Умови модуль. Як розв'язувати рівняння з модулем: основні правила. Збір та використання персональної інформації

Інструкція

Якщо модуль представлений як безперервної функції, то значення її аргументу то, можливо як позитивним, і негативним: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х

Модуль нулю, а модуль будь-якого позитивного числа – йому. Якщо аргумент негативний, після розкриття дужок його знак змінюється з мінуса на плюс. З цього випливає висновок, що модулі протилежних рівні: |-х| = | х | = х.

Модуль комплексного числа перебуває за такою формулою: |a| = √b ² + c ², а | a + b | ≤ |a| + | b |. Якщо в аргументі є у вигляді множника позитивне число, то його можна винести за знак дужки, наприклад: |4*b| = 4 * | b |.

Якщо аргумент представлений у вигляді складного числа, то зручності обчислень допускається порядку членів висловлювання, що у прямокутні дужки: |2-3| = | 3-2 | = 3-2 = 1, оскільки (2-3) менше від нуля.

Зведений у ступінь аргумент одночасно перебуває під знаком кореня того самого порядку – він вирішується за допомогою: √a² = |a| = ±a.

Якщо перед вами завдання, в якому не вказана умова розкриття дужок модуля, позбавлятися їх не потрібно – це і буде кінцевий результат. А якщо потрібно їх розкрити, необхідно вказати знак ±. Наприклад, потрібно знайти значення виразу √(2*(4-b))². Його рішення виглядає так: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * | 4-b |. Оскільки знак виразу 4-b невідомий, його потрібно залишити в дужках. Якщо додати додаткову умову, наприклад, |4-b| >

Модуль нуля дорівнює нулю, а модуль будь-якого позитивного числа – йому самому. Якщо аргумент негативний, після розкриття дужок його знак змінюється з мінуса на плюс. З цього випливає висновок, що модулі протилежних чисел рівні: |-х| = | х | = х.

Модуль комплексного числа перебуває за такою формулою: |a| = √b ² + c ², а | a + b | ≤ |a| + | b |. Якщо в аргументі є у вигляді множника ціле позитивне число, то його можна винести за знак дужки, наприклад: |4*b| = 4 * | b |.

Негативним модуль не може, тому будь-яке негативне число перетворюється на позитивне: |-x| = x, | -2 | = 2, |-1/7 | = 1/7, | -2,5 | = 2,5.

Якщо аргумент представлений у вигляді складного числа, то зручності обчислень допускається зміна порядку членів висловлювання, що у прямокутні дужки: |2-3| = | 3-2 | = 3-2 = 1, оскільки (2-3) менше від нуля.

Модуль числа вводиться нове поняття математики. Докладно розберемо, що таке модуль числа і як з ним працювати?

Розглянемо приклад:

Ми вийшли з дому до магазину. Пройшли 300 м, математично цей вираз можна записати як +300, значення числа 300 від знака “+” не зміниться. Відстань чи модуль числа в математиці це і теж можна записати так: |300|=300. Знак модуля числа позначається двома вертикальними лініями.

А потім у зворотному напрямку пройшли 200м. Математично шлях назад ми можемо записати як -200. Але ми не говоримо так "ми пройшли мінус двісті метрів", хоча ми повернулися, тому що відстань як величина залишається позитивною. Для цього в математиці запровадили поняття модуля. Записати відстань чи модуль числа -200 можна так: |-200|=200.

Властивості модуля.

Визначення:
Модуль числа чи абсолютна величина числа- це відстань від відправної точки до точки призначення.

Модуль цілого числа не дорівнює нулю, завжди позитивне.

Записується модуль так:

1. Модуль позитивного числа дорівнює самому числу.
| a|=a

2. Модуль від'ємного числа дорівнює протилежному числу.
|- a|=a

3. Модуль нуля, що дорівнює нулю.
|0|=0

4. Модулі протилежних чисел рівні.
| a|=|-a|=a

Питання на тему:
Що таке модуль числа?
Відповідь: модуль — це відстань від точки відправлення до точки призначення.

Якщо перед цілим числом поставити знак "+", що станеться?
Відповідь: число не змінить свого сенсу, наприклад, 4=+4.

