Diedralni kut je figura koju tvori ravna linija. a a dvije poluravnine sa zajedničkim rubom a , ne pripadaju istoj ravni.
Ravno a – diedral brid
a
U svakodnevnom životu često se susrećemo s predmetima koji imaju oblik diedralnog kuta. Takvi objekti su dvovodni krovovi zgrada, poluotvorena knjiga, zid sobe zajedno s podom itd.
Dvije poluravnine - plohe diedralnog kuta
Algoritam za konstruiranje linearnog kuta.
Kut ROK – linearni kut diedra P DE K.
Stupanjska mjera diedarskog kuta je stupanjska mjera njegovog linearnog kuta.
Trostrani i poliedarski kutovi
Upoznati definiciju trostranog i poliedarskog kuta;
Upoznati različite vrste poliedarskih kutova;
Proučiti svojstva poliedarskih kutova i naučiti ih primijeniti u rješavanju zadataka.
POLIEDALNI KUTOVI
Površina koju čini konačni skup ravnih kutova A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 sa zajedničkim vrhom S, u kojem susjedni kutovi nemaju zajedničkih točaka, osim točaka zajedničke zrake, a nesusjedni kutovi nemaju zajedničkih točaka, osim zajedničkog vrha, nazvat ćemo poliedarsku plohu.
Lik koji čine navedena ploha i jedan od dvaju dijelova prostora njome ograničen naziva se poliedarski kut. Zajednički vrh S zove se vrh poliedarskog kuta. zrake S.A. 1 , …, S.A. n nazivaju se bridovi poliedarskog kuta, a sami ravni kutovi A 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, A n -1 S.A. n , A n S.A. 1 – plohe poliedarskog kuta. Poliedarski kut označen je slovima S.A. 1 … A n, označavajući vrh i točke na njegovim rubovima.
POLIEDALNI KUTOVI
Ovisno o broju stranica poliedarski kutovi su trokutni, četverokutni, peterokutni itd.
TROKRADNI KUTOVI
Teorema. Svaki ravninski kut trostranog kuta manji je od zbroja njegova druga dva ravna kuta.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
TROKRADNI KUTOVI
S posjedom. Zbroj ravninskih kutova trostranog kuta manji je od 360.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
KONVEKSNI POLIHEDALNI KUTOVI
Poliedarski kut naziva se konveksnim ako je konveksna figura, tj. zajedno s bilo koje dvije svoje točke u cijelosti sadrži segment koji ih povezuje. Na slici su prikazani primjeri konveksnih i nekonveksnih poliedarskih kutova.
Vlasništvo. Zbroj svih ravnih kutova konveksnog poliedarskog kuta manji je od 360°.
Vertikalni poliedarski kutovi
Slike prikazuju primjere trokutnih, četverokutnih i peterokutnih okomitih kutova
Teorema. Vertikalni kutovi su jednaki.
Mjerenje poliedarskih kutova
Budući da se stupanjska vrijednost razvijenog diedarskog kuta mjeri stupnjevnom vrijednošću odgovarajućeg linearnog kuta i jednaka je 180°, pretpostavit ćemo da je stupanjska vrijednost cijelog prostora, koji se sastoji od dva razvijena diedralna kuta, jednaka 360°. Veličina poliedarskog kuta, izražena u stupnjevima, pokazuje koliko prostora zauzima dani poliedarski kut. Na primjer, trokutni kut kocke zauzima jednu osminu prostora i stoga je njegova vrijednost stupnjeva 360 o : 8 = 45 o. Trokutasti kut u ispravnom n-gonalna prizma jednaka je polovici diedralnog kuta na bočnom rubu. Uzimajući u obzir da je taj diedarski kut jednak, dobivamo da je i trokutni kut prizme jednak.
Vježba 1
Može li postojati trokut s ravnim kutovima: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°?
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Nema odgovora;
Vježba 2
Navedite primjere poliedra čija lica, sijekući se u vrhovima, tvore samo: a) trokutne kutove; b) tetraedarski kutovi; c) peterokutni kutovi.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: a) Tetraedar, kocka, dodekaedar;
b) oktaedar;
c) ikosaedar.
Vježba 3
Dva ravna kuta trostranog kuta su 70° i 80°. Koje su granice trećeg ravnog kuta?
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: 10 o 
1. Na slici je prikazan poliedar, svi diedarski kutovi poliedra su pravi kutovi. Odredi udaljenost između vrhova A i C2
Razmotrimo pravokutni trokut, prema Pitagorinom teoremu
3. Odredite kut CAD2 poliedra prikazanog na slici. Svi diedarski kutovi poliedra su pravi kutovi. Odgovorite u stupnjevima.
