Kako pronaći opseg trokuta
Za pomoć možete pozvati Yandex. Unesite u traku za pretraživanje:
opseg trokuta
Yandex će vam ponuditi ovo sučelje, gdje samo trebate zamijeniti vrijednosti.
Opseg je zbroj duljina svih stranica bilo kojeg mnogokuta. Stoga, ne razmišljajući o tome koja je geometrijska figura pred vama, slobodno ravnalom izmjerite duljinu svih stranica i zbrojite. Dakle, dobili ste perimetar.
Ako govorimo o osnovama geometrije, onda je opseg zbroj svih stranica trokuta: P = a + b + c.
Međutim, ako govorimo o složenijim geometrijskim i trigonometrijskim problemima, kada nam se daju određeni podaci, tada postoji nekoliko drugih formula za izračunavanje opsega trokuta:
Ako su poznati polumjer kruga upisanog u trokut i njegova površina, tada se opseg izračunava po formuli: P=2S/r.
Ako su poznata dva kuta, na primjer, α i β, uz jednu stranu, i duljina te stranice, tada je formula za opseg sljedeća: P=a+sinamp;#945;amp;#8729;a/(sin(180- amp;#945;- amp;#946;)) + sinamp;#946;amp;#8729;a/(sin(180-amp;#945;-amp;#946;)).
Ako postoje duljine susjednih stranica i kut β između njih, onda se perimetar izračuna pomoću formule kosinusnog teorema: P=a+b+amp;#8730;(a2+b2-2amp;#8729;aamp;#8729;bamp;#8729;cosamp;#946; ), gdje su a2 i b2 kvadrati duljina susjednih stranica. Izraz pod korijenom je duljina treće nepoznate stranice, izražena kosinusnim teoremom.
Opseg jednakokračnog trokuta ima sljedeći pogled P=2a+b, gdje su a stranice, a b njegova baza.
Opseg pravilnog trokuta: P=3a.
Formula perimetra za jednakostranični trokut, ako je polumjer upisane kružnice P=6ramp;#8730;3, ili radijus opisane kružnice oko nje P=3Ramp;#8730;3, poznat, gdje su r i R polumjeri upisane, odnosno opisane kružnice.
Za jednakokračni trokut postoji formula: P=2R(2sinamp;#945;+sinamp;#946;), gdje je amp;#945; osnovni kut, amp;#946; kut nasuprot osnovici.
Ovisno o tome što znate iz izjave problema.
Najjednostavnija opcija je zbrojiti duljine svih stranica.
U jednakostraničnom trokutu duljina stranice pomnožena je s tri.
Prema formuli P=2S/r, ako je S površina, a r polumjer upisane kružnice.
Postoje i formule za pronalaženje površine trokuta ako su poznati njegovi kutovi.
Ako je trokut jednakostraničan, tada da biste pronašli njegov opseg, trebate pomnožiti duljinu jedne stranice s tri. A ako je trokut skalen, tada da biste pronašli njegov opseg morate zbrojiti duljine svih njegovih stranica.
Da biste pronašli opseg jednakostraničnog trokuta, trebate pomnožiti duljinu jedne stranice s tri.
Da biste pronašli opseg jednakokračnog trokuta, trebate uzeti duljinu jedne od stranica jednake duljine, pomnožiti s dva i dodati duljinu baze.
Uzmite ravnalo, izmjerite svaku stranicu trokuta (ako je jednakostraničan, onda možete mjeriti samo jednu) i zbrojite duljine njegovih stranica. U slučaju jednakostraničnog trokuta, pomnožite duljinu njegove stranice s 3.
U glavi, u koloni, na kalkulatoru - kako možete, ovisno o vašim matematičkim sposobnostima i prisutnosti ili odsutnosti kalkulatora.
Nađi opseg trokuta, ako je poznata duljina svake njegove stranice, samo trebate zbrojiti duljine stranica i dobiti opseg: (P=a+b+c).
Još lakše pronaći opseg jednakostraničnog trokuta samo trebate pomnožiti duljinu njegove stranice s 3: (P=3a).
