Перш ніж почати вивчати поняття кулі, що таке обсяг кулі, розглядати формули обчислення його параметрів, необхідно згадати поняття кола, що вивчалося раніше в курсі геометрії. Адже більшість дій у тривимірному просторі аналогічні або випливають із двовимірної геометрії з поправкою на появу третьої координати та третього ступеня.
Що таке коло?
Коло - це фігура декартової площині (зображена малюнку 1); найчастіше визначення звучить як «геометричне місце всіх точок на площині, відстань яких до заданої точки (центру) вбирається у якогось неотрицательного числа, званого радіусом».
Як бачимо по малюнку, точка О - це центр фігури, а безліч абсолютно всіх точок, що заповнюють коло, наприклад, А, В, С, К, Е, знаходяться не далі заданого радіусу (не виходять за межі кола, зображеного на рис 2).
Якщо радіус дорівнює нулю, то коло перетворюється на точку.
Проблеми з розумінням
Учні часто плутають ці поняття. Легко запам'ятати, провівши аналогію. Обруч, який діти крутять під час уроків фізичної культури, - коло. Розуміючи це або запам'ятавши, що перші літери обох слів – “О”, діти менімонічно розумітимуть різницю.
Введення поняття «куля»
Куля – це тіло (рис. 3), обмежене якоюсь сферичною поверхнею. Що за «сферична поверхня» стане ясно з її визначення: це геометричне місце всіх точок на поверхні, відстань від яких до заданої точки (центру) не перевищує якогось невід'ємного числа, званого радіусом. Як бачимо, поняття кола та сферичної поверхні аналогічні, тільки різняться простори, в яких вони знаходяться. Якщо зобразити кулю у двовимірному просторі, ми отримуємо коло, межею якого є коло (біля кулі межа - сферична поверхня). На малюнку бачимо сферичну поверхню з радіусами ОА = ОВ.
Куля замкнута і відкрита
У векторному та метричному просторах також розглядаються два поняття, пов'язані зі сферичною поверхнею. Якщо куля включає цю сферу в себе, то вона називається замкненою, а якщо ж ні, то в такому випадку куля є відкритою. Це " просунуті " поняття, їх вивчають в інститутах при введенні в аналіз. Для простого, навіть побутового використання буде достатньо і формул, які вивчаються в курсі стереометрії 10-11 класів. Саме такі, доступні практично кожній середньостатистичній освіченій людині поняття будуть розглянуті далі.
Поняття, які слід знати для наступних обчислень
Радіус та діаметр.
Радіус кулі та її діаметр визначаються так само, як у кола.
Радіус - відрізок, що з'єднує будь-яку точку на межі кулі та точку, що є центром кулі.
Діаметр - відрізок, що з'єднує дві точки на межі кулі і проходить через центр. Рисунок 5а наочно демонструє, які відрізки є радіусами кулі, але в малюнку 5б зображені діаметри сфери (відрізки, які проходять через точку О).
Перерізи у сфері (кулі)
Будь-який переріз сфери є колом. Якщо воно проходить через центр кулі, то називається великим колом (коло з діаметром АВ), решта перерізів - малими колами (коло з діаметром DC).
Площа даних кіл обчислюється за такими формулами:
Тут S – це позначення площі, R – радіуса, D – діаметра. Також є константа, рівна 3,14. Але не варто плутати, що для обчислення площі великого кола використовують радіус або діаметр самої кулі (сфери), а для визначення площі потрібні розміри радіусу саме малого кола.
Таких перерізів, які проходять через дві точки одного діаметра, що лежать на межі кулі, можна провести незліченну кількість. Як приклад – наша планета: дві точки на Північному та Південному полюсах, які є кінцями земної осі, а в геометричному сенсі – кінцями діаметра, та меридіани, які проходять через ці дві точки (рисунок 7). Тобто кількість великих кіл у сфери за кількістю прагне нескінченності.
Частини кулі
Якщо відсікти від сфери за допомогою деякої площини «шматочок» (рисунок 8), він називатиметься сферичним чи кульовим сегментом. У нього буде висота - перпендикуляр із центру січної площини до сферичної поверхні О 1 К. Точка К на сферичній поверхні, до якої приходить висота, називається вершиною сферичного сегмента. А мале коло з радіусом О 1 Т (в даному випадку, згідно з малюнком, площина не пройшла через центр сфери, але якщо перетин проходитиме через центр, то коло перерізу буде великим), утворене при відсіканні кульового сегмента, називатиметься основою нашого шматочка кулі – сферичного сегмента.
