Definicija polumjera upisane kružnice. Formula za polumjer kruga upisanog u trokut. Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Kružnica upisana u trokut

Postojanje kruga upisanog u trokut

Podsjetimo se definicije simetrala kuta .

Definicija 1 .Simetrala kuta zove se zraka koja dijeli kut na dva jednaka dijela.

Teorema 1 (Osnovno svojstvo simetrale kuta) . Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od stranica kuta (slika 1).

Riža. jedan

Dokaz D koji leži na simetrali kutaBAC , i DE i D.F. na stranama ugla (slika 1).pravokutni trokuti ADF i ADE jednak jer imaju iste šiljaste kutoveDAF i DAE , i hipotenuza OGLAS - Općenito. Posljedično,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Teorem 2 (teorem inverzan teoremu 1) . Ako je neki , onda leži na simetrali kuta (slika 2).

Riža. 2

Dokaz . Promotrimo proizvoljnu točkuD leži unutar kutaBAC i nalazi se na istoj udaljenosti od strana ugla. Pad s točkeD okomice DE i D.F. na stranama ugla (slika 2).pravokutni trokuti ADF i ADE jednak , budući da imaju jednake nogeD.F. i DE , i hipotenuza OGLAS - Općenito. Posljedično,

Q.E.D.

Definicija 2 . Krug se zove krug upisan u kut ako su to stranice ovog kuta.

Teorem 3 . Ako je kutu upisana kružnica, tada su udaljenosti od vrha kuta do dodirnih točaka kružnice sa stranicama kuta jednake.

Dokaz . Neka točka D je središte kruga upisanog kutuBAC , i bodova E i F - dodirne točke kruga sa stranicama kuta (slika 3).

sl.3

a , b , c - stranice trokuta  S -kvadrat,

r – polumjer upisane kružnice,  str - poluperimetar

Pregledajte izlaz formule

a – bočna stranica jednakokračnog trokuta ,   b - baza, r – polumjer upisane kružnice

a r – polumjer upisane kružnice

Pregledajte izlaz formule

gdje

zatim, u slučaju jednakokračnog trokuta, kada

dobivamo

što je i bilo potrebno.

Teorem 7 . Za ravnopravnost

gdje a - stranica jednakostraničnog trokutar – polumjer upisane kružnice (slika 8).

Riža. osam

Dokaz .

tada, u slučaju jednakostraničnog trokuta, kada

b=a,

dobivamo

što je i bilo potrebno.

Komentar . Preporučam da kao vježbu izvedete formulu za polumjer kružnice upisane u jednakostranični trokut izravno, tj. bez upotrebe opće formule za polumjere kružnica upisanih u proizvoljni trokut ili jednakokračni trokut.

Teorem 8 . Za pravokutni trokut, jednakost

gdje a , b - noge pravokutnog trokuta, c – hipotenuza , r – polumjer upisane kružnice.

Dokaz . Razmotrite sliku 9.

Riža. 9

Budući da četverokutCDOF je , koji ima susjedne straneČINI i OD su jednaki, onda je ovaj pravokutnik . Posljedično,

CB \u003d CF \u003d r,

Na temelju teorema 3, jednakosti

Stoga, uzimajući u obzir i , dobivamo

što je i bilo potrebno.

Izbor zadataka na temu "Krug upisan u trokut."

Kružnica upisana u jednakokračni trokut dijeli u točki dodira jednu od stranica na dva segmenta, čije su duljine jednake 5 i 3, računajući od vrha nasuprot osnovici. Nađi opseg trokuta.

U trokutu ABC AC=4, BC=3, kut C je 90º. Nađi polumjer upisane kružnice.

Krakovi jednakokračnog pravokutnog trokuta su 2+. Odredi polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je 2. Odredite hipotenuzu c tog trokuta. Upiši c(-1) u svoj odgovor.

Evo niza zadataka s ispita s rješenjima.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je . Nađite hipotenuzu c ovog trokuta. Navedite u svom odgovoru.

Trokut je pravokutan i jednakokračan. Dakle, noge su mu iste. Neka svaka noga bude jednaka. Tada je hipotenuza.

Površinu trokuta ABC pišemo na dva načina:

Izjednačavajući ove izraze, dobivamo to. Jer, shvaćamo to. Zatim.

Kao odgovor, pišite.

Odgovor:.

Zadatak 2.

1. Na bilo koje dvije stranice 10 cm i 6 cm (AB i BC). Odredi polumjere opisane i upisane kružnice
Problem se samostalno rješava uz komentiranje.

Riješenje:

NA.

1) Pronađite:
2) Dokažite:i pronađite CK
3) Odredi polumjere opisane i upisane kružnice

Riješenje:

Zadatak 6.

