Що означає записати як нерівності. Лінійні нерівності. Детальна теорія з прикладами. Властивості числових нерівностей

Тобто спочатку записують змінну, що входить у нерівність, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказують, до якого числового проміжку належать значення цієї змінної. В даному випадку вираз x∈ [2; 8] вказує на те, що змінна x,що входить у нерівність 2 ≤ x≤ 8 приймає всі значення в проміжку від 2 до 8 включно. При цих значеннях нерівність буде правильною.

Звернемо увагу на те, що відповідь записана за допомогою квадратних дужок, оскільки межі нерівності 2 ≤ x≤ 8 , а саме числа 2 і 8 належать безлічі розв'язків цієї нерівності.

Безліч розв'язків нерівності 2 ≤ x≤ 8 можна також зобразити за допомогою координатної прямої:

Тут межі числового проміжку 2 та 8 відповідають кордонам нерівності 2 ≤ x x 2 ≤ x≤ 8 .

У деяких джерелах кордону, які не належать числовому проміжку, називають відкритими .

Відкритими їх називають з тієї причини, що числовий проміжок залишається відкритим через те, що його межі не належать до цього числового проміжку. Порожній гурток на координатній прямої математики називають виколотою точкою . Виколоти точку означає виключити її з числового проміжку або з множини рішень нерівності.

А у випадку, коли межі належать числовому проміжку, їх називають закритими(або замкнутими), оскільки такі межі закривають (замикають) числовий проміжок. Зафарбований кружок на координатній прямій також говорить про закритість кордонів.

Існують різновиди числових проміжків. Розглянемо кожен із них.

Числовий промінь

Числовим променем x ≥ a, де a x -розв'язання нерівності.

Нехай a= 3 . Тоді нерівність x ≥ aнабуде вигляду x≥3. Рішеннями даної нерівності є всі числа, які більше 3, включаючи саме число 3.

Зобразимо числовий промінь, заданий нерівністю x≥ 3 на координатній прямій. Для цього відзначимо на ній точку з координатою 3, а всю решту праворуч від неї областьвиділимо штрихами. Виділяється саме права частина, оскільки рішеннями нерівності x≥ 3 є числа, більші 3. А більші числа на координатній прямій розташовуються правіше

x≥ 3 а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності x≥ 3 .

Точка 3, яка є межею числового променя, зображена у вигляді зафарбованого кружка, оскільки межа нерівності x≥ 3 належить множині його рішень.

На листі числовий промінь, заданий нерівністю x ≥ a,

[ a; +∞)

Видно, що з одного боку межа обрамлена квадратною дужкою, а з іншого — круглою. Це пов'язано з тим, що одна межа числового променя належить йому, а інша ні, оскільки нескінченність сама по собі меж не має і мається на увазі, що по той бік немає числа, що замикає цей числовий промінь.

Враховуючи те, що одна з меж числового променя закрита, цей проміжок часто називають закритим числовим променем.

Запишемо відповідь до нерівності x≥ 3 за допомогою позначення числового променя. У нас змінна aдорівнює 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

У цьому виразі йдеться, що змінна x, що входить у нерівність x≥ 3 приймає всі значення від 3 до плюс нескінченності.

Інакше кажучи, всі числа від 3 до плюс нескінченності є рішеннями нерівності x≥3. Кордон 3 належить безлічі рішень, оскільки нерівність x≥ 3 є несуворим.

Закритим числовим променем також називають числовий проміжок, який задається нерівністю x ≤ a.Розв'язаннями нерівності x ≤ a a,включаючи саме число a.

Наприклад, якщо a x≤ 2 . На координатній прямій межа 2 зображуватиметься зафарбованим кружком, а вся область, що знаходиться ліворуч, буде виділено штрихами. Цього разу виділяється ліва частина, оскільки рішеннями нерівності x≤ 2 є числа, менші 2. А менші числа на координатній прямій розташовуються ліворуч

x≤ 2 , а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності x≤ 2 .

Точка 2, яка є межею числового променя, зображена у вигляді зафарбованого кружка, оскільки межа нерівності x≤ 2 належить множині його рішень.

Запишемо відповідь до нерівності x≤ 2 за допомогою позначення числового променя:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. Кордон 2 належить множині рішень, оскільки нерівність x≤ 2 є несуворим.

Відкритий числовий промінь

Відкритим числовим променемназивають числовий проміжок, який задається нерівністю x > a, де a— межа цієї нерівності, x- Вирішення нерівності.

Відкритий числовий промінь багато в чому схожий на закритий числовий промінь. Відмінність у цьому, що кордон aне належить проміжку, як і межа нерівності x > aне належить безлічі його рішень.