Ali češće se potreba za izračunavanjem perimetra javlja kada nije poznata duljina svih njegovih strana.
Dakle, ako je poznata jedna stranica trokuta c i njezini susjedni kutovi, tada formula za izračunavanje opsega izgledat će ovako:
Opseg trokuta lako je pronaći. Opseg je duljina triju stranica trokuta. Trebate presavinuti prvu stranu, drugu stranu i treću stranu - ukupno duljina triju stranica bit će opseg trokuta.
Opseg je zbroj duljina stranica. Trebamo zbrojiti duljine svih stranica trokuta. Ili sam nešto krivo shvatio? Koji su početni podaci zadatka?
Da biste pronašli opseg trokuta, morate zbrojiti duljine sve tri njegove stranice. Ako je trokut jednakokračan, tada možete pomnožiti duljinu jednog brida s 2 i dodati duljinu baze i tako dobiti opseg jednakokračnog trokuta.
Preliminarne informacije
Opseg bilo kojeg ravnog geometrijskog lika na ravnini definiran je kao zbroj duljina svih njegovih stranica. Trokut u tome nije iznimka. Najprije predstavljamo pojam trokuta, kao i vrste trokuta ovisno o stranicama.
Definicija 1
Trokutom ćemo nazvati geometrijski lik koji se sastoji od tri točke međusobno spojene segmentima (slika 1).
Definicija 2
U okviru definicije 1, točke ćemo zvati vrhovima trokuta.
Definicija 3
U okviru definicije 1, segmente ćemo zvati stranice trokuta.
Očito, svaki trokut će imati 3 vrha, kao i tri strane.
Ovisno o međusobnom odnosu stranica, trokuti se dijele na razmjerne, jednakokračne i jednakostranične.
Definicija 4
Trokut ćemo nazvati razmjernim ako niti jedna njegova stranica nije jednaka ni jednoj drugoj.
Definicija 5
Trokut ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice međusobno jednake, ali nisu jednake trećoj stranici.
Definicija 6
Trokut ćemo nazvati jednakostraničnim ako su mu sve stranice međusobno jednake.
Sve vrste ovih trokuta možete vidjeti na slici 2.
Kako pronaći opseg razmjernog trokuta?
Neka nam je dan razmjerni trokut čije su duljine stranica jednake $α$, $β$ i $γ$.
Zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, trebate zbrojiti sve duljine njegovih stranica.
Primjer 1
Odredi opseg skalenskog trokuta jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odgovor: $57$ cm.
Primjer 2
Pronađite opseg pravokutni trokut, čije su noge jednake $6$ i $8$ cm.
Najprije pronađimo duljinu hipotenuze ovog trokuta koristeći Pitagorin teorem. Označimo ga onda s $α$
$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje opsega skalenskog trokuta, dobivamo
$P=10+8+6=24$ cm
Odgovor: $24$ vidi.
Kako pronaći opseg jednakokračnog trokuta?
Neka nam je dan jednakokračni trokut, duljine stranica bit će jednake $α$, a duljina osnovice bit će jednaka $β$.
Po definiciji opsega ravnine geometrijski lik, shvaćamo to
$P=α+α+β=2α+β$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakokračnog trokuta, dodajte dvostruku duljinu njegovih stranica duljini njegove baze.
Primjer 3
Odredi opseg jednakokračnog trokuta ako su mu stranice 12$ cm, a osnovica 11$ cm.
Iz gore navedenog primjera to vidimo
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odgovor: $35$ cm.
Primjer 4
Odredi opseg jednakokračnog trokuta ako je njegova visina povučena na osnovicu $8$ cm, a baza $12$ cm.
Pogledajmo crtež prema uvjetima problema:
Budući da je trokut jednakokračan, $BD$ je ujedno i medijan, stoga je $AD=6$ cm.
Koristeći Pitagorin poučak, iz trokuta $ADB$ nalazimo bočnu stranicu. Označimo ga onda s $α$
Prema pravilu za izračunavanje opsega jednakokračnog trokuta dobivamo
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odgovor: 32$ vidi.
