenih od proizvoljno odabrane točke (središta lopte) na udaljenosti koja ne prelazi R R R je polumjer ove kugle.
Online kalkulator
Kugla, kao i krug, ima promjer. DD D, što je dvostruko veće od polumjera kugle.
D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R
Površina kugle može se pronaći pomoću polumjera i promjera kugle.
Formula za površinu lopte prema polumjeru lopte
S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2S=4 ⋅ π ⋅ R 2
R R R je polumjer lopte.
PrimjerKugla je upisana u kocku čija dijagonala dd d jednako je 300 \sqrt (300) 3 0 0 (cm.). Pronađite površinu kugle.
Riješenje
D=300 d=\sqrt(300) d=3 0 0
Prvi korak u rješavanju problema je pronalaženje duljine stranice kocke. Označimo ga sa a a a. Zatim, prema Pitagorinoj teoremi:
D 2 = a 2 + a 2 + a 2 d^2=a^2+a^2+a^2d 2 = a 2 + a 2 + a 2
D 2 = 3 ⋅ a 2 d^2=3\cdot a^2d 2 = 3 ⋅ a 2
A = d 3 a=\frac(d)(\sqrt(3)) a =3 d
A = 300 3 = 100 = 10 a=\frac(\sqrt(300))(\sqrt(3))=\sqrt(100)=10a =3 3 0 0 = 1 0 0 = 1 0
Polumjer sfere upisane u kocku jednak je polovici stranice ove kocke:
R = a 2 = 10 2 = 5 R=\frac(a)(2)=\frac(10)(2)=5R=2 a = 2 1 0 = 5
Tada je površina kugle:
S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 314 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot 5^2\approx314S=4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 3 1 4 (vidi sq.)
Odgovor: 314 cm kvadratnih
Formula za površinu lopte prema promjeru lopte
Formula za površinu lopte može se lako dobiti u smislu njenog promjera, koristeći omjer između polumjera i promjera lopte:
S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ (D 2) 2 = π ⋅ D 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D )(2)\Big)^2=\pi\cdot D^2S=4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ ( 2 D ) 2 = π ⋅ D 2
S = π ⋅ D 2 S=\pi\cdot D^2S=π ⋅ D 2
DD D- promjer kuglice.
PrimjerPromjer kuglice je 10 (vidi). Pronađite njegovu površinu.
Riješenje
D=10 D=10 D=1 0
Prema formuli dobivamo:
S = π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 314 S=\pi\cdot D^2=\pi\cdot 10^2\pribl.314S=π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 3 1 4 (vidi sq.)
Odgovor: 314 cm kvadratnih
Definicija.
Sfera (površina lopte) je skup svih točaka u trodimenzionalnom prostoru koje su na istoj udaljenosti od jedne točke, tzv središte sfere(O).Kugla se može opisati kao trodimenzionalni lik koji nastaje rotacijom kruga oko svog promjera za 180° ili polukruga oko promjera za 360°.
Definicija.
Lopta je skup svih točaka u trodimenzionalnom prostoru, od kojih udaljenost ne prelazi određenu udaljenost do točke tzv. centar lopte(O) (skup svih točaka trodimenzionalnog prostora omeđenog sferom).Kugla se može opisati kao trodimenzionalna figura koja nastaje rotacijom kruga oko svog promjera za 180° ili polukruga oko promjera za 360°.
Definicija. Radijus sfere (kuglice).(R) je udaljenost od središta kugle (kuglice) O na bilo koju točku kugle (površine lopte).
Definicija. Promjer kugle (kuglice).(D) je segment koji spaja dvije točke kugle (površine kugle) i prolazi kroz njezino središte.
Formula. Volumen lopte:
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Formula. Površina sfere kroz polumjer ili promjer:
S = 4π R 2 = π D 2
Jednadžba sfere
1. Jednadžba kugle s polumjerom R i središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Jednadžba kugle polumjera R i centra u točki s koordinatama (x 0 , y 0 , z 0) u kartezijanskom koordinatnom sustavu:
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Definicija. dijametralno suprotne točke su bilo koje dvije točke na površini kugle (sfere) koje su povezane promjerom.
Osnovna svojstva kugle i lopte
1. Sve točke kugle jednako su udaljene od središta.
2. Svaki presjek kugle ravninom je kružnica.
3. Svaki presjek kugle ravninom je kružnica.
4. Kugla ima najveći volumen među svim prostornim figurama s istom površinom.
5. Kroz bilo koje dvije dijametralno suprotne točke možete nacrtati mnogo velikih krugova za kuglu ili krugova za loptu.
6. Kroz bilo koje dvije točke, osim dijametralno suprotnih točaka, moguće je nacrtati samo jedan veliki krug za kuglu ili veliki krug za loptu.
7. Bilo koje dvije velike kružnice jedne lopte sijeku se duž ravne linije koja prolazi kroz središte lopte, a kružnice se sijeku u dvije dijametralno suprotne točke.
8. Ako je udaljenost između središta bilo koje dvije kuglice manja od zbroja njihovih polumjera i veća od modula razlike njihovih polumjera, tada takve kuglice presijecati, a u ravnini presjeka nastaje kružnica.
Sekans, tetiva, sekantna ravnina sfere i njihova svojstva
Definicija. Sekansa sfera je ravna crta koja siječe kuglu u dvije točke. Točke presjeka se nazivaju punkcijska mjesta površine ili ulazne i izlazne točke na površini.
Definicija. Akord kugle (loptice) je segment koji spaja dvije točke kugle (površine lopte).
Definicija. rezna ravnina je ravnina koja siječe kuglu.
Definicija. Promjerna ravnina- ovo je sekantna ravnina koja prolazi središtem kugle ili kugle, presjek se oblikuje, odnosno veliki krug i veliki krug. Veliki krug i veliki krug imaju središte koje se poklapa sa središtem kugle (lopte).
Svaka tetiva koja prolazi središtem kugle (kuglice) je promjer.
Tetiva je odsječak sekantne linije.
Udaljenost d od središta kugle do sekante uvijek je manja od polumjera kugle:
d< R
Udaljenost m između rezne ravnine i središta kugle uvijek je manja od polumjera R:
m< R
Presjek rezne ravnine na kugli uvijek će biti manji krug, a na lopti će dionica biti mali krug. Mali krug i mali krug imaju svoja središta koja se ne poklapaju sa središtem kugle (kuglice). Polumjer r takve kružnice može se pronaći po formuli:
r \u003d √ R 2 - m2,
Gdje je R polumjer kugle (kuglice), m je udaljenost od središta lopte do rezne ravnine.
Definicija. hemisfera (hemisfera)- ovo je polovica kugle (kuglice), koja nastaje kada se presječe dijametralnom ravninom.
Tangenta, tangentna ravnina na sferu i njihova svojstva
Definicija. Tangenta na sferu je ravna crta koja dodiruje kuglu samo u jednoj točki.
Definicija. Tangentna ravnina na sferu je ravnina koja dodiruje kuglu samo u jednoj točki.
Tangentna linija (ravnina) uvijek je okomita na polumjer kugle povučene do točke dodira
Udaljenost od središta kugle do tangentne linije (ravnine) jednaka je polumjeru kugle.
Definicija. segment lopte- ovo je dio lopte koji je reznom ravninom odsječen od lopte. Okosnica segmenta nazovite krug koji je nastao na mjestu presjeka. visina segmenta h je duljina okomice povučene od sredine baze segmenta do površine segmenta.
Formula. Vanjska površina segmenta sfere s visinom h u smislu polumjera kugle R:
S = 2π Rh
