ВУГЛИ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ ВИМІР.Фігура на площині, утворена двома променями, що виходять із однієї точки O, називається кутом . Промені OAі OBназиваються сторонами кута, а точка Oвершиною. Кут зі сторонами OAі OBпозначається Р AOB.

Кути порівнюють, складають, вимірюють. Вони рівні, якщо їх можна поєднати переміщенням. Два кути називаються суміжними (Рис. 1), якщо у них загальні вершина і одна сторона, а дві інші утворюють пряму. Взагалі, кути, що мають спільну вершину та одну спільну сторону, називаються прилеглими (рис. 2). Кути називаються вертикальними (рис. 3), якщо сторони одного є продовження за вершину сторін іншого. Вертикальні кутирівні між собою. Кут, у якого сторони утворюють пряму, називається розгорнутим (рис. 4). Кут, що дорівнює своєму суміжному, називається прямим. Кут менший за прямий – гострий, більший за прямий, але менший за розгорнутий – тупий.

При перетині двох прямих, що лежать в одній площині, третьої прямої утворюються кути (рис. 5). 1 та 5, 2 та 6, 4 та 8, 3 та 7 називаються відповідними; 2 та 5, 3 та 8 – внутрішніми односторонніми; 1 та 6, 4 та 7 – зовнішніми односторонніми; 3 і 5, 2 і 8 – внутрішніми навхрест лежачими; 1 і 7, 4 і 6 – зовнішніми навхрест лежачими.

Якщо промінь OCпроходить усередині кута AOB(рис. 6), то, за визначенням, вважають, що кут AOC, як і кут COB, менше кута AOBі що кут AOB дорівнює сумікутів AOCі COB.Взявши за одиницю виміру якийсь конкретний кут, визначають величину будь-якого кута, тобто. знаходять, скільки разів укладається в ньому цей одиничний кут. При вимірі кута виходять із двох його властивостей, аналогічних властивостям довжини відрізка: 1) величини рівних кутів рівні, 2) величина суми двох кутів дорівнює сумі їх величин.

Якщо розглянути кути, вершиною яких є центр кола, а сторонами – радіуси, можна відзначити, що рівні кутивисікають на колі рівні дуги, і сумі кутів відповідатиме сума стягуваних ними дуг. Тому величина кута пропорційна довжині дуги, що висікається ним, і одиниці вимірювання можна задавати, вказуючи, яку частину кола складає відповідна дуга.

Зазвичай користуються двома системами вимірювання кутів: градуснийі радіанною.

У градусній системі за одиницю виміру приймають дугу розміром в 1/360 кола (позначають °). Градус ділиться на 60 хвилин (позначають "), хвилина на 60 секунд (позначають"). Шістдесятиричність вимірів нагадує про Вавилон, але був в історії ще один градус. французької революції(1793) у Франції разом із десятковою (метричною) системою заходів було введено сотенну (центезимальну) систему вимірювання кутів. У ній прямий кут ділиться на 100 градусів (градів), градус на 100 хвилин, хвилина на 100 секунд. Ця система найчастіше застосовується у геодезичних вимірах.

Математики воліють користуватися радіанним заходом – за одиницю виміру приймається кут, під яким видно з центру кола її дуга, рівна радіусу. Розмір такого кута і є радіан . Вона залежить від радіусу кола і від становища дуги на окружности. Т.к. півколо видно з центру під кутом 180°, а її довжина дорівнює 241 радіусів, то радіан у 241 разів менше, ніж кут 180 °, тобто. один радіан дорівнює 180 ° / 241 :

1 радіан » 57,2958 ° » 57 ° 17"45""

І в радіанні і в градусній системі кут вимірюється одиницею кута. Те, що найменування в одному випадку (для градуса) проставляється, а в іншому (для радіана) мається на увазі, не відіграє жодної ролі.

Радіанний захід, що виражається ставленням довжини дуги, описаної довільним радіусом з центру і укладеної між сторонами кута, до радіусу цієї дуги, не залежить від вибору одиниці довжини. Так само залежить і градусна міра, т.к. вона теж є ставленням двох довжин, а саме довжини дуги, описаної з вершини кута і укладеної між її сторонами, до довжини дуги, що дорівнює 1/360 частини кола того ж радіуса.

Таким чином, жодної принципової різниці між градусною і радіанною мірою кута немає, проте введення радіанної міри дозволяє надати багатьом формулам більш простого вигляду.

