Даний методичний посібник допоможе Вам навчитися виконувати дії з матрицями: складання (віднімання) матриць, транспонування матриці, множення матриць, знаходження зворотної матриці. Весь матеріал викладений у простій та доступній формі, наведені відповідні приклади, таким чином, навіть непідготовлена людина зможе навчитися виконувати дії з матрицями. Для самоконтролю та самоперевірки Ви можете безкоштовно завантажити матричний калькулятор >>>.
Я намагатимуся мінімізувати теоретичні викладки, подекуди можливі пояснення «на пальцях» та використання ненаукових термінів. Любителі ґрунтовної теорії, будь ласка, не займайтеся критикою, наше завдання – навчитися виконувати дії з матрицями.
Для СВЕРХШВИДКОГО підготовки за темою (у кого «горить») є інтенсивний pdf-курс Матриця, визначник та залік!
Матриця – це прямокутна таблиця будь-яких елементів. В якості елементівми розглядатимемо числа, тобто числові матриці. ЕЛЕМЕНТ- Це термін. Термін бажано запам'ятати, він часто зустрічатиметься, не випадково я використав для його виділення жирний шрифт.
Позначення:матриці зазвичай позначають великими латинськими літерами
Приклад:розглянемо матрицю «два на три»:
Дана матриця складається з шести елементів:
Всі числа (елементи) всередині матриці існують самі по собі, тобто ні про яке віднімання не йдеться: 
Це просто таблиця (набір) чисел!
Також домовимося не переставлятичисла, якщо іншого не сказано у поясненнях. У кожного числа своє місце розташування, і перетасовувати їх не можна!
Розглянута матриця має два рядки: 
і три стовпці: 
СТАНДАРТ: коли говорять про розміри матриці, то спочаткувказують кількість рядків, а потім – кількість стовпців. Ми щойно розібрали по кісточках матрицю «два на три».
Якщо кількість рядків та стовпців матриці збігається, то матрицю називають квадратний, наприклад: 
- матриця "три на три".
Якщо в матриці один стовпець або один рядок, то такі матриці також називають векторами.
Насправді поняття матриці ми знаємо ще зі школи, розглянемо, наприклад, точку з координатами «ікс» і «гравець»: . Фактично, координати точки записані в матрицю «один на два». До речі, ось Вам і приклад, чому порядок чисел має значення: і – це дві різні точки площини.
Тепер переходимо безпосередньо до вивчення дій із матрицями:
1) Дія перша. Винесення мінуса із матриці (внесення мінуса в матрицю).
Повернемося до нашої матриці 
. Як ви, напевно, помітили, в даній матриці занадто багато негативних чисел. Це дуже незручно з точки зору виконання різних дій з матрицею, незручно писати стільки мінусів, та й просто в оформленні виглядає некрасиво.
Винесемо мінус за межі матриці, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:
У нуля, як Ви знаєте, знак не змінюється, нуль – він і в Африці нуль.
Зворотній приклад: 
. Виглядає потворно.
Внесемо мінус у матрицю, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:
Ну ось, набагато симпатичніше вийшло. І, найголовніше, виконувати будь-які дії з матрицею буде ПРОЩЕ. Тому що є така математична народна прикмета: чим більше мінусів – тим більше плутанини та помилок.
2) Дія друга. Розмноження матриці на число.
Приклад:
Все просто, щоб помножити матрицю на число, потрібно коженелемент матриці помножити на це число. У цьому випадку – на трійку.
Ще один корисний приклад:
– множення матриці на дріб
Спочатку розглянемо те, що робити НЕ ТРЕБА:
Вносити дріб у матрицю НЕ ПОТРІБНО, по-перше, це ускладнює подальші дії з матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем (особливо, якщо 
- Остаточна відповідь завдання).
Тим паче, НЕ ТРЕБАділити кожен елемент матриці на мінус сім:
Зі статті Математика для чайників або з чого початиМи пам'ятаємо, що десяткових дробів з комою у вищій математиці намагаються всіляко уникати.
Єдине що бажанозробити в цьому прикладі – це внести мінус у матрицю:
А от якби ВСІелементи матриці поділялися на 7 без залишку, Тоді можна (і треба!) було б поділити.