R polumjer kruga upisanog u kvadrat je. Odredi polumjer kruga opisanog oko tog kvadrata.S obzirom :

Pronaći: OS=?
Riješenje: u ovom slučaju, problem se može riješiti korištenjem ili Pitagorinog teorema ili formule za R. Drugi slučaj će biti jednostavniji, budući da je formula za R izvedena iz teorema.

Zadatak 7.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je 2. Nađite hipotenuzuS ovaj trokut. Navedite u svom odgovoru.

S je površina trokuta

Ne znamo ni stranice trokuta ni njegovu površinu. Označimo noge kao x, tada će hipotenuza biti jednaka:

Površina trokuta bit će 0,5x 2 .

Sredstva

Dakle, hipotenuza će biti:

Odgovor mora biti napisan:

Odgovor: 4

Zadatak 8.

U trokutu ABC je AC = 4, BC = 3, kut C jednak je 90 0 . Nađi polumjer upisane kružnice.

Upotrijebimo formulu za polumjer kruga upisanog u trokut:

gdje su a, b, c stranice trokuta

S je površina trokuta

Dvije stranice su poznate (to su katete), možemo izračunati treću (hipotenuza), možemo izračunati i površinu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

Pronađimo područje:

Na ovaj način:

Odgovor: 1

Zadatak 9.

Stranice jednakokračnog trokuta su 5, osnovica je 6. Odredi polumjer upisane kružnice.

Upotrijebimo formulu za polumjer kruga upisanog u trokut:

gdje su a, b, c stranice trokuta

S je površina trokuta

Sve strane su poznate, a površina je izračunata. Možemo ga pronaći pomoću Heronove formule:

Zatim

Promotrimo kružnicu upisanu u trokut (slika 302). Podsjetimo se da se njegovo središte O nalazi u sjecištu simetrala unutarnjih kutova trokuta. Segmenti OA, OB, OS, koji spajaju O s vrhovima trokuta ABC, podijelit će trokut na tri trokuta:

AOB, BOS, SOA. Visina svakog od ovih trokuta jednaka je polumjeru, pa su stoga njihove površine izražene kao

Površina cijelog trokuta S jednaka je zbroju ove tri površine:

gdje je poluopseg trokuta. Odavde

Polumjer upisane kružnice jednak je omjeru površine trokuta i njegovog poluperimetra.

Da bismo dobili formulu za polumjer opisane kružnice trokutu, dokažemo sljedeću tvrdnju.

Teorem a: U svakom trokutu stranica je jednaka promjeru opisane kružnice pomnoženoj sa sinusom suprotnog kuta.

Dokaz. Promotrimo proizvoljni trokut ABC i oko njega opisanu kružnicu čiji ćemo polumjer označiti s R (slika 303). Neka je A šiljasti kut trokuta. Nacrtajmo polumjere OB, OS kružnice i spustimo okomicu OK iz njezina središta O na stranicu BC trokuta. Uočimo da se kut a trokuta mjeri polovicom luka BC, kojemu je kut BOC središnji kut. Odavde je jasno da . Dakle, iz pravokutnog trokuta SOK nalazimo , ili , što je bilo potrebno dokazati.

Dati fig. 303 i obrazloženje se odnosi na predmet oštar kut trokut; ne bi bilo teško provesti dokaz za slučajeve pravog i tupog kuta (čitatelj će to učiniti sam), ali se može koristiti sinusnim teoremom (218.3). Budući da mora biti gdje

Sinusni teorem je također napisan u. oblik

a usporedba s oznakom (218.3) daje za

Polumjer opisane kružnice jednak je omjeru umnoška triju stranica trokuta i njegove četverostruke površine.

Zadatak. Odredite stranice jednakokračnog trokuta ako njegova upisana i opisana kružnica imaju polumjere

Riješenje. Napišimo formule koje izražavaju polumjere upisane i opisane kružnice trokuta:

Za jednakokračni trokut sa stranicom i osnovicom, površina se izražava formulom

ili, smanjujući razlomak za faktor različit od nule, imamo

to dovodi do kvadratna jednadžba relativno

Ima dva rješenja:

Zamjenom umjesto njegovog izraza u bilo koju od jednadžbi za ili R, konačno nalazimo dva odgovora na naš problem:

Vježbe

1. Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravi kut, delnt hipotenuzu u odnosu Pronađite omjer svake od kateta prema hipotenuzi.

2. Osnovice jednakokračnog trapeza upisanog krugu jednake su a i b. Nađi polumjer kružnice.

3. Dvije se kružnice dodiruju izvana. Njihove zajedničke tangente nagnute su prema središnoj liniji pod kutom od 30°. Duljina tangente između dodirnih točaka je 108 cm.Odredi polumjere kružnica.

