Skraćene formule za množenje.
Proučavanje formula za skraćeno množenje: kvadrat zbroja i kvadrat razlike dvaju izraza; razlika kvadrata dvaju izraza; kocka zbroja i kocka razlike dvaju izraza; zbroji i razlike kocki dvaju izraza.
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Za pojednostavljenje izraza, faktoriziranje polinoma i smanjenje polinoma na standardni oblik, koriste se skraćene formule za množenje. Skraćene formule za množenje koje morate znati napamet.
Neka a, b R. Tada:
1. Kvadrat zbroja dvaju izraza je kvadrat prvog izraza plus dvostruki umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kvadrat razlike dvaju izraza je kvadrat prvog izraza minus dvostruki umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Razlika kvadrata dva izraza jednak je umnošku razlike tih izraza i njihovog zbroja.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. zbroj kocke od dva izraza jednaka je kocki prvog izraza plus tri puta kvadrat prvog izraza puta drugi plus tri puta umnožak prvog izraza pomnožen kvadrat drugog plus kocka drugog izraza.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. kocka razlike dva izraza jednaka je kocki prvog izraza minus tri puta umnošku kvadrata prvog izraza i drugog plus tri puta umnošku prvog izraza i kvadrata drugog minus kocke drugog izraza.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Zbroj kocki dva izraza jednak je umnošku zbroja prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom razlike tih izraza.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Razlika kockica dva izraza jednak je umnošku razlike prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbroja tih izraza.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Primjer 1
Izračunati
a) Koristeći formulu za kvadrat zbroja dvaju izraza, imamo
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Koristeći formulu za kvadratnu razliku dvaju izraza, dobivamo
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Primjer 2
Izračunati
Koristeći formulu za razliku kvadrata dvaju izraza, dobivamo
Primjer 3
Pojednostavite izraz
(x - y) 2 + (x + y) 2
Koristimo formule za kvadrat zbroja i kvadrat razlike dvaju izraza
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Skraćene formule za množenje u jednoj tablici:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Formule ili pravila reduciranog množenja koriste se u aritmetici, točnije u algebri, za brži proces izračunavanja velikih algebarskih izraza. Same formule su izvedene iz postojećih pravila u algebri za množenje više polinoma.
Korištenje ovih formula pruža prilično brzo rješenje za različite matematičke probleme, a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Pravila algebarskih transformacija omogućuju vam da izvršite neke manipulacije s izrazima, slijedeći koje možete dobiti izraz na lijevoj strani jednakosti, koja je na desnoj strani, ili transformirati desnu stranu jednakosti (da biste dobili izraz na lijeva strana iza znaka jednakosti).
Zgodno je znati formule koje se koriste za skraćeno množenje po pamćenju, jer se često koriste u rješavanju zadataka i jednadžbi. Glavne formule uključene u ovaj popis i njihovi nazivi navedeni su u nastavku.
kvadrat zbroja
Da biste izračunali kvadrat zbroja, trebate pronaći zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog člana, dvostrukog umnoška prvog i drugog člana, te kvadrata drugog. U obliku izraza ovo pravilo je zapisano na sljedeći način: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Kvadrat razlike
Da biste izračunali kvadrat razlike, morate izračunati zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog broja, dvostrukog umnoška prvog broja s drugim (uzetog s suprotnim predznakom) i kvadrata drugog broja. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
Razlika kvadrata
Formula za razliku dva broja na kvadrat jednaka je umnošku zbroja tih brojeva i njihove razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
zbroj kocke
Za izračunavanje kocke zbroja dva člana potrebno je izračunati zbroj koji se sastoji od kocke prvog člana, trostrukog umnoška kvadrata prvog i drugog člana, trostrukog umnoška prvog člana i sekunda na kvadrat i kocka drugog člana. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Zbroj kocki
Prema formuli, jednak je umnošku zbroja ovih članova i njihovog nepotpunog kvadrata razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure, koji se formira dodavanjem dvije kocke. Poznate su samo veličine njihovih strana.
Ako su vrijednosti strana male, onda je lako izvesti izračune.
Ako su duljine stranica izražene glomaznim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše primijeniti formulu "Zbroj kocki", što će uvelike pojednostaviti izračune.
kocka razlike
Izraz za kubičnu razliku zvuči ovako: kao zbroj trećeg stupnja prvog člana, utrostručite negativni umnožak kvadrata prvog člana s drugim, utrostručite umnožak prvog člana s kvadratom drugog , i negativnu kocku drugog člana. U obliku matematičkog izraza, kocka razlike izgleda ovako: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Razlika kockica
Formula za razliku kocki razlikuje se od zbroja kocki samo za jedan znak. Dakle, razlika kocki je formula jednaka umnošku razlike tih brojeva s njihovim nepotpunim kvadratom zbroja. U obliku, razlika kockica izgleda ovako: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koji će ostati nakon oduzimanja žute volumetrijske figure, koja je također kocka, od volumena plave kocke. Poznata je samo veličina stranice male i velike kocke.
