Površina kružnog segmenta jednaka je razlici između površine odgovarajućeg kružnog sektora i površine trokuta kojeg tvore polumjeri sektora koji odgovara segmentu i tetive koja ograničava segment.
Primjer 1
Duljina tetive koja obuhvaća krug jednaka je vrijednosti a. Mjera stupnja luka koji odgovara tetivi je 60°. Pronađite površinu kružnog segmenta.
Riješenje
Trokut koji čine dva polumjera i tetiva jednakokračan je, pa će visina povučena iz vrha središnjeg kuta na stranicu trokuta koju tvori tetiva također biti simetrala središnjeg kuta, koja ga dijeli na pola, a medijan, koji dijeli tetivu na pola. Znajući da je sinus kuta jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze, možemo izračunati polumjer:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, gdje je h visina povučena od vrha središnjeg kuta do tetive. Prema Pitagorinom teoremu h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Prema tome, S▲=√3/4*a².
Površina segmenta, izračunata kao Sreg = Sc - S▲, jednaka je:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Zamjenom numeričke vrijednosti za vrijednost a, možete jednostavno izračunati numeričku vrijednost površine segmenta.
Primjer 2
Polumjer kruga jednak je a. Mjera stupnja luka koji odgovara segmentu je 60°. Pronađite površinu kružnog segmenta.
Riješenje:
Područje sektora koji odgovara određenom kutu može se izračunati pomoću sljedeće formule:
Sc = πa²/360°*60° = πa²/6,
Površina trokuta koja odgovara sektoru izračunava se na sljedeći način:
S▲=1/2*ah, gdje je h visina povučena od vrha središnjeg kuta do tetive. Prema Pitagorinom teoremu h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Prema tome, S▲=√3/4*a².
I konačno, površina segmenta, izračunata kao Sreg = Sc - S▲, jednaka je:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Rješenja su u oba slučaja gotovo identična. Dakle, možemo zaključiti da je za izračunavanje površine segmenta u najjednostavnijem slučaju dovoljno znati vrijednost kuta koji odgovara luku segmenta i jedan od dva parametra - ili radijus kruga ili duljina tetive koja obuhvaća luk kružnice koja tvori segment.
- 01.10.2018
Na temelju NodeMcu v3 wi-fi modula s ESP8266 (ESP-12e) čipom, možete napraviti (na primjer) termometar na digitalnom senzoru 18B20; informacije o temperaturi bit će poslane u MySQL bazu podataka pomoću GET zahtjeva. Sljedeća skica vam omogućuje slanje GET zahtjeva na određenu stranicu, u mom slučaju to je test.php. #uključi
#uključi … - 22.09.2014
Automatski stacionarni dimer kontroliran fotootpornikom R7, dizajniran za rad u teškim uvjetima hladne i umjereno hladne klime pri temperaturama okoliš od -25 do +45 °C, relativna vlažnost zraka do 85% pri temperaturi od +20 °C i atmosferski tlak unutar 200...900 mm Hg. Dimer se koristi za regulaciju osvjetljenja pojedinog...
- 25.09.2014
Kako biste izbjegli oštećenje ožičenja tijekom popravaka, potrebno je koristiti uređaj za otkrivanje skrivenih ožičenja. Uređaj otkriva ne samo mjesto skrivenog ožičenja, već i mjesto oštećenja skrivenog ožičenja. Uređaj je audio pojačalo, u prvom stupnju koristi se tranzistor s efektom polja za povećanje ulaznog otpora. U drugom stupnju op-amp. Senzor -...
- 03.10.2014
Predloženi uređaj stabilizira napon do 24V i struju do 2A sa zaštitom od kratkog spoja. U slučaju nestabilnog pokretanja stabilizatora, treba koristiti sinkronizaciju iz autonomnog generatora impulsa (Sl. 2. Krug stabilizatora prikazan je na sl. 1. Schmittov okidač sastavljen je na VT1 VT2, koji upravlja snažnim regulacijskim tranzistorom VT3. Detalji: VT3 je opremljen hladnjakom...