Приклад:
В цьому випадку можна і ПОТРІБНОпомножити всі елементи матриці на , тому що всі числа матриці поділяються на 2 без залишку.
Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «розподіл» немає. Замість фрази "це поділити на це" завжди можна сказати "це помножити на дріб". Тобто, розподіл – це окремий випадок множення.
3) Дія третя. Транспонування матриці.
Щоб транспонувати матрицю, потрібно її рядки записати в стовпці транспонованої матриці.
Приклад:
Транспонувати матрицю
Рядок тут лише один і, згідно з правилом, його потрібно записати в стовпець:
– транспонована матриця.
Транспонована матриця зазвичай позначається надрядковим індексом чи штрихом праворуч угорі.
Покроковий приклад:
Транспонувати матрицю 
Спочатку переписуємо перший рядок у перший стовпець:
Потім переписуємо другий рядок у другий стовпець: 
І, нарешті, переписуємо третій рядок у третій стовпець:
Готово. Грубо кажучи, транспонувати це означає повернути матрицю набік.
4) Дія четверта. Сума (різниця) матриць.
Сума матриць дія нескладна.
НЕ ВСІ МАТРИЦІ МОЖНА СКЛАДАТИ. Для виконання складання (віднімання) матриць, необхідно, щоб вони були ОДНАКОВИМИ ЗА РОЗМІРУ.
Наприклад, якщо дана матриця «два на два», то її можна складати тільки з матрицею «два на два» та жодної іншої! 
Приклад:
Скласти матриці 
і 
Для того, щоб скласти матриці, необхідно скласти їх відповідні елементи:
Для різниці матриць правило аналогічне, необхідно знайти різницю відповідних елементів.
Приклад:
Знайти різницю матриць 
, 
А як вирішити цей приклад простіше, щоб не заплутатися? Доцільно позбавитися зайвих мінусів, для цього внесемо мінус в матрицю:
Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «віднімання» немає. Замість фрази "від цього відняти це" завжди можна сказати "до цього додати негативне число". Тобто, віднімання – це окремий випадок складання.
5) Дія п'ята. Розмноження матриць.
Які матриці можна множити?
Щоб матрицю можна було помножити на матрицю потрібно, щоб число стовпців матриці дорівнювало числу рядків матриці.
Приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?
Отже, множити дані матриці можна.
А от якщо матриці переставити місцями, то в даному випадку множення вже неможливо!
Отже, виконати множення неможливо:
Не так вже й рідко зустрічаються завдання з каверзою, коли студенту пропонується помножити матриці, множення яких явно неможливе.
Слід зазначити, що у ряді випадків можна множити матриці і так, і так.
Наприклад, для матриць, і можливо як множення, так і множення
Це одна з найпоширеніших операцій із матрицями. Матриця, що виходить після множення, називається твором матриць.
Добутком матриці A m × nна матрицю B n × kбуде матриця C m × kтака, що елемент матриці C, що знаходиться в i-ому рядку та j-ом стовпці, тобто елемент з ijдорівнює сумі творів елементів i-ого рядка матриці Aна відповідні елементи j-ого стовпця матриці B.
Процес множення матрицьможливий тільки у випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці.
Приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?
m =nОтже, множити дані матриці можна.
Якщо ж матриці поміняти місцями, то при таких матрицях множення вже не буде можливим.
m≠ n, таким чином, виконувати множення не можна:
Досить часто можна зустріти завдання з каверзою, коли учневі пропонується помножити матриці, множення яких свідомо неможливе.
Зверніть увагу, що іноді можна множити матриці і так, і так. Наприклад, для матриць, і можливо як множення MN, так і множення NM.
Це не дуже складна дія. Множення матриць краще розуміти на конкретних прикладах, т.к. лише визначення може сильно заплутати.
Почнемо з найпростішого прикладу:
Потрібно помножити на . Насамперед наведемо формулу для даного випадку:
- Тут добре простежується закономірність.
Помножити на .
Формула при цьому випадку: .
Розмноження матриць та результат:
В результаті отримано т.зв. нульова матриця.
Дуже важливо пам'ятати, що тут не працює «правило перестановки місць доданків», оскільки майже завжди MN≠ NM. Тому, виробляючи операцію множення матрицьїх у жодному разі не можна міняти місцями.
