Това ръководство ще ви помогне да научите как да матрични операции: събиране (изваждане) на матрици, транспониране на матрица, умножение на матрици, намиране обратното на матрица. Целият материал е представен в проста и достъпна форма, дадени са подходящи примери, така че дори неподготвен човек може да се научи как да извършва действия с матрици. За самоконтрол и самотест можете да изтеглите безплатно матричен калкулатор >>>.
Ще се опитам да сведа до минимум теоретичните изчисления, на места са възможни обяснения „на пръсти“ и използването на ненаучни термини. Любителите на солидна теория, моля, не се занимавайте с критика, нашата задача е научете как да работите с матрици.
За СУПЕР БЪРЗА подготовка по темата (кой "гори") има интензивен pdf-курс Матрица, детерминанта и офсет!
Матрицата е правоъгълна таблица на някои елементи. Като елементище разгледаме числата, тоест числови матрици. ЕЛЕМЕНТе термин. Желателно е да запомните термина, често ще се среща, не случайно използвах удебелен шрифт, за да го подчертая.
Обозначаване:матриците обикновено се означават с главни латински букви
пример:Помислете за матрица две по три:
Тази матрица се състои от шест елементи:
Всички числа (елементи) вътре в матрицата съществуват сами по себе си, тоест не става дума за изваждане: 
Това е просто таблица (набор) от числа!
Ние също ще се съгласим не пренареждайтеномер, освен ако не е посочено друго в обяснението. Всяко число има свое собствено местоположение и не можете да ги разбърквате!
Въпросната матрица има два реда: 
и три колони: 
СТАНДАРТ: когато говорим за размерите на матрицата, тогава първопосочете броя на редовете и едва след това - броя на колоните. Току-що разбихме матрицата две по три.
Ако броят на редовете и колоните на матрицата е един и същ, тогава матрицата се нарича квадрат, например: 
е матрица три по три.
Ако матрицата има една колона или един ред, тогава такива матрици също се наричат вектори.
Всъщност познаваме концепцията за матрица от училище, помислете например за точка с координати "x" и "y": . По същество координатите на точка се записват в матрица едно по две. Между другото, ето ви пример защо редът на числата има значение: и са две напълно различни точки от равнината.
Сега да преминем към изследването. матрични операции:
1) Действие първо. Премахване на минус от матрица (Въвеждане на минус в матрица).
Обратно към нашата матрица 
. Както вероятно сте забелязали, в тази матрица има твърде много отрицателни числа. Това е много неудобно по отношение на извършването на различни действия с матрицата, неудобно е да се пишат толкова много минуси и просто изглежда грозно в дизайна.
Нека преместим минус извън матрицата, като променим знака на ВСЕКИ елемент от матрицата:
При нула, както разбирате, знакът не се променя, нула - също е нула в Африка.
Обратен пример: 
. Изглежда грозно.
Въвеждаме минус в матрицата, като сменяме знака на ВСЕКИ елемент от матрицата:
Е, много по-красиво е. И най-важното е, че ще бъде ПО-ЛЕСНО да извършвате всякакви действия с матрицата. Защото има такъв математически народен знак: колкото повече минуси - толкова повече объркване и грешки.
2) Действие второ. Умножаване на матрица по число.
пример:
Това е просто, за да умножите матрица по число, имате нужда всекиумножете матричния елемент по даденото число. В този случай три.
Друг полезен пример:
– умножение на матрица по дроб
Нека първо да разгледаме какво да правим НЯМА НУЖДА:
НЕ Е НЕОБХОДИМО да въвеждате дроб в матрицата, първо, това само затруднява по-нататъшните действия с матрицата и второ, затруднява учителя да провери решението (особено ако 
- крайният отговор на задачата).
И особено, НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на минус седем:
От статията Математика за манекени или откъде да започна, помним, че десетичните дроби със запетая във висшата математика се опитват по всякакъв начин да се избягват.
Единственото нещо желателнокоето трябва да направите в този пример е да вмъкнете минус в матрицата:
Но ако ВСИЧКОматричните елементи бяха разделени на 7 без следа, тогава би било възможно (и необходимо!) да се раздели.
пример:
В този случай можете ТРЯБВАумножете всички елементи на матрицата по , тъй като всички числа в матрицата се делят на 2 без следа.
