"Srednja linija trapeza" - Srednja linija trapeza. A. MN je srednja linija trapeza ABCD. U trokutu možete konstruirati... srednje linije. Srednja crta trokuta ima svojstvo... MN = ? AB. Određivanje srednje crte trapeza. Teorem o središnjici trapeza. D. Nastavi rečenicu: MN || AB.
“Jednadžba elipse” - Autori: Gololobova O. 9. razred Negrova O. 9. razred Dolgova K. 9. razred. Definicija elipse. Kako su svojstva elipse povezana sa svojstvima drugih "izvanrednih" krivulja? 2. Izveli smo kanonsku jednadžbu elipse. Napredak studije. Rezultati istraživanja: 4. Odrediti glavne parametre elipse: Svrha: Proučiti glavne parametre elipse. 3. Konstruirao elipsu.
"Talesov teorem" - Vjeruje se da je Tales prvi proučavao kretanje Sunca duž nebeska sfera. Thalesov teorem. Geometrijski teorem nazvan je po Talesu. Povucimo pravac EF kroz točku B2, paralelan s pravcem A1A3. Astronomija. Geometrija. Prema svojstvu paralelograma A1A2 = FB2, A2A3 = B2E. mileški materijalist. A kako je A1A2 = A2A3, onda je FB2 = B2E. Tales je nadaleko poznat kao geometar.
“Zadaci o kružnici i krugu” - 2. Odgovor: S=25? cm2; C=10? pogledajte Rješavanje problema. 1. Opseg i površina kruga.
“Geometrija pravilnih poligona” - Oko svakog pravilnog poligona možete opisati kružnicu, i to samo jednu. Izvedimo formulu za izračunavanje kuta an pravilnog n-kuta. Uzmite bilo koja tri vrha poligona A1A2...An, na primjer A1, A2, A3. Dokažimo sada jedinstvenost takve kružnice. Središte pravilnog mnogokuta. Teorem o središtu pravilnog mnogokuta. Jedinstvenost takve kružnice proizlazi iz jedinstvenosti kružnice opisane oko trokuta.
“Geometrija gibanja 9. razred” - Aksijalno. Osna simetrija. Centralna i osna simetrija. Teorema. Vrste pokreta. Skretanje. Prekrivanje. Svaki pokret je nametanje. Osna simetrija Središnja simetrija Paralelni prijenos Rotacija. Paralelni prijenos. Pokreti. Središnja simetrija. Pojam kretanja. Geometrija 9. razred. Središnji. Prilikom pomicanja segment se preslikava na segment.
Riječ “pokret” vam je poznata. Ali u geometriji ima posebno značenje. O kojem ćete naučiti u ovom poglavlju. Za sada napomenimo da je uz pomoć pokreta moguće pronaći lijepa rješenja mnogih geometrijskih problema. U ovom poglavlju pronaći ćete primjere takvih rješenja.
Zamislimo da se svaka točka ravnine uspoređuje (stavlja u korespondenciju) s nekom točkom iste ravnine, a ispada da je bilo koja točka ravnine pridružena nekoj točki. Onda kažu da se daje preslikavanje ravnine na samu sebe.
Zapravo, već smo se susreli s preslikavanjem ravnine na samu sebe - sjetimo se osne simetrije (vidi paragraf 48). Ona nam daje primjer takvog mapiranja. Zapravo, neka je a os simetrije (slika 321). Uzmimo proizvoljnu točku M koja ne leži na pravoj liniji a i konstruirajmo točku M 1 koja joj je simetrična u odnosu na ravnu liniju a. Da biste to učinili, potrebno je nacrtati okomitu MR na ravnu liniju a i odložiti na ravnu MR segment RM 1, jednak segmentu MR, kao što je prikazano na slici 321. Točka M 1 će biti željena. Ako točka M leži na pravoj liniji a, tada joj se simetrična točka M 1 podudara s točkom M. Vidimo da je uz pomoć osne simetrije svakoj točki M ravnine pridružena točka M iste ravnine. avion. U ovom slučaju, bilo koja točka M 1 ispada da je pridružena nekoj točki M. To je jasno na slici 321.