Нехай a= 3 . Тоді нерівність набуде вигляду x>3. Розв'язаннями даної нерівності є всі числа, які більші за 3, за винятком числа 3

На координатній прямій межа відкритого числового променя, заданого нерівністю x> 3, буде зображуватися як порожнього кружка. Вся область, що знаходиться праворуч, буде виділена штрихами:

Тут точка 3 відповідає межі нерівності x > 3 а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності x > 3 . Точка 3, яка є межею відкритого числового променя, зображена у вигляді порожнього кружка, оскільки межа нерівності x > 3 не належить множині його рішень.

x > a , позначається так:

(a; +∞)

Круглі дужки вказують на те, що межі відкритого числового променя не належать йому.

Запишемо відповідь до нерівності x> 3 за допомогою позначення відкритого числового променя:

x ∈ (3 ; +∞)

У цьому вся вираженні говориться, що це числа від 3 до плюс нескінченності, є рішеннями нерівності x>3. Кордон 3 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність x> 3 є суворим.

Відкритим числовим променем також називають числовий проміжок, який задається нерівністю x< a , де a— межа цієї нерівності, x- Вирішення нерівності . Розв'язаннями нерівності x< a є всі числа, які менші a,виключаючи число a.

Наприклад, якщо a= 2 , то нерівність набуде вигляду x< 2 . На координатній прямий кордон 2 зображуватиметься порожнім кружком, а вся область, що знаходиться зліва, буде виділена штрихами:

Тут точка 2 відповідає межі нерівності x< 2 а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності x< 2 . Точка 2, яка є межею відкритого числового променя, зображена у вигляді порожнього кружка, оскільки межа нерівності x< 2 не належить безлічі його рішень.

На листі відкритий числовий промінь, заданий нерівністю x< a , позначається так:

(−∞ ; a)

Запишемо відповідь до нерівності x< 2 за допомогою позначення відкритого числового променя:

x ∈ (−∞ ; 2)

У цьому вся вираженні говориться, що це числа від мінус нескінченності до 2, є рішеннями нерівності x< 2. Кордон 2 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність x< 2 є суворим.

Відрізок

Відрізком a ≤ x ≤ b, де aі b x- Вирішення нерівності.

Нехай a = 2 , b= 8 . Тоді нерівність a ≤ x ≤ bнабуде вигляду 2 ≤ x≤ 8 . Розв'язаннями нерівності 2 ≤ x≤ 8 є всі числа, які більші за 2 і менші за 8. При цьому межі нерівності 2 і 8 належать безлічі його розв'язків, оскільки нерівність 2 ≤ x≤ 8 є несуворим.

Зобразимо відрізок, заданий подвійною нерівністю 2 ≤ x≤ 8 на координатній прямій. Для цього відзначимо на ній точки з координатами 2 і 8, а розташовану між ними область виділимо штрихами:

≤ x≤ 8 , а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x x≤ 8 . Точки 2 та 8, які є межами відрізка, зображені у вигляді зафарбованих кружків, оскільки межі нерівності 2 ≤ x≤ 8 належать до безлічі його рішень.

На листі відрізок, заданий нерівністю a ≤ x ≤ bпозначається так:

[ a; b ]

Квадратні дужки з обох боків вказують на те, що межі відрізка належатьйому. Запишемо відповідь до нерівності 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8 включно є рішеннями нерівності 2 ≤ x≤ 8 .

Інтервал

Інтерваломназивають числовий проміжок, який задається подвійною нерівністю a< x < b , де aі b— межі цієї нерівності, x- Вирішення нерівності.

Нехай a = 2, b = 8. Тоді нерівність a< x < b набуде вигляду 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Зобразимо інтервал на координатній прямій:

Тут точки 2 та 8 відповідають межам нерівності 2< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

На листі інтервал, заданий нерівністю a< x < b, позначається так:

(a; b)

Круглі дужки з обох боків вказують на те, що межі інтервалу не належатьйому. Запишемо відповідь до нерівності 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8, крім числа 2 і 8, є рішеннями нерівності 2< x< 8 .

Напівінтервал

Напівінтерваломназивають числовий проміжок, який задається нерівністю a ≤ x< b , де aі b— межі цієї нерівності, x- Вирішення нерівності.

Напівінтервалом також називають числовий проміжок, який задається нерівністю a< x ≤ b .

Одна з меж напівінтервалу належить йому. Звідси і назва цього числового проміжку.

У ситуації з напівінтервалом a ≤ x< b йому (напівінтервалу) належить ліва межа.

А в ситуації із напівінтервалом a< x ≤ b йому належить правий кордон.

Нехай a= 2 , b= 8 . Тоді нерівність a ≤ x< b набуде вигляду 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Зобразимо напівінтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, які є розв'язками нерівності 2 ≤ x < 8 .

Точка 2, яка є лівим кордономнапівінтервалу, зображена у вигляді зафарбованого кружка, оскільки ліва межа нерівності 2 ≤ x < 8 належитьбезлічі його рішень.

