Обемът на топката. Обем на топка Как да намерим обем по радиус

Топката е геометрично тяло на въртене, образувано чрез завъртане на кръг или полукръг около диаметъра си. Също така топката е пространство, ограничено от сферична повърхност. Има много реални сферични обекти и свързани проблеми, които изискват определяне на обема на сфера.

Топка и сфера

Кръгът е най-древната геометрична фигура и древните учени са му придавали свещено значение. Кръгът е символ на безкрайното време и пространство, символ на вселената и битието. Според Питагор кръгът е най-красивата от фигурите. В триизмерното пространство кръгът се превръща в сфера, също толкова идеална, космическа и красива като кръга.

Сфера на старогръцки означава "топка". Сфера е повърхност, образувана от безкраен брой точки, еднакво отдалечени от центъра на фигурата. Пространството, ограничено от сфера, е сфера. Топката е идеална геометрична фигура, чиято форма се приема от много реални предмети. Например в реалния живот гюллетата, лагерите или топките имат формата на топка, в природата - капки вода, корони на дървета или плодове, в космоса - звезди, метеори или планети.

Обем на топката

Определянето на обема на сферична фигура е трудна задача, тъй като такова геометрично тяло не може да бъде разделено на кубчета или триъгълни призми, чиито обемни формули вече са известни. Съвременната наука ви позволява да изчислите обема на топка с помощта на определен интеграл, но как е получена формулата за обем в Древна Гърция, когато никой все още не е чувал за интеграли? Архимед изчисли обема на сфера с помощта на конус и цилиндър, тъй като формулите за обемите на тези фигури вече са определени от древногръцкия философ и математик Демокрит.

Архимед представя половината от топката, използвайки същия конус и цилиндър, докато радиусът на всяка фигура е равен на нейната височина R = h. Древният учен представил конус и цилиндър, разбити на безкраен брой малки цилиндри. Архимед разбра, че ако обемът на цилиндъра Vc се извади от обема на конуса Vk, той ще получи обема на едно полукълбо Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Обемът на конуса се изчислява по проста формула:

Vk = 1/3 × So × h,

но знаейки, че така че в този случай е площта на кръг и h = R, тогава формулата се трансформира в:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Обемът на цилиндъра се изчислява по формулата:

Vc = pi × R 2 × h,

но ако приемем, че височината на цилиндъра е равна на неговия радиус, получаваме:

Vc = pi × R 3 .

Използвайки тези формули, Архимед получи:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 или Vsh = 4/3 pi × R 3

Съвременната дефиниция на формулата за обема на сфера се извлича от интеграла от площта на сферична повърхност, но резултатът остава същият

Vsh = 4/3 pi × R 3

Изчисляването на обема на топката може да е необходимо както в реалния живот, така и при решаване на абстрактни задачи. За да изчислите обема на сфера с помощта на онлайн калкулатор, трябва да знаете само един параметър, от който да избирате: диаметърът или радиусът на сферата. Нека разгледаме няколко примера.

Примери от реалния живот

Гюлета

Да приемем, че искате да знаете колко желязо е необходимо, за да хвърлите гюле с калибър шест фута. Знаете, че диаметърът на такова ядро ​​е 9,6 сантиметра. Въведете това число в клетката на калкулатора "Диаметър" и ще получите отговор във формуляра

Така, за да топите гюле от даден калибър, ще ви трябват 463 кубически сантиметра или 0,463 литра чугун.

балони

Нека бъдете любопитни колко въздух е необходим, за да се надуе перфектен сферичен балон. Знаете, че радиусът на избраната топка е 10 см. Въведете тази стойност в клетката на калкулатора "Радиус" и ще получите резултата

Това означава, че ще ви трябват 4188 кубически сантиметра или 4,18 литра въздух, за да надуете един такъв балон.

Заключение

Необходимостта от определяне на обема на топката може да възникне в различни ситуации: от абстрактни училищни проблеми до научни изследвания и производствени въпроси. За да решите въпроси от всякаква сложност, използвайте нашия онлайн калкулатор, който незабавно ще ви представи точния резултат и необходимите математически изчисления.