Definiranje kružnog segmenta
Segment je geometrijski lik koji se dobije odsijecanjem dijela kružnice tetivom.
Online kalkulator
Ova se figura nalazi između tetive i luka kruga.
AkordOvo je segment koji leži unutar kruga i povezuje dvije proizvoljno odabrane točke na njemu.
Prilikom rezanja dijela kruga s akordom, možete uzeti u obzir dvije figure: ovo je naš segment i jednakokračni trokut, čije su strane polumjeri kruga.
Površina segmenta može se pronaći kao razlika između površina sektora kruga i ovog jednakokračnog trokuta.
Područje segmenta može se pronaći na nekoliko načina. Pogledajmo ih detaljnije.
Formula za površinu segmenta kruga pomoću polumjera i duljine luka kruga, visine i baze trokuta
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ⋅ R⋅s −2 1 ⋅ h⋅a
R R R- radijus kruga;
s s s- dužina luka;
h h h- visina jednakokračnog trokuta;
a a a- duljina osnovice ovog trokuta.
Zadana je kružnica čiji je polumjer brojčano jednak 5 (cm), visina koja je povučena na osnovicu trokuta jednaka je 2 (cm), duljina luka je 10 (cm). Pronađite površinu kružnog segmenta.
Riješenje
R=5 R=5 R=5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1
0
Za izračunavanje površine potrebna nam je samo osnovica trokuta. Pronađimo ga pomoću formule:
A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8
Sada možete izračunati površinu segmenta:
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ⋅ R⋅s −2 1 ⋅ h⋅a =2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (vidi kv.)
Odgovor: 17 cm kvadratnih
Formula za površinu kružnog segmenta zadanog radijusom kruga i središnjim kutom
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ⋅ (α − sin(α))
R R R- radijus kruga;
α\alfa α
- središnji kut između dva radijusa koji spajaju tetivu, mjereno u radijanima.
Odredite površinu kružnog segmenta ako je polumjer kruga 7 (cm), a središnji kut 30 stupnjeva.
Riješenje
R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Prvo pretvorimo kut u stupnjevima u radijane. Jer π\pi π
Radijan je jednak 180 stupnjeva, tada:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3
0
∘
=
3
0
∘
⋅
1
8
0
∘
π
=
6
π
radijan. Tada je površina segmenta:
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\približno 0,57S=2 R 2 ⋅ (α − sin(α)) =2 4 9 ⋅ ( 6 π − grijeh ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (vidi kv.)
Odgovor: 0,57 cm kvadratnih
Krug, njegovi dijelovi, njihove veličine i odnosi stvari su s kojima se draguljar neprestano susreće. Prstenje, narukvice, kaste, cijevi, kuglice, spirale - treba napraviti puno okruglih stvari. Kako sve to izračunati, pogotovo ako ste imali sreću da preskočite satove geometrije u školi?..
Pogledajmo najprije koje dijelove ima krug i kako se oni zovu.
- Kružnica je linija koja zatvara kružnicu.
- Luk je dio kruga.
- Radijus je segment koji povezuje središte kruga s bilo kojom točkom na krugu.
- Tetiva je isječak koji povezuje dvije točke na kružnici.
- Isječak je dio kružnice omeđen tetivom i lukom.
- Sektor je dio kruga omeđen dvama polumjerima i lukom.
Količine koje nas zanimaju i njihove oznake:
Pogledajmo sada koje probleme vezane uz dijelove kruga treba riješiti.
- Nađi duljinu razvijenosti bilo kojeg dijela prstena (narukvice). Zadani promjer i tetiva (opcija: promjer i središnji kut), pronađite duljinu luka.
- Postoji crtež na ravnini, morate saznati njegovu veličinu u projekciji nakon što ga savijete u luk. S obzirom na duljinu i promjer luka, pronađite duljinu tetive.
- Saznajte visinu dijela dobivenog savijanjem ravnog obratka u luk. Mogućnosti izvornih podataka: duljina i promjer luka, duljina luka i tetive; pronaći visinu segmenta.