4. Krakovi pravokutnog trokuta jednaki su a i b. Odredite površinu trokuta čije su stranice visina i medijan zadanog trokuta, izvučene iz vrha pravog kuta i segmenta hipotenuze između točaka njihova sjecišta s hipotenuzom.

5. Stranice trokuta su 13, 14, 15. Nađite projekciju svake od njih na druge dvije.

6. U trokutu su poznate stranica i visine.Nađite stranice b i c.

7. Poznate su dvije stranice trokuta i središnja.Nađite treću stranicu trokuta.

8. Zadane su dvije stranice trokuta i kut a između njih: Odredi polumjere upisane i opisane kružnice.

9. Poznate su stranice trokuta a, b, c. Na koje ih segmente dijele dodirne točke upisane kružnice sa stranicama trokuta?

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Stoga nasljeđuje sva svojstva paralelograma. Naime:

Dijagonale romba su međusobno okomite.
Dijagonale romba simetrale su njegovih unutarnjih kutova.

Četverokutu se može upisati kružnica ako i samo ako su zbrojevi suprotnih stranica jednaki.
Dakle, u svaki romb se može upisati kružnica. Središte upisane kružnice poklapa se sa središtem sjecišta dijagonala romba.
Polumjer upisane kružnice u romb može se izraziti na više načina

1 način. Polumjer upisane kružnice u romb kroz visinu

Visina romba jednaka je promjeru upisane kružnice. To proizlazi iz svojstva pravokutnika, kojega čine promjer upisane kružnice i visina romba - suprotne stranice pravokutnika su jednake.

Dakle, formula za polumjer upisane kružnice u romb kroz visinu:

2 način. Polumjer upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Površina romba može se izraziti polumjerom upisane kružnice
, gdje R je opseg romba. Znajući da je opseg zbroj svih stranica četverokuta, imamo P= 4×ha. Zatim
Ali područje romba također je pola umnoška njegovih dijagonala
Izjednačavanjem desnih dijelova formule površine dobivamo sljedeću jednakost
Kao rezultat toga dobivamo formulu koja nam omogućuje izračunavanje polumjera upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Primjer izračuna polumjera kružnice upisane u romb ako su poznate dijagonale
Odredi polumjer kružnice upisane u romb ako je poznato da su duljine dijagonala 30 cm i 40 cm.
Neka ABCD- romb, dakle AC i BD njegove dijagonale. AC= 30 cm , BD=40 cm
Neka točka O je središte upisanog u romb ABCD krug, tada će to također biti točka sjecišta njegovih dijagonala, dijeleći ih na pola.

budući da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom, onda trokut AOB pravokutan. Zatim po Pitagorinom teoremu
, zamijenimo prethodno dobivene vrijednosti u formulu

AB= 25 cm
Primjenjujući prethodno izvedenu formulu za polumjer opisane kružnice na romb, dobivamo

3 načina. Polumjer kružnice upisane u romb kroz segmente m i n

Točka F- točka kontakta kruga sa stranom romba, koja ga dijeli na segmente AF i bf. Neka AF=m, BF=n.
Točka O- središte sjecišta dijagonala romba i središte u njega upisane kružnice.
Trokut AOB- pravokutni, budući da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom.
, jer je polumjer povučen na tangentu kružnice. Slijedom toga OD- visina trokuta AOB na hipotenuzu. Zatim AF i bf- projekcije kateta na hipotenuzu.
Visina u pravokutnom trokutu spuštena na hipotenuzu je prosječni proporcional između projekcija kateta na hipotenuzu.

Formula za polumjer upisane kružnice u romb kroz segmente jednaka je kvadratnom korijenu umnoška tih segmenata na koje je stranica romba podijeljena tangentnom točkom kruga

Ako se kružnica nalazi unutar kuta i dodiruje njegove stranice, naziva se upisana u taj kut. Središte tako upisane kružnice nalazi se na simetrala ovog kuta.

Ako ona leži unutra konveksni poligon i dodiruje se svim svojim stranicama, naziva se upisana u konveksni mnogokut.

Kružnica upisana u trokut

Kružnica upisana u trokut dodiruje svaku stranu ovog lika samo u jednoj točki. U jedan trokut može biti upisana samo jedna kružnica.

Polumjer takvog kruga ovisit će o sljedećim parametrima trokuta:

Duljine stranica trokuta.
Njegovo područje.
Njegov opseg.
Kutovi trokuta.