Преди да започнете да изучавате концепцията за топка, какъв е обемът на топката, помислете за формулите за изчисляване на нейните параметри, трябва да запомните концепцията за кръг, изучавана по-рано в хода на геометрията. В крайна сметка повечето действия в триизмерното пространство са подобни или следват от двуизмерна геометрия, коригирана за появата на трета координата и трета степен.

Какво е кръг?

Кръгът е фигура в декартова равнина (изобразена на фигура 1); най-често определението звучи като "местоположението на всички точки в равнината, разстоянието от което до дадена точка (център) не надвишава определено неотрицателно число, наречено радиус."

Както можете да видите от фигурата, точка O е центърът на фигурата, а наборът от абсолютно всички точки, които запълват кръга, например A, B, C, K, E, не са по-далеч от даден радиус ( не излизайте извън кръга, показан на фиг. 2).

Ако радиусът е нула, тогава кръгът се превръща в точка.

Проблеми с разбирането

Студентите често бъркат тези термини. Лесно е да се запомни с аналогия. Обръчът, който децата усукват в уроците по физическо възпитание, е кръг. Разбирайки това или запомняйки, че първите букви на двете думи са "О", децата мнемонично ще разберат разликата.

Въвеждането на понятието "топка"

Топката е тяло (фиг. 3), ограничено от определена сферична повърхност. Какъв вид "сферична повърхност" ще стане ясно от нейното определение: това е местоположението на всички точки на повърхността, разстоянието от което до дадена точка (център) не надвишава определено неотрицателно число, наречено радиус. Както можете да видите, понятията за кръг и сферична повърхност са сходни, само пространствата, в които се намират, се различават. Ако изобразим топка в двуизмерно пространство, получаваме кръг, чиято граница е кръг (за топка границата е сферична повърхност). На фигурата виждаме сферична повърхност с радиуси OA = OB.

Топка затворена и отворена

Във векторните и метричните пространства се разглеждат и две концепции, свързани със сферична повърхност. Ако топката включва тази сфера в себе си, тогава тя се нарича затворена, а ако не, тогава в този случай топката е отворена. Това са по-"напреднали" понятия, те се изучават в институтите, когато се въвеждат в анализ. За проста, дори ежедневна употреба, тези формули, които се изучават в курса по твърда геометрия от 10-11 клас, ще бъдат достатъчни. Именно тези понятия, които са достъпни за почти всеки среднообразован човек, ще бъдат обсъдени по-нататък.

Концепции, които трябва да знаете за следните изчисления

радиус и диаметър.

Радиусът на сферата и нейният диаметър се определят по същия начин, както при окръжността.

Радиус - сегмент, свързващ всяка точка на границата на топката и точка, която е центърът на топката.

Диаметър - отсечка, свързваща две точки на границата на сфера и минаваща през нейния център. Фигура 5а ясно показва кои сегменти са радиусите на топката, а фигура 5b показва диаметрите на сферата (сегментите, минаващи през точката O).

Секции в сфера (топка)

Всеки участък от сфера е кръг. Ако минава през центъра на топката, тогава се нарича голям кръг (окръжност с диаметър AB), останалите секции се наричат ​​малки кръгове (кръг с диаметър DC).

Площта на тези кръгове се изчислява по следните формули:

Тук S е обозначението на площта, R е радиусът, D е диаметърът. Има и константа, равна на 3,14. Но не се бъркайте, че за изчисляване на площта на голям кръг се използва радиусът или диаметърът на самата топка (сфера), а за определяне на площта са необходими размерите на радиуса на малкия кръг.

Има безкраен брой такива участъци, които преминават през две точки с един и същи диаметър, лежащи на границата на сферата. Като пример, нашата планета: две точки на северния и южния полюс, които са краищата на земната ос и в геометричен смисъл - краищата на диаметъра и меридианите, които минават през тези две точки (Фигура 7) . Тоест, броят на големите кръгове в близост до сферата клони към безкрайност в количество.

