Об'єм кулі. Об'єм кулі Як знайти об'єм по радіусу

Куля – це геометричне тіло обертання, утворене шляхом обертання кола або півкола навколо його діаметра. Також куля – це простір, обмежений сферичною поверхнею. Існує безліч реальних сферичних об'єктів та пов'язаних з ними завдань, для вирішення яких потрібно визначити обсяг кулі.

Куля та сфера

Коло - найдавніша геометрична постать, і античні вчені надавали їй сакрального значення. Коло - це символ нескінченного часу та простору, символ Всесвіту та буття. На думку Піфагора, коло - найпрекрасніша з фігур. У тривимірному просторі коло перетворюється на сферу, таку ж ідеальну, космічну і прекрасну, як і коло.

Сфера давньогрецькою означає «м'яч». Сфера є поверхнею, утвореною безліччю точок, рівновіддалених від центру фігури. Простір, обмежений сферою, є куля. Куля - ідеальна геометрична фігура, форму якої набувають багато реальних об'єктів. Наприклад, у реальному житті форму кулі мають гарматні ядра, підшипники або м'ячі, у природі – краплі води, крони дерев або ягоди, у космосі – зірки, метеори чи планети.

Об'єм кулі

Визначення обсягу сферичної фігури - складне завдання, адже таке геометричне тіло не можна розбити на куби або трикутні призми, формули яких вже відомі. Сучасна наука дозволяє обчислити обсяг кулі за допомогою певного інтеграла, проте яким чином було виведено формулу обсягу в Стародавній Греції, коли про інтеграли ще ніхто не чув? Архімед обчислив обсяг кулі за допомогою конуса та циліндра, оскільки формули обсягів цих фігур були вже визначені давньогрецьким філософом та математиком Демокрітом.

Архімед представив половину кулі за допомогою однакових конуса і циліндра, при цьому радіус кожної фігури дорівнював її висоті R = h. Античний вчений представив конус і циліндр розбитими на безліч маленьких циліндрів. Архімед зрозумів, що якщо з об'єму циліндра Vc відняти об'єм конуса Vk, він отримає об'єм однієї півсфери Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Обсяг конуса обчислюється за простою формулою:

Vk = 1/3 × So × h,

але знаючи, що So в даному випадку - це площа кола, а h = R, формула трансформується в:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Об'єм циліндра обчислюється за формулою:

Vc = pi × R 2 × h,

але вважаючи, що висота циліндра дорівнює його радіусу, ми отримуємо:

Vc = pi × R3.

Використовуючи ці формули, Архімед отримав:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 або Vsh = 4/3 pi × R 3

Сучасне визначення формули обсягу кулі виводиться з інтегралу від площі сферичної поверхні, проте результат залишається тим самим

Vsh = 4/3 pi × R 3

Розрахунок обсягу кулі може знадобитися як і реальному житті, і під час вирішення абстрактних завдань. Для обчислення об'єму кулі за допомогою онлайн-калькулятора вам знадобиться дізнатися лише один параметр на вибір: діаметр або радіус сфери. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади з життя

Гарматні ядра

Допустимо, ви хочете дізнатися, скільки чавуну необхідно для виливки гарматного ядра шестифутового калібру. Ви знаєте, діаметр такого ядра становить 9,6 сантиметрів. Введіть це число у комірку калькулятора «Діаметр», і ви отримаєте відповідь у вигляді

Таким чином, для виплавки гарматного ядра заданого калібру вам знадобиться 463 кубічні сантиметри або 0,463 літри чавуну.

Повітряні кулі

Нехай вам цікаво, скільки повітря необхідно для накачування повітряної кулі ідеальної сферичної форми. Ви знаєте, що радіус вибраної кульки становить 10 см. Вбийте це значення в комірку калькулятора «Радіус» і ви отримаєте результат

Це означає, що для накачування однієї такої кулі вам знадобиться 4188 кубічних сантиметрів або 4,18 літрів повітря.

Висновок

Необхідність визначення обсягу кулі може виникнути в різних ситуаціях: від абстрактних шкільних завдань до наукових досліджень і виробничих питань. Для вирішення питань будь-якої складності використовуйте наш онлайн-калькулятор, який миттєво дасть вам точний результат та необхідні математичні викладки.