Тепер розглянемо приклади множення матриць третього порядку:
Помножити 
на.
Формула дуже схожа на минулі:
Рішення матриці: 
.
Це теж множення матриць, тільки замість другої матриці береться просте число. Як можна здогадатися, таке множення виконувати набагато простіше.
Приклад множення матриці на число:
Тут все зрозуміло – для того, щоб помножити матрицю на числонеобхідно кожен елемент матриці послідовно помножити на вказане число. В даному випадку – на 3.
Ще один корисний приклад:
- множення матриці на дрібне число.
Насамперед покажемо те, чого робити не треба:
При множенні матриці на дробове число не потрібно вносити дріб у матрицю, так як це в першу чергу тільки ускладнює подальші дії з матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем.
І, тим більше, не потрібно ділити кожен елемент матриці на -7:
.
Що варто зробити в даному випадку – це внести мінус у матрицю:
.
Якби у вас був приклад, коли всі елементи матриці ділилися на 7 без залишку, то тоді можна (і потрібно!) було б поділити.
У цьому прикладі можна і треба помножити всі елементи матриці на ½, т.к. кожен елемент матриці ділиться на 2 без залишку.
Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «розподіл» немає. Замість фрази "це поділити на це" завжди можна сказати "це помножити на дріб". Тобто, розподіл – це окремий випадок множення.
Перш за все, ЩО має вийти в результаті множення трьох матриць? Кішка не народить мишку. Якщо матричне множення можна здійснити, то в результаті теж вийде матриця. М-да, добре мій викладач з алгебри не бачить, як я поясню замкнутість алгебраїчної структури щодо її елементів =)
Добуток трьох матриць можна обчислити двома способами:
1) знайти , а потім примножити на матрицю «це»: ;
2) або спочатку визначити, потім виконати множення.
Результати обов'язково співпадуть, і теоретично дану властивість називають асоціативністю матричного множення:
Приклад 6
Перемножити матриці двома способами
Алгоритм рішеннядвокроковий: знаходимо твір двох матриць, потім знову знаходимо твір двох матриць.
1) Використовуємо формулу
Дія перша:
Дія друга:
2) Використовуємо формулу
Дія перша:
Дія друга:
Відповідь:
Звичніший і стандартніший, звичайно ж, перший спосіб вирішення, там «ніби все по порядку». До речі, щодо порядку. У розглянутому завданні часто виникає ілюзія, що йдеться про якісь перестановки матриць. Їх тут нема. Знову нагадую, що у загальному випадку ПЕРЕСТАВЛЯТИ МАТРИЦІ НЕ МОЖНА. Так, у другому пункті на другому кроці виконуємо множення , але в жодному разі не . Зі звичайними числами такий би номер пройшов, а з матрицями – ні.
Властивість асоціативності множення справедливе як для квадратних, але й довільних матриць – аби вони множались:
Приклад 7
Знайти твір трьох матриць
Це приклад самостійного рішення. У зразку рішення обчислення проведено двома способами, проаналізуйте, який шлях вигідніший і коротший.
Властивість асоціативності матричного множення має місце і для великої кількості множників.
Тепер саме час повернутися до ступенів матриць. Квадрат матриці розглянутий на самому початку і на порядку денному питання.
Матриці є таблицями чисел, взаємопов'язаних між собою. Над ними можна проводити ряд різноманітних операцій, про які ми розповімо нижче.
Розмір матриці визначається її порядками- кількістю рядків $m$ і стовпців $n$, які у ній присутні. Рядки утворені елементами, що стоять на горизонтальних лініях, а стовпці - елементами, що стоять на прямих вертикальних лініях. Якщо кількість рядків еквівалентно кількості стовпців - порядок аналізованої таблички визначається лише одним значенням $m = n$.
Примітка 1
Для будь-якого елемента матриці номер рядка, в якій він знаходиться, записується першим в індексі, а номер стовпця - другим, тобто запис $a_(ij)$ позначає, що елемент стоїть у $i$-му рядку і в $j$- ом стовпці.
Складання та віднімання
Отже, про складання та віднімання. Ці дії можна проводити тільки з матрицями однакового розміру.
Для того щоб здійснити ці дії, необхідно провести додавання або віднімання кожного елемента матриці з елементом іншої матриці, що стоїть на тій же позиції, що елемент першої.