части за топка

Ако „парче“ бъде отрязано от сферата с помощта на някаква равнина (Фигура 8), то ще се нарече сферичен или сферичен сегмент. Тя ще има височина - перпендикуляр от центъра на сечещата равнина към сферичната повърхност O 1 K. Точката K на сферичната повърхност, до която идва височината, се нарича връх на сферичния сегмент. И малък кръг с радиус O 1 T (в този случай, според фигурата, равнината не е минала през центъра на сферата, но ако сечението минава през центъра, тогава кръгът на сечението ще бъде голям) , образуван при отрязване на сферичния сегмент, ще се нарече основа на нашата топка - сферичен сегмент.

Ако свържем всяка точка от основата на сферичния сегмент с центъра на сферата, получаваме фигура, наречена "сферичен сектор".

Ако две равнини преминават през сферата, които са успоредни една на друга, тогава тази част от сферата, която е затворена между тях, се нарича сферичен слой (Фигура 9, която показва сфера с две равнини и отделно сферичен слой).

Повърхността (маркирана част на фигура 9 вдясно) на тази част от сферата се нарича пояс (отново, за по-добро разбиране, можем да направим аналогия със земното кълбо, а именно с неговите климатични зони - арктически, тропически, умерени и т.н.), а кръговете на сеченията ще бъдат основният слой топка. Височина на слоя - част от диаметъра, изтеглен перпендикулярно на режещите равнини от центровете на основите. Съществува и концепцията за сферична сфера. Образува се, когато равнините, които са успоредни една на друга, не пресичат сферата, а я докосват в една точка всяка.

Формули за изчисляване на обема на топката и нейната повърхност

Топка се образува чрез въртене около фиксиран диаметър на полукръг или кръг. За да се изчислят различните параметри на този обект, не са необходими толкова много данни.

Обемът на топката, формулата за изчисляване на която е посочена по-горе, се получава чрез интегриране. Нека преминем към точките.

Разглеждаме кръг в двуизмерна равнина, тъй като, както бе споменато по-горе, именно кръгът е в основата на конструкцията на топката. Използваме само четвъртата му част (Фигура 10).

Взимаме окръжност с единичен радиус и център в началото. Уравнението на такъв кръг е както следва: X 2 + Y 2 \u003d R 2. Изразяваме Y от тук: Y 2 \u003d R 2 - X 2.

Не забравяйте да отбележите, че получената функция е неотрицателна, непрекъсната и намаляваща на отсечката X (0; R), тъй като стойността на X в случая, когато разглеждаме една четвърт от окръжността, лежи от нула до стойността на радиуса, тоест до един.

Следващото нещо, което правим, е да завъртим нашия четвърт кръг около оста x. В резултат на това получаваме полукълбо. За да определим неговия обем, прибягваме до методи за интегриране.

Тъй като това е обемът само на полукълбо, удвояваме резултата, от което получаваме, че обемът на топката е равен на:

Малки нюанси

Ако трябва да изчислите обема на топката по отношение на нейния диаметър, не забравяйте, че радиусът е половината от диаметъра и заменете тази стойност в горната формула.

Също така, формулата за обема на сфера може да бъде достигната чрез площта на нейната гранична повърхност - сферата. Припомнете си, че площта на сфера се изчислява по формулата S = 4πr 2, интегрирайки която, стигаме и до горната формула за обема на топката. От същите формули можете да изразите радиуса, ако условието на задачата съдържа стойност на обема.

WikiHow внимателно следи работата на редакторите, за да гарантира, че всяка статия отговаря на нашите високи стандарти за качество.

Радиусът на топката (означен като r или R) е отсечката, която свързва центъра на топката с която и да е точка от нейната повърхност. Както при окръжността, радиусът на топката е важна величина, която е необходима за намиране на диаметъра, обиколката, повърхността и/или обема на топката. Но радиусът на топката може да се намери и от дадена стойност на диаметъра, обиколката и други величини. Използвайте формула, в която можете да замените тези стойности.

Стъпки

Формули за изчисляване на радиуса

Изчислете радиуса от диаметъра.Радиусът е половината от диаметъра, така че използвайте формулата d = D/2. Това е същата формула, използвана за изчисляване на радиуса и диаметъра на кръг.

• Например, дадена е топка с диаметър 16 см. Радиусът на тази топка: r = 16/2 = 8 см. Ако диаметърът е 42 см, тогава радиусът е 21 см (42/2=21).