Перш ніж почати вивчати поняття кулі, що таке обсяг кулі, розглядати формули обчислення його параметрів, необхідно згадати поняття кола, що вивчалося раніше в курсі геометрії. Адже більшість дій у тривимірному просторі аналогічні або випливають із двовимірної геометрії з поправкою на появу третьої координати та третього ступеня.

Що таке коло?

Коло - це фігура декартової площині (зображена малюнку 1); найчастіше визначення звучить як «геометричне місце всіх точок на площині, відстань яких до заданої точки (центру) вбирається у якогось неотрицательного числа, званого радіусом».

Як бачимо по малюнку, точка О - це центр фігури, а безліч абсолютно всіх точок, що заповнюють коло, наприклад, А, В, С, К, Е, знаходяться не далі заданого радіусу (не виходять за межі кола, зображеного на рис 2).

Якщо радіус дорівнює нулю, то коло перетворюється на точку.

Проблеми з розумінням

Учні часто плутають ці поняття. Легко запам'ятати, провівши аналогію. Обруч, який діти крутять під час уроків фізичної культури, - коло. Розуміючи це або запам'ятавши, що перші літери обох слів – “О”, діти менімонічно розумітимуть різницю.

Введення поняття «куля»

Куля – це тіло (рис. 3), обмежене якоюсь сферичною поверхнею. Що за «сферична поверхня» стане ясно з її визначення: це геометричне місце всіх точок на поверхні, відстань від яких до заданої точки (центру) не перевищує якогось невід'ємного числа, званого радіусом. Як бачимо, поняття кола та сферичної поверхні аналогічні, тільки різняться простори, в яких вони знаходяться. Якщо зобразити кулю у двомірному просторі, ми отримуємо коло, межею якого є коло (біля кулі межа - сферична поверхня). На малюнку бачимо сферичну поверхню з радіусами ОА = ОВ.

Куля замкнута і відкрита

У векторному та метричному просторах також розглядаються два поняття, пов'язані зі сферичною поверхнею. Якщо куля включає цю сферу в себе, то вона називається замкненою, а якщо ж ні, то в такому випадку куля є відкритою. Це " просунуті " поняття, їх вивчають в інститутах при введенні в аналіз. Для простого, навіть побутового використання буде достатньо і формул, які вивчаються в курсі стереометрії 10-11 класів. Саме такі, доступні практично кожній середньостатистичній освіченій людині поняття будуть розглянуті далі.

Поняття, які слід знати для наступних обчислень

Радіус та діаметр.

Радіус кулі та її діаметр визначаються так само, як у кола.

Радіус - відрізок, що з'єднує будь-яку точку на межі кулі та точку, що є центром кулі.

Діаметр - відрізок, що з'єднує дві точки на межі кулі і проходить через центр. Рисунок 5а наочно демонструє, які відрізки є радіусами кулі, але в малюнку 5б зображені діаметри сфери (відрізки, які проходять через точку О).

Перерізи у сфері (кулі)

Будь-який переріз сфери є колом. Якщо воно проходить через центр кулі, то називається великим колом (коло з діаметром АВ), решта перерізів - малими колами (коло з діаметром DC).

Площа даних кіл обчислюється за такими формулами:

Тут S – це позначення площі, R – радіуса, D – діаметра. Також є константа, рівна 3,14. Але не варто плутати, що для обчислення площі великого кола використовують радіус або діаметр самої кулі (сфери), а для визначення площі потрібні розміри радіусу саме малого кола.

Таких перерізів, які проходять через дві точки одного діаметра, що лежать на межі кулі, можна провести незліченну кількість. Як приклад – наша планета: дві точки на Північному та Південному полюсах, які є кінцями земної осі, а в геометричному сенсі – кінцями діаметра, та меридіани, які проходять через ці дві точки (рисунок 7). Тобто кількість великих кіл у сфери за кількістю прагне нескінченності.