Riža. 321
Tako, osna simetrija je preslikavanje ravnine na samu sebe.
Razmotrimo sada središnju simetriju ravnine (vidi paragraf 48). Neka je O centar simetrije. Svakoj točki M ravnine pridružena je točka M 1, simetrična točki M u odnosu na točku O (slika 322). Pokušajte sami provjeriti da je središnja simetrija ravnine također preslikavanje ravnine na samu sebe.
Riža. 322
Koncept pokreta
Aksijalna simetrija ima sljedeće važno svojstvo - je preslikavanje ravnine na samu sebe koje čuva udaljenosti između točaka.
Objasnimo što to znači. Neka su M i N bilo koje točke, a M 1 i N 1 točke simetrične njima u odnosu na pravac a (slika 323). Iz točaka N i N 1 povučemo okomice NP i N 1 P 1 na pravac MM 1. Pravokutni trokuti MNP i M 1 N 1 P 1 jednaki su na dvije katete: MP = M 1 P 1 i NP = N 1 P 1 (objasnite zašto su te katete jednake). Stoga su i hipotenuze MN i M 1 N 1 jednake.
Riža. 323
Stoga, udaljenost između točaka M i N jednaka je udaljenosti između njihovih simetričnih točaka M 1 i N 1. Ostale slučajeve položaja točaka M, N i M 1, N 1 sami razmotrite i uvjerite se da je u tim slučajevima MN = M 1 N 1 (sl. 324). Dakle, rotacijska simetrija je preslikavanje koje čuva udaljenosti između točaka. Svako preslikavanje koje ima ovo svojstvo naziva se gibanje (ili translacija).
Riža. 324
Tako, kretanje ravnine je preslikavanje ravnine na samu sebe, uz očuvanje udaljenosti.
Zašto se preslikavanje koje čuva udaljenosti naziva gibanjem (ili pomakom) može se objasniti na primjeru osne simetrije. Može se prikazati kao rotacija ravnine u prostoru za 180° oko a-osi. Slika 325 prikazuje kako se ta rotacija odvija.
Riža. 325
Imajte na umu da središnja simetrija ravnine također je gibanje(koristeći sliku 326, pogledajte ovo sami).
Riža. 326
Dokažimo sljedeći teorem:
Teorema
| Prilikom pomicanja segment se preslikava na segment. |
Dokaz
Neka su za zadano kretanje ravnine krajevi M i N odsječka MN preslikani u točke M 1 i N 1 (sl. 327). Dokažimo da se cijeli segment MN preslikava na segment M 1 N 1 . Neka je P proizvoljna točka na duži MN, P 1 točka u koju se preslikava točka P. Tada je MP + PN = MN. Budući da se pri kretanju udaljenosti čuvaju, dakle
M1N1 = MN, M1P1 = MR i N1P1 = NP. (1)
Riža. 327
Iz jednakosti (1) dobivamo da je M 1 P 1 + P 1 N 1 = M 1 N 1 , pa prema tome točka P 1 leži na odsječku M 1 N 1 (ako pretpostavimo da to nije slučaj, tada vrijedi nejednakost M 1 P 1 +P 1 N 1 > M 1 N 1). Dakle, točke segmenta MN preslikavaju se u točke segmenta M 1 N 1 .
Također je potrebno dokazati da je u svaku točku P 1 dužine M 1 N 1 preslikana neka točka P dužine MN. Dokažimo to. Neka je P 1 proizvoljna točka na segmentu M 1 N 1, a točka P se za dano kretanje preslikava u točku P 1. Iz relacija (1) i jednakosti M 1 N 1 = M 1 P 1 + P 1 N 1 slijedi da je MR + PN = MN, pa stoga točka P leži na odsječku MN. Teorem je dokazan.
Posljedica
Zapravo, na temelju dokazanog teorema, prilikom pomicanja svaka se stranica trokuta preslikava na jednak segment, dakle trokut se preslikava na trokut s odgovarajućim jednakim stranicama, tj. jednakog trokuta.