А точка 8, що є правим кордономнапівінтервалу, зображена у вигляді порожнього кружка, оскільки права межа нерівності 2 ≤ x < 8 не належить безлічі його рішень.

a ≤ x< b, позначається так:

[ a; b)

Видно, що з одного боку межа обрамлена квадратною дужкою, а з іншого — круглою. Це з тим, що одна межа напівінтервалу належить йому, іншу ні. Запишемо відповідь до нерівності 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

У цьому вся виразі йдеться, що це числа від 2 до 8, включаючи число 2, але крім числа 8, є рішеннями нерівності 2 ≤ x < 8 .

Аналогічно на координатній прямій можна зобразити напівінтервал, заданий нерівністю a< x ≤ b . Нехай a= 2 , b= 8 . Тоді нерівність a< x ≤ b набуде вигляду 2< x≤ 8 . Розв'язаннями цієї подвійної нерівності є всі числа, які більше 2 і менше 8, крім числа 2, але включаючи число 8.

Зобразимо напівінтервал 2< x≤ 8 на координатній прямій:

Тут точки 2 та 8 відповідають межам нерівності 2< x≤ 8 , а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності 2< x≤ 8 .

Точка 2, яка є лівим кордономнапівінтервалу, зображена у вигляді порожнього кружка, оскільки ліва межа нерівності 2< x≤ 8 не належитьбезлічі його рішень.

А точка 8, що є правим кордономнапівінтервалу, зображена у вигляді зафарбованого кружка, оскільки права межа нерівності 2< x≤ 8 належитьбезлічі його рішень.

На листі напівінтервал, заданий нерівністю a< x ≤ b, позначається так: ( a; b]. Запишемо відповідь до нерівності 2< x≤ 8 за допомогою цього позначення:

x ∈ (2 ; 8 ]

У цьому виразі говориться, що всі числа від 2 до 8, крім числа 2, але включаючи число 8, є рішеннями нерівності 2< x≤ 8 .

Зображення числових проміжків на координатній прямій

Числовий проміжок може бути заданий за допомогою нерівності або позначення (круглих або квадратних дужок). В обох випадках необхідно зобразити цей числовий проміжок на координатній прямій. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Зобразити числовий проміжок, заданий нерівністю x> 5

Згадуємо, що нерівністю виду x> aзадається відкритий числовий промінь. У цьому випадку змінна aдорівнює 5. Нерівність x> 5 суворе, тому межа 5 зображатиметься у вигляді порожнього кружка. Нас цікавлять усі значення x,які більше 5, тому вся область справа буде виділена штрихами:

Приклад 2. Зобразити числовий проміжок (5; +∞) на координатній прямій

Це той самий числовий проміжок, який ми зобразили у попередньому прикладі. Але цього разу він заданий не за допомогою нерівності, а за допомогою позначення числового проміжку.

Кордон 5 обрамлений круглою дужкою, отже вона не належить проміжку. Відповідно, гурток залишається порожнім.

Символ +∞ вказує, що нас цікавлять усі числа, які більші за 5. Відповідно, вся область праворуч від кордону 5 виділяється штрихами:

Приклад 3. Зобразити числовий проміжок (−5; 1) на координатній прямій.

Круглими дужками по обидва боки позначаються інтервали. Кордони інтервалу не належать йому, тому межі −5 та 1 зображатимуться на координатній прямій у вигляді порожніх гуртків. Вся область між ними буде виділена штрихами:

Приклад 4. Зобразити числовий проміжок, заданий нерівністю −5< x< 1

Це той самий числовий проміжок, який ми зобразили у попередньому прикладі. Але цього разу він заданий не за допомогою позначення проміжку, а за допомогою подвійної нерівності.

Нерівністю виду a< x < b , задається інтервал. У цьому випадку змінна aдорівнює −5 , а змінна bдорівнює одиниці. Нерівність −5< x< 1 суворе, тому межі −5 та 1 зображатимуться у вигляді порожніх кружка. Нас цікавлять усі значення x,які більше −5 , але менше одиниці, тому вся область між точками −5 та 1 буде виділена штрихами:

Приклад 5. Зобразити на координатній прямій числові проміжки [-1; 2] та

На цей раз зобразимо на координатній прямій одразу два проміжки.

Квадратними дужками по обидва боки позначаються відрізки. Кордони відрізка належать йому, тому межі відрізків [-1; 2] і зображатимуться на координатній прямій у вигляді зафарбованих гуртків. Вся область між ними буде виділено штрихами.

Щоб добре побачити проміжки [−1; 2] і перший можна зобразити на верхній області, а другий на нижній. Так і вчинимо:

Приклад 6. Зобразити на координатній прямій числові проміжки [-1; 2) та (2; 5)

Квадратною дужкою з одного боку та круглою з іншого позначаються напівінтервали. Один із меж напівінтервалу належать йому, а інший немає.

Що стосується напівінтервалом [-1; 2) ліва межа належатиме йому, а права ні. Значить ліва межа зображатиметься у вигляді зафарбованого кружка. Права ж межа зображатиметься у вигляді порожнього гуртка.

А у випадку з напівінтервалом (2; 5) йому належатиме лише права межа, а ліва ні. Значить ліва межа зображатиметься у вигляді зафарбованого кружка.

