Десяткові дроби. Три цілі п'ять десятих відсотка про Тридцять цілих вісім десятих

Ми вже говорили, що дроби бувають звичайніі десяткові. На даний момент ми трохи вивчили прості дроби. Ми дізналися, що звичайні дроби бувають правильні та неправильні. Також ми дізналися, що прості дроби можна скорочувати, складати, віднімати множити і ділити. І ще ми дізналися, що бувають так звані змішані числа, які складаються з цілої та дробової частини.

Ми ще не до кінця вивчили прості дроби. Є чимало тонкощів та деталей, про які слід поговорити, але вже сьогодні ми почнемо вивчати десятковідроби, оскільки звичайні та десяткові дроби досить часто доводиться поєднувати. Тобто при вирішенні завдань доводиться працювати з обома видами дробів.

Цей урок, можливо, здасться складним і незрозумілим. Це цілком нормально. Такі уроки вимагають, щоб їх саме вивчали, а не переглядали поверхово.

Зміст уроку

Вираз величин у дробовому вигляді

Іноді зручно буває показати щось у дрібному вигляді. Наприклад, одна десята частина дециметра записується так:

Це вираз означає, що один дециметр був поділений на десять рівних частин, і від цих частин була взята одна частина. А одна частина з десяти в даному випадку дорівнює одному сантиметру:

Розглянемо наступний приклад. Показати 6 см та ще 3 мм у сантиметрах у дробовому вигляді.

Отже, потрібно показати 6 см і 3 мм у сантиметрах, але у дрібному вигляді. 6 цілих сантиметрів у нас вже є:

Але залишилося ще 3 міліметри. Як показати ці 3 міліметри, причому у сантиметрах? На допомогу приходять дроби. Один сантиметр це десять міліметрів. Три міліметри це три частини із десяти. А три частини із десяти записуються як см

Вираз см означає, що один сантиметр був розділений на десять рівних частин, і від цих десяти частин взяли три частини.

В результаті маємо шість цілих сантиметрів і три десяті сантиметри:

У цьому 6 показує число цілих сантиметрів, а дріб — число дробових. Цей дріб читається як «шість цілих і три десяті сантиметри».

Дроби, у знаменнику яких є числа 10, 100, 1000 можна записувати без знаменника. Спочатку пишуть цілу частину, а потім чисельник дробової частини. Ціла частина відокремлюється від чисельника дробової частини коми.

Наприклад, запишемо без знаменника. Спочатку записуємо цілу частину. Ціла частина це 6

Ціла частина записана. Відразу ж після написання цілої частини ставимо кому:

І тепер записуємо чисельник дробової частини. У змішаному числі чисельник дробової частини це число 3. Записуємо після коми трійку:

Будь-яке число, яке представляється в такому вигляді, називається десятковим дробом.

Тому показати 6 см і ще 3 мм у сантиметрах можна за допомогою десяткового дробу:

6,3 см

Виглядатиме це таким чином:

Насправді десяткові дроби це самі звичайні дроби і змішані числа. Особливість таких дробів у тому, що у знаменнику їх дробової частини стоять числа 10, 100, 1000 чи 10000.

Як і змішане число, десятковий дріб має цілу частину і дробовий. Наприклад, у змішаному числі ціла частина це 6, а дрібна частина це .

У десятковому дробі 6,3 ціла частина це число 6, а дробова частина це чисельник дробу, тобто число 3.

Буває й те, що прості дроби в знаменнику яких числа 10, 100, 1000 дані без цілої частини. Наприклад, дріб дано без цілої частини. Щоб записати такий дріб як десятковий, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини. Дроб без знаменника буде записаний таким чином:

Читається як "нуль цілих п'ять десятих".

Переклад змішаних чисел у десяткові дроби

Коли записуємо змішані числа без знаменника, ми цим переводимо їх у десяткові дроби. При переведенні звичайних дробів у десяткові дроби потрібно знати кілька моментів, про які ми зараз поговоримо.

Після того, як записана ціла частина, обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини, оскільки кількість нулів дробової частини та кількість цифр після коми у десятковому дробі має бути однаковим. Що це означає? Розглянемо наступний приклад:

Спочатку

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і десятковий дріт готовий, але обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини.