Ako su vrijednosti strana male, onda su izračuni prilično jednostavni. A ako su duljine stranica izražene značajnim brojevima, onda je vrijedno upotrijebiti formulu pod nazivom "Razlika kocki" (ili "Kocka razlike"), što će uvelike pojednostaviti izračune.
Razlika kvadrata
Izvodimo formulu za razliku kvadrata $a^2-b^2$.
Da biste to učinili, zapamtite sljedeće pravilo:
Ako se izrazu doda bilo koji monom i isti monom oduzmemo, tada ćemo dobiti ispravan identitet.
Dodajmo našem izrazu i oduzmimo od njega monom $ab$:
Ukupno dobivamo:
To jest, razlika kvadrata dvaju monoma jednaka je umnošku njihove razlike i njihovog zbroja.
Primjer 1
Izrazite kao proizvod $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\lijevo(2x-y\desno)(2x+y)\]
Zbroj kocki
Izvodimo formulu za zbroj kocki $a^3+b^3$.
Uzmimo uobičajene faktore iz zagrada:
Uzmimo $\left(a+b\right)$ iz zagrada:
Ukupno dobivamo:
To jest, zbroj kocki dvaju monoma jednak je umnošku njihovog zbroja nepotpunim kvadratom njihove razlike.
Primjer 2
Izrazite kao proizvod $(8x)^3+y^3$
Ovaj izraz se može prepisati u sljedećem obliku:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Koristeći formulu razlike kvadrata, dobivamo:
\[((2x))^3+y^3=\lijevo(2x+y\desno)(4x^2-2xy+y^2)\]
Razlika kockica
Izvodimo formulu za razliku kocki $a^3-b^3$.
Da bismo to učinili, koristit ćemo isto pravilo kao gore.
Dodajmo našem izrazu i oduzmimo od njega monome $a^2b\ i\ (ab)^2$:
Uzmimo uobičajene faktore iz zagrada:
Uzmimo $\left(a-b\right)$ iz zagrada:
Ukupno dobivamo:
To jest, razlika kocke dvaju monoma jednaka je umnošku njihove razlike nepotpunim kvadratom njihovog zbroja.
Primjer 3
Izrazite kao proizvod $(8x)^3-y^3$
Ovaj izraz se može prepisati u sljedećem obliku:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Koristeći formulu razlike kvadrata, dobivamo:
\[((2x))^3-y^3=\lijevo(2x-y\desno)(4x^2+2xy+y^2)\]
Primjer zadataka za korištenje formula za razliku kvadrata te zbroj i razliku kocki
Primjer 4
Pomnožiti.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Riješenje:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Primjenom formule razlike kvadrata dobivamo:
\[((a+5))^2-3^2=\lijevo(a+5-3\desno)\lijevo(a+5+3\desno)=\lijevo(a+2\desno)(a +8)\]
Zapišimo ovaj izraz u obliku:
Primijenimo formulu kocke kocke:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Zapišimo ovaj izraz u obliku:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Primijenimo formulu kocke kocke:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\desno)\]
U prethodnim lekcijama pogledali smo dva načina faktorizacije polinoma: uzimanje zajedničkog faktora iz zagrada i metodu grupiranja.
U ovoj lekciji ćemo pogledati još jedan način faktorizacije polinoma korištenjem skraćenih formula za množenje.
Preporučujemo da svaku formulu napišete najmanje 12 puta. Za bolje pamćenje zapišite si sve skraćene formule za množenje na malu varalicu.
Prisjetimo se kako izgleda formula za razliku kocki.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Formulu za razliku kocki nije baš lako zapamtiti, stoga preporučujemo korištenje posebnog načina da je zapamtite.
Važno je razumjeti da svaka skraćena formula za množenje također funkcionira obrnuta strana.
(a − b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Razmotrimo primjer. Potrebno je faktorizirati razliku kocki.
Imajte na umu da je "27a 3" "(3a) 3", što znači da za formulu za razliku kocki, umjesto "a", koristimo "3a".
Koristimo formulu za razliku kocki. Umjesto “a 3” imamo “27a 3”, a umjesto “b 3”, kao u formuli, nalazi se “b 3”.
Primjena razlike kocke u obrnutom smjeru
Razmotrimo još jedan primjer. Potrebno je pretvoriti umnožak polinoma u razliku kocki koristeći skraćenu formulu množenja.
Imajte na umu da proizvod polinoma "(x − 1) (x 2 + x + 1)" podsjeća na desnu stranu formule za razliku kocki "", samo umjesto " a" je " x", i u mjesto "b" je "1".
Za “(x − 1)(x 2 + x + 1)” koristimo formulu za razliku kocki u suprotnom smjeru.
Razmotrimo teži primjer. Potrebno je pojednostaviti umnožak polinoma.
Ako usporedimo "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" s desnom stranom formule za razliku kocki
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, tada možete razumjeti da je na mjestu “a” iz prve zagrade “y 2, a na mjestu “b” je “1”.