Якщо перед цілим числом встановити знак “-” , що станеться?
Відповідь: число зміниться на , наприклад, 4 та -4.

У яких чисел однаковий модуль?
Відповідь: у позитивних чисел та нуля модуль буде той самий. Наприклад, 15 = | 15 |.

Які числа модуль – протилежне число?
Відповідь: у негативних чисел, модуль дорівнюватиме протилежному числу. Наприклад, |-6|=6.

Приклад №1:
Знайдіть модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?

Рішення:
а) |0|=0
б) |5|=5
в) | -7 | = 7

Приклад №2:
Чи існують два різні числа, модулі яких рівні?

Рішення:
|10|=10
|-10|=10

Модулі протилежних чисел рівні.

Приклад №3:
Які два протилежні числа мають модуль 9?

Рішення:
|9|=9
|-9|=9

Відповідь: 9 та -9.

Приклад №4:
Виконайте дії: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в) | +4 | - | +1 |

Рішення:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Приклад №5:
Знайдіть: а) модуль числа 2; б) модуль числа 6; в) модуль числа 8; г) модуль числа 1; д) модуль числа 0.
Рішення:

а) модуль числа 2 позначається як | 2 | або |+2| це одне і теж.
|2|=2

б) модуль числа 6 позначається як | 6 | або |+6| це одне і теж.
|6|=6

в) модуль числа 8 позначається як | 8 | або |+8| це одне і теж.
|8|=8

г) модуль числа 1 позначається як | 1 | або |+1| це одне і теж.
|1|=1

буд) модуль числа 0 позначається як |0|, |+0| чи |-0| це одне і теж.
|0|=0

Термін (module) у буквальному перекладі з латинської означає «захід». Це було введено в математику англійським ученим Р. Котесом. А німецький математик К. Вейєрштрас ввів в обіг знак модуля - символ, яким це поняття позначається при написанні.

Вконтакте

Вперше це поняття вивчається в математиці за програмою 6 класу середньої школи. Згідно з одним із визначень, модуль - це абсолютне значення дійсного числа. Іншими словами, щоб дізнатись модуль дійсного числа, необхідно відкинути його знак.

Графічно абсолютне значення апозначається як |a|.

Основна відмінна риса цього поняття у тому, що він є неотрицательной величиною.

Числа, які відрізняються один від одного лише знаком, називаються протилежними. Якщо значення позитивне, протилежне йому буде негативним, а нуль є протилежним самому собі.

Геометричне значення

Якщо розглядати поняття модуля з позицій геометрії, він позначатиме відстань, яке вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до заданої точки. Це визначення повністю розкриває геометричний зміст терміну, що вивчається.

Графічно можна висловити так: |a| = OA.

Властивості абсолютної величини

Нижче будуть розглянуті всі математичні властивості цього поняття та способи запису у вигляді буквених виразів:

Особливості вирішення рівнянь із модулем

Якщо говорити про розв'язання математичних рівнянь і нерівностей, у яких міститься module, необхідно пам'ятати, що їх вирішення потрібно відкрити цей знак.

Наприклад, якщо знак абсолютної величини містить у собі деяке математичне вираз, перед тим як розкрити модуль, необхідно враховувати діючі математичні визначення.

|А + 5| = А + 5якщо, А більше або дорівнює нулю.

5-Аякщо А значення менше нуля.

У деяких випадках знак може розкриватися однозначно за будь-яких значень змінної.

Розглянемо ще один приклад. Побудуємо координатну пряму, де відзначимо всі числові значення абсолютної величиною яких буде 5.

Для початку необхідно накреслити координатну пряму, позначити на ній початок координат і встановити розмір одиничного відрізка. Крім того, пряма повинна мати напрямок. Тепер на цій прямій необхідно нанести розмітки, які дорівнюють величині одиничного відрізка.

Таким чином, ми можемо побачити, що на цій координатній прямій будуть дві точки, що цікавлять нас, зі значеннями 5 і -5.