Частини кулі

Якщо відсікти від сфери за допомогою деякої площини «шматочок» (рисунок 8), він називатиметься сферичним чи кульовим сегментом. У нього буде висота - перпендикуляр із центру січної площини до сферичної поверхні О 1 К. Точка К на сферичній поверхні, до якої приходить висота, називається вершиною сферичного сегмента. А мале коло з радіусом О 1 Т (в даному випадку, згідно з малюнком, площина не пройшла через центр сфери, але якщо перетин проходитиме через центр, то коло перерізу буде великим), утворене при відсіканні кульового сегмента, називатиметься основою нашого шматочка кулі – сферичного сегмента.

Якщо з'єднати кожну точку основи сферичного сегмента з центром сфери, ми отримаємо фігуру під назвою "кульовий сектор".

Якщо через сферу проходять дві площини, які між собою паралельні, то та частина сфери, яка укладена між ними, називається шаровим шаром (рисунок 9, де зображена сфера з двома площинами та окремо - шаровий шар).

Поверхня (виділена частина на рисунку 9 справа) цієї частини сфери називається поясом (знов для кращого розуміння можна провести аналогію із земною кулею, а саме з її кліматичними поясами - арктичними, тропічними, помірними тощо), а кола перерізу будуть підставами шарового шару. Висота шару - частина діаметра, проведеного перпендикулярно до січих площин із центрів основ. Існує також поняття кульової сфери. Вона утворюється у тому випадку, коли площини, які паралельні одна одній, не перетинають сферу, а стосуються її в одній точці кожна.

Формули обчислення об'єму кулі та площі її поверхні

Куля утворюється при обертанні навколо нерухомого діаметра півкола чи кола. Для обчислень різних параметрів даного об'єкта знадобиться не так багато даних.

Об'єм кулі, формула для обчислення якого зазначена вище, виведено за допомогою інтегрування. Розберемося за пунктами.

Розглядаємо коло у двомірній площині, адже, як було зазначено вище, саме коло лежить в основі побудови кулі. Використовуємо лише четверту частину (рисунок 10).

Беремо коло з одиничним радіусом та центром на початку координат. Рівняння такого кола має такий вигляд: Х 2 + У 2 = R 2 . Виражаємо звідси У: У 2 = R 2 - Х2.

Обов'язково відзначимо, що отримана функція невід'ємна, безперервна і спадна на відрізку Х (0; R), адже значення Х у тому випадку, коли ми розглядаємо чверть кола, лежить від нуля до значення радіусу, тобто до одиниці.

Наступне, що ми робимо, це обертаємо нашу чверть кола навколо осі абсцис. В результаті ми отримаємо півкулю. Щоб визначити його обсяг, вдамося до методів інтегрування.

Так як це обсяг півкулі, збільшуємо результат вдвічі, звідки отримуємо, що об'єм кулі дорівнює:

Дрібні нюанси

Якщо необхідно обчислити об'єм кулі через його діаметр, пам'ятаємо про те, що радіус - це половина діаметра, і підставляємо це значення вищезазначеної формули.

Також до формули обсягу кулі можна дійти через площу його межі поверхні - сфери. Нагадаємо, що площа сфери обчислюється за формулою S = 4πr 2 , проінтегрувавши яку, також дійдемо вищезазначеної формули об'єму кулі. З цих формул можна висловити радіус, якщо в умові завдання є значення обсягу.

WikiHow ретельно стежить за роботою редакторів, щоб гарантувати відповідність кожної статті нашим високим стандартам якості.

Радіус кулі (позначається як r або R) – це відрізок, який з'єднує центр кулі з будь-якою точкою його поверхні. Як і у випадку кола, радіус кулі є важливою величиною, яка необхідна для знаходження діаметра кулі, довжини кола, площі поверхні та/або об'єму. Але радіус кулі можна знайти і за цим значенням діаметра, довжини кола та іншої величини. Використовуйте формулу, яку можна підставити дані значення.

Кроки

Формули для обчислення радіусу

Обчисліть радіус діаметром.Радіус дорівнює половині діаметра, тому використовуйте формулу г = D/2. Ця така сама формула, яка використовується при обчисленні радіусу та діаметра кола.

• Наприклад, дано кулю з діаметром 16 см. Радіус цієї кулі: r = 16/2 = 8 см. Якщо діаметр дорівнює 42 см, то радіус дорівнює 21 см (42/2=21).

