Таблица за представяне на производни на основни елементарни функции. Производни на някои елементарни функции. III. Затвърдяване на придобитите знания

ПРОИЗВОДНО

Общинска образователна институция Среднесантимирская гимназия

Попълнено от учител по математика

Сингатуллова Г.Ш.


  • Дефиниция на производна.
  • Физическо значение на производната.
  • .
  • Основни правила за диференциране.
  • Производна сложна функция.
  • Примери за решаване на задачи по темата производна.

Дефиниция на производна

Нека функцията y= е дефинирана на някакъв интервал (a, b) f(x).Вземете всяка точка x 0 от този интервал и дайте на аргумента x в точката x 0 произволно увеличение ∆ x, така че точката x 0 + ∆ x да принадлежи на този интервал. Функцията ще бъде увеличена

Производнафункции y= f(x)в точката x \u003d x 0 се нарича границата на съотношението на увеличението на функцията ∆y в тази точка към увеличението на аргумента ∆x, тъй като увеличението на аргумента клони към нула.

Геометрично значениепроизводна

Нека функция y= f(x)е дефинирана на някакъв интервал (a, b). След това тангенса на ъгъла на наклона на секанса MR към графиката на функцията.

Където  е ъгълът на наклон на функцията тангенс f(x)в точка (x 0 , f(x 0)).

Ъгълът между кривите може да се определи като ъгълът между допирателните, начертани към тези криви в дадена точка.

Уравнение на допирателна към крива:

Физическо значение на производната 1. Проблемът за определяне на скоростта на движение на материална частица

Нека точка се движи по някаква права линия по закона s= s(t), където s е изминатото разстояние, t е времето и е необходимо да се намери скоростта на точката в момента t 0 .

Към момента t 0 изминатото разстояние е равно на s 0 = s(t 0), а към момента (t 0 + ∆t) - пътят s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t).

Тогава в интервала ∆t средната скорост ще бъде

Колкото по-малко е ∆t, толкова по-добре средната скорост характеризира движението на дадена точка в момента t 0 . Следователно под скорост на точката в момент t 0 трябва да се разбира границата на средната скорост за интервала от t 0 до t 0 +∆t, когато ∆t⇾0 , т.е.

2. ПРОБЛЕМ ЗА СКОРОСТТА НА ХИМ РЕАКЦИИ

Оставете някакво вещество да влезе в химическа реакция. Количеството на това вещество Q се променя по време на реакцията в зависимост от времето t и е функция на времето. Нека количеството материя се промени с ∆Q за време ∆t, тогава отношението ще изрази средната скорост химическа реакцияза време ∆t и границата на това отношение

Текуща скорост на химичната реакция

време t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЯНЕ НА СКОРОСТТА НА РАДИОАКТИВНО РАЗПАДАНЕ

Ако m е масата на радиоактивното вещество и t е времето, тогава явлението радиоактивен разпад в момент t, при условие че масата на радиоактивното вещество намалява с времето, се характеризира с функцията m = m(t).

Средната скорост на разпадане във времето ∆t се изразява чрез съотношението

и моментната скорост на затихване в момент t

АЛГОРИТЪМ за изчисляване на производната

Производната на функцията y= f(x) може да се намери по следната схема:

1. Нека увеличим ∆x≠0 към аргумента x и намерим натрупаната стойност на функцията y+∆y= f(x+∆x).

2. Намерете нарастването на функцията ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Създайте връзка

4. Намерете границата на това отношение при ∆x⇾0, т.е.

(ако това ограничение съществува).

Основни правила за диференциране

Позволявам u=u(x)И v=v(x) –диференцируеми функции в точка х.

1) (ф v) = u v

2) (uv) = u v +uv

(cu) =cu

3) , Ако v 0

Производна на сложна функция

Теорема. Ако една функция е диференцируема в точка x, и функцията

е диференцируема в съответната точка, тогава комплексната функция е диференцируема в точката x и:

тези. производната на сложна функция е равна на произведението на производната на функцията по отношение на междинния аргумент по производната на междинния аргумент по отношение на x.

Задача 1.

Проблем 2 .

Проблем 3 .

Проблем 4 .

Проблем 5 .

Проблем 6 .

Проблем 7 .

Проблем 8 .

Подобни документи

    Понятие, граница и непрекъснатост на функция на две променливи. Частични производни от първи ред, намиране пълен диференциал. Частични производни от по-високи разряди и екстремум на функция на няколко променливи. Необходими условия за съществуване на екстремум.

