Преди да започнете да изучавате концепцията за топка, какъв е обемът на топката, помислете за формулите за изчисляване на нейните параметри, трябва да запомните концепцията за кръг, изучавана по-рано в хода на геометрията. В крайна сметка повечето действия в триизмерното пространство са подобни или следват от двуизмерна геометрия, коригирана за появата на трета координата и трета степен.
Какво е кръг?
Кръгът е фигура в декартова равнина (изобразена на фигура 1); най-често определението звучи като "местоположението на всички точки в равнината, разстоянието от което до дадена точка (център) не надвишава определено неотрицателно число, наречено радиус."
Както можете да видите от фигурата, точка O е центърът на фигурата, а наборът от абсолютно всички точки, които запълват кръга, например A, B, C, K, E, не са по-далеч от даден радиус ( не излизайте извън кръга, показан на фиг. 2).
Ако радиусът е нула, тогава кръгът се превръща в точка.
Проблеми с разбирането
Студентите често бъркат тези понятия. Лесно е да се запомни с аналогия. Обръчът, който децата усукват в уроците по физическо възпитание, е кръг. Като разберат това или си спомнят, че първите букви на двете думи са "О", децата мнемонично ще разберат разликата.
Въвеждането на понятието "топка"
Топката е тяло (фиг. 3), ограничено от определена сферична повърхност. Какъв вид "сферична повърхност" ще стане ясно от нейното определение: това е местоположението на всички точки на повърхността, разстоянието от което до дадена точка (център) не надвишава определено неотрицателно число, наречено радиус. Както можете да видите, понятията за кръг и сферична повърхност са сходни, само пространствата, в които се намират, се различават. Ако изобразим топка в двуизмерно пространство, получаваме кръг, чиято граница е кръг (за топка границата е сферична повърхност). На фигурата виждаме сферична повърхност с радиуси OA = OB.
Топка затворена и отворена
Във векторните и метричните пространства се разглеждат и две концепции, свързани със сферична повърхност. Ако топката включва тази сфера в себе си, тогава тя се нарича затворена, а ако не, тогава в този случай топката е отворена. Това са по-"напреднали" понятия, те се изучават в институтите, когато се въвеждат в анализ. За проста, дори ежедневна употреба, тези формули, които се изучават в курса по твърда геометрия от 10-11 клас, ще бъдат достатъчни. Именно тези понятия, които са достъпни за почти всеки среднообразован човек, ще бъдат обсъдени по-нататък.
Концепции, които трябва да знаете за следните изчисления
радиус и диаметър.
Радиусът на сферата и нейният диаметър се определят по същия начин, както при окръжността.
Радиус - сегмент, свързващ всяка точка на границата на топката и точка, която е центърът на топката.
Диаметър - отсечка, свързваща две точки на границата на сфера и минаваща през нейния център. Фигура 5а ясно показва кои сегменти са радиусите на топката, а фигура 5b показва диаметрите на сферата (сегментите, минаващи през точката O).
Секции в сфера (топка)
Всеки участък от сфера е кръг. Ако минава през центъра на топката, тогава се нарича голям кръг (окръжност с диаметър AB), останалите секции се наричат малки кръгове (кръг с диаметър DC).
Площта на тези кръгове се изчислява по следните формули:
Тук S е обозначението на площта, R е радиусът, D е диаметърът. Има и константа, равна на 3,14. Но не се бъркайте, че за изчисляване на площта на голям кръг се използва радиусът или диаметърът на самата топка (сфера), а за определяне на площта са необходими размерите на радиуса на малкия кръг.
Има безкраен брой такива участъци, които преминават през две точки с един и същи диаметър, лежащи на границата на сферата. Като пример, нашата планета: две точки на северния и южния полюс, които са краищата на земната ос и в геометричен смисъл - краищата на диаметъра и меридианите, които минават през тези две точки (Фигура 7) . Тоест, броят на големите кръгове в близост до сферата клони към безкрайност в количество.
части за топка
Ако „парче“ бъде отрязано от сферата с помощта на някаква равнина (Фигура 8), то ще се нарече сферичен или сферичен сегмент. Тя ще има височина - перпендикуляр от центъра на сечещата равнина към сферичната повърхност O 1 K. Точката K на сферичната повърхност, до която идва височината, се нарича връх на сферичния сегмент. И малък кръг с радиус O 1 T (в този случай, според фигурата, равнината не е минала през центъра на сферата, но ако сечението минава през центъра, тогава кръгът на сечението ще бъде голям) , образуван при отрязване на сферичния сегмент, ще се нарече основа на нашата топка - сферичен сегмент.