Отже, вважаємо кількість нулів у дробовій частині змішаного числа . У знаменнику дробової частини один нуль. Значить у десятковому дробі після коми буде одна цифра і ця цифра буде чисельником дробової частини змішаного числа, тобто число 2

Таким чином, змішане число при переведенні в десятковий дріб звертається до 3,2.

Цей десятковий дріб читається так:

«Три цілі, дві десяті»

"Десятих" тому що в дробовій частині змішаного числа знаходиться число 10.

приклад 2.Перевести змішане число в десятковий дріб.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і отримати десятковий дріб 5,3 але правило каже, що після коми має бути стільки цифр скільки нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа . А ми бачимо, що у знаменнику дробової частини два нулі. Значить у нашому десятковому дробі після коми має бути дві цифри, а не одна.

У таких випадках чисельник дробової частини потрібно трохи видозмінити: додати нуль перед чисельником, тобто перед числом 3

Тепер можна перевести це змішане число в десятковий дріб. Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І записуємо чисельник дробової частини:

Десятковий дріб 5,03 читається так:

«П'ять цілих, три соті»

"Сотих" тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа знаходиться число 100.

Приклад 3.Перевести змішане число в десятковий дріб.

З попередніх прикладів ми дізналися, що для успішного переведення змішаного числа в десятковий дріб, кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини має бути однаковим.

Перед переведенням змішаного числа в десятковий дріб, його дробову частину потрібно трохи видозмінити, а саме зробити так, щоб кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини було однаковим.

Насамперед дивимося на кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там три нулі:

Наше завдання організувати в чисельнику дробової частини три цифри. Одна цифра у нас вже є — це число 2. Залишилось додати ще дві цифри. Ними будуть два нулі. Додамо їх перед число 2. У результаті кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику стане однаковим:

Тепер можна зайнятися переведенням цього змішаного числа в десятковий дріб. Записуємо спочатку цілу частину і ставимо кому:

і відразу записуємо чисельник дробової частини

3,002

Бачимо, що кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа однакова.

Десятковий дріб 3,002 читається так:

«Три цілі, дві тисячні»

«Тисячні» тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа знаходиться число 1000.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Прості дроби, у яких у знаменнику числа 10, 100, 1000 або 10000, теж можна перевести в десяткові дроби. Оскільки у звичайного дробу ціла частина відсутня, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини.

Тут також кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику має бути однаковим. Тому слід бути уважним.

приклад 1.

Ціла частина відсутня, значить спочатку записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику одна цифра. Отже можна спокійно продовжити десятковий дріб, записавши після коми число 5

В отриманому десятковому дробі 0,5 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,5 читається так:

"Нуль цілих п'ять десятих"

приклад 2.Перекласти звичайний дріб у десятковий дріб.

Ціла частина відсутня. Записуємо спочатку 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там два нулі. А в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість цифр і кількість нулів однаковим, додамо в чисельник перед числом 2 один нуль. Тоді дріб набуде вигляду. Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб:

В отриманому десятковому дробі 0,02 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,02 читається так:

«Нуль цілих, дві соті».

Приклад 3.Перекласти звичайний дріб у десятковий дріб.

Записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробу. Бачимо, що там п'ять нулів, а в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однаковим, потрібно в чисельнику перед числом 5 дописати чотири нулі:

Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб. Записуємо після коми чисельник дробу

В отриманому десятковому дробі 0,00005 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,00005 читається так:

"Нуль цілих, п'ять стотисячних".

Переклад неправильних дробів у десятковий дріб

Неправильний дріб це дріб, у якого чисельник більший за знаменник. Зустрічаються неправильні дроби, у яких знаменнику знаходяться числа 10, 100, 1000 чи 10000. Такі дроби можна переводити в десяткові дроби. Але перед переведенням у десятковий дріб, у таких дробів необхідно виділяти цілу частину.

приклад 1.

Дроб є неправильним дробом. Щоб перевести такий дріб у десятковий дріб, потрібно насамперед виділити в нього цілу частину. Згадуємо, як виділяти цілу частину неправильних дробів. Якщо забули, радимо повернутися і вивчити його.