1. Обчисліть радіус по довжині кола.Використовуйте формулу: r = C/2π. Оскільки довжина кола C = πD = 2πr, то розділіть формулу для обчислення довжини кола на 2π і отримайте формулу для знаходження радіусу.

   • Наприклад, дано кулю з довжиною кола 20 см. Радіус цієї кулі: r = 20/2π = 3,183 см.
   • Така сама формула використовується при обчисленні радіусу та довжини кола кола.

2. Обчисліть радіус за обсягом кулі.Використовуйте формулу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Обсяг кулі обчислюється за формулою V = (4/3) 3 . Відокремивши r на одній стороні рівняння, ви отримаєте формулу ((V/π)(3/4)) 3 = г, тобто для обчислення радіусу об'єм кулі ділимо на π, результат множимо на 3/4, а отриманий результат зводимо до ступеня 1/3 (або витягуємо кубічний корінь).

   • Наприклад, дано шар з об'ємом 100 см 3 . Радіус цієї кулі обчислюється так:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 см= r

3. Обчисліть радіус за площею поверхні.Використовуйте формулу: г = √(A/(4 π)). Площа поверхні кулі обчислюється за формулою А = 4πr2. Відокремивши r однією стороні рівняння, ви отримаєте формулу √(A/(4π)) = r, тобто, щоб обчислити радіус, потрібно витягти квадратний корінь із площі поверхні, поділеної на 4π. Замість того, щоб витягувати корінь, вираз (A/(4π)) можна звести до ступеня 1/2.

   • Наприклад, дано шар з площею поверхні 1200 см 3 . Радіус цієї кулі обчислюється так:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 см= r

   Визначення основних величин

   1. Запам'ятайте основні величини, які стосуються обчислення радіусу кулі.Радіус кулі – це відрізок, який сполучає центр кулі з будь-якою точкою на його поверхні. Радіус кулі можна обчислити за даними значенням діаметра, довжини кола, об'єму або площі поверхні.

      Скористайтеся значеннями даних величин, щоб знайти радіус.Радіус можна обчислити за даними значенням діаметра, довжини кола, обсягу та площі поверхні. Більше того, зазначені величини можна знайти за цим значенням радіусу. Щоб обчислити радіус, просто перетворіть формули знаходження зазначених величин. Нижче наведені формули (в яких присутній радіус) для обчислення діаметра, довжини кола, об'єму та площі поверхні.

   Знаходження радіусу на відстані між двома точками

   1. Знайдіть координати (х, у, z) центру кулі.Радіус кулі дорівнює відстані між його центром та будь-якою точкою, що лежить на поверхні кулі. Якщо відомі координати центру кулі та будь-якої точки, що лежить на його поверхні, можна знайти радіус кулі за спеціальною формулою, обчисливши відстань між двома точками. Спочатку знайдіть координати центру кулі. Майте на увазі, що оскільки куля є тривимірною фігурою, то точка матиме три координати (х, у, z), а не дві (х, у).

      • Розглянемо приклад. Дана куля з центром з координатами (4,-1,12) . Скористайтеся цими координатами, щоб знайти радіус кулі.

   2. Знайдіть координати точки, що лежить на поверхні кулі.Тепер потрібно знайти координати (х, у, z) будь-якийкрапки, що лежить на поверхні кулі. Оскільки всі точки, що лежать на поверхні кулі, розташовані на однаковій відстані від центру кулі, для обчислення радіуса кулі можна вибрати будь-яку точку.

      • У нашому прикладі припустимо, що деяка точка, що лежить на поверхні кулі, має координати (3,3,0) . Обчисливши відстань між цією точкою та центром кулі, ви знайдете радіус.

   3. Обчисліть радіус за формулою d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Дізнавшись координати центру кулі та точки, що лежить на його поверхні, ви можете знайти відстань між ними, яка дорівнює радіусу кулі. Відстань між двома точками обчислюється за формулою d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), де d – відстань між точками, (x 1 , y 1 ,z 1) - координати центру кулі, (x 2, y 2, z 2) - координати точки, що лежить на поверхні кулі.

      • У прикладі замість (x 1 ,y 1 ,z 1) підставте (4,-1,12), а замість (x 2 ,y 2 ,z 2) підставте (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Це шуканий радіус кулі.

