Маючи при собі всього одну формулу і знаючи спочатку, чому дорівнює діаметр або радіус, можна з легкістю обчислити площу поверхні кулі. Формула матиме вигляд S =4πR2де число «пі» множиться на 4, потім на радіус кулі в квадратному ступені. Але перед безпосередніми обчисленнями слід одразу розібратися у термінах.
Трактування значень
Це слід знати:
- Куля– геометричний об'єкт, що у результаті обертальних півкругових рухів навколо центра. Будь-яка точка поверхні кулі знаходиться на однаковій відстані від центру.
- Сфера– не те саме, що куля. Якщо той є об'ємним об'єктом і включає внутрішній простір, то сфера - це лише поверхня даного об'єкта і має тільки свою площу. Іншими словами – не можна сказати, що сфера має такий обсяг, на відміну від кулі.
- Число Пі"- це постійне число, що дорівнює відношенню довжини кола до її діаметра. У скороченому вигляді його прийнято позначати числом, що дорівнює 3,14. Але насправді після трійки йде більше тисячі цифр!
- Радіус кулі дорівнює ½ його діаметру. Точний діаметр можна обчислити з використанням кількох плоских та рівних предметів. Потрібно лише затиснути кулю між цими предметами, які затискають кулю і розташовані перпендикулярно один до одного, а потім виміряти діаметр, що вийшов.
- Квадратний ступіньпозначається як двійки і означає те, що це число треба помножити на себе один раз. Якби ступінь числа був у вигляді трійки, то множити на себе потрібно було б двічі. Записавши вираз на папері, можна зрозуміти, чому використовуються саме двійка та трійка, а не одиниця та двійка.
- Об `єм- Величина, що позначає розмір у просторі, що займає об'єктом. Від діаметра залежить обсяг кулі. Формула дорівнюватиме чотири третини, помноженим на число «пі» і знову помноженим на його радіус у кубі.
- Площа– величина, що означає розмір поверхні об'єкта, але з внутрішнього простору.
Цікаві факти
Це цікаво:
- У «пі» є власні фан-клуби по всьому світу. Члени суспільства намагаються запам'ятати якнайбільше знаків із цього числа, а також намагаються розгадати всесвітні таємниці, приховані у числі.
- Площа суші Землі становить лише 29,2 % від загальної поверхні. Точну кількість площі складно назвати через нерівномірний рельєф Землі, такі як западини та гори.
- Знання про формулу площі кулі можна використовувати й у побуті. Також цими знаннями можна придушувати суперника у суперечці.
Продемонструвавши обсяг своїх знань у галузі геометрії, можна спочатку змусити вас поважати, а ремонтникам та продавцям можна дати зрозуміти, що вас просто так не обдурити.
Застосування формули
Розглянемо з прикладу, як обчислити площу круглої кулі, Діаметр якого дорівнює 50 см. За формулою, потрібно 50 розділити на два (щоб отримати радіус), звести отримане число в квадрат і помножити всю цю справу спочатку на 4, потім на 3,14. У результаті отримаємо число 7 850 квадратних сантиметрів.
Формула обчислення площізастосовується не лише серед вчителів у школі та наукових співробітників у лабораторії. Ця формула може стати в нагоді звичайному маляру. Адже якщо куля велика, а фарби мало, то виникає питання - чи вистачить йому цієї суміші, щоб пофарбувати весь об'єкт. І це далеко не єдиний побутовий випадок, де може стати в нагоді формула.
Формула обчислення обсягуможе стати в нагоді і будівельній бригаді, що робить ремонт. І неважливо, який це об'єкт – промислова будівля, невеликий будинок чи звичайна квартира. Цим і відрізняються фахівці – вони можуть використовувати свої знання на практиці.
Але як бути, якщо неможливо виміряти об'єкт?Таке питання може виникнути у разі великих розмірів об'єкта або його недосяжності. У цьому випадку можуть допомогти електронні технології, в основі яких лежить сканування простору певними частотами і лазерами. Із сучасними технологіями необов'язково знати всі формули напам'ять. Достатньо мати підключення до інтернету та зайти на будь-який онлайн-калькулятор.
Прийнято вважати, що перший, хто знайшов і вивів формулу обсягу та площі кулі , був Архімед. Це найбільший давньогрецький вчений, який жив за 300 років до нашої ери. Він був не лише математиком, а й фізиком, та інженером. Він один із перших людей, хто спробував «оцифрувати» навколишній світ. Його теореми та праці використовуються досі.
Саме Архімед визначив межі числа "пі"і позначив їх, не маючи жодних сучасних гаджетів. Сам Архімед дуже пишався знайденою формулою, за допомогою якої обчислюється об'єм кулі. Його нащадки на честь цього зобразили на його могильному камені циліндр та кулю.