1. Изчислете радиуса от обиколката на окръжността.Използвайте формулата: r = C/2π. Тъй като обиколката е C = πD = 2πr, тогава разделете формулата за изчисляване на обиколката на 2π и получете формулата за намиране на радиуса.

   • Например дадена топка с обиколка 20 см. Радиусът на тази топка е: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Същата формула се използва за изчисляване на радиуса и обиколката на окръжност.

2. Изчислете радиуса от обема на сферата.Използвайте формулата: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Обемът на топката се изчислява по формулата V = (4/3)πr 3 . Разделяйки r от едната страна на уравнението, получавате формулата ((V / π) (3/4)) 3 \u003d r, тоест, за да изчислите радиуса, разделете обема на топката на π, умножете резултата с 3/4 и повишете резултата на степен 1/3 (или вземете кубичния корен).

   • Например, дадена топка с обем 100 cm 3. Радиусът на тази сфера се изчислява, както следва:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 см= r

3. Изчислете радиуса от повърхността.Използвайте формулата: r = √(A/(4 π)). Повърхността на топката се изчислява по формулата A = 4πr 2. Като изолирате r от едната страна на уравнението, получавате формулата √(A/(4π)) = r, тоест, за да изчислите радиуса, трябва да вземете корен квадратен от повърхността, разделен на 4π. Вместо да вземем корена, изразът (A/(4π)) може да бъде увеличен на степен 1/2.

   • Например, дадена сфера с площ от 1200 cm 3 . Радиусът на тази сфера се изчислява, както следва:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 см= r

   Определяне на основни величини

   1. Запомнете основните величини, които са от значение за изчисляването на радиуса на топката.Радиусът на топката е сегмент, който свързва центъра на топката с всяка точка от нейната повърхност. Радиусът на сфера може да се изчисли от дадени стойности на диаметър, обиколка, обем или повърхност.

      Използвайте стойностите на тези количества, за да намерите радиуса.Радиусът може да се изчисли от дадени стойности на диаметър, обиколка, обем и повърхност. Освен това тези стойности могат да бъдат намерени от дадена стойност на радиуса. За да изчислите радиуса, просто преобразувайте формулите, за да намерите дадените стойности. По-долу са формулите (в които има радиус) за изчисляване на диаметъра, обиколката, обема и повърхността.

   Намиране на радиуса от разстоянието между две точки

   1. Намерете координатите (x, y, z) на центъра на топката.Радиусът на сферата е равен на разстоянието между нейния център и всяка точка, лежаща на повърхността на сферата. Ако са известни координатите на центъра на топката и която и да е точка, лежаща на нейната повърхност, можете да намерите радиуса на топката, като използвате специална формула, като изчислите разстоянието между две точки. Първо намерете координатите на центъра на топката. Имайте предвид, че тъй като топката е триизмерна фигура, точката ще има три координати (x, y, z), а не две (x, y).

      • Помислете за пример. Дадена е топка, центрирана с координати (4,-1,12) . Използвайте тези координати, за да намерите радиуса на топката.

   2. Намерете координатите на точка от повърхността на сферата.Сега трябва да намерите координатите (x, y, z) всякаквиточка на повърхността на сферата. Тъй като всички точки, лежащи на повърхността на топката, са разположени на едно и също разстояние от центъра на топката, всяка точка може да бъде избрана за изчисляване на радиуса на топката.

      • В нашия пример нека приемем, че някаква точка, лежаща на повърхността на топката, има координати (3,3,0) . Като изчислите разстоянието между тази точка и центъра на топката, ще намерите радиуса.

   3. Изчислете радиуса по формулата d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).След като научите координатите на центъра на топката и точката, лежаща на нейната повърхност, можете да намерите разстоянието между тях, което е равно на радиуса на топката. Разстоянието между две точки се изчислява по формулата d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), където d е разстоянието между точки, (x 1, y 1 ,z 1) са координатите на центъра на топката, (x 2 ,y 2 ,z 2) са координатите на точка, лежаща на повърхността на топката.