   4. Майте на увазі, що у загальних випадках r = √((x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 + (z 2 – z 1) 2).Усі точки, що лежать на поверхні кулі, розташовані на однаковій відстані від центру кулі. Якщо у формулі для знаходження відстані між двома точками "d" замінити на "r", вийде формула для обчислення радіусу кулі за відомими координатами (x 1 ,y 1 ,z 1) центру кулі та координатами (x 2 ,y 2 ,z 2 ) будь-якої точки, що лежить на поверхні кулі.

      • Зведіть обидві сторони цього рівняння в квадрат і отримайте r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Зауважте, що це рівняння відповідає рівнянню сфери r 2 = x 2 + y 2 + z 2 із центром з координатами (0,0,0).
   • Не забувайте про порядок виконання математичних операцій. Якщо ви не пам'ятаєте цей порядок, а ваш калькулятор може працювати з круглими дужками, користуйтеся ними.
   • У цій статті розповідається про обчислення радіусу кулі. Але якщо ви відчуваєте труднощі з вивченням геометрії, краще почати з обчислення величин, пов'язаних з кулею через відоме значення радіуса.
   • π (Пі) – це літера грецького алфавіту, яка позначає постійну, рівну відношенню діаметра кола до довжини його кола. Число Пі є ірраціональним числом, яке не записується як відношення дійсних чисел. Існує безліч наближень, наприклад, відношення 333/106 дозволить знайти число Пі з точністю до чотирьох цифр після десяткової коми. Як правило, користуються приблизним значенням числа Пі, що дорівнює 3,14.

Визначення кулі

Куля- це тіло, всі точки якого знаходяться від заданої точки на відстані, що не перевищує R.

Онлайн-калькулятор

Задана точка, про яку йдеться у визначенні кулі, називається центромцієї кулі. А згадана відстань - радіусомданої кулі.

У кулі, за аналогією з колом, так само є діаметр D D D, який за довжиною вдвічі більший за радіус:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D =2 ⋅ R

Формула об'єму кулі через її радіус

Об'єм кулі обчислюється за такою формулою:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R- радіус цієї кулі.

Розглянемо кілька прикладів.

Куля вписана в куб, діагональ d d dякого дорівнює 500 см. \sqrt(500)\text( див.)5 0 0 ​ див.Знайти об'єм кулі.

Рішення

D = 500 d = sqrt (500) d =5 0 0 ​

Спочатку необхідно визначити довжину сторони куба. Вважатимемо, що вона дорівнює a a a. Отже, діагональ куба дорівнює (виходячи з теореми Піфагора):

D = a 2 + a 2 + a 2 d = sqrt (a 2 + a 2 + a 2)d =a 2 + a 2 + a 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d =3 ⋅ a 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad =3 ​ ⋅ a

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ a

A = 500 3 a = sqrt (frac (500) (3))a =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12.9 a\approx12.9 a ≈1 2 . 9

Якщо куб вписаний кулю, його радіус дорівнює половинці довжини боку цього куба. В результаті маємо:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR =2 1 ​ ⋅ a

R = 1 2 ⋅ 12.9 ≈ 6.4 R=\frac(1)(2)\cdot 12.9\approx6.4R =2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Заключний етап - знаходження об'єму кулі за формулою:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097 , 5 см 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\approx1097,5\text( см)^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 см3

Відповідь

1097 5 см 3 . 1097,5 \ text (см) ^ 3.1 0 9 7 , 5 см3 .

Формула об'єму кулі через його діаметр

Також обсяг кулі можна знайти через його діаметр. Для цього використовуємо зв'язок між радіусом та діаметром кулі:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D =2 ⋅ R

R = D 2 R = frac (D) (2) R =2 D​

Підставимо цей вираз у формулу для об'єму кулі:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ D 3

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =6 π ​ ⋅ D 3

D D D- Діаметр цієї кулі.

Діаметр кулі дорівнює 15 см. 15\text( див.) 1 5 див.Знайдіть його обсяг.

Рішення

D = 15 D = 15 D =1 5

Відразу підставляємо значення діаметра у формулу:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766.25 см 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ approx1766.25\text( см)^3V =6 π ​ ⋅ D 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 см3

Відповідь

$1766.25\text{см3 .}$