    тест, добавен на 02.02.2014 г

    Ъгли и тяхното измерване. Съответствие между ъгли и числови редове. Геометрично значение тригонометрични функции. Свойства на тригонометричните функции. Основно тригонометрично тъждество и последствия от него. Универсално тригонометрично заместване.

    урок, добавен на 18.04.2012 г

    Същността на понятието "производно". Ускорението като втора производна на функция, описваща движението на тялото. Решаване на проблема с дефиницията моментна скоростдвижение на точка в даден момент. Производното в реакциите, неговата роля и място. Обща формаформули.

    презентация, добавена на 22.12.2013 г

    Ъгли и тяхното измерване, тригонометрични функции остър ъгъл. Свойства и признаци на тригонометричните функции. Четни и нечетни функции. Обратни тригонометрични функции. Най-простото решение тригонометрични уравненияи неравенства с помощта на формули.

    урок, добавен на 30.12.2009 г

    Извършване на интерполация с помощта на полинома на Нютон. Прецизиране на стойността на корена на даден интервал в три итерации и намиране на грешката в изчислението. Приложение на методите на Нютон, Сампсън и Ойлер при решаване на задачи. Изчисляване на производна на функция.

    тест, добавен на 06/02/2011

    Понятието производна, нейното геометрично и физическо значение, диференциал. Изучаване на функции и чертане на графики. Разлагане на множители, опростяване на изрази. Решаване на неравенства, системи уравнения и доказване на тъждества. Изчисляване на функционални граници.

    тест, добавен на 16.11.2010 г

    Дефиниция на производната на функция, геометричния смисъл на нейното нарастване. Геометрично значение на дадена връзка. Физическо значение на производната на функция в дадена точка. Числото, към което клони дадено съотношение. Анализ на примери за производни изчисления.

    презентация, добавена на 18.12.2014 г

    Преглед на таблицата с производни на елементарни функции. Концепцията за междинен аргумент. Правила за диференциране на сложни функции. Метод за изобразяване на траекторията на точка под формата на промени в нейните проекции по осите. Диференциране на параметрично зададена функция.

    тест, добавен на 08/11/2009

    Исторически преглед на формирането на тригонометрията като наука от древността до наши дни. Въвеждане на концепцията за тригонометрични функции в уроците по алгебра и началото на анализа с помощта на учебници на A.G. Мордкович, М.И. Башмакова. Решения на линейни диференциални уравнения.

    дисертация, добавена на 07/02/2011

    Исторически преглед на формирането на тригонометрията като наука. Различни начини за въвеждане на понятието тригонометрични функции. Анализ на училищните учебници от M.I. Башмаков и А.Г. Мордкович по тази тема. Перспективи за използване на материала за обучение.

Цели на урока:

  • Образователни:запознават учениците с формули за намиране на производни на елементарни функции; да се научат да намират производни на елементарни функции.
  • Образователни:развиване на общуване, познание, способност за приемане независимо решение, самоконтрол.
  • Образователни:създаване на условия за ситуация на успех, в резултат на поддържане на интереса към предмета, за възпитание познавателна дейност, комуникативност, мобилност, комуникативност, обща култура.

Оборудване:компютри, интерактивна дъска.

По време на часовете

I. Организационен момент

„Всичко стана равно, всички са готови за урока.“ Здравейте момчета. Седнете.

II. Актуализация на знанията

Презентация "Производна на някои елементарни функции"(Приложение 1)

Слайд 1 на екрана

- Погледнете слайдовете момчета. какво виждаш тук

– Функции.

– степенна, тригонометрична, логаритмична и експоненциална (имената на функциите се показват при щракване)

– Как могат да се нарекат тези функции с една дума?

– елементарен.

- Глоба. Какъв клон на алгебрата изучаваме сега? (слайд 2)

– « Производно и неговото приложение."

– Какво можем да направим вече?

– Намерете производна степенна функция, използвайте правилата за диференциране, намерете моментната скорост.

– Вижте слайда и определете какво още не знаем? (слайд 3)

– Не знаем как да намираме производни на други елементарни функции.

– И така, каква ще бъде темата на нашия урок?

– Производни на някои елементарни функции.

– Определете сами целта на урока и се опитайте да я формулирате.

– Запознайте се с формулите за намиране на производни на някои елементарни функции и се научете да ги прилагате.

– Отворете тетрадките си и запишете днешната дата и темата на урока.

– Днес ще работите с листове за самооценка, те са пред вас, на всеки етап от урока, оценявайте работата си и поставете оценка на листа за самооценка ( Приложение 2).

– За успешно усвояване на темата на урока ще изпълняваме упражнения за повторение. Моля ви да седнете на компютрите си, да отворите програмата MyTest, да получите теста по мрежата и да го завършите.