Promotrimo trokut CAD2 gdje je AC = CD2 = AD2 jer su dijagonale jednakih kvadrata, dakle trokut CAD2 je jednakostraničan pa su mu svi kutovi jednaki 60°.
4. Odredite kut ABD poliedra prikazanog na slici. Svi diedarski kutovi poliedra su pravi kutovi. Odgovorite u stupnjevima.
Uočimo da je ABCD kvadrat sa stranicom 2, a BD njegova dijagonala.To znači da je trokut ABD pravokutan i jednakokračan, AB=AD. Kut ABD je 45°.
5. Na slici je prikazan poliedar, svi diedarski kutovi poliedra su pravi kutovi. Odredite kvadrat udaljenosti između vrhova B2 i D3.
6. Na slici je prikazan poliedar, svi diedarski kutovi poliedra su pravi kutovi. Odredite kvadrat udaljenosti između vrhova A i C3.
7. Odredite kut EAD2 poliedra prikazanog na slici. Svi diedarski kutovi poliedra su pravi kutovi. Odgovorite u stupnjevima.
Vježba 5
U trokutnom kutu dva ravna kuta jednaka su 45°; diedarski kut između njih je pravi. Nađi treći ravninski kut.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: 6 0 o.
Vježba 6
Ravni kutovi trostranog kuta su 60°, 60° i 90°. Na njegovim rubovima od vrha položeni su jednaki segmenti O.A. , O.B. , O.C. . Odredite diedarski kut između ravnine kuta od 90° i ravnine ABC .
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: 9 0 o.
Vježba 7
Svaki ravni kut trostranog kuta iznosi 60°. Na jednom od njegovih rubova isječak od 3 cm odložen je od vrha, a okomica je spuštena s njegovog kraja na suprotnu stranu. Nađi duljinu te okomice.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: vidjeti
Vježba 8
Odredite geometrijsko mjesto unutarnjih točaka trokutnog kuta jednako udaljenih od njegovih stranica.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: Zraka čiji je vrh vrh trostranog kuta, koji leži na presjecištu ravnina koje dijele diedralne kutove popola.
Vježba 9
Odredite geometrijsko mjesto unutarnjih točaka trokutnog kuta jednako udaljenih od njegovih bridova.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: Zraka čiji je vrh vrh trostranog kuta, koji leži na presjecištu ravnina koje prolaze kroz simetrale ravnih kutova i okomite su na ravnine tih kutova.
Vježba 10
Odredite približne vrijednosti trokutnih kutova tetraedra.
Za diedarske kutove tetraedra imamo:
Odakle dolazi 70 oko 30?
Za trokutne kutove tetraedra imamo:
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: 15 oko 45".
Vježba 11
Odredite približne vrijednosti tetraedarskih kutova oktaedra.
Za diedarske kutove oktaedra imamo:
Odakle dolazi 109 o 30?
Za tetraedarske kutove oktaedra imamo:
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: 38 oko 56".
Vježba 12
Odredite približne vrijednosti peterokutnih kutova ikosaedra.
Za diedarske kutove ikosaedra imamo:
Gdje je 138 oko 11".
Za pentaedarske kutove ikosaedra imamo:
Odgovor: 75 oko 28".
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Vježba 13
Odredite približne vrijednosti trokutnih kutova dodekaedra.
Za diedarske kutove dodekaedra imamo:
Gdje je 116 oko 3 4".
Za trokutne kutove dodekaedra imamo:
Odgovor: 84 oko 51".
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Vježba 14
U pravilnoj četverokutnoj piramidi SABCD stranica baze je 2 cm, visina je 1 cm.Nađite četverostrani kut na vrhu ove piramide.
Rješenje: Navedene piramide dijele kocku na šest jednakih piramida s vrhovima u središtu kocke. Prema tome, četverostrani kut na vrhu piramide je jedna šestina kuta od 360 stupnjeva, tj. jednako 60 o.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: 60 o.
Vježba 15
U pravilnoj trokutastoj piramidi bočni bridovi su jednaki 1, a kutovi na vrhu su 90 stupnjeva. Odredite trokutasti kut na vrhu ove piramide.
Rješenje: Navedene piramide dijele oktaedar na osam jednakih piramida s vrhovima u središtu O oktaedar. Prema tome, trostrani kut na vrhu piramide je jedna osmina kuta od 360 stupnjeva, tj. jednako 45 o.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Odgovor: 45 o.
Vježba 16
U pravilnoj trokutastoj piramidi bočni bridovi su jednaki 1, a visina Nađi trokutasti kut pri vrhu ove piramide.