Як приклад знайдемо суму $A+B$, де:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(pmatrix)$
і $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\\end(pmatrix)$
Сума будь-якого елемента нової отриманої матричної таблички $A + B$ дорівнює $a_(ij) + b_(ij)$, наприклад, елемент з індексом $11$ дорівнює $a_(11) + b_(11)$,а весь результат цілком виглядає так:
$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33 ) \\ \end(pmatrix)$
Віднімання двох матриць $A-B$ здійснюється аналогічно, але кожен елемент нової матриці результату буде обчислюватися за формулою $a_(ij) – b_(ij)$.
Зверніть увагу, що додавання та віднімання для матриць можливо здійснювати тільки якщо їх порядки однакові.
Приклад 1
Розв'яжіть такі матричні приклади: $A + B$; $A – B$.
$A=\begin(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$
$B=\begin(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$
Пояснення:
Дії виконуємо для кожної пари елементів $a_(ij)$ та $b_(ij)$ відповідно:
$A+B=\begin(pmatrix) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\-2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \ \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$
$A-B=\begin(pmatrix) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$
Розмноження матриці на число
Для того щоб зробити множення матричної таблички на якесь число, потрібно кожен її елемент помножити на це число, тобто будь-який елемент нової матриці $C$, що є результатом твору $A$ на $λ$ дорівнюватиме $с_(ij)= λ \cdot a_(ij)$.
Приклад 2
Помножте $A$ на $λ$, де $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$, а $λ =5$:
$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end(pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.
Твір матричних таблиць
Це завдання дещо складніше за попередні, але при цьому в ньому також немає нічого складного.
Для здійснення множення двох матриць $A \cdot B$ кількість стовпців $A$ має збігатися з кількістю рядків $B$.
Математично це можна записати так:
$A_(m \times n)\cdot B_(n \times p) = С_(m \times p)$
Тобто бачачи вихідні матриці, що перемножуються, можна відразу визначити порядки одержуваної нової. Наприклад, якщо необхідно перемножити $A_(3 \times 2)$ і $B_(2 \times 3)$ - отриманий результат матиме розмір $3 \times 3$:
$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11) ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$
Якщо число стовпців першого матричного множника не збігається з кількістю рядків другого матричного множника, множення виконати неможливо.
Приклад 3
Розв'яжіть приклад:
$A \times B = ?$, якщо $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ і $B = \begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(pmatrix)$.
$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $
$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\\end(pmatrix)$.
Знаходження визначника матриці
Визначник матриці позначається як $Δ$ або $\det$.
Примітка 2
Детермінант можна визначити тільки для квадратних видів матриць.
У найпростішому випадку, коли матриця складається з одного елемента, її визначник дорівнює цьому елементу: $det A = |a_(11)|= a_(11)$
Обчислити визначник від матриці близько двох можна за таким правилом:
Визначення 1
Визначник матриці розміру 2 дорівнює різниці творів елементів, що стоять на головній діагоналі з твором елементів з побічної діагоналі:
$\begin(array)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(array) = a_(11) \cdot a_(22) – a_(12) \cdot a_(21)$
Якщо визначник матриці заданий розміром $3 \times 3$, то знайти його можна використовуючи мнемонічні правила: Саррюса або трикутників, також можна розкласти матрицю по рядку або стовпцю або скористатися перетвореннями Гауса.
Для визначників більшого розміру можна використовувати перетворення Гауса та розкладання по рядку.
Зворотні матриці
За аналогією зі звичайним множенням числа на зворотне число №(1+\frac1x= 1)$, множення зворотної матриці $A^(-1)$ на вихідну матрицю дає в результаті одиничну матрицю $E$.
Найпростіший метод вирішення при пошуку зворотної матриці - Жордана-Гаусса. Поряд з матрицею-піддослідним кроликом записується одинична того ж розміру, а потім вихідна за допомогою перетворень наводиться до одиничної, причому всі дії, що виконуються, повторюються і з $E$.
Приклад 4
Дана $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$
Отримати зворотну матрицю.