Якби якимось дивом він переродився в наш час, то він одразу зміг би перетворити цей світ і вивести його на новий рівень.
Відео
На прикладі цього відео вам легко зрозуміти, як знайти площу поверхні кулі.
Багато хто з нас любить грати у футбол або, принаймні, майже кожен з нас чув про цю знамениту спортивну гру. Усім відомо, що у футбол грають м'ячем.
Якщо запитати перехожого, форму якої геометричної фігури має м'яч, частина людей скажуть, що форму кулі, а частина, що форми сфери. То хто ж із них має рацію? І в чому різниця між сферою та кулею?
Важливо!
Куля- Це просторове тіло. Усередині куля чимось заповнена. Тому у кулі можна знайти об'єм.
Приклади кулі в житті: кавун та сталева кулька.
Куля і сфера, подібно до кола і кола, мають центр, радіус і діаметр.
Важливо!
Сфера- Поверхня кулі. У сфері можна знайти площу поверхні.
Приклади сфери у житті: волейбольний м'яч та кулька для гри у настільний теніс.
Як знайти площу сфери
Запам'ятайте!
Формула площі сфери: S = 4 π R 2
Щоб знайти площу сфери, необхідно згадати, що таке ступінь числа . Знаючи визначення ступеня, можна записати формулу площі сфери в такий спосіб.
S = 4 π R 2 = 4π R · R;
Закріпимо отримані знання та розв'яжемо задачу на площу сфери.
Зубарєва 6 клас. Номер 692(а)
Умова задачі:
- Обчисліть площу сфери, якщо її радіус дорівнює
1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
= = =
= 188 88 - R 3 = 1
- R = 1 м
Важливо!
Шановні батьки!
При остаточному розрахунку радіусу не треба змушувати дитину рахувати кубічний корінь. Учні 6-го класу ще проходили і знають визначення коренів у математиці.
У 6 класі під час вирішення такої задачі використовуйте метод перебору.
Запитайте учня, яке число, якщо його помножити 3 рази на себе дасть одиницю.
Визначення кулі
Шаромназивають безліч точок, віддалених від довільно обраної точки (центру кулі) на відстань не перевищує R R R- радіус цієї кулі.
Онлайн-калькулятор
У кулі, як і у кола, є діаметр D D D, Що за довжиною вдвічі перевищує радіус кулі.
D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D =2 ⋅ R
Площу поверхні кулі можна знайти, використовуючи як радіус, так і діаметр кулі.
Формула площі поверхні кулі за радіусом кулі
S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2S =4 ⋅ π ⋅ R 2
R R R- Радіус кулі.
ПрикладКуля вписана в куб, діагональ якого d d dдорівнює 300 \sqrt(300) 3 0 0 (Див.). Знайти площу поверхні кулі.
Рішення
D = 300 d = \ sqrt (300) d =3 0 0
Першим кроком у вирішенні завдання буде знаходження довжини сторони куба. Позначимо її через a a a. Тоді, за теоремою Піфагора:
D 2 = a 2 + a 2 + a 2 d^2=a^2+a^2+a^2d 2 = a 2 + a 2 + a 2
D 2 = 3 ⋅ a 2 d^2=3\cdot a^2d 2 = 3 ⋅ a 2
A = d 3 a = frac (d) (sqrt (3)) a =3 d
A = 300 3 = 100 = 10 a = frac (sqrt (300)) (sqrt (3)) = sqrt (100) = 10a =3 3 0 0 = 1 0 0 = 1 0
Радіус кулі, вписаної в куб, дорівнює половині сторони цього куба:
R = a 2 = 10 2 = 5 R=\frac(a)(2)=\frac(10)(2)=5R =2 a = 2 1 0 = 5
Тоді площа поверхні кулі:
S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 314 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot 5^2\approx314S =4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ 5 2 ≈ 3 1 4 (Див. кв.)
Відповідь: 314 см. кв.
Формула площі поверхні кулі за діаметром кулі
Формулу для площі поверхні кулі легко отримати через його діаметр, користуючись співвідношенням між радіусом і діаметром кулі:
S = 4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ (D 2) 2 = π ⋅ D 2 S=4\cdot\pi\cdot R^2=4\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D )(2)\Big)^2=\pi\cdot D^2S =4 ⋅ π ⋅ R 2 = 4 ⋅ π ⋅ ( 2 D ) 2 = π ⋅ D 2
S = π ⋅ D 2 S=\pi\cdot D^2S =π ⋅ D 2
D D D- Діаметр кулі.
ПрикладДіаметр кулі дорівнює 10 (див.). Знайдіть площу його поверхні.
Рішення
D = 10 D = 10 D =1 0
За формулою отримуємо:
S = π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 314 S=\pi\cdot D^2=\pi\cdot 10^2\approx314S =π ⋅ D 2 = π ⋅ 1 0 2 ≈ 3 1 4 (Див. кв.)