Забележка: в теорията на висшата математика няма училищно понятие за „деление“. Вместо фразата „това се дели на това“, винаги можете да кажете „това се умножава по дроб“. Тоест делението е специален случай на умножение.
3) Трето действие. Матрично транспониране.
За да транспонирате матрица, трябва да запишете нейните редове в колоните на транспонираната матрица.
пример:
Транспонирана матрица
Тук има само един ред и според правилото той трябва да бъде написан в колона:
е транспонираната матрица.
Транспонираната матрица обикновено се обозначава с горен индекс или черта в горния десен ъгъл.
Пример стъпка по стъпка:
Транспонирана матрица 
Първо, пренаписваме първия ред в първата колона:
След това пренаписваме втория ред във втората колона: 
И накрая, пренаписваме третия ред в третата колона:
Готов. Грубо казано, да транспонирате означава да обърнете матрицата настрани.
4) Четвърто действие. Сума (разлика) от матрици.
Сборът от матрици е проста операция.
НЕ ВСИЧКИ МАТРИЦИ МОГАТ ДА СЕ СГЪВАТ. За извършване на събиране (изваждане) на матрици е необходимо те да са С ЕДИН РАЗМЕР.
Например, ако е дадена матрица две по две, тогава тя може да бъде добавена само към матрица две по две и никаква друга! 
пример:
Добавете матрици 
и 
За да добавите матрици, трябва да добавите съответните им елементи:
За разликата на матриците правилото е подобно, необходимо е да се намери разликата на съответните елементи.
пример:
Намерете разликата на матриците 
, 
И как да решим този пример по-лесно, за да не се объркате? Препоръчително е да се отървете от ненужните минуси, за това ще добавим минус към матрицата:
Забележка: в теорията на висшата математика няма училищна концепция за "изваждане". Вместо фразата „извадете това от това“, винаги можете да кажете „добавете отрицателно число към това“. Тоест изваждането е специален случай на събиране.
5) Действие пет. Матрично умножение.
Какви матрици могат да бъдат умножени?
За да се умножи матрица по матрица, така че броят на колоните на матрицата да е равен на броя на редовете на матрицата.
пример:
Възможно ли е да се умножи матрица по матрица?
Така че можете да умножите данните на матрицата.
Но ако матриците са пренаредени, тогава в този случай умножението вече не е възможно!
Следователно умножението е невъзможно:
Не са необичайни задачи с трик, когато от ученика се иска да умножи матрици, чието умножение е очевидно невъзможно.
Трябва да се отбележи, че в някои случаи е възможно да се умножават матрици и по двата начина.
Например за матрици и са възможни както умножение, така и умножение
Това е една от най-често срещаните матрични операции. Матрицата, която се получава след умножение, се нарича матрично произведение.
Матричен продукт А м × нкъм матрица B n × кще има матрица См × ктака че матричният елемент ° Сразположен в и-ти ред и j-та колона, тоест елемента c ijе равно на сбора от произведения на елементите ити ред на матрицата Авърху съответните елементи jта колона на матрицата Б.
процес матрични умноженияе възможно само ако броят на колоните на първата матрица е равен на броя на редовете на втората матрица.
пример:
Възможно ли е да се умножи матрица по матрица?
m =н, което означава, че можете да умножите данните на матрицата.
Ако матриците се разменят, тогава с такива матрици умножението вече няма да е възможно.
м≠ н, така че не можете да правите умножение:
Доста често можете да намерите задачи с трик, когато на ученика се предлага умножете матрици, чието умножение очевидно е невъзможно.
Моля, имайте предвид, че понякога е възможно да се умножават матрици и по двата начина. Например за матрици и евентуално като умножение MN, така е и умножението Н.М.
Това не е много трудно действие. Матричното умножение се разбира най-добре с конкретни примери, като Самото определение може да бъде много объркващо.
Нека започнем с най-простия пример:
Трябва да се умножи по . Първо, даваме формулата за този случай:
- тук има добър модел.
Умножете по .
Формулата за този случай е: .
Матрично умножение и резултат:
В резултат на това се получава т.нар. нулева матрица.
Много е важно да запомните, че „правилото за пренареждане на местата на термините“ не работи тук, тъй като почти винаги MN≠ НМ. Следователно, производство операция за умножение на матрицапри никакви обстоятелства не трябва да се разменят.