Зобразимо проміжок [-1; 2) на верхній області координатної прямої, а проміжок (2; 5] - на нижній:

Приклади розв'язання нерівностей

Нерівність, яка шляхом тотожних перетворень можна привести до вигляду ax > b(або на вигляд ax< b ), будемо називати лінійною нерівністю з однією змінною.

У лінійній нерівності ax > b , x- Це змінна, значення якої потрібно знайти, а- Коефіцієнт цієї змінної, b— межа нерівності, яка в залежності від знака нерівності може належати безлічі її рішень або не належати їй.

Наприклад, нерівність 2 x> 4 є нерівністю виду ax > b. У ньому роль змінної aграє число 2, роль змінної b(Границі нерівності) грає число 4.

Нерівність 2 x>4 можна зробити ще простіше. Якщо ми розділимо обидві його частини на 2, то отримаємо нерівність x> 2

Нерівність, що вийшла x> 2 також є нерівністю виду ax > b, тобто лінійною нерівністю з однією змінною. У цій нерівності роль змінної aграє одиниця. Раніше говорили, що коефіцієнт 1 не записують. Роль змінної bграє число 2.

Відштовхуючись від цих відомостей, спробуємо вирішити кілька простих нерівностей. У ході рішення ми виконуватимемо елементарні тотожні перетворення з метою отримати нерівність виду ax > b

Приклад 1. Вирішити нерівність x− 7 < 0

Додамо до обох частин нерівності число 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

У лівій частині залишиться x, а права частина дорівнюватиме 7

x< 7

Шляхом елементарних перетворень ми навели нерівність x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Коли нерівність приведена до виду x< a (або x > a), його можна вважати вже вирішеним. Наша нерівність x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишемо відповідь за допомогою числового проміжку. В даному випадку відповіддю буде відкритий числовий промінь (згадуємо, що числовий промінь задається нерівністю x< a і позначається як (−∞; a)

x ∈ (−∞ ; 7)

На координатній прямий кордон 7 буде зображуватися у вигляді порожнього кружка, а вся область, що знаходиться зліва від кордону, буде виділена штрихами:

Для перевірки візьмемо будь-яке число із проміжку (−∞ ; 7) і підставимо його в нерівність x< 7 вместо переменной x. Візьмемо, наприклад, число 2

2 < 7

Вийшла правильна числова нерівність, отже, і рішення правильне. Візьмемо ще якесь число, наприклад, число 4

4 < 7

Вийшла правильна числова нерівність. Отже рішення правильне.

А оскільки нерівність x< 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Приклад 2. Вирішити нерівність −4 x < −16

Розділимо обидві частини нерівності на −4. Не забуваймо, що при розподілі обох частин нерівності на негативне число, знак нерівності змінюється на протилежний:

Ми привели нерівність −4 x < −16 к равносильному неравенству x>4. Розв'язаннями нерівності x> 4 будуть усі числа, які більші за 4. Кордон 4 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність суворе.

x> 4 на координатній прямий і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 3. Вирішити нерівність 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесемо 6 yз правої частини до лівої частини, змінивши знак. А одну з лівої частини перенесемо в праву частину, знову ж таки змінивши знак:

3y− 6y> 1 − 1

Наведемо такі складові:

−3y > 0

Розділимо обидві частини на −3. Не забуваємо, що з розподілі обох частин нерівності на негативне число, знак нерівності змінюється на протилежний:

Розв'язаннями нерівності y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Приклад 4. Вирішити нерівність 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Розкриємо дужки в обох частинах нерівності:

Перенесемо −3 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак. Члени −5 та 7 із лівої частини перенесемо у праву частину, знову ж таки змінивши знаки:

Наведемо такі складові:

Поділимо обидві частини нерівності, що вийшла на 8

Розв'язаннями нерівності є всі числа, які є меншими . Кордон належить безлічі рішень, оскільки нерівність є несуворим.

Приклад 5. Вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 2. Це дозволить позбавитися дробу в лівій частині:

Тепер перенесемо 5 із лівої частини у праву частину, змінивши знак:

Після приведення подібних доданків, отримаємо нерівність 6 x>1. Розділимо обидві частини цієї нерівності на 6. Тоді отримаємо:

Розв'язаннями нерівності є всі числа, які більші за . Кордон не належить безлічі рішень, оскільки нерівність є суворою.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 6. Вирішити нерівність

Помножимо обидві частини на 6

Після приведення подібних доданків, отримаємо нерівність 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Розв'язаннями нерівності x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Приклад 7. Вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 10

У нерівності, що вийшла, розкриємо дужки в лівій частині:

Перенесемо члени без xу праву частину

Наведемо такі складові в обох частинах:

Поділимо обидві частини нерівності, що вийшла, на 10

Розв'язаннями нерівності x≤ 3,5 є всі числа, які менші за 3,5. Кордон 3,5 належить безлічі рішень, оскільки нерівність є x≤ 3,5 несуворим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності x≤ 3,5 на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 8. Вирішити нерівність 4< 4x< 20

Щоб вирішити таку нерівність, потрібна змінна xзвільнити від коефіцієнта 4. Тоді зможемо сказати у якому проміжку перебуває розв'язання даної нерівності.

