Іноді в математиці необхідно звести число в ступінь, який є дріб. Про те, як звести число в дрібний ступінь, розповість наша стаття, і Ви побачите, що це дуже просто.
Число в дрібній мірі дуже рідко являє собою ціле число. Часто результат такого зведення можна подати з певною часткою точності. Тому, якщо не вказано точність обчислення, то знаходять ті значення, які обчислюються з точністю до цілих, а ті, що мають велику кількість знаків після десяткової коми, залишають з корінням. Наприклад, кубічний корінь із семи або квадратний корінь із двох. У фізиці обчислені значень цього коріння округляють до сотих, коли не потрібна інша ступінь точності.
Алгоритм рішення
- Перетворюємо дробовий показник на неправильний або правильний дріб. Частину неправильного дробу, який є цілим, виділяти не варто. Якщо дробовий ступінь представлений як ціла і дробова частина, її необхідно перевести в неправильний дріб
- Обчислюємо значення ступеня даного числа, що дорівнює чисельнику правильного або неправильного дробу
- Обчислюємо корінь отриманого у пункті 2 числа, показником якого беремо знаменник нашого дробу
Наведемо приклади таких обчислень
Також для цих обчислень Ви можете завантажити калькулятор собі на комп'ютер або використовувати он-лайн калькулятори, яких дуже багато в Інтернеті, наприклад.
Дроб є ставлення чисельника до знаменника, причому знаменник не повинен дорівнювати нулю, а чисельник може бути будь-який.
При зведенні будь-якого дробу в довільний ступінь потрібно зводити окремо чисельник і знаменник дробу в цей ступінь, після чого ми повинні ці міри порахувати і таким чином отримаємо дріб, зведений у ступінь.
Наприклад:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2/3)^3 = (2/3) · (2/3) · (2/3) = 2^3/3^3
Негативний ступінь
Якщо ми маємо справу з негативним ступенем, то ми повинні спочатку "Перевернути дріб", а потім зводити її в ступінь за правилом написаним вище.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
Літерний ступінь
Працюючи з літерними значеннями такими як “x” і “у” зведення ступінь відбувається за тим самим правилом як і раніше.
Також ми можемо перевірити себе звівши дріб ½ в 3 ступінь в результаті чого ми отримаємо ½ * ½ * ½ = 1/8 що по суті те саме що і
Букве зведення в ступінь x^y
Розмноження та поділ дробів зі ступенями
Якщо ми множимо ступеня з однаковими основами, то сама основа залишається незмінною, а показники ступенів ми складаємо. Якщо ж ми ділимо ступеня з однаковими основами, тоді основа ступеня також залишається незмінною, а показники ступенів віднімаються.
Це дуже легко можна показати на прикладі:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
Те саме ми могли б отримати якби просто звели в ступінь 3 і 4 окремо знаменник і чисельник відповідно.
Зведення дробу зі ступенем ще один ступінь
При зведенні дробу, яка вже знаходиться в ступеня, ще раз в ступінь ми повинні спочатку зробити внутрішнє зведення в ступінь після чого переходити до зовнішньої частини зведення в ступінь. Тобто ми можемо легко перемножити ці ступені і звести дріб в отриману міру.
Наприклад:
(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8
Зведення в одиницю, квадратний корінь
Також не можна забувати що зведення будь-якого дробу в нульовий ступінь дасть нам 1, так само як і будь-яке інше число при зведенні в ступінь рівну нулю ми отримаємо 1.
Звичайний квадратний корінь також можна подати у вигляді ступеня дробу
Квадратний корінь 3 = 3 ^ (1/2)
Якщо ж ми маємо справу з квадратним коренем під яким знаходиться дріб, то ми можемо уявити цей дріб у чисельнику якого буде квадратний корінь 2 – ступеня (т.к. квадратний корінь)
На знаменнику також буде квадратний корінь, тобто. тобто ми бачитимемо ставлення двох коренів, це може стати в нагоді для вирішення деяких завдань і прикладів.
Якщо ми зведемо дріб, що знаходиться під квадратним коренем у другий ступінь, то ми отримаємо той самий дріб.