Модуль – це абсолютна величина виразу. Щоб хоч якось позначити модуль, прийнято використовувати прямі дужки. Те значення, яке укладено в рівних дужках, є тим значенням, яке взято по модулю. Процес вирішення будь-якого модуля полягає в розкритті тих самих прямих дужок, які математичною мовою називаються модульними дужками. Їхнє розкриття відбувається за певним рядом правил. Також, у порядку розв'язання модулів, знаходяться й безлічі значень тих виразів, які перебували у модульних дужках. У більшості випадків, модуль розкривається таким способом, що вираз, який був підмодульним, отримує і позитивні, і негативні значення, серед яких також значення нуль. Якщо відштовхуватися від встановлених властивостей модуля, то в процесі складаються різні рівняння або нерівності від вихідного виразу, які потім необхідно вирішити. Розберемося з тим, як вирішувати модулі.

Процес вирішення

Рішення модуля починається із запису вихідного рівняння з модулем. Щоб відповісти на питання про те, як розв'язувати рівняння з модулем, потрібно розкрити його повністю. Для вирішення такого рівняння модуль розкривається. Усі модульні вирази мають бути розглянуті. Слід визначити при яких значеннях невідомих величин, що входять до його складу, модульний вираз у дужках перетворюється на нуль. Для того щоб це зробити, достатньо прирівняти вираз у модульних дужках до нуля, а потім вирахувати рішення рівняння, що утворилося. Знайдені значення слід зафіксувати. У такий же спосіб потрібно визначити ще й значення всіх невідомих змінних для всіх модулів у цьому рівнянні. Далі необхідно зайнятися визначенням та розглядом усіх випадків існування змінних у виразах, коли вони відмінні від значення нуль. Для цього потрібно записати деяку систему з нерівностей відповідно до всіх модулів у вихідній нерівності. Нерівності повинні бути складені так, щоб вони охоплювали всі існуючі та можливі значення для змінної, які знаходять на числовій прямій. Потім потрібно накреслити для візуалізації цю числову пряму, на якій надалі відкласти всі отримані значення.

Майже все зараз можна зробити в інтернеті. Не є винятком із правил і модуль. Вирішити онлайн можна на одному з численних сучасних ресурсів. Всі значення змінної, які знаходяться в нульовому модулі, будуть особливим обмеженням, яке буде використано в процесі рішення модульного рівняння. У вихідному рівнянні потрібно розкрити всі наявні модульні дужки, при цьому, змінюючи знак виразу, таким чином, щоб значення змінної змінної збігалися з тими значеннями, які видно на числовій прямій. Отримане рівняння необхідно розв'язати. Те значення змінної, яке буде отримано в ході розв'язання рівняння, потрібно перевіряти на обмеження, яке задано самим модулем. Якщо значення змінної повністю задовольняє умова, воно є правильним. Усі коріння, які будуть отримані в ході рішення рівняння, але не підходитимуть за обмеженнями, повинні бути відкинуті.

Одна з найскладніших тем для учнів – це вирішення рівнянь, які містять змінну під знаком модуля. Давайте розберемося для початку з чим це пов'язано? Чому, наприклад, квадратні рівняння більшість дітей клацає як горішки, а з таким далеко не найскладнішим поняттям, як модуль, має стільки проблем?

На мою думку, всі ці складності пов'язані з відсутністю чітко сформульованих правил для вирішення рівнянь із модулем. Так, вирішуючи квадратне рівняння, учень точно знає, що йому потрібно спочатку застосовувати формулу дискримінанта, а потім формули коріння квадратного рівняння. А що робити, якщо на рівнянні зустрівся модуль? Постараємося чітко описати необхідний план дій у разі, коли рівняння містить невідому під знаком модуля. До кожного випадку наведемо кілька прикладів.

Але для початку згадаємо визначення модуля. Отже, модулем числа aназивається саме це число, якщо aневід'ємно та -a, якщо число aменше нуля. Записати це можна так:

|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0

Говорячи про геометричний сенс модуля, слід пам'ятати, що кожному дійсному числу відповідає певна точка на числовій осі - її до оординату. Так ось, модулем або абсолютною величиною числа називається відстань від цієї точки до початку відліку числової осі. Відстань завжди задається позитивним числом. Таким чином, модуль будь-якого від'ємного числа є позитивним. До речі, навіть на цьому етапі багато учнів починають плутатися. У модулі може стояти будь-яке число, а ось результат застосування модуля завжди число позитивне.

Тепер перейдемо безпосередньо до розв'язання рівнянь.