Pomoću dokazanog teorema nije teško provjeriti da se pri kretanju pravac preslikava u pravac, zraka u zraku, a kut u njemu jednak kut.
Prekrivanja i kretanja
Podsjetimo se da se u našem tečaju geometrije jednakost figura određuje pomoću preklapanja. Kažemo da je lik F jednak liku Fp ako se lik F može spojiti preklapanjem s likom F 1. Pojam superpozicije u našem kolegiju odnosi se na osnovne pojmove geometrije, tako da definicija superpozicije nije dana. Pod superponiranjem figure Φ na figuru Φ 1 mislimo na određeno preslikavanje figure Φ na figuru Φ 1. Štoviše, vjerujemo da u ovom slučaju ne samo točke figure Φ, nego i bilo koja točka na ravnini preslikavaju se na određenu točku na ravnini, tj. prekrivanje je preslikavanje ravnine na samu sebe.
Međutim, svako preslikavanje ravnine na samu sebe ne nazivamo nametanjem. Nametanja su ona preslikavanja ravnine na samu sebe koja imaju svojstva izražena u aksiomima (vidi Dodatak 1, aksiomi 7-13). Ovi aksiomi nam omogućuju da dokažemo sva ona svojstva impozicija koje vizualno zamislimo i koristimo pri dokazivanju teorema i rješavanju problema. Dokažimo, na primjer, da kada se superponiraju, različite točke se preslikavaju na različite točke.
Zapravo, pretpostavimo da to nije slučaj, tj. da se s određenim preklapanjem neke dvije točke A i B preslikaju u istu točku C. Tada je lik F 1, koji se sastoji od točaka A i B, jednak figura F 2 koja se sastoji od jedne točke C. Slijedi da je F 2 = F 1 (aksiom 12), tj. uz nešto preklapanja figura F 2 se preslikava u figuru F 1. Ali to je nemoguće, budući da je superpozicija preslikavanje, a kod svakog preslikavanja točka C je pridružena samo jednoj točki na ravnini.
Iz dokazane tvrdnje slijedi da se kada se superponira, segment preslikava na jednak segment. Doista, neka su, kada se superponiraju, krajevi A i B segmenta AB preslikani u točke A 1 i B 1. Tada se segment AB preslikava na segment A 1 B 1 (aksiom 7), pa je stoga segment AB jednak segmentu A 1 B 1. Budući da jednaki segmenti imaju jednake duljine, superpozicija je preslikavanje ravnine na samu sebe, uz očuvanje udaljenosti, tj. svako preklapanje je kretanje ravnine.
Dokažimo da vrijedi i obrnuto.
Teorema
Dokaz
Promotrimo proizvoljno gibanje (označimo ga slovom g) i dokažimo da je to nametanje. Uzmimo neki trokut ABC. Kada se g pomiče, preslikava se na jednak trokut A 1 B 1 C 1 . Prema definiciji sukladnih trokuta, postoji preklapanje ƒ, u kojem se točke A, B i C preslikavaju u točke A 1, B 1 odnosno C 1.
Dokažimo da se kretanje g podudara s nametanjem ƒ. Pretpostavimo da to nije slučaj. Tada na ravnini postoji barem jedna takva točka M, koja se pri pomicanju g preslikava u točku M„, a primjenom ƒ u drugu točku M2. Budući da su udaljenosti sačuvane kod preslikavanja ƒ u g, tada je AM = A 1 M 1, AM = A 1 M 2, dakle A 1 M 1 = A 1 M 2, tj. točka A 1 je jednako udaljena od točaka M 1 i M 2 (Sl. 328). Slično se dokazuje da su točke B 1 i C 1 jednako udaljene od točaka M 1 i M 2 . Slijedi da točke A 1, B 1 i C 1 leže na simetrali na odsječak M 1 M 2. Ali to je nemoguće jer vrhovi trokuta A 1 B 1 C 1 ne leže na istoj ravnici. Dakle, preslikavanja ƒ u g se podudaraju, tj. kretanje g je preklapanje. Teorem je dokazan.