Отже, виділимо цілу частину в неправильному дробі. Нагадаємо, що дріб означає розподіл - в даному випадку розподіл числа 112 на число 10

Подивимося на цей малюнок і зберемо нове змішане число, подібно до дитячого конструктора. Число 11 буде цілою частиною, число 2 - чисельником дробової частини, число 10 - знаменником дробової частини.

Ми отримали змішане число. Його і переведемо в десятковий дріб. А як переводити такі числа до десяткових дробів ми вже знаємо. Спочатку записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику дробової частини одна цифра. Значить кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

В отриманому десятковому дробі 11,2 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Значить неправильний дріб при перекладі в десятковий дріб звертається до 11,2

Десятковий дріб 11,2 читається так:

«Одинадцять цілих, дві десяті».

приклад 2.Перевести неправильний дріб у десятковий дріб.

Це неправильний дріб, оскільки чисельник більший за знаменник. Але його можна перевести в десятковий дріб, оскільки в знаменнику є число 100.

Насамперед виділимо цілу частину цього дробу. Для цього розділимо 450 на 100 куточків:

Зберемо нове змішане число - отримаємо. А як переводити змішані числа до десяткових дробів ми вже знаємо.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини. Бачимо, що кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

В отриманому десятковому дробі 4,50 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Значить неправильний дріб при перекладі в десятковий дріб звертається до 4,50

При розв'язуванні задач, якщо в кінці десяткового дробу виявляються нулі, їх можна відкинути. Давайте і ми відкинемо нуль у нашій відповіді. Тоді ми отримаємо 4,5

Це одна з найцікавіших особливостей десяткових дробів. Вона полягає в тому, що нулі, які стоять в кінці дробу, не надають цьому дробу ніякої ваги. Іншими словами, десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні. Поставимо між ними знак рівності:

4,50 = 4,5

Постає питання: а чому так відбувається? Адже на вигляд 4,50 та 4,5 різні дроби. Весь секрет криється в основному властивості дробу, який ми вивчали раніше. Ми спробуємо довести, чому дорівнюють десяткові дроби 4,50 і 4,5, але після вивчення наступної теми, яка називається «переведення десяткового дробу в змішане число».

Переведення десяткового дробу в змішане число

Будь-який десятковий дріб може бути переведений назад в змішане число. Для цього достатньо вміти читати десяткові дроби. Наприклад, переведемо 6,3 у змішане число. 6,3 це шість цілих і три десятих. Записуємо спочатку шість цілих:

і поруч три десятих:

приклад 2.Перевести десятковий дріб 3,002 у змішане число

3,002 це три цілих та дві тисячні. Записуємо спочатку три цілих

і поруч записуємо дві тисячі:

Приклад 3.Перевести десятковий дріб 4,50 у змішане число

4,50 це чотири цілих та п'ятдесят сотих. Записуємо чотири цілих

і поруч п'ятдесят сотих:

До речі, давайте згадаємо останній приклад із попередньої теми. Ми сказали, що десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні. Також ми сказали, що нуль можна відкинути. Спробуємо довести, що десяткові 4,50 та 4,5 рівні. Для цього переведемо обидві десяткові дроби у змішані числа.

Після переведення в змішане число десятковий дріб 4,50 звертається до , а десятковий дріб 4,5 звертається до

Маємо два змішані числа і . Перекладемо ці змішані числа в неправильні дроби:

Тепер маємо два дроби та . Настав час згадати основну властивість дробу, яке говорить, що при множенні (або розподілі) чисельника і знаменника дробу на те саме число, значення дробу не змінюється.

Давайте розділимо перший дріб на 10

Отримали , а це другий дріб. Значить і рівні між собою і рівні тому самому значенню:

Спробуйте на калькулятор розділити спочатку 450 на 100, а потім 45 на 10. Забавна штука вийде.

Переведення десяткового дробу у звичайний дріб

Будь-який десятковий дріб може бути назад переведений у звичайний дріб. Для цього знову ж таки достатньо вміти читати десяткові дроби. Наприклад, переведемо 0,3 у звичайний дріб. 0,3 це нуль цілих та три десятих. Записуємо спочатку нуль цілих:

і поряд три десяті 0 . Нуль за традицією не записують, тому остаточна відповідь буде не 0, а просто.