Якщо з'єднати кожну точку основи сферичного сегмента з центром сфери, ми отримаємо фігуру під назвою "кульовий сектор".
Якщо через сферу проходять дві площини, які між собою паралельні, то та частина сфери, яка укладена між ними, називається шаровим шаром (рисунок 9, де зображена сфера з двома площинами та окремо - шаровий шар).
Поверхня (виділена частина на рисунку 9 справа) цієї частини сфери називається поясом (знов для кращого розуміння можна провести аналогію із земною кулею, а саме з її кліматичними поясами - арктичними, тропічними, помірними тощо), а кола перерізу будуть підставами шарового шару. Висота шару - частина діаметра, проведеного перпендикулярно до січих площин із центрів основ. Існує також поняття кульової сфери. Вона утворюється у тому випадку, коли площини, які паралельні одна одній, не перетинають сферу, а стосуються її в одній точці кожна.
Формули обчислення об'єму кулі та площі її поверхні
Куля утворюється при обертанні навколо нерухомого діаметра півкола чи кола. Для обчислень різних параметрів даного об'єкта знадобиться не так багато даних.
Об'єм кулі, формула для обчислення якого зазначена вище, виведено за допомогою інтегрування. Розберемося за пунктами.
Розглядаємо коло у двомірній площині, адже, як було зазначено вище, саме коло лежить в основі побудови кулі. Використовуємо лише четверту частину (рисунок 10).
Беремо коло з одиничним радіусом та центром на початку координат. Рівняння такого кола має такий вигляд: Х 2 + У 2 = R 2 . Виражаємо звідси У: У 2 = R 2 - Х2.
Обов'язково відзначимо, що отримана функція невід'ємна, безперервна і спадна на відрізку Х (0; R), адже значення Х у тому випадку, коли ми розглядаємо чверть кола, лежить від нуля до значення радіусу, тобто до одиниці.
Наступне, що ми робимо, це обертаємо нашу чверть кола навколо осі абсцис. В результаті ми отримаємо півкулю. Щоб визначити його обсяг, вдамося до методів інтегрування.
Так як це обсяг півкулі, збільшуємо результат вдвічі, звідки отримуємо, що об'єм кулі дорівнює:
Дрібні нюанси
Якщо необхідно обчислити об'єм кулі через його діаметр, пам'ятаємо про те, що радіус - це половина діаметра, і підставляємо це значення вищезазначеної формули.
Також до формули обсягу кулі можна дійти через площу його межі поверхні - сфери. Нагадаємо, що площа сфери обчислюється за формулою S = 4πr 2 , проінтегрувавши яку, також дійдемо вищезазначеної формули об'єму кулі. З цих формул можна висловити радіус, якщо в умові завдання є значення обсягу.
Багато тіл, які ми зустрічаємо в житті або про які чули, мають кулясту форму, наприклад футбольний м'яч, що падає крапля води під час дощу або наша планета. У зв'язку з цим актуальним є розгляд питання, як знаходити обсяг кулі.
Фігура куля в геометрії
Перед тим як відповісти на запитання кулі, розглянемо докладніше це тіло. Деякі люди плутають його із сферою. Зовні вони справді схожі, проте куля - це заповнений всередині об'єкт, сфера ж є лише зовнішньою оболонкою кулі нескінченно малої товщини.
З точки зору геометрії куля можна уявити сукупністю точок, причому ті з них, які лежать на його поверхні (вони утворюють сферу), знаходяться на однаковій відстані від центру фігури. Цю відстань називають радіусом. По суті, радіус - це єдиний параметр, за допомогою якого можна описати будь-які властивості кулі, такі як площа поверхні або об'єм.
На малюнку нижче наведено приклад кулі.
Якщо уважно подивитися на цей ідеальний круглий об'єкт, можна здогадатися, як його отримати зі звичайного кола. Для цього достатньо обертати цю плоску фігуру навколо осі, що збігається з діаметром.
Однією з відомих древніх літературних джерел, у якому досить докладно розглядаються властивості цієї об'ємної постаті, є праця грецького філософа Евкліда - " Елементи " .
Площа поверхні та обсяг
Розглядаючи питання, як знаходити обсяг кулі, крім цієї величини, слід навести формулу для його площі, оскільки обидва вирази можна пов'язати один з одним, як буде показано нижче.
Отже, щоб обчислити об'єм кулі, слід застосувати одну з наступних двох формул:
- V = 4/3 * pi * R3;
- V = 67/16*R3.