Rješenje: Navedene piramide dijele pravilan tetraedar na četiri jednake piramide s vrhovima u središtu O tetraedar. Prema tome, trostrani kut na vrhu piramide je jedna četvrtina kuta od 360 stupnjeva, tj. jednako 90 o.
U slajd modu, odgovor se pojavljuje nakon klika mišem.
Trokutni i poliedarski kutovi: Trokutni kut je figura koju čine tri ravnine, omeđena s tri zrake koje izlaze iz jedne točke i ne leže u istoj ravnini. Razmotrimo neki ravni mnogokut i točku koja leži izvan ravnine tog mnogokuta. Povucimo zrake iz ove točke koje prolaze kroz vrhove mnogokuta. Dobit ćemo lik koji se zove poliedarski kut.
Trostrani kut je dio prostora omeđen s tri ravna kuta sa zajedničkim vrhom i po par zajedničkih stranica koji ne leže u istoj ravnini. Zajednički vrh O ovih kutova naziva se vrhom trostranog kuta. Stranice kutova nazivamo bridovima, a ravni kutovi na vrhu trostranog kuta nazivaju se njegovim plohama. Svaki od tri para stranica trostranog kuta tvori diedarski kut s ravnim kutovima diedarski kut
; + > ; + > 2. Zbroj ravnih kutova trokutnog kuta manji je od 360 stupnjeva α, β, γ ravnih kutova, A, B, C dvokutnih kutova, sastav" title="Osnovna svojstva trokutnog kuta 1. Svaki ravninski kut trokutnog kuta manji je od zbroja njegova druga dva ravna kuta. + > ; + > ; + > 2. Zbroj ravninskih kutova trokutnog kuta manji je od 360 stupnjeva α, β, γ ravni kutovi, A, B, C dvostrani kutovi, sastav" class="link_thumb"> 4 !} Osnovna svojstva trostranog kuta 1. Svaki ravninski kut trostranog kuta manji je od zbroja njegova druga dva ravna kuta. + > ; + > ; + > 2. Zbroj ravninskih kutova trostranog kuta manji je od 360 stupnjeva α, β, γ su ravninski kutovi, A, B, C su diedarski kutovi koje tvore ravnine kutova β i γ, α i γ, α i β. 3. Prvi teorem o kosinusu za trokutni kut 4. Drugi teorem o kosinusu za trokutni kut ; + > ; + > 2. Zbroj ravnih kutova trostranog kuta manji je od 360 stupnjeva α, β, γ ravnih kutova, A, B, C diedarskih kutova, sastav "> ; + > ; + > 2. Zbroj ravni kutovi trokutnog kuta manji su od 360 stupnjeva α, β , γ su ravni kutovi, A, B, C su diedarski kutovi koje tvore ravnine kutova β i γ, α i γ, α i β. 3. Prvi Teorem kosinusa za trokut 4. Drugi teorem o kosinusu za trokut"> ; + > ; + > 2. Zbroj ravnih kutova trokutnog kuta manji je od 360 stupnjeva α, β, γ ravnih kutova, A, B, C dvokutnih kutova, sastav" title="Osnovna svojstva trokutnog kuta 1. Svaki ravninski kut trokutnog kuta manji je od zbroja njegova druga dva ravna kuta. + > ; + > ; + > 2. Zbroj ravninskih kutova trokutnog kuta manji je od 360 stupnjeva α, β, γ ravni kutovi, A, B, C dvostrani kutovi, sastav"> title="Osnovna svojstva trostranog kuta 1. Svaki ravninski kut trostranog kuta manji je od zbroja njegova druga dva ravna kuta. + > ; + > ; + > 2. Zbroj ravnih kutova trokutnog kuta manji je od 360 stupnjeva α, β, γ ravnih kutova, A, B, C diedarskih kutova, sastav"> !}
Lica poliedra su poligoni koji ga tvore. Bridovi poliedra su stranice mnogokuta. Vrhovi poliedra su vrhovi mnogokuta. Dijagonala poliedra je isječak koji povezuje 2 vrha koji ne pripadaju istoj plohi.
Poliedarski kutovi. Ploha koju čini konačni skup ravnih kutova A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 sa zajedničkim vrhom S, u kojem susjedni kutovi nemaju zajedničkih točaka osim točaka zajedničke zrake, a nesusjedni kutovi imaju nema zajedničkih točaka osim zajedničkog vrha, nazvat ćemo je poliedarska ploha. Lik koji čine navedena ploha i jedan od dvaju dijelova prostora njome ograničen naziva se poliedarski kut. Zajednički vrh S naziva se vrhom poliedarskog kuta. Zrake SA1, ..., SAn nazivaju se bridovi poliedarskog kuta, a sami ravni kutovi A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 plohama poliedarskog kuta. Poliedarski kut označava se slovima SA1...An, označavajući vrh i točke na njegovim bridovima.