Співвідношення градусних і радіанних заходів кутів, що найчастіше зустрічаються, наведено в наступній таблиці

Прямий кут містить у собі 90° або 241 /2 Радіан. Гострий лежить у межах від 0 до 90° або від 0 до 241 /2 радіан, тупий – від 90 до 180 ° або від 241 /2 до 241 . Прямі лінії, що утворюють прямий кут, називаються перпендикулярними одна до одної.

Часто важливо вказати, у напрямі вимірюється кут. Якщо розглядати як міру кута поворот навколо вершини Про, що перекладає промінь OAу становище OB,то позитивною міра кута вважається, якщо поворот відбувається проти годинникової стрілки, в іншому випадку кут вважається негативні м. Таким чином, кут може мати своєю величиною будь-яке дійсне число. У тригонометрії такий розгляд дозволяє вивчати тригонометричні функції будь-яких значень аргументу.

Під кутом між двома кривими, що виходять із загальної точки, в якій кожна з кривих має певну дотичну, розуміють кут, утворений цими. Поняття кута узагальнюється і різні об'єкти у просторі (двогранні, тілесні і багатогранні кути.

Кут: ° π rad =

Перетворити на: радіани градуси 0 - 360° 0 - 2π позитивне негативне Обчислювати

Коли прямі перетинаються, виходить чотири різні області по відношенню до точки перетину.
Ці нові області називають кутами.

На картинці видно 4 різних кута, утворених перетином прямих AB і CD

Зазвичай кути вимірюються у градусах, що позначається як °. Коли об'єкт здійснює повне коло, тобто рухається з точки D через B, C, A, а потім назад до D, то кажуть, що він повернувся на 360 градусів (360 °). Таким чином, градус - це $\frac(1)(360)$ кола.

Кути понад 360 градусів

Ми говорили про те, що коли об'єкт робить повне коло навколо точки, він проходить 360°, проте, коли об'єкт робить більше одного кола, він робить кут понад 360 градусів. Це звичайне явище у повсякденному житті. Колесо проходить багато кіл, коли автомобіль рухається, тобто воно утворює кут більше 360 °.

Для того, щоб дізнатися кількість циклів (пройдених кіл) при обертанні об'єкта, ми вважаємо кількість разів, яку потрібно додати 360 до самого себе, щоб отримати число, що дорівнює або менше, ніж даний кут. Так само ми знаходимо число, яке ми множимо на 360, щоб отримати число менше, але найближче до цього куту.

Приклад 2
1. Знайти кількість кіл, описаних об'єктом, що утворює кут
a) 380°
b) 770 °
c) 1000 °
Рішення
a) 380 = (1 × 360) + 20
Об'єкт описав одне коло та 20°
Оскільки $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ кола
Об'єкт описав $1\frac(1)(18)$ кіл.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Об'єкт описав два кола та 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ кола
Об'єкт описав $2\frac(5)(36)$ кола
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ кіл
Об'єкт описав $2\frac(7)(9)$ кіл

Коли об'єкт обертається за годинниковою стрілкою, він утворює негативний кут обертання, а коли обертається проти годинникової стрілки - позитивний кут. До цього моменту ми розглядали лише позитивні кути.

У формі діаграми негативний кут може бути зображений так, як показано нижче.

Малюнок нижче показує знак кута, який вимірюється від загальної прямої, 0 осі (осі абсцис - х осі)

Це означає, що за наявності негативного кута ми можемо отримати відповідний йому позитивний кут.
Наприклад, нижня частина вертикальної прямої це 270 °. Коли вимірюється в негативний бік, отримаємо -90°. Ми просто віднімаємо 270 з 360. Маючи негативний кут, ми додаємо 360, щоб отримати відповідний позитивний кут.
Коли кут дорівнює -360 °, це означає, що об'єкт здійснив більше одного кола за годинниковою стрілкою.