Твір двох дробів під одним ступенем дорівнюватиме добутку цих двох дробів, кожен окремо з яких буде під своїм ступенем.
Пам'ятайте: на нуль ділити не можна!
Також не варто забувати про дуже важливе зауваження для дробу такий як знаменник не повинен дорівнювати нулю. Надалі у багатьох рівняннях ми будемо використовувати це обмеження, яке називається ОДЗ – область допустимих значень.
При порівнянні двох дробів з однією і тією ж основою але різними ступенями, більше буде той дріб у якого ступінь буде більшим, а меншим той у якого ступінь меншим, при рівності не тільки підстав, але і ступенів, дріб вважається однаковим.
Настав час ознайомитися з зведенням алгебраїчного дробуу ступінь. Це з алгебраїчними дробами за змістом ступеня зводиться до множення однакових дробів. У цій статті ми дамо відповідне правило і розглянемо приклади зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь.
Навігація на сторінці.
Правило зведення алгебраїчного дробу до ступеня, його доказ
Перш ніж говорити про зведення в ступінь алгебраїчної дробу, не завадить згадати, що є твір однакових множників, що стоять на підставі ступеня, а їх кількість визначається показником. Наприклад, 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .
А тепер згадаємо правило зведення у ступінь звичайного дробу – для цього потрібно окремо звести у вказаний ступінь чисельник, та окремо – знаменник. Наприклад, . Зазначене правило поширюється на зведення алгебраїчного дробу до натурального ступеня.
Зведення алгебраїчного дробу до натурального ступенядає новий дріб, у чисельнику якого зазначена ступінь чисельника вихідного дробу, а знаменнику – ступінь знаменника. У літерному вигляді цьому правилу відповідає рівність , де a і b – довільні багаточлени (у окремих випадках одночлени чи числа), причому b – ненульовий многочлен, а n – .
Доказ озвученого правила зведення алгебраїчного дробу в ступінь засновано на визначенні ступеня з натуральним показником і на тому, як ми визначили множення дробів алгебри : 
.
Приклади, рішення
Отримане в попередньому пункті правило зводить зведення алгебраїчного дробу до ступеня до зведення в цей ступінь чисельника і знаменника вихідного дробу. Оскільки чисельником і знаменником вихідної алгебраїчної дробу є многочлены (у окремому випадку одночлени чи числа), то вихідне завдання зводиться до спорудження ступінь многочленов . Після виконання цієї дії буде отримано новий алгебраїчний дріб, тотожно рівний зазначеного ступеня вихідного алгебраїчного дробу.
Розглянемо рішення кількох прикладів.
приклад.
Зведіть алгебраїчну дріб у квадрат.
Рішення.
Запишемо ступінь. Тепер звертаємося до правила зведення алгебраїчного дробу до ступеня, воно нам дає рівність 
. Залишилося перетворити отриманий дріб до виду дробу алгебри, виконавши зведення одночленів в ступінь . Так 
.
Зазвичай при зведенні дробу алгебри в ступінь хід рішення не пояснюють, а рішення записують коротко. Нашому прикладу відповідає запис 
.
Відповідь:
.
Коли в чисельнику та/або в знаменнику алгебраїчної дробу знаходяться багаточлени, особливо двочлени, то при її зведенні до ступеня доцільно використовувати відповідні формули скороченого множення .
приклад.
Зведіть алгебраїчну дріб 
у другий ступінь.
Рішення.
За правилом зведення дробу у ступінь маємо 
.
Для перетворення отриманого виразу в чисельнику скористаємося формулою квадрата різниці, а знаменнику – формулою квадрата суми трьох доданків : 
Відповідь:
На закінчення відзначимо, що якщо ми зводимо в натуральний ступінь нескоротний алгебраїчну дріб, то в результаті теж вийде нескоротний дріб. Якщо ж вихідний дріб скоротний, то перед зведенням його в ступінь доцільно виконати скорочення дробу алгебри , щоб не виконувати скорочення після зведення в ступінь.
Список літератури.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
Copyright by cleverstudents
Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.