Život će vam dati druge primjere, ali ja sam ih dao samo da pokažem potrebu za postavljanjem neka dva parametra da bismo pronašli sve ostale. To je ono što ćemo učiniti. Naime, uzet ćemo pet parametara segmenta: D, L, X, φ i H. Zatim ćemo ih, birajući sve moguće parove iz njih, smatrati početnim podacima, a sve ostale ćemo pronaći mozganjem.
Da ne opterećujem čitatelja uzalud, detaljna rješenja Neću ih dati, već ću dati samo rezultate u obliku formula (one slučajeve gdje nema formalnog rješenja, raspravit ću usput).
I još jedna napomena: o mjernim jedinicama. Sve veličine, osim središnjeg kuta, mjere se u istim apstraktnim jedinicama. To znači da ako, na primjer, navedete jednu vrijednost u milimetrima, tada drugu ne morate navesti u centimetrima, a dobivene vrijednosti će se mjeriti u istim milimetrima (i površine u kvadratnim milimetrima). Isto se može reći za inče, stope i nautičke milje.
I samo se središnji kut u svim slučajevima mjeri u stupnjevima i ništa drugo. Jer, kao pravilo, ljudi koji dizajniraju nešto okruglo nemaju tendenciju mjeriti kutove u radijanima. Fraza "kut pi sa četiri" zbunjuje mnoge, dok je "kut četrdeset pet stupnjeva" svima razumljiv, jer je samo pet stupnjeva viši od normalnog. Međutim, u svim formulama bit će prisutan još jedan kut - α - kao međuvrijednost. U značenju, ovo je polovica središnjeg kuta, mjereno u radijanima, ali možete sigurno ne ulaziti u ovo značenje.
1. Zadani promjer D i duljina luka L
; dužina tetive 
;
visina segmenta 
; središnji kut 
.
2. Zadani promjer D i duljina tetive X
; dužina luka ;
visina segmenta ; središnji kut 
.
Budući da tetiva dijeli krug na dva segmenta, ovaj problem nema jedno, već dva rješenja. Da biste dobili drugi, trebate zamijeniti kut α u gornjim formulama s kutom .
3. Zadani promjer D i središnji kut φ
; dužina luka ;
dužina tetive ; visina segmenta .
4. Zadani su promjer D i visina segmenta H
; dužina luka ;
dužina tetive ; središnji kut .
6. Zadana je duljina luka L i središnji kut φ
; promjer ;
dužina tetive ; visina segmenta .
8. Zadana je duljina tetive X i središnji kut φ
; dužina luka 
;
promjer ; visina segmenta .
9. Zadana je duljina tetive X i visina segmenta H
; dužina luka ;
promjer ; središnji kut .
10. Zadani su središnji kut φ i visina odsječka H
; promjer 
;
dužina luka ; dužina tetive .
Pažljivi čitatelj nije mogao a da ne primijeti da sam propustio dvije opcije:
5. Zadana duljina luka L i duljina tetive X
7. Zadana je duljina luka L i visina segmenta H
To su samo ona dva neugodna slučaja kada problem nema rješenje koje bi se moglo napisati u obliku formule. A zadatak nije tako rijedak. Na primjer, imate ravni komad duljine L i želite ga saviti tako da njegova duljina postane X (ili njegova visina postane H). Koji promjer trebam uzeti trn (prečku)?
Ovaj problem se svodi na rješavanje jednadžbi: 
; - u opciji 5
; - u opciji 7
i iako se ne mogu riješiti analitički, lako se mogu riješiti programski. A znam čak i gdje se može nabaviti takav program: na ovom mjestu, pod imenom . Ona radi sve što vam ovdje nadugo govorim u mikrosekundama.
Da bismo dovršili sliku, dodajmo rezultatima naših izračuna opseg i tri vrijednosti površine - krug, sektor i segment. (Površine će nam puno pomoći pri izračunavanju mase svih okruglih i polukružnih dijelova, ali o tome više u posebnom članku.) Sve ove količine izračunavaju se po istim formulama:
opseg ;
područje kruga 
;
područje sektora 
;
područje segmenta 
;
I na kraju, dopustite mi da vas još jednom podsjetim na postojanje potpuno besplatnog programa koji izvodi sve gore navedene izračune, oslobađajući vas od potrebe da zapamtite što je arktangens i gdje ga tražiti.