1. Розглянемо рівняння виду | = с, де с – дійсне число. Це рівняння можна вирішити за допомогою модуля.

Всі дійсні числа розіб'ємо на три групи: ті, що більше за нуль, ті, що менше за нуль, і третя група – це число 0. Запишемо рішення у вигляді схеми:

(±c, якщо з > 0

Якщо | x | = c, то x = (0, якщо с = 0

(немає коріння, якщо з< 0

1) | = 5, т.к. 5> 0, то x = ±5;

2) | = -5, т.к. -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | = 0 то x = 0.

2. Рівняння виду | f (x) | = b, де b > 0. Для розв'язання цього рівняння необхідно позбутися модуля. Робимо це так: f(x) = b або f(x) = -b. Тепер необхідно вирішити окремо кожне із отриманих рівнянь. Якщо у вихідному рівнянні b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 або x + 2 = -4

2) | x 2 – 5 | = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 - 5 = 11 або x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 немає коренів

3) | x 2 - 5x | = -8, т.к. -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Рівняння виду | f (x) | = g(x). За змістом модуля таке рівняння матиме рішення, якщо його права частина більша чи дорівнює нулю, тобто. g(x) ≥ 0. Тоді матимемо:

f(x) = g(x)або f(x) = -g(x).

1) | 2x - 1 | = 5x – 10. Це рівняння матиме коріння, якщо 5x – 10 ≥ 0. Саме з цього і починають розв'язання таких рівнянь.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Рішення:

2x – 1 = 5x – 10 або 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Об'єднуємо О.Д.З. та рішення, отримуємо:

Корінь x = 11/7 не підходить за О.Д.З., він менше 2, а x = 3 цій умові задовольняє.

Відповідь: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - х 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Розв'яжемо методом інтервалів дану нерівність:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Рішення:

x – 1 = 1 – x 2 або x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 або x = 1 x = 0 або x = 1

3. Об'єднуємо рішення та О.Д.З.:

Підходять лише коріння x = 1 та x = 0.

Відповідь: x=0, x=1.

4. Рівняння виду | f (x) | = | g (x) |. Таке рівняння рівносильне двом наступним рівнянням f(x) = g(x) або f(x) = -g(x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Дане рівняння рівносильне двом наступним:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 або x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 або x = 4 x = 2 або x = 1

Відповідь: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Рівняння, які вирішуються методом підстановки (заміни змінної). Даний метод рішення найпростіше пояснити на конкретному прикладі. Так, нехай дано квадратне рівняння з модулем:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому рівняння можна переписати так:

|х| 2 - 6 | x | + 5 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0, тоді матимемо:

t 2 – 6t + 5 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, що t = 1 або t = 5. Повернемося до заміни:

|х| = 1 чи |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Відповідь: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Розглянемо ще один приклад:

x 2 + | x | – 2 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому

|х| 2 + | x | - 2 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0 тоді:

t 2 + t – 2 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, t = -2 або t = 1. Повернемося до заміни:

|х| = -2 чи |x| = 1

Немає коріння x = ± 1

Відповідь: x=-1, x=1.

6. Ще один вид рівнянь - рівняння зі "складним" модулем. До таких рівнянь відносяться рівняння, в яких є модулі в модулі. Рівняння цього виду можна вирішувати, застосовуючи властивості модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Діятимемо так само, як і в рівняннях другого типу. Т.к. 4 > 0, то отримаємо два рівняння:

3 - | x | = 4 чи 3 – |x| = -4.

Тепер виразимо у кожному рівнянні модуль х, тоді |x| = -1 чи |x| = 7.

Вирішуємо кожне з отриманих рівнянь. У першому рівнянні немає коріння, т.к. -1< 0, а во втором x = ±7.

Відповідь x=-7, x=7.

2) | 3 + | x + 1 | | = 5. Вирішуємо це рівняння аналогічним чином:

3 + | x + 1 | = 5 чи 3 + |x + 1| = -5

|х + 1| = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 або x + 1 = -2. Нема коріння.

Відповідь: x=-3, x=1.

Існує ще й універсальний метод розв'язання рівнянь із модулем. Це спосіб інтервалів. Але ми його розглянемо надалі.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.