Тут R – радіус фігури. Перша з наведених формул є точною, однак, щоб скористатися цією перевагою, необхідно використати відповідне число знаків після коми для числа pi. Друге вираження дає цілком добрий результат, відрізняючись від першого всього на 0,03%. Для низки практичних завдань цієї точності більш ніж достатньо.
дорівнює цій величині для сфери, тобто виражається формулою S = 4 * pi * R2. Якщо звідси висловити радіус, а потім підставити його в першу формулу для об'єму, тоді отримаємо: R = √(S/(4*pi)) = >V=S/3*√(S/(4*pi)).
Таким чином, ми розглянули питання, як знайти об'єм кулі через радіус та через площу його поверхні. Ці висловлювання можна успішно застосовувати практично. Далі у статті наведемо приклад їхнього використання.
Завдання з краплею дощу
Вода, коли знаходиться в невагомості, набуває форми кулястої краплі. Пов'язано це з наявністю сил поверхневого натягу, які прагнуть мінімізувати площу поверхні. Куля, у свою чергу, має найменше її значення серед усіх геометричних фігур з однаковою масою.
Під час дощу крапля води, що падає, знаходиться в невагомості, тому її формою є куля (тут нехтуємо силою опору повітря). Необхідно визначити обсяг, площу поверхні та радіус цієї краплі, якщо відомо, що її маса становить 0,05 грама.
Об'єм визначити просто, для цього слід розділити відому масу на густину H 2 O (ρ = 1 г/см 3). Тоді V = 0,05/1 = 0,05 см 3 .
Знаючи, як знайти обсяг кулі, слід виразити з формули радіус і підставити отримане значення, маємо: R = ∛(3*V/(4*pi)) = ∛(3*0,05/(4*3,1416)) = 0,2285 див.
Тепер значення радіуса підставляємо у вираз для площі поверхні фігури, отримуємо: S = 4*3,1416*0,22852=0,6561 см 2 .
Таким чином, знаючи, як знаходити об'єм кулі, ми отримали відповіді на всі питання задачі: R = 2,285 мм, S = 0,6561 см2 і V = 0,05 см3.
У геометрії кулявизначається як якесь тіло, що являє собою сукупність всіх точок простору, які розташовуються від центру на відстані, не більше заданої, званої радіусом кулі. Поверхня кулі називається сферою, а він утворюється шляхом обертання півкола біля його діаметра, що залишається нерухомим.
З цим геометричним тілом дуже часто стикаються інженери-конструктори та архітектори, яким часто доводиться обчислювати обсяг кулі. Скажімо, у конструкції передньої підвіски переважної більшості сучасних автомобілів використовуються так звані кульові опори, в яких, як неважко здогадатися із самої назви, одними з основних елементів є саме кулі. З їх допомогою відбувається з'єднання маточок керованих коліс та важелів. Від того, наскільки правильно буде розрахованийїх обсяг, багато в чому залежить як довговічність цих вузлів і правильність їх роботи, а й безпеку руху.
У техніці поширення отримали такі деталі, як кулькові підшипники, з допомогою яких відбувається кріплення осей в нерухомих частинах різних вузлів і агрегатів і забезпечується їх обертання. Слід зазначити, що з розрахунку конструкторам потрібно знайти обсяг кулі(а точніше - куль, що поміщаються в обойму) з високим ступенем точності. Що стосується виготовлення металевих кульок для підшипників, то вони виготовляються з металевого дроту за допомогою складного технологічного процесу, що включає стадії формування, загартування, грубого шліфування, чистового притирання і очищення. До речі, ті кульки, які входять у конструкцію всіх кулькових ручок, виготовляються за такою ж технологією.
Досить часто кулі використовуються і в архітектурі, причому вони найчастіше є декоративними елементами будівель та інших споруд. У більшості випадків вони виготовляються з граніту, що часто потребує великих витрат ручної праці. Звичайно, дотримуватися такої високої точності виготовлення цих куль, як тих, які застосовуються в різних агрегатах і механізмах, не потрібно.
Без куль немислима така цікава та популярна гра, як більярд. Для їх виробництва використовуються різні матеріали (кістка, камінь, метал, пластмаси) та використовуються різні технологічні процеси. Однією з основних вимог, що висуваються до більярдних куль, є їх висока міцність і здатність витримувати високі механічні навантаження (насамперед ударні). Крім того, їх поверхня повинна бути точною сферою для того, щоб забезпечувалося плавне і рівне кочення по поверхні більярдних столів.