Slajd 1 iz prezentacije “Poliedarski kut” za lekcije geometrije na temu "Kutovi u prostoru"Dimenzije: 960 x 720 piksela, format: jpg. Za preuzimanje besplatnog slajda za korištenje u lekciji geometrije desnom tipkom miša kliknite sliku i kliknite "Spremi sliku kao...". Cijelu prezentaciju “Polyhedral Angle.ppt” možete preuzeti u zip arhivi od 329 KB.
Preuzmite prezentacijuKutovi u prostoru
“Kut između ravnih linija u prostoru” - U kocki A...D1 pronađite kut između ravnih linija: AB1 i BC1. Kut između ravnih linija u prostoru. Odgovor: 90o. Odgovor: 45o. U kocki A...D1 pronađite kut između pravaca: A1C1 i B1D1. U kocki A...D1 pronađite kut između pravaca: AA1 i BC. Odgovor: U kocki A...D1 pronađite kut između pravaca: AA1 i BD1. U kocki A...D1 pronađite kut između pravaca: AA1 i BC1.
“Upisani kut” - Konstruirati pravi kut? Jednak ovome? Teorem: Definicija: Podržano. Praktični rad. Khasanova E.I., učiteljica matematike, Plan lekcije: Upisani kutovi. Dokaz: Zadano: Sažetak lekcije. 8. razred. B). Po čemu su slični, a po čemu različiti kutovi AOB i ACB? Općinska obrazovna ustanova "MSOSH br. 16", Miass, regija Chelyabinsk.
"Poliedarski kut" - Mjerenje poliedarskih kutova. Dva ravna kuta trostranog kuta su 70° i 80°. Stoga, ? ASB+ ? BSC+ ? A.S.C.< 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.
“Susjedni kutovi” - Zadani su: ?AOC i?BOC – susjedni. Dokažite: ?AOC + ?BOC = 180?. Susjedni i okomiti kutovi. d. c. Teorema. Korolari iz teoreme. b. A uz prošireni? Zadano proizvoljno?(ab), različito od proširenog. Definicija. a. Lekcija 11. Zbroj susjednih kutova je 180?. Dokaz.
Slajd 1
Slajd 2
Teorema. U trokutu je zbroj ravninskih kutova manji od 360, a zbroj bilo koja dva od njih veći je od trećeg. Zadano je: Oabc – trokut; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Glavno svojstvo trostranog kuta. Dokažite: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Slajd 3
Dokaz I. Neka< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Slajd 4
Formula tri kosinusa. Posljedice. 1) Za izračun kuta između pravca i ravnine primjenjiva je formula: 2) Kut između pravca i ravnine je najmanji od kutova koje ovaj pravac čini s ravnim crtama te ravnine.
Slajd 5
II. Na bridovima tog kuta postavimo točke A’, B’ i C’ tako da je |OA’| = |OB'| = |OC'| Tada su trokuti A’OB’, B’OC’ i C’OA’ jednakokračni, a njihovi kutovi na osnovicama 1 – 6 su šiljasti. Za trokutne kutove s vrhovima A’, B’ i C’ primjenjujemo nejednakosti dokazane u paragrafu I: C’A’B’< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Slajd 6
III. Razmotrimo polupravu c’ – komplementarnu polustranici c i za trostrani kut Oabc’ upotrijebimo nejednakost dokazanu u paragrafu II za proizvoljan trostrani kut: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Slično se dokazuju i druge dvije nejednakosti. Zadano je: Oabc – trokut; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Dokažite: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + > . S'
Slajd 7
Posljedica. U pravilnoj trokutastoj piramidi ravninski kut pri vrhu je manji od 120.
Slajd 8
Definicija. Kaže se da su trostrani kutovi jednaki ako su im svi odgovarajući ravninski i diedralni kutovi jednaki. Znakovi jednakosti trokutnih kutova. Trostrani kutovi su jednaki ako imaju redom jednake: dva ravna kuta i diedarski kut između njih; 2) dva diedrska kuta i ravni kut između njih; 3) tri ravna kuta; 4) tri dvostrana kuta. Riža. 4b
Slajd 9
. . Zadan je trokutni kut Oabc. Neka< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
Slajd 10
II. Neka je > 90 ; > 90, zatim razmotrimo zraku c’, komplementarnu s c, i odgovarajući trostrani kut Oabc’, u kojem su ravninski kutovi – i – šiljasti, a ravninski kut i diedarski kut jednaki. Prema I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