приклад 2.Перевести десятковий дріб 0,02 у звичайний дріб.

0,02 це нуль цілих та дві сотих. Нуль по не записуємо, тому відразу записуємо дві соті

Приклад 3.Перекласти 0,00005 у звичайний дріб

0,00005 це нуль цілих та п'ять сто тисячних. Нуль не записуємо, тому одразу записуємо п'ять сто тисячних

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Десятковий дріб відрізняється від звичайного дробу тим, що знаменник у нього - це розрядна одиниця.

Наприклад:

Десяткові дроби виділені із звичайних дробів в окремий вид, що призвело до власних правил порівняння, додавання, віднімання, множення та поділу цих дробів. В принципі, з десятковими дробами можна працювати і за правилами звичайних дробів. Власні правила перетворення десяткових дробів спрощують обчислення, а правила перетворення звичайних дробів на десяткові, і навпаки, є зв'язкою між цими видами дробу.

Запис та читання десяткових дробів дозволяє їх записувати, порівнювати та робити дії над ними за правилами, дуже схожими на правила дій з натуральними числами.

Вперше система десяткових дробів та дій над ними була викладена у XV ст. самаркандським математиком та астрономом Джемшид ібн-Масудаль-Каші у книзі «Ключ до мистецтва рахунку».

Ціла частина десяткового дробу відокремлена від дробової частини коми, у деяких країнах (США) ставлять крапку. Якщо десяткового дробу немає цілої частини, то перед комою ставлять число 0.

До дробової частини десяткового дробу праворуч можна дописувати будь-яку кількість нулів, це величину дробу не змінює. Дробна частина десяткового дробу читається за останнім значним розрядом.

Наприклад:
0,3 — три десяті
0,75 - сімдесят п'ять сотих
0,000005 – п'ять мільйонних.

Читання цілої частини десяткового дробу таке саме, як і натуральних чисел.

Наприклад:
27,5 - двадцять сім...;
1,57 - одна...

Після цілої частини десяткового дробу вимовляється слово "цілих".

Наприклад:
10.7 - десять цілих сім десятих

0,67 - нуль цілих шістдесят сім сотих.

Десяткові знаки – це цифри дробової частини. Дробна частина читається за розрядами (на відміну натуральних чисел), а цілком, тому дробова частина десяткового дробу визначається останнім справа значним розрядом. Розрядна система дробової частини десяткового дробу дещо інша, ніж у натуральних чисел.

1-й розряд після зайнятої - розряд десятих
2-й розряд після коми - розряд сотих
3-й розряд після коми - розряд тисячних
4-й розряд після коми - розряд десятитисячних
5-й розряд після коми - розряд стотисячних
6-й розряд після коми - розряд мільйонних
7-й розряд після коми - розряд десятимільйонних
8-й розряд після коми - розряд стомільйонних

У обчисленнях найчастіше використовуються перші три розряди. Велика розрядність дробової частини десяткових дробів використовується лише у специфічних галузях знань, де обчислюються нескінченно малі величини.

Переведення десяткового дробу в змішаний дрібскладається н наступному: число, що стоїть до коми записати цілою частиною змішаного дробу; число, що стоїть після коми - чисельником її дробової частини, а знаменнику дробової частини записати одиницю зі стількими нулями, скільки цифр коштує після коми.

Десятковий дріб в обов'язковому порядку містить кому. Та числова частина дробу, що розташовується лівіше за кому, називається цілою; правіше - дробовий:

5,28 5 - ціла частина 28 - дробова частина

Дробна частина десяткового дробу складається з десяткових знаків(десяткових розрядів):

десяті - 0,1 (одна десята);
соті - 0,01 (одна сота);
тисячні – 0,001 (одна тисячна);
десятитисячні – 0,0001 (одна десятитисячна);
стотисячні – 0,00001 (одна стотисячна);
мільйонні – 0,000001 (одна мільйонна);
десятимільйонні - 0,0000001 (одна десятимільйонна);
стомільйонні - 0,00000001 (одна стомільйонна);
мільярдні - 0,000000001 (одна мільярдна) тощо.