Kako pronaći opseg jednakostraničnog trokuta?
Neka nam je dan jednakostranični trokut čije su duljine svih stranica jednake $α$.
Određivanjem opsega ravnog geometrijskog lika dobivamo da
$P=α+α+α=3α$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakostraničnog trokuta, pomnožite duljinu stranice trokuta s $3$.
Primjer 5
Odredi opseg jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica 12$ cm.
Iz gore navedenog primjera to vidimo
$P=3\cdot 12=36$ cm
Kako pronaći opseg trokuta? Svatko od nas postavio je ovo pitanje dok je studirao u školi. Pokušajmo se sjetiti svega što znamo o ovoj nevjerojatnoj figuri, a također odgovorimo na postavljeno pitanje.
Odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta obično je prilično jednostavan - samo trebate izvršiti postupak zbrajanja duljina svih njegovih stranica. Međutim, postoji nekoliko jednostavnijih metoda za pronalaženje željene vrijednosti.
Savjet
Ako su poznati radijus (r) kruga upisanog u trokut i njegovo područje (S), tada je odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta prilično jednostavan. Da biste to učinili, morate koristiti uobičajenu formulu:
Ako su poznata dva kuta, recimo α i β, koji su susjedni uz stranicu, i duljina same stranice, tada se opseg može pronaći pomoću vrlo, vrlo popularne formule koja izgleda ovako:
sinβ∙a/(sin(180° - β - α)) + sinα∙a/(sin(180° - β - α)) + a
Ako znate duljine susjednih stranica i kut β između njih, tada da biste pronašli opseg, morate koristiti Opseg se izračunava pomoću formule:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙a∙cosβ),
gdje su b2 i a2 kvadrati duljina susjednih stranica. Radikalni izraz je duljina treće strane koja je nepoznata, izražena pomoću teorema kosinusa.
Ako ne znate kako pronaći perimetar, onda ovdje zapravo nema ništa komplicirano. Izračunajte ga pomoću formule:
gdje je b osnovica trokuta, a njegove stranice.
Da biste pronašli opseg pravilnog trokuta, upotrijebite najjednostavniju formulu:
gdje je a duljina stranice.
Kako pronaći opseg trokuta ako su poznati samo polumjeri krugova koji su oko njega opisani ili u njega upisani? Ako je trokut jednakostraničan, treba primijeniti formulu:
P = 3R√3 = 6r√3,
gdje su R i r polumjeri opisane i upisane kružnice.
Ako je trokut jednakokračan, tada se na njega primjenjuje formula:
P=2R (sinβ + 2sinα),
gdje je α kut koji leži na bazi, a β je kut koji je nasuprot bazi.
Često rješavanje matematičkih problema zahtijeva dubinsku analizu i specifičnu sposobnost pronalaženja i izvođenja potrebnih formula, a to je, kao što mnogi ljudi znaju, prilično težak posao. Iako se neki problemi mogu riješiti samo jednom formulom.
Pogledajmo formule koje su osnovne za odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta, u odnosu na veliki izbor vrsta trokuta.
Naravno, glavno pravilo za pronalaženje opsega trokuta je ova izjava: da biste pronašli opseg trokuta, trebate zbrojiti duljine svih njegovih stranica koristeći odgovarajuću formulu:
gdje su b, a i c duljine stranica trokuta, a P opseg trokuta.
Postoji nekoliko posebnih slučajeva ove formule. Recimo da je vaš problem formuliran na sljedeći način: "kako pronaći opseg pravokutnog trokuta?" U ovom slučaju trebate koristiti sljedeću formulu:
P = b + a + √(b2 + a2)
U ovoj formuli, b i a su neposredne duljine kateta pravokutnog trokuta. Lako je pogoditi da se umjesto strane s (hipotenuze) koristi izraz, dobiven iz teorema velikog znanstvenika antike - Pitagore.
Ako trebate riješiti problem u kojem su trokuti slični, tada bi bilo logično koristiti ovu izjavu: omjer perimetara odgovara koeficijentu sličnosti. Recimo da imate dva slična trokuta - ΔABC i ΔA1B1C1. Zatim, da bismo pronašli koeficijent sličnosti, potrebno je opseg ΔABC podijeliti s opsegom ΔA1B1C1.