Ако свържем всяка точка от основата на сферичния сегмент с центъра на сферата, получаваме фигура, наречена "сферичен сектор".
Ако две равнини преминават през сферата, които са успоредни една на друга, тогава тази част от сферата, която е затворена между тях, се нарича сферичен слой (Фигура 9, която показва сфера с две равнини и отделно сферичен слой).
Повърхността (маркирана част на фигура 9 вдясно) на тази част от сферата се нарича пояс (отново, за по-добро разбиране, можем да направим аналогия със земното кълбо, а именно с неговите климатични зони - арктически, тропически, умерени и т.н.), а кръговете на сеченията ще бъдат основният слой топка. Височина на слоя - част от диаметъра, изтеглен перпендикулярно на режещите равнини от центровете на основите. Съществува и концепцията за сферична сфера. Образува се, когато равнините, които са успоредни една на друга, не пресичат сферата, а я докосват в една точка всяка.
Формули за изчисляване на обема на топката и нейната повърхност
Топка се образува чрез въртене около фиксиран диаметър на полукръг или кръг. За да се изчислят различните параметри на този обект, не са необходими толкова много данни.
Обемът на топката, формулата за изчисляване на която е посочена по-горе, се получава чрез интегриране. Нека преминем към точките.
Разглеждаме кръг в двуизмерна равнина, тъй като, както бе споменато по-горе, именно кръгът е в основата на конструкцията на топката. Използваме само четвъртата му част (Фигура 10).
Взимаме окръжност с единичен радиус и център в началото. Уравнението на такъв кръг е както следва: X 2 + Y 2 \u003d R 2. Изразяваме Y от тук: Y 2 \u003d R 2 - X 2.
Не забравяйте да отбележите, че получената функция е неотрицателна, непрекъсната и намаляваща на отсечката X (0; R), тъй като стойността на X в случая, когато разглеждаме една четвърт от окръжността, се намира от нула до стойността на радиуса, тоест до един.
Следващото нещо, което правим, е да завъртим нашия четвърт кръг около оста x. В резултат на това получаваме полукълбо. За да определим неговия обем, прибягваме до методи за интегриране.
Тъй като това е обемът само на полукълбо, удвояваме резултата, от което получаваме, че обемът на топката е равен на:
Малки нюанси
Ако трябва да изчислите обема на топката по отношение на нейния диаметър, не забравяйте, че радиусът е половината от диаметъра и заменете тази стойност в горната формула.
Също така, формулата за обема на сфера може да бъде достигната чрез площта на нейната гранична повърхност - сферата. Припомнете си, че площта на сфера се изчислява по формулата S = 4πr 2, интегрирайки която, стигаме и до горната формула за обема на топката. От същите формули можете да изразите радиуса, ако условието на задачата съдържа стойност на обема.
Много тела, които виждаме в живота или за които чуваме, са сферични, като футболна топка, падаща капка вода по време на дъжд или нашата планета. В тази връзка е уместно да се разгледа въпросът как да се намери обемът на топката.
Фигурна топка в геометрията
Преди да отговорим на въпроса на топката, нека разгледаме по-отблизо това тяло. Някои хора го бъркат със сфера. Външно те наистина си приличат, но топката е обект, пълен вътре, докато сферата е само външната обвивка на топка с безкрайно малка дебелина.
От гледна точка на геометрията, топката може да бъде представена от набор от точки, като тези от тях, които лежат на повърхността й (те образуват сфера) са на същото разстояние от центъра на фигурата. Това разстояние се нарича радиус. Всъщност радиусът е единственият параметър, с който можете да опишете каквито и да е свойства на топката, като нейната повърхност или обем.
Фигурата по-долу показва пример за топка.
Ако се вгледате внимателно в този идеален кръгъл предмет, можете да се досетите как да го получите от обикновен кръг. За да направите това, достатъчно е да завъртите тази плоска фигура около ос, съвпадаща с нейния диаметър.
Един от добре познатите древни литературни източници, в който достатъчно подробно са разгледани свойствата на тази триизмерна фигура, е работата на гръцкия философ Евклид – „Елементи“.