Відповідь: 314 см. кв.
Визначення.
Сфера (поверхня кулі) - це сукупність усіх точок у тривимірному просторі, які знаходяться на однаковій відстані від однієї точки, званої центром сфери(О).Сферу можна описати, як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням кола навколо свого діаметра на 180 ° або півкола навколо свого діаметра на 360 °.
Визначення.
Куля- це сукупність всіх точок у тривимірному просторі, відстань від яких не перевищує певної відстані до точки, званої центром кулі(О) (сукупність всіх точок тривимірного простору обмежених сферою).Куля можна описати як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням кола навколо свого діаметра на 180 ° або півкола навколо свого діаметра на 360 °.
Визначення. Радіус сфери (кулі)(R) - це відстань від центру сфери (кулі) Oдо будь-якої точки сфери (поверхні кулі).
Визначення. Діаметр сфери (кулі)(D) - це відрізок, що з'єднує дві точки сфери (поверхні кулі) і проходить через центр.
Формули. Об'єм кулі:
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Формули. Площа поверхні сферичерез радіус або діаметр:
S = 4π R 2 = π D 2
Рівняння сфери
1. Рівняння сфери з радіусом R та центром на початку декартової системи координат:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Рівняння сфери з радіусом R та центром у точці з координатами (x 0 , y 0 , z 0) у декартовій системі координат:
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Визначення. Діаметрально протилежними точкаминазиваються будь-які дві точки на поверхні кулі (сфері), які з'єднані діаметром.
Основні властивості сфери та кулі
1. Усі точки сфери однаково віддалені від центру.
2. Будь-яке перетин сфери площиною є колом.
3. Будь-яке переріз кулі площиною є кругом.
4. Сфера має найбільший обсяг серед усіх просторових фігур із однаковою площею поверхні.
5. Через будь-які дві діаметрально протилежні точки можна провести безліч великих кіл для сфери або кіл для кулі.
6. Через будь-які дві точки, крім діаметрально протилежних точок, можна провести тільки одне велике коло для сфери або велике коло для кулі.
7. Будь-які два великі кола однієї кулі перетинаються по прямій, що проходить через центр кулі, а кола перетинаються у двох діаметрально протилежних точках.
8. Якщо відстань між центрами будь-яких двох куль менше суми їх радіусів і більше модуля різниці їх радіусів, то такі кулі перетинаються, а площині перетину утворюється коло.
Сікуча, хорда, січна площина сфери та їх властивості
Визначення. Сікуча сфери- це пряма, яка перетинає сферу у двох точках. Точки перетину називаються точками протиканняповерхні або точками входу та виходу на поверхні.
Визначення. Хорда сфери (кулі)- Це відрізок, що сполучає дві точки сфери (поверхні кулі).
Визначення. Сікуча площина– це площина, яка перетинає сферу.
Визначення. Діаметральна площина- це січна площина, що проходить через центр сфери або кулі, сеченме утворює відповідно велике колоі велике коло. Велике коло та велике коло мають центр, який збігаються з центром сфери (кулі).
Будь-яка хорда, що проходить через центр сфери (кулі) є діаметром.
Хорда є відрізком прямої.
Відстань d від центру сфери до січної завжди менша ніж радіус сфери:
d< R
Відстань m між січною площиною та центром сфери завжди менша за радіус R:
m< R
Місцем перерізу сіючої площини на сфері завжди буде мале коло, а на кулі місцем перетину буде мале коло. Мале коло і малий круг мають свої центри, які збігаються з центром сфери (кулі). Радіус r такого кола можна знайти за формулою:
r = √R 2 - m 2,
Де R – радіус сфери (кулі), m – відстань від центру кулі до січної площини.
Визначення. Півсфера (півкуля)- це половина сфери (кулі), що утворюється при її перетині діаметральною площиною.
Стосовна площина до сфери та їх властивості
Визначення. Стосовно сфери- це пряма, що стосується сфери лише у одній точці.
Визначення. Стосовна площина до сфери- це площина, що стикається зі сферою тільки в одній точці.
Стосовна пряма (площина) завжди перпендикулярна радіусу сфери, проведеному до точки дотику.
Відстань від центру сфери до дотичної прямої (площини) дорівнює радіусу сфери.
Визначення. Сегмент кулі- це частина кулі, яка відсікається від кулі площею. Основою сегментаназивають коло, яке утворилося у місці перерізу. Висотою сегмента h називають довжину перпендикуляра, проведеного з середини основи сегмента до поверхні сегмента.
Формули. Площа зовнішньої поверхні сегмента сфериз висотою h через радіус сфери R:
S = 2π Rh