Matematička vrijednost površine poznata je od davnina drevna grčka. Već u tim dalekim vremenima Grci su otkrili da je područje kontinuirani dio površine, koji je sa svih strana ograničen zatvorenom konturom. Ovo je numerička vrijednost koja se mjeri u kvadratnim jedinicama. Površina je brojčana karakteristika oba stana geometrijski oblici(planimetrijski) i površina tijela u prostoru (volumetrijski).
Trenutno se nalazi ne samo unutar školski plan i program u nastavi geometrije i matematike, ali iu astronomiji, svakodnevnom životu, građevinarstvu, razvoju dizajna, proizvodnji i mnogim drugim ljudskim aktivnostima. Vrlo često pribjegavamo izračunavanju područja segmenata na privatnoj parceli prilikom projektiranja krajolika ili tijekom radova obnove na ultramodernom dizajnu sobe. Stoga će poznavanje metoda za izračunavanje različitih površina biti korisno uvijek i svugdje.
Da biste izračunali površinu kružnog segmenta i segmenta sfere, morate razumjeti geometrijske pojmove koji će biti potrebni tijekom procesa izračuna.
Prije svega, segment kruga je fragment ravne figure kruga, koji se nalazi između luka kruga i tetive koja ga odsijeca. Ovaj koncept ne treba brkati sa slikom sektora. To su potpuno različite stvari.
Tetiva je isječak koji spaja dvije točke koje leže na kružnici.
Središnji kut formiran je između dva segmenta - radijusa. Mjeri se u stupnjevima prema luku na kojem leži.
Isječak sfere nastaje kada se dio odsječe nekom ravninom.U tom slučaju osnovica sfernog isječka je kružnica, a visina je okomica koja izlazi iz središta kružnice na sjecište s plohom. sfere. Ta sjecišna točka naziva se vrhom kugličnog segmenta.
Da biste odredili površinu segmenta sfere, morate znati graničnu kružnicu i visinu sfernog segmenta. Umnožak ove dvije komponente bit će površina isječka sfere: S=2πRh, gdje je h visina isječka, 2πR opseg, a R polumjer velikog kruga.
Da biste izračunali površinu segmenta kruga, možete pribjeći sljedećim formulama:
1. Da bismo na najjednostavniji način pronašli površinu segmenta, potrebno je izračunati razliku između površine sektora u koji je segment upisan i čija je baza tetiva segmenta: S1 = S2 -S3, gdje je S1 površina segmenta, S2 je površina sektora, a S3 je površina trokuta.
Možete koristiti približnu formulu za izračunavanje površine kružnog segmenta: S=2/3*(a*h), gdje je a osnovica trokuta ili h visina segmenta, što je rezultat razlike polumjera kruga i
2. Površina segmenta različitog od polukruga izračunava se na sljedeći način: S = (π R2:360)*α ± S3, gdje je π R2 površina kruga, α je stupanjska mjera središnji kut, koji sadrži luk segmenta kružnice, S3 je površina trokuta koja je nastala između dva polumjera kružnice i tetive, koja ima kut u središnjoj točki kružnice i dva vrha na dodirnim mjestima polumjera s kružnicom.
Ako kut α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 stupnjeva, primijenjen znak plus.
3. Možete izračunati površinu segmenta pomoću drugih metoda pomoću trigonometrije. U pravilu se kao osnova uzima trokut. Ako se središnji kut mjeri u stupnjevima, tada je prihvatljiva sljedeća formula: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, gdje je R2 kvadrat polumjera kruga, α je stupnjevna mjera središnjeg kuta.
4. Za izračunavanje površine segmenta pomoću trigonometrijske funkcije, možete koristiti drugu formulu, pod uvjetom da se središnji kut mjeri u radijanima: S= R2 * (α - sin α)/2, gdje je R2 kvadrat polumjera kruga, α je središnja mjera stupnja kut.