Площ и обем
Като се има предвид въпроса как да се намери обемът на топката, в допълнение към това количество трябва да се даде формула за нейната площ, тъй като и двата израза могат да бъдат свързани един с друг, както ще бъде показано по-долу.
Така че, за да се изчисли обемът на топката, трябва да се приложи една от следните две формули:
- V = 4/3 *pi * R3;
- V = 67/16 * R3.
Тук R е радиусът на фигурата. Първата от горните формули е точна, но за да се възползвате от това, трябва да използвате подходящия брой десетични знака за числото pi. Вторият израз дава доста добър резултат, като се различава от първия само с 0,03%. За редица практически задачи тази точност е повече от достатъчна.
Тя е равна на тази стойност за сфера, тоест се изразява с формулата S = 4 * pi * R2. Ако изразим радиуса от тук и след това го заместим в първата формула за обем, тогава получаваме: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * пи)).
По този начин разгледахме въпросите как да намерим обема на топката през радиуса и площта на нейната повърхност. Тези изрази могат успешно да се прилагат на практика. По-долу в статията ще дадем пример за тяхното използване.
Предизвикателство за дъждовни капки
Водата, когато е в нулева гравитация, приема формата на сферична капка. Това се дължи на наличието на сили на повърхностно напрежение, които са склонни да минимизират повърхността. Топката от своя страна има най-малката стойност сред всички геометрични фигури със същата маса.
По време на дъжд падащата капка вода е в безтегловност, така че формата й е топка (тук пренебрегваме силата на въздушното съпротивление). Необходимо е да се определи обемът, повърхността и радиусът на тази капка, ако е известно, че нейната маса е 0,05 грама.
Обемът е лесно да се определи, за това трябва да разделите известната маса на плътността на H 2 O (ρ \u003d 1 g / cm 3). След това V = 0,05 / 1 = 0,05 cm 3.
Знаейки как да намерите обема на топката, трябва да изразите радиуса от формулата и да замените получената стойност, имаме: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4 * 3,1416)) = 0,2285 см.
Сега заместваме стойността на радиуса в израза за повърхността на фигурата, получаваме: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 cm 2.
По този начин, знаейки как да намерим обема на топка, получихме отговори на всички въпроси на проблема: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 и V = 0,05 cm 3.
В геометрията топкасе определя като определено тяло, което е съвкупност от всички точки в пространството, които са разположени от центъра на разстояние не повече от дадено, наречено радиус на топката. Повърхността на сфера се нарича сфера и се образува чрез завъртане на полукръг около диаметъра си, който остава неподвижно.
Това геометрично тяло се среща много често от дизайнери и архитекти, на които често им се налага изчисляване на обема на сфера. Например, в дизайна на предното окачване на по-голямата част от съвременните автомобили се използват така наречените сачмени лагери, в които, както може да се досетите от самото име, топките са един от основните елементи. С тяхна помощ са свързани главините на управляваните колела и лостовете. От това колко правилно ще бъде изчисленотехният обем до голяма степен зависи не само от издръжливостта на тези единици и правилността на тяхната работа, но и от безопасността на движението.
В технологията широко се използват такива части като сачмени лагери, с помощта на които осите се закрепват в неподвижните части на различни възли и възли и се осигурява тяхното въртене. Трябва да се отбележи, че когато ги изчисляват, дизайнерите се нуждаят намерете обема на сфера(или по-скоро топки, поставени в клетка) с висока степен на точност. Що се отнася до производството на метални сачми за лагери, те се изработват от метална тел по сложен технологичен процес, който включва етапите на оформяне, втвърдяване, грубо шлайфане, довършително прилепване и почистване. Между другото, тези топки, които са включени в дизайна на всички химикалки, са направени по абсолютно същата технология.
Доста често топките се използват и в архитектурата и там най-често са декоративни елементи на сгради и други конструкции. В повечето случаи те са изработени от гранит, което често изисква много ръчен труд. Разбира се, не се изисква да се спазва такава висока прецизност при производството на тези топки като тези, използвани в различни възли и механизми.
Такава интересна и популярна игра като билярд е немислима без топки. За производството им се използват различни материали (кост, камък, метал, пластмаса) и се използват различни технологични процеси. Едно от основните изисквания към билярдните топки е тяхната висока якост и способност да издържат на високи механични натоварвания (предимно удар). Освен това повърхността им трябва да е точна сфера, за да се осигури гладко и равномерно търкаляне по повърхността на билярдните маси.