прочитати число, що становить цілу частину дробу та додати слово " цілих";
прочитати число, що становить дрібну частину дробу і додати назву молодшого розряду.

Наприклад:

0,25 - нуль цілих двадцять п'ять сотих;
9,1 - дев'ять цілих одна десята;
18,013 – вісімнадцять цілих тринадцять тисячних;
100,2834 – сто цілих дві тисячі вісімсот тридцять чотири десятитисячні.

Запис десяткових дробів

Щоб записати десятковий дріб, необхідно:

записати цілу частину дробу і поставити кому (число, що означає цілу частину дробу завжди закінчується словом " цілих");
записати дробову частину дробу в такий спосіб, щоб остання цифра потрапила до потрібного розряду (за відсутності значущих цифр у певних десяткових розрядах вони замінюються нулями).

Наприклад:

двадцять цілих дев'ять десятих – 20,9 – у цьому прикладі все просто;
п'ять цілих одна сота - 5,01 - слово "сота" означає, що після коми повинні стояти дві цифри, але оскільки в числі 1 немає розряду десятих, він замінюється нулем;
нуль цілих вісімсот вісім тисячних – 0,808;
три цілих п'ятнадцять десятих - такий десятковий дріб записати неможливо, тому, що у вимові дробової частини припущена помилка - число 15 містить два розряди, а слово "десятих" має на увазі тільки один. Правильно буде три цілих п'ятнадцять сотих (або тисячних, десятитисячних тощо).

Порівняння десяткових дробів

Порівняння десяткових дробів проводиться аналогічно порівнянню натуральних чисел.

спочатку порівнюються цілі частини дробів - більше буде той десятковий дріб у якого більше його ціла частина;
якщо цілі частини дробів рівні, порівнюють порозрядно дробові частини, ліворуч, починаючи від коми: десяті, соті, тисячні і т.д. Порівняння ведуть до першого розбіжності - більше буде той десятковий дріб у якого буде більша нерівна цифра у відповідному розряді дробової частини. Наприклад: 1,2 8 3 > 1,27 9, тому що в сотих розрядах у першого дробу коштує 8, а в другому 7.

Чи потрібен союз "і" при написанні десяткових знаків після коми в дробовому числівнику? Приклад: 10,5 (десять цілих та п'ять десятих) кв. м? Дякую!

Союз не потрібен: десять цілих п'ять десятих.


	Запитання № 292725

Колектив порталу "Gramota.ru", привіт! У мене таки назріло-таки давно хвилююче мене питання узгодження дієслівної форми зі складними (у тому числі дробовими) числівниками. Я уважно вивчила інформацію на тему http://new.gramota.ru/spravka/letters/64-bolshinstvo. Але питання щодо дробових числівників для мене залишається відкритим, гадаю, не тільки для мене. Такі приклади. 1). "У 2016 р. у виконанні наукових досліджень та розробок на відплатній основі брало участь 58,2 тис. співробітників." (Якби було лише 58 осіб, то ставимо "О", але тут нюанс: є 2 десяті та тисячі. З чим погоджувати?) 2). "У 2016 р. у вузах і наукових організаціях Міносвіти Росії навчався/навчався/навчався 51,7 тис. аспірантів, з них в очній аспірантурі навчався/навчався/навчався 42,1 тис. чол." (Тут "51 ціла", але є ще й "7 десятих тисячі". Тоді "навчалися"? Далі "42 цілих і одна десята тисячі". Тоді вже "навчалися"?) 3). "За очною формою навчання проходили/О/-/А підготовку 1580,1 тис. студентів." Тут уже "1 мільйон 580 цілих та 1 десята тисячі". Тут як бути? До чого прив'язуватись? І ще один цікавий аспект: узгодження причастя зі складним числівником: "У 2016 р. при вузах функціонувало 2354 малих підприємств, створених у формі господарських товариств та партнерств." Тут "...чотири малих... створених" або "чотири... підприємства, створені?" З чим погоджувати? Допоможіть, будь ласка, розібратися! Замучилась із такими випадками. Прошу також посилання на будь-які джерела з цих питань. Неодмінно треба внести ясність!