(Програмата MyTest може да бъде изтеглена от Интернет, разпространява се свободно, удобно е да се използва, защото можете сами да създадете всеки тест, след завършване ученикът автоматично получава оценка и резултатът от всеки ученик идва на компютъра на учителя, децата виждат тези резултати)

Тест.

Въведете верния отговор.

Опция 1.

  1. Производна на функция s(t) се нарича...
  2. Производната на сумата е равна на...
  3. Намерете производната на функция f(x) = 3x 2 - 5x + 6.
  4. Намерете производната на функция f(x) = -x 2 + 3x + 1.
  5. Намерете производната на функция f(x) = (x - 2) 2 x 3.

Вариант 2.

  1. Производна на функция s(t) се нарича...
  2. Постоянният множител може да бъде толериран...
  3. Намерете производната на функцията y = 5x 2 + 6x – 7.
  4. Намерете производната на функцията y = x 2 + x + 1.
  5. Намерете производната на функцията y = (x 2 + 2x)(x - 5).

- Глоба. Въз основа на резултатите от теста можете да видите и мисля, че осъзнавате, че всъщност все още имаме върху какво да работим.

- И така, момчета, казахме, че днес ще се запознаем с формулите за намиране на производните на някои елементарни функции. Пред вас има листове със задачи ( Приложение 3), предлагам ви да разгледате тези задачи и да се опитате самостоятелно да определите формулите за намиране на производните на някои елементарни функции. Предлагам работата да се извърши по двойки.

– И така, момчета, виждам, че вече сте го направили, нека анализираме и правим изводи.

Очакван отговор на децата:

Определяне на производната на функция y = sin x.

Упражнение 1

Намерете производната на функцията

Решение:
(x) =cosx +6х+6

Задача 2

Намерете производната на функцията

Решение:

Изход: (sinx)’ =__________________

– След като анализирахме тази задача и нейното решение, можем да кажем следното: вече знаем как да намерим производната на степенна функция и виждаме, че производната на 3x 2 е равна на 6x, производната на 6x е равна на 6, производната на константа е 0, което означава, че можем да заключим, че производната наsinx е равноcosx. По подобен начин можем да направим това заключение, като анализираме Задача 2.

Момчетата анализират с помощта на интерактивната дъска и подчертават необходимата информация на слайда. По време на процеса на отговаряне учителят прави корекции, ако е необходимо. Подобна работа за всяка задача. (Слайд 5–12).

- Браво момчета. Вие сами сте дефинирали формули за намиране на производни на някои елементарни функции. Запишете всички тези формули в работните си тетрадки, опитайте се да ги запомните и ако не работи, погледнете слайда (слайд 13).

III. Затвърдяване на придобитите знания

– И така, вече знаем формулите за намиране на производните на някои елементарни функции, нека се научим да ги прилагаме, когато правим упражнения. Предлагам ви да направите това с помощта на COR тестове, сами. Пътят до теста е на дъската.

Тема: „15. Правила за изчисляване на деривати."

Учениците изпълняват задачата по следния път: Правила за изчисляване на производната/Контролна/Задача 6, Задача 7.

В резултат на изпълнение на задачата учениците автоматично получават оценка, те могат да се върнат към онези задачи, които са изпълнили неправилно, да разберат каква е грешката и да я коригират.

IV. Отражение

– Поставете крайната си оценка в листа за самооценка.

– Имахте ли проблеми с решаването на упражненията?

– да Как да намерим производната на функцияy =tgx? Днес не учехме тази формула, но имаше пример в заданието.

- Глоба. О, какво е? tgx?

– Това е отношениеsinx къмcosx.

– Формула за намиране на производната sinxзнаем ли (Да). Производна cosx?И така, у дома изведете сами формулата за намиране на производната на функция y =tgx.

V. Обобщение на урока

Поставяне на оценки за работа в клас. Сравнете със самочувствието.

VI. Домашна работа

§ 5, № 53, 54, инд. упражнение.

И момчета, имаме още един въпрос. Не забравяйте, че ми зададохте въпроса: Защо изучаваме тази тема? На всички беше ясно, че задачите, в които се използва производната, са в тестовете на Единния държавен изпит, а къде другаде се използва производната? И ви предложих сами да намерите отговора на този въпрос. Готови ли сте да отговорите днес? Слушайте речите на учениците.

Самоанализ на урока

Класът, в който се проведе урокът, е 11 клас. Нивото на знания на учениците е средно. Само една студентка, Наталия Орехова, може да се каже, че е „силна“; момичето ще влезе в Руския икономически институт, факултет „Финанси и кредит“, останалите са посредствени в обучението си.