Приклад 3
1. Знайти відповідний позитивний кут
a) -35°
b) -60 °
c) -180 °
d) - 670 °

2. Знайти відповідний негативний кут 80 °, 167 °, 330 ° і 1300 °.
Рішення
1. Для того, щоб знайти відповідний позитивний кут, ми додаємо 360 до значення кута.
a) -35 ° = 360 + (-35) = 360 - 35 = 325 °
b) -60 ° = 360 + (-60) = 360 - 60 = 300 °
c) -180 ° = 360 + (-180) = 360 - 180 = 180 °
d) -670 ° = 360 + (-670) = -310
Це означає одне коло за годинниковою стрілкою (360)
360 + (-310) = 50 °
Кут дорівнює 360 + 50 = 410 °

2. Для того, щоб отримати відповідний негативний кут, ми віднімаємо 360 від значення кута.
80 ° = 80 - 360 = - 280 °
167 ° = 167 - 360 = -193 °
330 ° = 330 - 360 = -30 °
1300 ° = 1300 - 360 = 940 (пройдено одне коло)
940 - 360 = 580 (пройдено друге коло)
580 - 360 = 220 (пройдено третє коло)
220 - 360 = -140 °
Кут дорівнює -360 - 360 - 360 - 140 = -1220 °
Таким чином 1300 ° = -1220 °

Радіан

Радіан - це кут із центру кола, в який укладена дуга, довжина якої дорівнює радіусу даного кола. Це одиниця виміру кутової величини. Такий кут приблизно дорівнює 57,3 °.
У більшості випадків, це позначається як радий.
Таким чином $1 радий \approx 57,3^(\circ)$

Радіус = r = OA = OB = AB
Кут BOA дорівнює одному радіану

Оскільки довжина кола задається як $2pi r$, то в колі $2pi радіусів, а значить в цілому колі $2pi радіан.

Радіани зазвичай виражаються через $\pi$ щоб уникнути десяткових частин у обчисленнях. У більшості книг, абревіатура радий (rad)не зустрічається, але читач повинен знати, що коли йдеться про вугілля, то він заданий через $\pi$, а одиницями вимірювання автоматично стають радіани.

$360^(\circ) = 2\pi\ rad$
$180^(\circ) = \pi\ rad$
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$

$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$

$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$

$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$

$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Приклад 4
1. Перетворити 240 °, 45 °, 270 °, 750 ° і 390 ° в радіани через $ \ pi $.
Рішення
Помножимо кути на $\frac(\pi)(180)$.

$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$

$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$

$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$

$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$

$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Перетворити такі кути на градуси.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) $ 3,12 \ pi $
c) 2,4 радіан
Рішення
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $ 3,12 \ pi = 3,12 \ times 180 = 561,6 ^ (\ circ) $
c) 1 рад = 57,3°
$2,4 = \frac(2,4 \times 57,3)(1) = 137,52$

Від'ємні кути і кути більше, ніж $2\pi$ радіан

Для того щоб перетворити негативний кут на позитивний, ми складаємо його з $2\pi$.
Щоб перетворити позитивний кут на негативний, ми віднімаємо з нього $2\pi$.

Приклад 5
1. Перетворити $-\frac(3)(4)\pi$ і $-\frac(5)(7)\pi$ на позитивні кути в радіанах.

Рішення
Додаємо до кута $2\pi$
$-\frac(3)(4)\pi = -frac(3)(4)pi + 2pi = frac(5)(4)pi = 1frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -frac(5)(7)pi + 2pi = frac(9)(7)pi = 1frac(2)(7)\ pi$

Коли об'єкт обертається на кут більший, ніж $2\pi$;, він робить більше одного кола.
Для того, щоб визначити кількість оборотів (кіл або циклів) в такому вугіллі, ми знаходимо таке число, множачи яке на $2\pi$, результат дорівнює або менше, але якомога ближче до даного числа.

Приклад 6
1. Знайти кількість кіл пройдених об'єктом при даних кутах
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Рішення
a) $-10pi = 5(-2pi)$;
$-2\pi$ має на увазі один цикл у напрямку за годинниковою стрілкою, то це означає, що
об'єкт зробив 5 циклів за годинниковою стрілкою.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ пів циклу
об'єкт зробив чотири з половиною цикли проти годинникової стрілки

c) $\frac(7)(2)\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ дорівнює три чверті циклу $(\frac(1,5\) pi)(2\pi)=\frac(3)(4))$
об'єкт пройшов один і три чверті циклу проти годинникової стрілки

Примітка: Див. також таблицю значень тригонометричних функційінших кутів.

Синус, косинус, тангенс кута 45 градусів (sin 45, cos 45, tg 45)

Табличні значення синуса 45, косинуса 45 та тангенсу 45 градусіввказані. Далі по тексту слід пояснення методу та правильності обчислення цих значень для довільного прямокутного трикутника.