Щоб звільнити змінну xвід коефіцієнта, можна розділити член 4 xна 4. Але правило в нерівностях таке, що якщо ми ділимо член нерівності на якесь число, то теж треба зробити і з іншими членами, що входять у цю нерівність. У нашому випадку на 4 потрібно розділити всі три члени нерівності 4< 4x< 20

Розв'язаннями нерівності 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Приклад 9. Розв'язати нерівність −1 ≤ −2 x≤ 0

Розділимо всі члени нерівності на −2

Отримали нерівність 0,5 ≥ x≥0. Подвійне нерівність бажано записувати те щоб менший член розташовувався ліворуч, а більший справа. Тому перепишемо нашу нерівність таким чином:

0 ≤ x≤ 0,5

Розв'язаннями нерівності 0 ≤ x≤ 0,5 є всі числа, які більші за 0 і менше 0,5. Межі 0 і 0,5 належать множині рішень, оскільки нерівність 0 ≤ x≤ 0,5 є несуворим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності 0 ≤ x≤ 0,5 на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 10. Вирішити нерівність

Помножимо обидві нерівності на 12

Розкриємо дужки в нерівності і наведемо подібні доданки:

Розділимо обидві частини нерівності, що вийшла на 2

Розв'язаннями нерівності x≤ −0,5 є усі числа, які менші за −0,5. Кордон −0,5 належить множині рішень, оскільки нерівність x≤ −0,5 є несуворим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності x≤ −0,5 на координатній прямій та запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 11. Вирішити нерівність

Помножимо всі частини нерівності на 3

Тепер з кожної частини нерівності, що вийшла, віднімемо 6

Кожну частину нерівності, що вийшла, розділимо на −1. Не забуваємо, що з розподілі всіх елементів нерівності на негативне число, символ нерівності змінюється на протилежний:

Розв'язаннями нерівності 3 ≤ a ≤ 9 є всі числа, які більші за 3 і менші за 9. Кордони 3 і 9 належать безлічі рішень, оскільки нерівність 3 ≤ a ≤ 9 є несуворим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності 3 ≤ a ≤ 9 на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Коли рішень немає

Існують нерівності, які не мають розв'язків. Таким, наприклад, є нерівність 6 x> 2(3x+ 1). У процесі розв'язання цієї нерівності ми прийдемо до того, що знак нерівності не виправдає свого розташування. Погляньмо, як це виглядає.

Розкриємо дужки у правій частині даної нерівності, отримаємо 6 x> 6x+ 2 . Перенесемо 6 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак, отримаємо 6 x− 6x>2. Наводимо подібні доданки та отримуємо нерівність 0 > 2 , яка не є вірною.

Для найкращого розуміння, перепишемо приведення подібних доданків у лівій частині таким чином:

Здобули нерівність 0 x>2. У лівій частині розташовується твір, який дорівнює нулю при будь-якому x. А нуль не може бути більшим, ніж число 2. Значить нерівність 0 x> 2 немає рішень.

x> 2 , то немає рішень і вихідне нерівність 6 x> 2(3x+ 1) .

Приклад 2. Вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 3

У нерівності, що вийшла, перенесемо член 12 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак. Потім наведемо такі складові:

Права частина нерівності, що вийшла при будь-якому xдорівнюватиме нулю. А нуль не менший, ніж −8. Значить нерівність 0 x< −8 не имеет решений.

А якщо немає рішень наведена рівносильна нерівність 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Відповідь: рішень немає.

Коли рішень нескінченно багато

Існують нерівності, що мають безліч рішень. Такі нерівності стають вірними за будь-якого x .

Приклад 1. Вирішити нерівність 5(3x− 9) < 15x

Розкриємо дужки у правій частині нерівності:

Перенесемо 15 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак:

Наведемо такі складові в лівій частині:

Здобули нерівність 0 x< 45 . У лівій частині розташовується твір, який дорівнює нулю при будь-якому x. А нуль менший, ніж 45. Значить рішенням нерівності 0 x< 45 є будь-яке число.

x< 45 має безліч рішень, то й вихідна нерівність 5(3x− 9) < 15x має ті самі рішення.

Відповідь можна записати у вигляді числового проміжку:

x ∈ (−∞; +∞)

У цьому вся виразі йдеться, що рішеннями нерівності 5(3x− 9) < 15x є всі числа від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

Приклад 2. Вирішити нерівність: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Розкриємо дужки в лівій частині нерівності:

Перенесемо 50 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак. А член 31 з лівої частини перенесемо в праву частину, знову ж таки змінивши знак:

Наведемо такі складові:

Здобули нерівність 0 x >−31 . У лівій частині розташовується твір, який дорівнює нулю при будь-якому x. А нуль більший, ніж −31 . Отже рішенням нерівності 0 x< −31 є будь-яке число.