      • В този пример вместо (x 1, y 1, z 1), заместете (4, -1,12) и вместо (x 2, y 2, z 2) заместете (3,3,0):
        • d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d=12,69. Това е желаният радиус на топката.

   4. Имайте предвид, че в общи случаи r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Всички точки, лежащи на повърхността на топката, са разположени на същото разстояние от центъра на топката. Ако във формулата за намиране на разстоянието между две точки "d" се замени с "r", ще получите формула за изчисляване на радиуса на топката от известните координати (x 1, y 1, z 1) на центъра на топката и координатите (x 2, y 2, z 2 ) всяка точка, лежаща на повърхността на сферата.

      • Квадратирайте двете страни на това уравнение и получавате r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Забележете, че това уравнение съответства на уравнението на сфера r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с център (0,0,0).
   • Не забравяйте за реда, в който се извършват математическите операции. Ако не помните този ред и вашият калкулатор знае как да работи със скоби, използвайте ги.
   • Тази статия говори за изчисляване на радиуса на топка. Но ако имате проблеми с изучаването на геометрия, най-добре е да започнете с изчисляване на стойностите, свързани с топка, по отношение на известна стойност на радиуса.
   • π (Pi) е буквата на гръцката азбука, което означава константа, равна на съотношението на диаметъра на кръг към дължината на неговата обиколка. Пи е ирационално число, което не се записва като съотношение на реалните числа. Има много приблизителни стойности, например съотношението 333/106 ще ви позволи да намерите числото Pi с точност до четири цифри след десетичната запетая. Като правило те използват приблизителната стойност на pi, която е 3,14.

Определение на топката

топкае тяло, всички точки на което са от дадена точка на разстояние, не по-голямо от R.

Онлайн калкулатор

Дадената точка, посочена в определението на топката, се нарича центъртази топка. И споменатото разстояние е радиусна тази топка.

Сфера, по аналогия с кръг, също има диаметър D D д, което е два пъти дължината на радиуса:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ Р

Формулата за обема на сфера по отношение на нейния радиус

Обемът на една сфера се изчислява по следната формула:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ Р 3

Р Р Ре радиусът на дадената сфера.

Нека разгледаме няколко примера.

Топка е вписана в куб, диагонал г г дкоето е равно на 500 виж \sqrt(500)\text(виж)5 0 0 ​ см .Намерете обема на сферата.

Решение

D=500 d=\sqrt(500) d=5 0 0 ​

Първо трябва да определите дължината на страната на куба. Ще приемем, че е равно на а а а. Следователно диагоналът на куба е (въз основа на Питагоровата теорема):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)d=а 2 + а 2 + а 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d=3 ⋅ а 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad=3 ​ ⋅ а

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ а

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))а =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12,9 a\приблизително 12,9 а ≈1 2 . 9

Ако една сфера е вписана в куб, тогава нейният радиус е равен на половината от дължината на страната на този куб. В резултат на това имаме:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ​ ⋅ а

R = 1 2 ⋅ 12,9 ≈ 6,4 R=\frac(1)(2)\cdot 12,9\прибл.6,4R=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Последният етап е намирането на обема на топката по формулата:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097 ,5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\прибл.1097.5\text(cm)^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ Р 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 см3

Отговор

1097, 5 см3. 1097,5\текст(см)^3.1 0 9 7 , 5 см3 .

Формулата за обема на сфера по отношение на нейния диаметър

Обемът на една сфера може да се намери и по отношение на нейния диаметър. За да направим това, използваме връзката между радиуса и диаметъра на топката:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ Р

R = D 2 R=\frac(D)(2) R=2 д​

Заменете този израз във формулата за обема на топката:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4 )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =3 4 ​ ⋅ π ⋅ Р 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 д​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ д 3

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V =6 π ​ ⋅ д 3

D D де диаметърът на сферата.

Диаметърът на топката е 15 см. 15\текст (см.) 1 5 см .Намерете неговия обем.

Решение

D=15 D=15 D=1 5

Незабавно заменете стойността на диаметъра във формулата:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ приблизително 1766,25\текст(см)^3V =6 π ​ ⋅ д 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 см3

Отговор

$1766.25\text{см3 .}$