И накрая, нито едно новогодишно или коледно дърво не може да мине без такива геометрични тела като топки. Тези декорации се изработват в повечето случаи от стъкло чрез издухване, като при изработката им се обръща най-голямо внимание не на точността на размерите, а на естетиката на изделията. В същото време технологичният процес е почти напълно автоматизиран и коледните топки се опаковат само ръчно.
Топката е геометрично тяло на въртене, образувано чрез завъртане на кръг или полукръг около диаметъра си. Също така топката е пространство, ограничено от сферична повърхност. Има много реални сферични обекти и свързани проблеми, които изискват определяне на обема на сфера.
Топка и сфера
Кръгът е най-древната геометрична фигура и древните учени са му придавали свещено значение. Кръгът е символ на безкрайното време и пространство, символ на вселената и битието. Според Питагор кръгът е най-красивата от фигурите. В триизмерното пространство кръгът се превръща в сфера, също толкова идеална, космическа и красива като кръга.
Сфера на старогръцки означава "топка". Сфера е повърхност, образувана от безкраен брой точки, еднакво отдалечени от центъра на фигурата. Пространството, ограничено от сфера, е сфера. Топката е идеална геометрична фигура, чиято форма се приема от много реални предмети. Например в реалния живот гюллетата, лагерите или топките имат формата на топка, в природата - капки вода, корони на дървета или плодове, в космоса - звезди, метеори или планети.
Обем на топката
Определянето на обема на сферична фигура е трудна задача, тъй като такова геометрично тяло не може да бъде разделено на кубчета или триъгълни призми, чиито обемни формули вече са известни. Съвременната наука ви позволява да изчислите обема на топка с помощта на определен интеграл, но как е получена формулата за обем в древна Гърция, когато никой все още не е чувал за интеграли? Архимед изчисли обема на сфера с помощта на конус и цилиндър, тъй като формулите за обемите на тези фигури вече са определени от древногръцкия философ и математик Демокрит.
Архимед представя половината от топката, използвайки същия конус и цилиндър, докато радиусът на всяка фигура е равен на нейната височина R = h. Древният учен представил конус и цилиндър, разбити на безкраен брой малки цилиндри. Архимед разбра, че ако обемът на цилиндъра Vc се извади от обема на конуса Vk, той ще получи обема на едно полукълбо Vsh:
0,5 Vsh = Vc − Vk
Обемът на конуса се изчислява по проста формула:
Vk = 1/3 × So × h,
но знаейки, че така че в този случай е площта на кръг и h = R, тогава формулата се трансформира в:
Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3
Обемът на цилиндъра се изчислява по формулата:
Vc = pi × R 2 × h,
но ако приемем, че височината на цилиндъра е равна на неговия радиус, получаваме:
Vc = pi × R 3 .
Използвайки тези формули, Архимед получи:
0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 или Vsh = 4/3 pi × R 3
Съвременната дефиниция на формулата за обема на сфера се извлича от интеграла от площта на сферична повърхност, но резултатът остава същият
Vsh = 4/3 pi × R 3
Изчисляването на обема на топката може да е необходимо както в реалния живот, така и при решаване на абстрактни задачи. За да изчислите обема на сфера с помощта на онлайн калкулатор, трябва да знаете само един параметър, от който да избирате: диаметърът или радиусът на сферата. Нека разгледаме няколко примера.
Примери от реалния живот
Гюлета
Да приемем, че искате да знаете колко желязо е необходимо, за да хвърлите гюле с калибър шест фута. Знаете, че диаметърът на такова ядро е 9,6 сантиметра. Въведете това число в клетката на калкулатора "Диаметър" и ще получите отговор във формуляра
Така, за да топите гюле от даден калибър, ще ви трябват 463 кубически сантиметра или 0,463 литра чугун.
балони
Нека бъдете любопитни колко въздух е необходим, за да се надуе перфектен сферичен балон. Знаете, че радиусът на избраната топка е 10 см. Въведете тази стойност в клетката на калкулатора "Радиус" и ще получите резултата
Това означава, че ще ви трябват 4188 кубически сантиметра или 4,18 литра въздух, за да надуете един такъв балон.
Заключение
Необходимостта от определяне на обема на топката може да възникне в различни ситуации: от абстрактни училищни проблеми до научни изследвания и производствени въпроси. За да решите въпроси от всякаква сложност, използвайте нашия онлайн калкулатор, който незабавно ще ви представи точния резултат и необходимите математически изчисления.