Сега разгледайте примери за умножение на матрица от трети ред:
Умножете 
на .
Формулата е много подобна на предишните:
Матрично решение: 
.
Това е същото умножение на матрицата, като вместо втората матрица се взема само просто число. Както може би се досещате, това умножение е много по-лесно за изпълнение.
Пример за умножаване на матрица по число:
Тук всичко е ясно - за да умножете матрица по число, е необходимо всеки елемент от матрицата да се умножи последователно с определеното число. В този случай, 3.
Друг полезен пример:
- матрично умножение с дробно число.
Първо, нека покажем какво не трябва да правите:
Когато умножавате матрица с дробно число, не е необходимо да въвеждате дроб в матрицата, тъй като това, на първо място, само усложнява по-нататъшните действия с матрицата, и второ, затруднява учителя да провери решението .
И освен това, няма нужда да разделяте всеки елемент от матрицата на -7:
.
Това, което трябва да направите в този случай, е да добавите минус към матрицата:
.
Ако имате пример, когато всички елементи на матрицата ще бъдат разделени на 7 без остатък, тогава би било възможно (и необходимо!) да се разделят.
В този пример е възможно и необходимо всички елементи на матрицата да се умножат по ½, т.к всеки елемент от матрицата се дели на 2 без остатък.
Забележка: в теорията на висшата математика няма училищно понятие за „деление“. Вместо фразата „това се дели на това“, винаги можете да кажете „това се умножава по дроб“. Тоест делението е специален случай на умножение.
Първо, КАКВО трябва да бъде резултатът от умножаването на три матрици? Котка няма да роди мишка. Ако умножението на матрица е възможно, тогава резултатът също ще бъде матрица. Е, моят учител по алгебра не вижда как обяснявам затвореността на алгебричната структура по отношение на нейните елементи =)
Продуктът от три матрици може да се изчисли по два начина:
1) намерете и след това умножете по матрицата "ce": ;
2) или първо намерете , след това извършете умножението.
Резултатите непременно ще съвпадат, и то на теория това свойство се нарича асоциативност на матричното умножение:
Пример 6
Умножете матриците по два начина
Алгоритъм решениядвуетапно: намерете произведението на две матрици, след което отново намерете произведението на две матрици.
1) Използвайте формулата
Действие първо:
Действие второ:
2) Използвайте формулата
Действие първо:
Действие второ:
Отговор:
По-познат и стандартен, разбира се, е първият начин за решаване, там „сякаш всичко е наред“. Между другото, относно поръчката. В разглежданата задача често възниква илюзията, че говорим за някакъв вид пермутация на матрици. Те не са тук. Пак ви го напомням в общия случай МАТРИЦИТЕ НЕ ТРЯБВА ДА СЕ СМЕНЯТ. И така, във втория параграф, на втората стъпка, ние извършваме умножението, но в никакъв случай. При обикновени числа такова число би преминало, но не и с матрици.
Свойството на асоциативност на умножението е валидно не само за квадратни, но и за произволни матрици - стига да се умножат:
Пример 7
Намерете произведението на три матрици
Това е пример "направи си сам". В примерния разтвор изчисленията бяха извършени по два начина, анализирайте кой начин е по-изгоден и по-кратък.
Свойството на асоциативност на матричното умножение се осъществява за по-голям брой фактори.
Сега е време да се върнем към мощностите на матриците. Квадратът на матрицата се разглежда в самото начало и е на дневен ред.
Матриците са таблици с числа, които са свързани помежду си. Възможно е да се извършват редица различни операции върху тях, за които ще ви разкажем по-долу.
Размерът на матрицата се определя от нейната поръчки- броят на редовете $m$ и колоните $n$, които присъстват в него. Редовете се образуват от елементи, стоящи на хоризонтални линии, а колоните се образуват от елементи, стоящи върху прави вертикални линии. Ако броят на редовете е еквивалентен на броя на колоните, редът на разглежданата таблица се определя само от една стойност $m = n$.
Забележка 1
За всеки елемент от матрицата номерът на реда, в който се намира, се записва първо в индекса, а номерът на колоната се записва втори, тоест нотацията $a_(ij)$ означава, че елементът е в $i$-тия ред и в $j$- ohm колона.