Рішення:
Пишемо разом $A$ і праворуч від неї відповідного розміру $E$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(array)$
Отримуємо нуль в останній рядку на першій позиції: додаємо до неї верхню, помножену на $-3$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$
Тепер обнулюємо останній елемент першого рядка. Для цього до верхнього рядка плюсуємо нижню:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$
Ділимо другу на $-2$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(array)$
Отримали результат:
$A=\begin(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$
Транспонування матричних таблиць
Транспонування - це зміна рядків і стовпців у матриці чи визначнику місцями із збереженням їхнього вихідного порядку. Визначник траспонованої матричної таблички $A^T$ дорівнюватиме визначнику вихідної матриці $A$.
Приклад 5
Транспонуйте матрицю $A$ та перевірте себе, знайшовши визначник $A$ та транспонованої матричної таблички.
$A=\begin(pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\\end(pmatrix)$
Рішення:
Застосуємо метод Саррюса для детермінанту:
$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) - 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 - 12 - 24 + 24 + 12 + 15 = 0 $.
Ми отримали вироджену матрицю.
Тепер зробимо транспонування $A$, для цього повалимо матрицю на її правий бік:
$A^T = \begin(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$
Знайдемо для $A^T$ визначник, використовуючи те саме правило:
$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 - (-1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.
Визначення 1Твір матриць (С = АВ) - операція тільки для узгоджених матриць А і В, у яких число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці:
C ∟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
Приклад 1
Дані матриці:
- A = a (i j) розмірів m × n;
- B = b (i j) розмірів p × n
Матрицю C , елементи c i j якої обчислюються за такою формулою:
c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1,. . . m
Приклад 2
Обчислимо твори АВ=ВА:
А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1
Рішення, використовуючи правило множення матриць:
А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3
Твір АВ і В А знайдені, але є матрицями різних розмірів: АВ не дорівнює В А.
Властивості множення матриць
Властивості множення матриць:
- (А В) С = А (В С) – асоціативність множення матриць;
- А (В + С) = А В + АС - дистрибутивність множення;
- (А + В) С = АС + ВС - дистрибутивність множення;
- λ (АВ) = (λ А) В
Перевіряємо властивість №1: (АВ) С = А (ВС) :
(А × В) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,
А (В × С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .
Приклад 2
Перевіряємо властивість №2: А (В+С) = АВ+АС:
А × (В + С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,
А В + АС = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .
Твір трьох матриць
Твір трьох матриць А В обчислюють двома способами:
- знайти АВ і помножити на З: (АВ) З;
- або знайти спочатку ВС, а потім помножити А (ВС) .
Перемножити матриці двома способами:
4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1
Алгоритм дій:
- знайти твір 2-х матриць;
- потім знову знайти твір 2-х матриць.
1). А В = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (-28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21
2). А В С = (А В) С = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .
Використовуємо формулу АВС = (АВ) С:
1). В С = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12
2). А В С = (А В) С = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (-12) = 2 0 0 3
Відповідь: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3
Розмноження матриці на число
Визначення 2Добуток матриці А на число k - це матриця В = А k того ж розміру, яка отримана з вихідною множенням на задане число всіх її елементів:
b i , j = k × a i , j
Властивості множення матриці на число:
- 1 × А = А
- 0 × А = нульова матриця
- k(A+B) = kA+kB
- (k + n) A = k A + n A
- (k × n) × A = k (n × A)
Знайдемо добуток матриці А = 4290 на 5.
5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Розмноження матриці на вектор
Визначення 3Щоб знайти твір матриці та вектора, необхідно множити за правилом «рядок на стовпець»:
- якщо помножити матрицю на вектор-стовпець число стовпців у матриці має збігатися з числом рядків у векторі-стовпці;
- результатом множення вектора-стовпчика є тільки вектор-стовпець:
АВ = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b 1 c 2 ⋯ c 1 m
- якщо помножити матрицю на вектор-рядок, то матриця повинна бути виключно вектором-стовпцем, причому кількість стовпців має збігатися з кількістю стовпців у векторі-рядку:
АВ = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Приклад 5
Знайдемо твір матриці А та вектора-стовпця В:
А В = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (-1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (-1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2
Приклад 6
Знайдемо твір матриці А та вектора-рядок В:
А = 3 2 0 - 1, В = - 1 1 0 2
А В = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (-1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Відповідь: А В = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