Зрештою, без таких геометричних тіл, як кулі, не обходиться жодна новорічна або ялинка. Виготовляються ці прикраси здебільшого зі скла шляхом видування, і за їх виробництві найбільшу увагу приділяється не точності розмірів, а естетичності виробів. Технологічний процес при цьому практично повністю автоматизований і вручну ялинкові кулі лише пакуються.
Куля – це геометричне тіло обертання, утворене шляхом обертання кола або півкола навколо його діаметра. Також куля – це простір, обмежений сферичною поверхнею. Існує безліч реальних сферичних об'єктів та пов'язаних з ними завдань, для вирішення яких потрібно визначити обсяг кулі.
Куля та сфера
Коло - найдавніша геометрична постать, і античні вчені надавали їй сакрального значення. Коло - це символ нескінченного часу та простору, символ Всесвіту та буття. На думку Піфагора, коло - найпрекрасніша з фігур. У тривимірному просторі коло перетворюється на сферу, таку ж ідеальну, космічну і прекрасну, як і коло.
Сфера давньогрецькою означає «м'яч». Сфера є поверхнею, утвореною безліччю точок, рівновіддалених від центру фігури. Простір, обмежений сферою, є куля. Куля - ідеальна геометрична фігура, форму якої набувають багато реальних об'єктів. Наприклад, у реальному житті форму кулі мають гарматні ядра, підшипники або м'ячі, у природі – краплі води, крони дерев або ягоди, у космосі – зірки, метеори чи планети.
Об'єм кулі
Визначення обсягу сферичної фігури - складне завдання, адже таке геометричне тіло не можна розбити на куби або трикутні призми, формули яких вже відомі. Сучасна наука дозволяє обчислити обсяг кулі за допомогою певного інтеграла, проте яким чином було виведено формулу обсягу в Стародавній Греції, коли про інтеграли ще ніхто не чув? Архімед обчислив обсяг кулі за допомогою конуса та циліндра, оскільки формули обсягів цих фігур були вже визначені давньогрецьким філософом та математиком Демокрітом.
Архімед представив половину кулі за допомогою однакових конуса і циліндра, при цьому радіус кожної фігури дорівнював її висоті R = h. Античний вчений представив конус і циліндр розбитими на безліч маленьких циліндрів. Архімед зрозумів, що якщо з об'єму циліндра Vc відняти об'єм конуса Vk, він отримає об'єм однієї півсфери Vsh:
0,5 Vsh = Vc − Vk
Обсяг конуса обчислюється за простою формулою:
Vk = 1/3 × So × h,
але знаючи, що So в даному випадку - це площа кола, а h = R, формула трансформується в:
Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3
Об'єм циліндра обчислюється за формулою:
Vc = pi × R 2 × h,
але вважаючи, що висота циліндра дорівнює його радіусу, ми отримуємо:
Vc = pi × R3.
Використовуючи ці формули, Архімед отримав:
0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 або Vsh = 4/3 pi × R 3
Сучасне визначення формули обсягу кулі виводиться з інтегралу від площі сферичної поверхні, проте результат залишається тим самим
Vsh = 4/3 pi × R 3
Розрахунок обсягу кулі може знадобитися як і реальному житті, і під час вирішення абстрактних завдань. Для обчислення об'єму кулі за допомогою онлайн-калькулятора вам знадобиться дізнатися лише один параметр на вибір: діаметр або радіус сфери. Розглянемо кілька прикладів.
Приклади з життя
Гарматні ядра
Допустимо, ви хочете дізнатися, скільки чавуну необхідно для виливки гарматного ядра шестифутового калібру. Ви знаєте, діаметр такого ядра становить 9,6 сантиметрів. Введіть це число у комірку калькулятора «Діаметр», і ви отримаєте відповідь у вигляді
Таким чином, для виплавки гарматного ядра заданого калібру вам знадобиться 463 кубічні сантиметри або 0,463 літри чавуну.
Повітряні кулі
Нехай вам цікаво, скільки повітря необхідно для накачування повітряної кулі ідеальної сферичної форми. Ви знаєте, що радіус вибраної кульки становить 10 см. Вбийте це значення в комірку калькулятора «Радіус» і ви отримаєте результат
Це означає, що для накачування однієї такої кулі вам знадобиться 4188 кубічних сантиметрів або 4,18 літрів повітря.
Висновок
Необхідність визначення обсягу кулі може виникнути в різних ситуаціях: від абстрактних шкільних завдань до наукових досліджень і виробничих питань. Для вирішення питань будь-якої складності використовуйте наш онлайн-калькулятор, який миттєво дасть вам точний результат та необхідні математичні викладки.