Da bi se izračunao polumjer upisane kružnice u trokut, nije uvijek potrebno poznavati sve gore navedene parametre, jer su oni međusobno povezani preko trigonometrijskih funkcija.

Izračun pomoću poluperimetra

Ako su poznate duljine svih stranica geometrijski lik(označavamo ih slovima a, b i c), tada ćete polumjer morati izračunati izvlačenjem kvadratnog korijena.
Započinjući izračune, potrebno je dodati još jednu varijablu početnim podacima - poluperimetar (p). Može se izračunati zbrajanjem svih duljina i dijeljenjem dobivenog iznosa s 2. p = (a+b+c)/2. Dakle, formula za pronalaženje polumjera može se značajno pojednostaviti.
Općenito, formula treba sadržavati znak radikala pod kojim se nalazi frakcija, nazivnik ove frakcije bit će vrijednost poluperimetra p.
Brojnik ovog razlomka bit će umnožak razlika (p-a)*(p-b)*(p-c)
Dakle, puni oblik formule bit će prikazan na sljedeći način: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Izračun s obzirom na površinu trokuta

Ako znamo površina trokuta i duljine svih njegovih stranica, to će nam omogućiti da pronađemo polumjer kruga koji nas zanima bez pribjegavanja vađenju korijena.

Prvo morate udvostručiti površinu.
Rezultat se dijeli sa zbrojem duljina svih stranica. Tada će formula izgledati ovako: r = 2*S/(a+b+c).
Ako koristite vrijednost poluperimetra, možete dobiti vrlo jednostavnu formulu: r \u003d S / p.

Računanje pomoću trigonometrijskih funkcija

Ako uvjet zadatka sadrži duljinu jedne od stranica, vrijednost suprotnog kuta i opseg, možete koristiti trigonometrijska funkcija- tangenta. U ovom slučaju formula za izračun izgledat će ovako:

r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), gdje je r željeni radijus, P je opseg, a je vrijednost duljine jedne od strana, α je vrijednost suprotnog stranu i kut.

Polumjer kružnice, koju treba upisati u pravilan trokut, može se pronaći pomoću formule r = a*√3/6.

Kružnica upisana u pravokutni trokut

Možete upisati u pravokutni trokut samo jedan krug. Središte takve kružnice istovremeno služi i kao sjecište svih simetrala. Ova geometrijska figura ima neke karakteristične značajke koje se moraju uzeti u obzir pri izračunavanju polumjera upisanog kruga.

Prvo morate sastaviti pravokutni trokut sa zadanim parametrima. Takvu figuru možete izgraditi prema veličini jedne strane i vrijednostima dvaju kutova ili prema dvjema stranama i kutu između tih strana. Svi ti parametri moraju biti navedeni u izjavi zadatka. Trokut se označava kao ABC, gdje je C vrh pravog kuta. Noge su označene varijablama, a i b, a hipotenuza je varijabla S.
Da biste izgradili klasičnu formulu i izračunali radijus kruga, potrebno je pronaći dimenzije svih strana figure opisane u uvjetu problema i izračunati poluperimetar iz njih. Ako uvjeti daju dimenzije dvaju kateta, oni se mogu koristiti za izračunavanje vrijednosti hipotenuze, na temelju Pitagorinog teorema.
Ako je u uvjetu navedena veličina jednog kraka i jednog kuta, potrebno je razumjeti je li taj kut susjedan ili suprotan. U prvom slučaju, hipotenuza se nalazi pomoću sinusnog teorema: s=a/sinSAV, u drugom slučaju primjenjuje se kosinusni teorem s=a/cosCBA.
Kada su svi izračuni dovršeni i kada su poznate dimenzije svih strana, poluopseg se pronalazi pomoću gore opisane formule.
Znajući vrijednost poluperimetra, možete pronaći polumjer. Formula je razlomak. Njegov brojnik je umnožak razlike poluopsega i svake od stranica, a nazivnik je vrijednost poluopsega.

Treba napomenuti da je brojnik ove formule pokazatelj površine. U ovom slučaju, formula za pronalaženje radijusa je mnogo jednostavnija - dovoljno je podijeliti područje s poluperimetrom.

Također je moguće odrediti površinu geometrijskog lika ako su poznate obje noge. Zbroj kvadrata ovih kateta je hipotenuza, a zatim se izračunava poluopseg. Površinu možete izračunati tako što ćete pomnožiti duljine krakova jednu s drugom i rezultat podijeliti s 2.

Ako uvjeti daju duljine i nogu i hipotenuze, polumjer možete odrediti pomoću vrlo jednostavne formule: za to se dodaju duljine nogu, duljina hipotenuze oduzima se od rezultirajućeg broja. Rezultat mora biti podijeljen na pola.