45 градусів - це π/4 радіан. Формули для значень косинуса, синуса та тангенсу пі/4 радіан вказані нижче (хоча вони і тотожні).
Тобто, наприклад, tg π/4 = tg 45градусів

ЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ ПРИ α=45°

Як самостійно обчислити значення sin cos tg 45?

Побудуємо та розглянемо прямокутний трикутник АВС у якого кут ∠ В = 45 °. На підставі співвідношення його сторін обчислимо значення тригонометричних функцій у прямокутному трикутнику для кута 45 градусів. Оскільки трикутник прямокутний, значення функцій синуса, косинуса і тангенса дорівнюють співвідношенню його відповідних сторін.

Оскільки значення функцій синуса, косинуса та тангенсу залежать виключно від градусного заходукута (або значення, вираженого в радіанах), то знайдені нами співвідношення будуть значеннями функції синуса 45, косинуса 45 і тангенса 45 градусів.

Відповідно до властивостей прямокутного трикутника, кут С - прямий і дорівнює 90 градусів. Кут B ми спочатку побудували із градусною мірою 45 градусів. Знайдемо значення кута А.Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, то

∠ А+ ∠ В+ ∠ З = 180 °
Кут C прямий і дорівнює 90 градусів, кут B ми спочатку визначили як 45 градусів, таким чином:
∠ А = 180 ° - ∠ З - ∠ В = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °

Оскільки у цього трикутника два кути рівні між собою, то трикутник АВС – прямокутний, і, одночасно, рівнобедрений, У якому обидва катета рівні між собою: AC = BC.

Припустимо, що довжина сторін дорівнює деякому числу АС = ВС = а. Знаючи довжини катетів, обчислимо довжину гіпотенузи.

За теоремою Піфагора: АВ 2 = АС 2 + ВС 2
Замінимо довжини AC і BC змінну а, тоді отримаємо:

АВ 2 = а 2 + а 2 = 2а 2

тоді АВ = а √ 2.

В результаті ми висловили довжини всіх сторінпрямокутного трикутника з кутом 45 градусів через змінну а.

Відповідно до властивостей тригонометричних функцій у прямокутному трикутнику співвідношення відповідних сторін трикутника дорівнюватиме значенню відповідних функцій. Таким чином, для кута α = 45 градусів:

sin α = BC/AB(згідно з визначенням синуса для прямокутного трикутника - це відношення протилежного катета до гіпотенузи, BC - катет, AB - гіпотенуза)

cos α = AC/AB(згідно з визначенням косинуса - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи, AC - катет, AB - гіпотенуза)

tg α = BC/AC(аналогічно, тангенс для кута α дорівнюватиме відношенню протилежного катета до прилеглого)

Замість позначень сторін підставимо значення їх довжин через змінну а.

Виходячи з цього (див. таблицю значень sin 45, cos 45, tg 45) отримуємо:

Табличні значення sin 45, cos 45, tg 45(тобто значення синуса 45, косинуса 45 та тангенсу 45градусів можна обчислити як співвідношення відповідних сторін даного трикутника), підставимо обчислені вище значення довжин сторін формули і отримаємо результат на малюнку нижче.

Табличні значення: синус 45, косинус 45 та тангенс 45 градусів

Таким чином:

тангенс 45 градусів дорівнює одиниці
синус 45 градусів дорівнює косинус 45 градусів і дорівнює кореню з двох навпіл (те ж саме, що і одиниця, поділена на корінь з двох)

Як видно з обчислень, наведених вище, для обчислення значень відповідної тригонометричної функціїважливі не довжини сторін трикутника, які співвідношення, яке завжди одне й те саме однакових кутів, незалежно від розмірів конкретного трикутника.

Синус, косинус і тангенс кута π/4 радіан

У задачах, які пропонуються для вирішення у старших класах і на ЗНО/ЄДІ замість градусної міри кута часто зустрічається вказівка на його величину, виміряну в радіанах. Міра кута, виражена в радіанах, базується на числі пі, яке виражає залежність довжини кола від її діаметра.

Для простоти розуміння, рекомендую запам'ятати простий принцип переведення градусів у радіани. Діаметр кола охоплює дугу, що дорівнює 180 градусам. Таким чином, радіан дорівнюватиме 180 градусам. Звідки легко перерахувати будь-який градусний захід кута в радіани і назад.

Врахуємо, що кут 45 градусів, виражений у радіанах, дорівнює (180/45 = 4) π/4 (пі на чотири). Тому знайдені нами значення вірні для тієї ж градусної міри кута, вираженої в радіанах: