Съкратени формули за умножение.
Изучаване на формулите за съкратено умножение: квадрата на сбора и квадрата на разликата на два израза; разлика на квадратите на два израза; кубът на сбора и кубът на разликата от два израза; суми и разлики на кубчета от два израза.
Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.
За опростяване на изразите, разлагане на полиноми и редуциране на полиномите до стандартна форма се използват съкратени формули за умножение. Съкратени формули за умножение, които трябва да знаете наизуст.
Нека a, b R. Тогава:
1. Квадратът на сбора от два израза еквадратът на първия израз плюс двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадратът на разликата на два израза еквадратът на първия израз минус двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Разлика в квадратитедва израза е равно на произведението на разликата на тези изрази и техния сбор.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. сборен кубот два израза е равно на куба на първия израз плюс три пъти квадрата на първия израз по втория плюс три пъти на произведението на първия израз, умножен на квадрата на втория плюс куба на втория израз.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. куб за разликаот два израза е равно на куба на първия израз минус три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория плюс три пъти на произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сума от кубчетадва израза е равно на произведението от сбора на първия и втория израз от непълния квадрат на разликата на тези изрази.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Разлика на кубчетатана два израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз от непълния квадрат на сбора на тези изрази.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.
Пример 1
Изчисли
а) Използвайки формулата за квадрата на сбора от два израза, имаме
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Използвайки формулата за квадратната разлика на два израза, получаваме
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 - 400 + 4 \u003d 9604
Пример 2
Изчисли
Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме
Пример 3
Опростете израза
(x - y) 2 + (x + y) 2
Използваме формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата на два израза
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Съкратени формули за умножение в една таблица:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Формули или правила за намалено умножение се използват в аритметиката и по-конкретно в алгебрата, за по-бърз процес на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули са извлечени от съществуващите правила в алгебрата за умножение на няколко полинома.
Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни математически проблеми, а също така помага за опростяване на изразите. Правилата на алгебричните трансформации ви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, след което можете да получите израза от лявата страна на равенството, която е от дясната страна, или да трансформирате дясната страна на равенството (за да получите израза на лявата страна след знака за равенство).
Удобно е да знаете формулите, използвани за съкратено умножение по памет, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. Основните формули, включени в този списък, и техните имена са изброени по-долу.
сума квадрат
За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, двойното произведение на първия член и втория, и квадрата на втория. Под формата на израз това правило се записва по следния начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Квадратът на разликата
За да изчислите квадрата на разликата, трябва да изчислите сумата, състояща се от квадрата на първото число, двойното произведение на първото число на второто (взето с противоположен знак) и квадрата на второто число. Под формата на израз това правило изглежда така: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
Разлика в квадратите
Формулата за разликата на две числа на квадрат е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
сборен куб
За да се изчисли кубът на сбора от два члена, е необходимо да се изчисли сумата, състояща се от куба на първия член, тройното произведение на квадрата на първия член и втория, тройното произведение на първия член и втори на квадрат и кубът на втория член. Под формата на израз това правило изглежда така: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Сума от кубчета
Според формулата то е равно на произведението от сбора на тези членове и техния непълен квадрат на разликата. Под формата на израз това правило изглежда така: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който се образува чрез добавяне на два кубчета. Известни са само величините на техните страни.
Ако стойностите на страните са малки, тогава е лесно да се извършат изчисления.
Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да приложите формулата "Сума на кубовете", което значително ще опрости изчисленията.
куб за разлика
Изразът за кубичната разлика звучи така: като сбор от третата степен на първия член, утроете отрицателното произведение на квадрата на първия член на втория, утроете продукта на първия член на квадрата на втория , и отрицателният куб на втория член. Под формата на математически израз кубът на разликата изглежда така: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Разлика на кубчетата
Формулата за разликата на кубовете се различава от сбора на кубовете само с един знак. По този начин разликата на кубчетата е формула, равна на произведението на разликата на тези числа от техния непълен квадрат на сбора. Във формата разликата на кубчетата изглежда така: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане на жълтата обемна фигура, която също е куб, от обема на синия куб. Известен е само размерът на страната на малък и голям куб.
Ако стойностите на страните са малки, тогава изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителни числа, тогава си струва да използвате формула, озаглавена "Разлика на кубовете" (или "Разлика на кубчетата"), която значително ще опрости изчисленията.
Разлика в квадратите
Извеждаме формулата за разликата на квадратите $a^2-b^2$.
За да направите това, запомнете следното правило:
Ако към израза се добави някакъв моном и същият моном се извади, тогава получаваме правилната идентичност.
Нека добавим към нашия израз и извадим от него монома $ab$:
Като цяло получаваме:
Тоест разликата на квадратите на два монома е равна на произведението на тяхната разлика и техния сбор.
Пример 1
Изразете като продукт на $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]
Сума от кубчета
Извеждаме формулата за сумата от кубчета $a^3+b^3$.
Нека извадим общите фактори от скоби:
Нека извадим $\left(a+b\right)$ от скоби:
Като цяло получаваме:
Тоест сборът от кубовете на два монома е равен на произведението на тяхната сума от непълния квадрат на тяхната разлика.
Пример 2
Изразете като продукт $(8x)^3+y^3$
Този израз може да бъде пренаписан в следната форма:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:
\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
Разлика на кубчетата
Извеждаме формулата за разликата на кубовете $a^3-b^3$.
За да направим това, ще използваме същото правило, както по-горе.
Нека добавим към нашия израз и извадим от него мономите $a^2b\ и\ (ab)^2$:
Нека извадим общите фактори от скоби:
Нека извадим $\left(a-b\right)$ от скоби:
Като цяло получаваме:
Тоест разликата на кубчетата на два монома е равна на произведението на тяхната разлика от непълния квадрат на тяхната сума.
Пример 3
Изразете като продукт на $(8x)^3-y^3$
Този израз може да бъде пренаписан в следната форма:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
Пример за задачи за използване на формулите за разликата на квадратите и сбора и разликата на кубовете
Пример 4
Умножете.
а) $((a+5))^2-9$
в) $-x^3+\frac(1)(27)$
Решение:
а) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Прилагайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
Нека запишем този израз във формата:
Нека приложим формулата на кубчета от кубчета:
в) $-x^3+\frac(1)(27)$
Нека запишем този израз във формата:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Нека приложим формулата на кубчета от кубчета:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\вдясно)\]
В предишните уроци разгледахме два начина за разлагане на полином: изваждането на общия множител от скоби и метода за групиране.
В този урок ще разгледаме друг начин за разлагане на многочлени използвайки съкратени формули за умножение.
Препоръчваме ви да пишете всяка формула поне 12 пъти. За по-добро запомняне запишете всички съкратени формули за умножение за себе си на малък лист за измама.
Припомнете си как изглежда формулата за разликата на кубчетата.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Формулата за разликата на кубчетата не е много лесна за запомняне, затова препоръчваме да използвате специален начин за запомняне.
Важно е да се разбере, че всяка съкратена формула за умножение също работи обратна страна.
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Помислете за пример. Необходимо е да се факторизира разликата на кубовете.
Обърнете внимание, че „27a 3“ е „(3a) 3“, което означава, че за формулата за разликата на кубовете, вместо „a“, използваме „3a“.
Използваме формулата за разликата на кубчетата. На мястото на „a 3“ имаме „27a 3“, а на мястото на „b 3“, както във формулата, има „b 3“.
Прилагане на разликата в куба в обратна посока
Нека разгледаме друг пример. Необходимо е да се преобразува произведението на полиномите в разликата на кубчетата, като се използва съкратената формула за умножение.
Моля, обърнете внимание, че произведението на полиноми "(x − 1) (x 2 + x + 1)" Наподобява дясната страна на формулата за разликата на кубчетата "", само вместо " a" е " x", И в мястото на "b" е "1".
За “(x − 1)(x 2 + x + 1)” използваме формулата за разликата на кубовете в обратната посока.
Нека разгледаме по-труден пример. Необходимо е да се опрости произведението на полиномите.
Ако сравним "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" с дясната страна на формулата за разликата на кубчетата
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, тогава можете да разберете, че на мястото на „a” от първата скоба е „y 2, а на мястото на „b” е „1”.