А якщо наведена рівносильна нерівність 0 x >−31 має безліч рішень, та й вихідна нерівність 31(2x+ 1) − 12x> 50x має ті самі рішення.

Запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

x ∈ (−∞; +∞)

Завдання для самостійного вирішення

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Нерівність – зворотний бік рівності. Матеріал цієї статті дає визначення нерівності та початкову інформацію про нього в розрізі математики.

Поняття нерівності, як і поняття рівності, пов'язується з порівнянням двох об'єктів. Коли рівність означає «однакові», то нерівність, навпаки, свідчить про відмінності об'єктів, які порівнюються. Наприклад, і - однакові об'єкти чи рівні. і - об'єкти, що відрізняються один від одного або нерівні.

Нерівність об'єктів визначається за смисловим навантаженням такими словами, як вище – нижче (нерівність за ознакою висоти); товщі - тонші (нерівність за ознакою товщини); довше – коротше (нерівність за ознакою довжини) тощо.

Можна міркувати як про рівність-нерівність об'єктів в цілому, так і про порівняння їх окремих показників. Допустимо, задані два об'єкти: і . Без сумніву, ці об'єкти є однаковими, тобто. загалом вони не рівні: за ознакою розміру та кольору. Але в той же час ми можемо стверджувати, що рівні їх форми – обидва об'єкти є колами.

У тих математики смислове навантаження нерівності зберігається. Однак, у цьому випадку йдеться про нерівність математичних об'єктів: чисел, значень виразів, значень величин (довжина, площа тощо), векторів, фігур тощо.

Не одно, більше, менше

Залежно від цілей поставленого завдання цінним може бути вже просто факт з'ясування нерівності об'єктів, але зазвичай за встановленням факту нерівності відбувається з'ясування того, яка все ж таки величина більша, а яка – менше.

Значення слів «більше» і «менше» нам інтуїтивно знайоме із самого початку нашого життя. Очевидним є навичка визначати перевагу об'єкта за розміром, кількістю і т.д. Але зрештою будь-яке порівняння призводить до порівняння чисел, які визначають деякі характеристики порівнюваних об'єктів. По суті, ми з'ясовуємо, яке число більше, а яке менше.

Простий приклад:

Приклад 1

Вранці температура повітря становила 10 градусів за Цельсієм; о другій годині дня цей показник становив 15 градусів. На основі порівняння натуральних чисел ми можемо стверджувати, що значення температури вранці було менше, ніж її значення о другій годині дня (або о другій годині дня температура збільшилася, стала більшою, ніж температура вранці).

Запис нерівностей за допомогою знаків

Існують загальноприйняті позначення для запису нерівностей:

Визначення 1

• знак «не одно», що є перекресленим знаком «рівно»: ≠ . Цей знак розташований між нерівними об'єктами. Наприклад: 5 ≠ 10 п'ять не дорівнює десяти;
• знак "більше": > і знак "менше":< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | говорить про те, що відрізок A B більший від відрізка D ;
• знак "більше або дорівнює": ≥ і знак "менше або одно": ≤ .

Докладніше їхній сенс розберемо нижче. Дамо визначення нерівностей на вигляд їх записи.

Визначення 2

Нерівності– алгебраїчні вирази, що мають сенс і записані за допомогою знаків ≠ , > ,< , ≤ , ≥ .

Суворі та несуворі нерівності

Знаки суворих нерівностей– це знаки «більше» та «менше»: > і< Неравенства, составленные с их помощью – Суворі нерівності.

Знаки нестрогих нерівностей– це знаки «більше або одно» та «менше або одно»: ≥ та ≤ . Нерівності, складені з допомогою – Нестрогі нерівності.

Як застосовуються суворі нерівності, ми розібрали вище. Навіщо використовуються непогані нерівності? У практиці такими нерівностями можна ставити випадки, що описуються словами «не більше» і «не менше». Фраза "не більше" означає менше або стільки ж - цьому рівню порівняння відповідає знак "менше або одно" ≤ . У свою чергу, «не менше» означає – стільки ж чи більше, а це знак «більше або одно» ≥ . Отже, нестрогі нерівності, на відміну строгих, дають можливість рівності об'єктів.

Вірні та невірні нерівності

Вірна нерівність- та нерівність, яка відповідає зазначеному вище сенсу нерівності. В іншому випадку воно є невірним.

Наведемо прості приклади для наочності:

Приклад 2

Нерівність 5 ≠ 5 є невірною, оскільки насправді числа 5 та 5 рівні.

Або таке порівняння:

Приклад 3

Допустимо S – площа якоїсь фігури, у цьому випадку S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Аналогічними за змістом терміну "правильна нерівність" є фрази "справедлива нерівність", "має місце нерівність" і т.д.

Властивості нерівностей

Опишемо властивості нерівностей. Очевидний факт, що об'єкт ніяк не може бути нерівним самому собі, і це перша властивість нерівності. Друга властивість звучить так: якщо перший об'єкт не дорівнює другому, то і другий не дорівнює першому.

Опишемо властивості, що відповідають знакам «більше» або «менше»:

Визначення 5

• антирефлективність. Цю властивість можна виразити так: для будь-якого об'єкта k нерівності k > k і k< k неверны;
• антисиметричність. Дана властивість говорить про те, що, якщо перший об'єкт більший або менше другого, то другий об'єкт, відповідно, менше або більше першого. Запишемо: якщо m > n, то n< m . Или: если m < n , то n >m;
• транзитивність. У літерному записі вказана властивість виглядатиме так: якщо встановлено, що a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b і b > с, отже a > c . Дана властивість інтуїтивно зрозуміло і природно: якщо перший об'єкт більший за другий, а другий – більший за третій, то стає ясно, що перший об'єкт тим більше більший за третій.

Знакам нестрогих нерівностей також притаманні деякі властивості:

Визначення 6

• рефлексивність: a ≥ a і a ≤ a (сюди включається випадок, коли a = a);
• антисиметричність: якщо a ≤ b, то b ≥ a. Якщо ж a b , то b ≤ a ;
• транзитивність: якщо a b і b b c , то очевидно, що a b c . І також: якщо а? b, а b? с, то а? с.

Подвійні, потрійні тощо. нерівності

Властивість транзитивності дає можливість записувати подвійні, потрійні і так далі нерівності, які є ланцюжками нерівностей. Наприклад: подвійна нерівність – e > f > g або потрійна нерівність k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4 .

Зазначимо, що зручним буває записувати нерівність як ланцюжка, що включають різні знаки: однаково, не однаково і знаки строгих і нестрогих нерівностей. Наприклад, x = 2< y ≤ z < 15 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Що потрібно знати про значки нерівностей? Нерівності зі значком більше (> ), або менше (< ) називаються строгими.Зі значками більше або дорівнює (≥ ), менше або дорівнює (≤ ) називаються несуворими.Значок не дорівнює (≠ ) стоїть окремо, але вирішувати приклади з таким значком теж доводиться постійно. І ми вирішуємо.)

Сам значок не має особливого впливу на процес вирішення. А ось наприкінці рішення, при виборі остаточної відповіді, сенс значка проявляється на повну силу! Що ми побачимо нижче, на прикладах. Є там свої приколи.

Нерівності, як і рівності, бувають вірні та невірні.Тут все просто, без фокусів. Скажімо, 5 > 2 – правильна нерівність. 5 < 2 – неправильне.

Така підготовка працює для нерівностей будь-якого видуі проста до жаху.) Потрібно, лише правильно виконувати дві (всього два!) елементарних дії. Ці дії знайомі всім. Але, що характерно, косяки у цих діях - і є основна помилка у вирішенні нерівностей, так... Отже, треба повторити ці дії. Називаються ці дії як:

Тотожні перетворення нерівностей.

Тотожні перетворення нерівностей дуже схожі на тотожні перетворення рівнянь. Власне, у цьому є основна проблема. Відмінності проскакують повз голову і... приїхали.) Тому я особливо виокремлю ці відмінності. Отже, перше тотожне перетворення нерівностей:

1. До обох частин нерівності можна додати (відібрати) одне й те саме число, або вираз. Будь-яке. Знак нерівності від цього не зміниться.

Насправді це правило застосовується як перенесення членів з лівої частини нерівності в праву (і навпаки) зі зміною знака. Зі зміною знаку члена, а не нерівності! Правило один на один збігається із правилом для рівнянь. А ось наступні тотожні перетворення в нерівностях суттєво відрізняється від таких у рівняннях. Тому я виділяю їх червоним кольором:

2. Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на одне й те самепозитивнечисло. на будь-якепозитивне не зміниться.

3. Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на одне й те саменегативнечисло. на будь-якенегативнечисло. Знак нерівності від цьогозміниться на протилежний.

Ви пам'ятаєте (сподіваюся...), що рівняння можна множити/ділити на будь-що. І на будь-яке число, і на вираз із іксом. Аби не на нуль. Йому, рівнянню, від цього ні спекотно, ні холодно. Не змінюється воно. А ось нерівності більш чутливі до множення/поділу.

Наочний приклад довгої пам'яті. Напишемо нерівність, яка не викликає сумнівів:

5 > 2

Помножимо обидві частини на +3, отримаємо:

15 > 6

Заперечення є? Заперечень немає.) А якщо помножимо обидві частини вихідної нерівності на -3, отримаємо:

15 > -6

А це вже відверта брехня.) Повна брехня! Обман народу! Але варто змінити знак нерівності на протилежний, як усе стає на свої місця:

15 < -6

Про брехню і обман - це я не просто так лаюся.) "Забув змінити знак нерівності..."- це головнапомилка у вирішенні нерівностей. Це дріб'язкове і нескладне правило стільки людей забило! Які забули...) Ось і лаюся. Може, запам'ятається...)

Особливо уважні зауважать, що нерівність не можна множити на вираз з іксом. Респект уважний!) А чому не можна? Відповідь проста. Ми ж не знаємо знак цього виразу з іксом. Воно може бути позитивним, негативним... Отже, ми не знаємо, який знак нерівності ставити після множення. Міняти його, чи ні? Невідомо. Вочевидь, це обмеження (заборона множення/поділу нерівності висловлювання з иксом) можна оминути. Якщо треба буде дуже. Але це тема інших уроків.

Ось і всі тотожні перетворення нерівностей. Ще раз нагадаю, що вони працюють для будь-якихнерівностей. А тепер можна переходити до конкретних видів.

Лінійні нерівності. Рішення, приклади.

Лінійними нерівностями називаються нерівності, в яких ікс знаходиться в першому ступені і немає поділу на ікс. Типу:

х+3 > 5х-5

Як вирішуються такі нерівності? Вони вирішуються дуже просто! А саме: за допомогою зводимо найзамороченішу лінійну нерівність прямо до відповіді.Ось і все рішення. Головні моменти рішення я виділятиму. Щоб уникнути безглуздих помилок.)

Вирішуємо цю нерівність:

х+3 > 5х-5

Вирішуємо так само, як і лінійне рівняння. З єдиною відмінністю:

Уважно слідкуємо за знаком нерівності!

Перший крок звичайнісінький. З іксами - вліво, без іксів - вправо... Це перше тотожне перетворення, просте і безвідмовне.) Тільки знаки у членів, що переносяться, не забуваємо міняти.

Знак нерівності зберігається:

х-5х > -5-3

Наводимо такі.

Знак нерівності зберігається:

4х > -8

Залишилося застосувати останнє тотожне перетворення: розділити обидві частини на -4.

Ділимо на негативнечисло.

Знак нерівності зміниться на протилежний:

х < 2

Це відповідь.

Так вирішуються всі лінійні нерівності.

Увага! Крапка 2 малюється білою, тобто. незафарбовані. Порожній всередині. Це означає, що вона у відповідь не входить! Я її спеціально такою здоровою намалював. Така точка (порожня, а не здорова!) у математиці називається виколотий точкою.

Інші числа на осі відзначати можна, але не потрібно. Сторонні числа, не які стосуються нашому нерівності, можуть і заплутати, так... Треба пам'ятати, збільшення чисел йде за стрілкою, тобто. числа 3, 4, 5 і т.д. знаходяться правішедвійки, а числа 1, 0, -1 тощо. - ліворуч.

Нерівність х < 2 - Суворе. Ікс строго менше двох. Якщо виникають сумніви, перевірка є простою. Підставляємо сумнівне число в нерівність і розмірковуємо: "Два менше двох? Ні, звичайно!" Саме так. Нерівність 2 < 2 неправильне.Не годиться двійка у відповідь.

А одиниця годиться? Звісно. Менше ж ... І нуль годиться, і -17, і 0,34 ... Та всі числа, які менше двох - годяться! І навіть 1,9999.... Хоч трохи, та менше!

Ось і відзначимо всі ці числа на числовій осі. Як? Тут бувають варіанти. Варіант перший – штрихування. Наводимо мишку на малюнок (або торкаємося картинки на планшеті) і бачимо, що заштрихована область всіх іксів, що підходять під умову х < 2 . От і все.

Другий варіант розглянемо на другому прикладі:

х ≥ -0,5

Малюємо вісь, відзначаємо число -0,5. Ось так:

Помітили різницю?) Ну так, важко не помітити... Ця точка – чорна! Зафарбовані. Це означає, що -0,5 входить у відповідь.Тут, до речі, перевірка та збентежити може когось. Підставляємо:

-0,5 ≥ -0,5

Як так? -0,5 не більше -0,5! А значок є...

Нічого страшного. У суворій нерівності годиться все, що підходить під значок. І одногодиться, і більшегодиться. Отже, -0,5 у відповідь включається.

Отже, -0,5 ми відзначили на осі, залишилося відзначити всі числа, які більше -0,5. На цей раз я відзначаю область відповідних значень ікса дужкою(від слова дуга), а не штрихуванням. Наводимо курсор на малюнок і бачимо цю дужку.

Особливої ​​різниці між штрихуванням та дужками немає. Робіть, як учитель сказав. Якщо вчителя немає – малюйте дужки. У складніших завданнях штрихування менш наочне. Заплутатися можна.

Ось так малюються лінійні нерівності на осі. Переходимо до наступної особливості нерівностей.

Запис відповіді для нерівностей.

В рівняннях було добре.) Знайшли ікс та й записали відповідь, наприклад: х=3. У нерівності існують дві форми запису відповідей. Одна – у вигляді остаточної нерівності. Хороша для найпростіших випадків. Наприклад:

х< 2.

Це повноцінна відповідь.