Събиране и изваждане
И така, относно събирането и изваждането. Тези действия могат да се извършват само с матрици същия размер.
За да се извършат тези действия, е необходимо да се извърши добавяне или изваждане на всеки елемент от матрицата с елемент от друга матрица, който е в същата позиция като елемента в първата.
Като пример, нека намерим сумата $A+B$, където:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(pmatrix)$
и $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \end(pmatrix)$
Сумата на всеки елемент от новополучената матрица $A + B$ е равна на $a_(ij) + b_(ij)$, например елементът с индекс $11$ е равен на $a_(11) + b_ (11)$ и целият резултат изглежда така:
$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33 ) \\ \end(pmatrix)$
Изваждането за две матрици $A-B$ се извършва по подобен начин, но всеки елемент от новата матрица на резултата ще бъде изчислен по формулата $a_(ij) – b_(ij)$.
Моля, имайте предвид, че събирането и изваждането за матрици могат да се извършват само ако техните редове са еднакви.
Пример 1
Решете следните матрични примери: $A + B$; $A-B$.
$A=\begin(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$
$B=\begin(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$
Обяснение:
Действия се извършват за всяка двойка елементи $a_(ij)$ и $b_(ij)$, съответно:
$A+B=\begin(pmatrix) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \ \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$
$A-B=\begin(pmatrix) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$
Умножаване на матрица по число
За да се умножи матрица по някакво число, всеки елемент от матрицата трябва да се умножи по това число, тоест всеки елемент от новата матрица $C$, който е резултат от произведението на $A$ по $λ $, ще бъде равно на $с_(ij)= λ\cdot a_(ij)$.
Пример 2
Умножете $A$ по $λ$, където $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ и $λ =5 $:
$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.
Продукт от матрични таблици
Тази задача е малко по-трудна от предишните, но в същото време в нея също няма нищо трудно.
За да извършите умножението на две матрици $A \cdot B$, броят на колоните в $A$ трябва да съвпада с броя на редовете в $B$.
Математически това може да се запише като:
$A_(m \times n)\cdot B_(n \times p) = C_(m \times p)$
Тоест, виждайки умножените оригинални матрици, можете веднага да определите реда на получената нова. Например, ако трябва да умножите $A_(3 \times 2)$ и $B_(2 \times 3)$, резултатът ще бъде $3 \times 3$:
$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11 ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$
Ако броят на колоните на първия матричен множител не съвпада с броя на редовете на втория матричен множител, тогава умножението не може да се извърши.
Пример 3
Решете пример:
$A \times B = ?$ ако $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ и $B = \ begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end(pmatrix)$.
$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $
$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 ) + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin( pmatrix ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end(pmatrix)$.
Намиране на детерминанта на матрица
Детерминантата на матрицата се обозначава като $Δ$ или $\det$.
Забележка 2
Детерминантата може да се намери само за квадратни матрици.
В най-простия случай, когато матрицата се състои само от един елемент, нейният детерминант е равен на този елемент: $det A = |a_(11)|= a_(11)$
Можете да изчислите детерминанта от матрица от втори ред, като следвате следното правило:
Определение 1
Детерминантата на матрица с размер 2 е равна на разликата между произведенията на елементите на главния диагонал и произведението на елементите на вторичния диагонал:
$\begin(array)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(array) = a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)\cdot a_(21)$
Ако детерминантата на матрицата е $3 \times 3$, тогава можете да го намерите с помощта на мнемоничните правила: Sarrus или триъгълници, можете също да разложите матрицата в ред или колона или да използвате гаусови трансформации.
За по-големи детерминанти могат да се използват гаусови трансформации и разширяване на редове.
Обратни матрици
По аналогия с обичайното умножение на число по неговата реципрочна стойност $(1+\frac1x= 1)$, умножението на обратната матрица $A^(-1)$ по оригиналната матрица води до идентичната матрица $E$.
Най-простият метод за решение при търсене на обратната матрица е Йордан Гаус. Единична матрица със същия размер се записва до матрицата на морско свинче и след това оригиналната матрица се свежда до единична матрица с помощта на трансформации и всички извършени действия се повтарят с $E$.
Пример 4
Дана $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$
Вземете обратна матрица.