Zaključno, može se primijetiti da se opseg trokuta može pronaći pomoću različitih tehnika, ovisno o početnim podacima koje imate. Treba dodati da postoje neki posebni slučajevi za pravokutne trokute.
Perimetar figure - zbroj duljina svih njezinih stranica. Sukladno tome, kako bi se otkrio perimetar trokut, trebate znati kolika je duljina svake njegove stranice. Za pronalaženje stranica koriste se svojstva trokuta i osnovni teoremi geometrije.
upute
1. Ako su u tvrdnji zadatka navedene sve tri stranice trokuta, lako ih zbrojite. Tada će opseg biti jednak: P = a + b + c.
2. Neka su zadane dvije stranice a, b i kut između njih? Tada se treća strana može otkriti pomoću kosinusnog teorema: c? = a? +b? – 2 a b cos(?). Zapamtite da duljina stranice može biti samo pozitivna.
3. Poseban slučaj kosinusnog teorema je Pitagorin teorem koji je primjenjiv na pravokutne trokute. Kutak? u ovom slučaju to je 90°. Kosinus pravog kuta postaje jedan. Zatim c? = a? + b?.
4. Ako je u uvjetu zadana samo jedna stranica, a poznati su kutovi trokuta, druge dvije stranice mogu se pronaći pomoću teorema sinusa. Usput, ne mogu se specificirati svi kutovi; stoga je korisno upamtiti da je zbroj svih kutova trokuta jednak 180°.
5. Ispada da dana stranica a, kut? između a i b, ? između a i c. 3. kut? između stranica b i c lako se nalazi iz teorema o zbroju kutova trokuta: ? = 180° – ? – ?. Prema teoremu sinusa, a / sin(?) = b / sin(?) = c / sin(?) = 2 R, gdje je R polumjer kružnice opisane oko trokuta. Da bismo otkrili stranicu b, moguće ju je iz ove jednakosti izraziti preko kutova i stranice a: b = a sin(?) / sin(?). Strana c se izražava na sličan način: c = a sin(?) / sin(?). Ako je, recimo, zadan polumjer opisane kružnice, ali nije zadana duljina niti jedne stranice, problem se također može riješiti.
6. Ako je problemu dana površina figure, morate zapisati formulu za površinu trokuta u smislu strana. Izbor formule ovisi o tome što je još poznato. Ako su uz površinu zadane i dvije strane, pomoći će Heronova formula. Površina se također može izraziti kroz dvije stranice i sinus kuta između njih: S = 1/2 a b sin(?), gdje? – kut između stranica a i b.
7. U nekim zadacima može se odrediti površina i polumjer kruga upisanog u trokut. U ovom slučaju, formula r = S / p pomoći će, gdje je r radijus upisane kružnice, S je površina, p je polu-perimetar trokuta. Poluopseg iz ove formule lako je izraziti: p = S / r. Ostaje pronaći perimetar: P = 2 p.
Trokut je mnogokut s tri stranice i tri kuta. Kako izračunati njegov opseg?
upute
1. Opseg trokuta je zbroj duljina sve njegove 3 stranice.Označimo stranice trokuta s a, b, c. Opseg se u matematičkim formulama označava latiničnim slovom P. To znači, na temelju pravila, P = a + b + c Recimo da naše stranice trokuta imaju sljedeće duljine: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm Da bi se odredio opseg zadanog trokuta potrebno je zbrojiti duljine svih njegovih stranica, tj. P = 3 + 4 + 5P = 12 cm Nije težak zadatak, čaj, zar ne?
Video na temu
Video na temu
Jedan od osnovnih geometrijskih oblika je trokut. Nastaje na sjecištu tri ravna segmenta. Ti segmenti linija tvore stranice figure, a njihove sjecišne točke nazivaju se vrhovima. Svaki student koji studira geometriju mora znati pronaći opseg ove figure. Stečena vještina bit će korisna mnogima i u odrasli život, na primjer, bit će koristan studentu, inženjeru, graditelju,
postojati različiti putevi nađi opseg trokuta. Odabir formule koja vam je potrebna ovisi o dostupnim izvornim podacima. Za pisanje ove vrijednosti u matematičkoj terminologiji koristi se posebna oznaka - P. Razmotrimo što je perimetar, glavne metode izračuna za trokutaste figure različitih vrsta.
Najlakši način za pronalaženje opsega figure je ako imate podatke o svim stranama. U ovom slučaju koristi se sljedeća formula:
Slovo "P" označava sam obod. S druge strane, "a", "b" i "c" su duljine stranica.
Poznavajući veličinu triju veličina, bit će dovoljno dobiti njihov zbroj, a to je opseg.
Alternativna opcija
U matematičkim problemima rijetko su poznate sve zadane dužine. U takvim slučajevima preporuča se koristiti alternativnu metodu traženja tražene vrijednosti. Kada uvjeti označavaju duljinu dviju ravnih linija, kao i kut između njih, izračun se vrši traženjem treće. Da biste pronašli ovaj broj, morate pronaći kvadratni korijen pomoću formule:
.
Perimetar s obje strane
Za izračun opsega nije potrebno znati sve podatke geometrijske figure. Razmotrimo metode izračuna s obje strane.
Jednakokračan trokut
Jednakokračni trokut je onaj kojem su najmanje dvije stranice iste duljine. Nazivaju se bočnim, a treća strana bazom. Jednake ravne linije tvore vršni kut. Posebna značajka jednakokračnog trokuta je prisutnost jedne osi simetrije. Os je okomita linija koja se proteže od vršnog kuta i završava u sredini baze. U svojoj srži, os simetrije uključuje sljedeće koncepte:
- simetrala vršnog kuta;
- medijan prema bazi;
- visina trokuta;
- središnja okomica.
Da biste odredili opseg jednakokračnog trokuta, upotrijebite formulu.
U ovom slučaju trebate znati samo dvije količine: bazu i duljinu jedne strane. Oznaka "2a" podrazumijeva množenje duljine stranice s 2. Na dobivenu brojku morate dodati vrijednost baze - "b".
U iznimnom slučaju, kada je duljina baze jednakokračnog trokuta jednaka njegovoj bočnoj liniji, možete koristiti jednostavniju metodu. Izražava se sljedećom formulom:
Da biste dobili rezultat, samo pomnožite ovaj broj s tri. Ova se formula koristi za pronalaženje opsega jednakostraničnog trokuta.
Korisni video: problemi na obodu trokuta
Pravokutni trokut
Glavna razlika između pravokutnog trokuta i drugih geometrijskih oblika u ovoj kategoriji je prisutnost kuta od 90°. Na temelju ove značajke određuje se vrsta figure. Prije određivanja kako pronaći perimetar pravokutnog trokuta, vrijedi napomenuti da je ova vrijednost za bilo koju ravnu geometrijsku figuru zbroj svih strana. Dakle, u ovom slučaju, najlakši način da saznate rezultat je da zbrojite tri količine.
U znanstvenoj terminologiji, one strane koje su uz pravi kut, nazivaju se “katete”, a ona nasuprot kutu od 90º je hipotenuza. Značajke ove figure proučavao je starogrčki znanstvenik Pitagora. Prema Pitagorinom teoremu kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrati nogu.
.
Na temelju ovog teorema izvedena je druga formula koja objašnjava kako pronaći opseg trokuta koristeći dvije poznate stranice. Opseg za navedenu duljinu nogu možete izračunati sljedećom metodom.
.
Da biste saznali opseg, imajući podatke o veličini jedne noge i hipotenuze, morate odrediti duljinu druge hipotenuze. U tu svrhu koriste se sljedeće formule:
.
Također, opseg opisane vrste figure određen je bez podataka o dimenzijama nogu.
Morat ćete znati duljinu hipotenuze, kao i kut koji je uz nju. Znajući duljinu jedne od nogu, ako postoji kut uz nju, perimetar figure izračunava se pomoću formule:
.