На уроці буде розглянуто узагальнений варіант множення дробів - це зведення в ступінь. Насамперед, мова йтиме про натуральний ступінь дробу та про приклади, що демонструють подібні дії з дробами. На початку уроку, також, ми повторимо зведення в натуральний ступінь цілих виразів і побачимо, яким чином це стане у нагоді для вирішення подальших прикладів.
Тема: Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами
Урок: Зведення алгебраїчного дробу до ступеня
1. Правила зведення дробів та цілих виразів у натуральний ступінь з елементарними прикладами
Правило зведення звичайних та алгебраїчних дробів у натуральний ступінь:
Можна провести аналогію зі ступенем цілого виразу та згадати, що розуміється під зведенням його у ступінь:
приклад 1. 
.
Як видно з прикладу, зведення дробу в ступінь - це окремий випадок множення дробів, що вивчалося на попередньому уроці.
Приклад 2. а) б) 
- Мінус йде, тому що ми звели вираз у парний ступінь.
Для зручності роботи зі ступенями згадаємо основні правила зведення в натуральний ступінь:
- Добуток ступенів;
- Розподіл ступенів;
Зведення ступеня до ступеня;
Ступінь твору.
Приклад 3 - це відомо нам ще з теми «Зведення в ступінь цілих виразів», крім одного випадку: не існує.
2. Найпростіші приклади на зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь
Приклад 4. Звести дріб у ступінь.
Рішення. При зведенні парного ступеня мінус йде:
Приклад 5. Звести дріб у ступінь.
Рішення. Тепер користуємося правилами зведення ступеня в ступінь одразу без окремого розписування:
.
Тепер розглянемо комбіновані завдання, в яких нам буде необхідно і зводити дроби до ступеня, і множити їх, і ділити.
Приклад 6. Виконати дії.
Рішення. 
. Далі необхідно зробити скорочення. Розпишемо один раз докладно, як ми це робитимемо, а потім будемо вказувати результат відразу за аналогією: . Аналогічно (або за правилом поділу ступенів). Маємо: .
Приклад 7. Виконати дії.
Рішення. . Скорочення здійснено за аналогією з прикладом, розібраним раніше.
Приклад 8. Виконати дії.
Рішення. . У цьому прикладі ми ще раз детальніше розписали процес скорочення ступенів у дробах, щоб закріпити цей спосіб.
3. Більш складні приклади на зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь (з урахуванням знаків та з доданками в дужках)
Приклад 9. Виконати дії 
.
Рішення. У цьому прикладі вже пропустимо окреме множення дробів, а одразу скористаємося правилом їх множення та запишемо під один знаменник. При цьому слідкуємо за знаками - у зазначеному випадку дроби зводяться до парні ступенітому мінуси зникають. Наприкінці виконаємо скорочення.
Приклад 10. Виконати дії 
.
Рішення. У даному прикладі присутній розподіл дробів, пригадаємо, що при цьому перший дріб множиться на другий, але перевернутий.
Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.
Навігація на сторінці.
Що означає «зведення у ступінь»?
Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.
Визначення.
Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.
Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r і зведення числа a у ступінь r – це те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».
Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.
Зведення числа до натурального ступеня
Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дрібний ступінь m/n спочатку витягується корінь n-ого ступеня з числа a, після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.
Розглянемо рішення прикладів зведення на дробовий ступінь.
приклад.
Обчисліть значення ступеня.
Рішення.
Покажемо два способи розв'язання.
Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: 
.
Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником та на підставі властивостей коренів справедливі рівністі 
. Тепер витягаємо корінь 
, нарешті, зводимо в цілий ступінь 
.
Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.
Відповідь:
Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробуабо змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення у ступінь.
приклад.
Обчисліть (44,89) 2,5.
Рішення.
Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): 
. Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь: 
Відповідь:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні ступені є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться досить великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.
На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного змісту: якщо маємо 
, а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дробовій позитивній мірі дорівнює нулю, наприклад, 
. А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .
Зведення в ірраціональний ступінь
Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу зазначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ір раціональний ступіньвручну вимагає великої кількостігроміздких обчислень. Але все ж таки опишемо в загальних рисах суть дій.
Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це значення є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точніше десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим точніше значення ступеня буде отримано в результаті.
Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти точніше десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо точніше значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Список літератури.
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
- Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
- Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).