Решение:
Пишем заедно $A$ и вдясно от него съответния размер $E$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(array)$
Получаваме нула в последния ред на първа позиция: добавяме към него горната, умножена по $-3$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$
Сега нулираме последния елемент от първия ред. За да направите това, добавете долния ред към горния ред:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$
Разделяме второто на $-2$:
$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(array)$
Получих резултата:
$A=\begin(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$
Транспониращи матрични таблици
Транспонирането е промяна на редове и колони в матрица или детерминанта на места, като се запазва първоначалният им ред. Детерминантът на транспонираната матрица $A^T$ ще бъде равен на детерминантата на оригиналната матрица $A$.
Пример 5
Транспонирайте матрицата $A$ и проверете себе си, като намерите детерминанта на $A$ и транспонираната матрица.
$A=\begin(pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end(pmatrix)$
Решение:
Прилагаме метода на Сарус за детерминанта:
$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot (-3) - 1 \cdot 6 \cdot (-2) - 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 - 12 - 24+ 24 + 12 + 15 = $0.
Получаваме дегенерирана матрица.
Сега нека извършим транспонирането на $A$, за това ще хвърлим матрицата от дясната й страна:
$A^T = \begin(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$
Намерете детерминанта за $A^T$, като използвате същото правило:
$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) - 1 \cdot (-2) \cdot 6 - (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.
Определение 1Произведението на матриците (C=AB) е операция само за последователни матрици A и B, в която броят на колоните на матрица A е равен на броя на редовете на матрица B:
C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
Пример 1
Матрични данни:
- A = a (i j) с размери m × n;
- B = b (i j) p × n
Матрица C , чиито елементи c i j се изчисляват по следната формула:
c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . м
Пример 2
Нека изчислим произведенията AB=BA:
A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1
Решение с помощта на правилото за умножение на матрицата:
A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3
Намерени са произведението A B и B A, но те са матрици с различни размери: A B не е равно на B A.
Свойства на матричното умножение
Свойства за умножение на матрица:
- (A B) C = A (B C) - асоциативност на умножението на матрицата;
- A (B + C) \u003d A B + A C - разпределително умножение;
- (A + B) C \u003d A C + B C - дистрибутивност на умножението;
- λ (A B) = (λ A) B
Проверете свойство #1: (A B) C = A (B C) :
(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,
A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .
Пример 2
Проверяваме имот № 2: A (B + C) \u003d A B + A C:
A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,
A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .
Продукт от три матрици
Продуктът на три матрици A B C се изчислява по 2 начина:
- намерете A B и умножете по C: (A B) C;
- или намерете първо B C и след това умножете A (B C) .
Умножете матриците по 2 начина:
4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1
Алгоритъм за действие:
- намерете произведението на 2 матрици;
- след това отново намерете произведението на 2 матрици.
едно). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21
2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .
Използваме формулата A B C \u003d (A B) C:
едно). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12
2). A B C \u003d (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3
Отговор: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3
Умножаване на матрица по число
Определение 2Произведението на матрицата A по числото k е матрицата B = A k със същия размер, която се получава от оригинала чрез умножаване по даден брой на всички нейни елементи:
b i , j = k × a i , j
Свойства на умножаване на матрица по число:
- 1 × A = A
- 0 × A = нулева матрица
- k(A + B) = kA + kB
- (k + n) A = k A + n A
- (k×n)×A = k(n×A)
Намерете произведението на матрицата A \u003d 4 2 9 0 на 5.
5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Умножение на матрица по вектор
Определение 3За да намерите произведението на матрица и вектор, трябва да умножите според правилото ред по колона:
- ако умножите матрица по вектор колона, броят на колоните в матрицата трябва да съвпада с броя на редовете във вектора колона;
- резултатът от умножението на вектор колона е само вектор колона:
A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × 1 × 1 + ⋯ 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 1 м
- ако умножите матрица по вектор ред, тогава матрицата, която ще се умножи, трябва да бъде изключително вектор колона, а броят на колоните трябва да съвпада с броя на колоните във вектора ред:
A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Пример 5
Намерете произведението на матрица A и вектор на колона B:
A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2
Пример 6
Намерете произведението на матрица A и вектор на ред B:
A = 3 2 0 - 1, B = 1 1 0 2
A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Отговор: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