Riža. 328
Posljedica
Zadaci
1148. Dokažite da uz osnu simetriju ravnine vrijedi:
a) pravac paralelan s osi simetrije preslikava se na pravac paralelan s osi simetrije;
b) pravac okomit na os simetrije preslikava se sam na sebe.
1149. Dokažite da je uz središnju simetriju ravnine:
a) pravac koji ne prolazi središtem simetrije preslikava se na pravac koji mu je paralelan;
b) pravac koji prolazi središtem simetrije preslikava se sam na sebe.
1150. Dokaži da se pri gibanju kut preslikava na njemu jednak kut.
Neka je za dano kretanje kut AOB preslikan u kut A 1 O 1 B 1 , a točke A, O, B preslikane su u točke A 1 , O 1 , B 1 , redom. Budući da se udaljenosti održavaju tijekom kretanja, tada je OA = O 1 A 1, OB = O 1 B 1. Ako kut AOB nije razvijen, tada su trokuti AOB i A 1 O 1 B 1 jednaki na tri stranice, pa je ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1. Ako je kut AOB obrnut, tada je i kut A 1 O 1 B 1 obrnut (dokažite to), pa su ti kutovi jednaki.
1151. Dokaži da se pri gibanju paralelni pravci preslikavaju na paralelne.
1152. Dokažite da se pri gibanju: a) paralelogram preslikava na paralelogram; b) trapez se preslikava na trapez; c) romb se preslikava na romb; d) pravokutnik se preslikava u pravokutnik, a kvadrat u kvadrat.
1153. Dokaži da se pri gibanju kružnica preslikava na kružnicu istog polumjera.
1154. Dokažite da je ravninsko preslikavanje u kojem se svaka točka preslikava sama na sebe impozicija.
1155. ABC i A 1 B 1 C 1 - proizvoljni trokuti. Dokažite da postoji najviše jedno gibanje u kojem se točke A, B i C preslikavaju u točke A 1, B 1, C 1.
1156. U trokutima ABC i A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Dokažite da postoji kretanje u kojem se točke A, B i C preslikavaju u točke A 1, B 1 i C 1 i to samo jedno.
Prema uvjetima zadatka trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki su po tri stranice. Posljedično, postoji preklapanje, odnosno kretanje u kojem se točke A, B i C preslikavaju u točke A 1, B 1 i C 1, redom. Ovo kretanje je jedino kretanje u kojem se točke A, B i C preslikavaju u točke A 1, B 1 odnosno C 1 (zadatak 1155).
1157. Dokažite da su dva paralelograma jednaka ako su susjedne stranice i kut između njih jednog paralelograma redom jednaki susjednim stranicama i kutu između njih drugog paralelograma.
1158. Zadane su dvije prave a i b. Konstruirajte pravac na koji se osno simetrično preslikava pravac b s osi a.
1159. Dani su pravac a i četverokut ABCD. Konstruirajte lik F na koji je ovaj četverokut preslikan osnom simetrijom s a-osi. Što predstavlja oblik F?
1160 Dana je točka O i pravac b. Konstruirajte pravac na koji je pravac b preslikan središnjom simetrijom sa središtem O.
1161 Dana je točka O i trokut ABC. Konstruirajte lik F na koji je trokut ABC preslikan središnjom simetrijom u središte O. Što predstavlja lik F?
Odgovori na probleme
1151. Uputa. Dokažite kontradikcijom.
1154. Uputa. Koristite teorem 119.
1155. Uputa. Dokaz se izvodi kontradikcijom (vidi dokaz teorema, paragraf 119).
1157. Uputa. Koristite probleme 1156 i 1051.
1158. Uputa. Prvo konstruirajte slike neke dvije točke pravca b.
1159. F - četverokut.
1160. Uputa. Zadatak se rješava slično zadatku 1158.
1161. F - trokut.