Тип урок – изучаване на нов материал. По време на урока използвах различни форми и методи, технологии на дейностния подход. Мотивацията се изграждаше през целия урок. Когато актуализирахме знанията, с помощта на това, което вече знаем и това, което все още не знаем, момчетата сами определиха темата на урока и всеки от тях определи за себе си целта на урока. За преглед и проверка на домашни работи използвах програмата MyTest. Тестовете изработваше сама, като в задачите трябваше да се въведе верния отговор.

Когато изучаваха нов материал, момчетата работеха по двойки и чрез анализ и синтез бяха определени формули за намиране на производни на някои елементарни функции.

На етапа на консолидация използвах COR, тест с множествен избор. Вярвам, че в началния етап на изучаване на тази тема е препоръчително да се използват тестове с избор на отговори; в бъдеще ще се научим да прилагаме формули за други задачи.

Проведена бе рефлексия, в работата си използвах листове за самооценка, бяха поставени и коментирани оценки за урока. Домашна работа, дадени диференцирано, а някои ученици получиха индивидуални задачи.

Опитваме се да определим целта на изучаването на тази тема в живота.


Правила за диференциране ТЕОРЕМА 1. Диференциране на сбор, произведение и частно. Ако функциите f и g са диференцируеми в точка x, тогава f + g, f g, f /g са диференцируеми в тази точка (ако g(x) 0) и нека y = f g. 1) (f(x) + g(x))" = f "(x) + g "(x); 2) (f(x) g(x))" = f "(x)g(x) + f(x)g "(x); Доказателство. Нека дадем доказателство на свойство 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g = g (x + x) – g(x) g(x + x)= g(x)+ g. g "(x) f "(x) 0 при x 0 (Поради непродължителната диференциална функция.)


ТЕОРЕМА 2. Диференциране на комплексна функция Нека функцията y = f(u) е диференцируема в точката u 0, y 0 = f(u 0), а функцията u = (x) е диференцируема в точката x 0, u 0 = (x 0). Тогава комплексната функция y = f ((x)) е диференцируема в точката x 0 и f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) или ЗАБЕЛЕЖКА: Правилото за изчисляване на производната на сложна функция се прилага към състава на всеки краен брой функции. Например: (f ((g(x))))" = f "((g(x))) "(g(x)) g" (x). Следствие. Ако f (x) е диференцируема в точка x и C = const, тогава (C f(x))" = C f "(x); (f(x)/C)" = f " (x)/C.


Пример 1. y = cosx, x R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Използвайки теореми 1 и 2, намираме производните на тригонометричните функции y = ctgx, x + k, k Z.


ТЕОРЕМА 3. Диференциране на обратната функция. Ако y \u003d f (x) е непрекъснат и строго монотонен на сегмента и има производна f "(x 0), тогава функцията, обратна на него x \u003d g (y) е диференцируема в точката y 0 \u003d f (x 0) и g "( y 0) = 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y y = f(x) x = g(y) Нека y е такова, че y 0 + y (,). Нека обозначим x = g(y 0 + y) - g(y 0) Необходимо е да се докаже, че 0 съществува. Доказателство Нека f(x) стриктно нараства с .Нека = f(x 0 -), = f(x 0 +) Тогава на [,] обратната функция x = g(y) е дефинирана, непрекъсната и строго нарастваща, и f(x 0) (,).y, тогава x, тъй като x = g(y ) е непрекъсната в точката y 0.


Пример 2. Намерете производните на обратни тригонометрични функции


0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Таблица с производни на елементарни функции 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2" class="link_thumb"> 8 !}Таблица на производните на елементарни функции 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 4).5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12)"> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Таблица с производни на елементарни функции 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Таблица на производните на елементарни функции 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}




Производна от n-ти ред ДЕФИНИЦИЯ. Нека f(x) е дефинирано в U (x 0) и има производна f (x) във всяка точка от този интервал. Ако в точката x 0 има производна на f (x), тогава тя се нарича втората производна на функцията f (x) в тази точка и се обозначава Производната f (n) (x) от произволен ред n = 1, 2, ... Ако в U (x 0) има f (n-1) (x) (в този случай производната от нулев ред означава самата функция), тогава n = 1, 2, 3 , …. Функция, която има производни до n-ти ред включително във всяка точка от множеството X, се нарича n пъти диференцируема върху множеството X.


Нека функциите f(x) и g(x) имат производни от n-ти ред в точката x. Тогава функцията Аf(x) + Вg(x), където А и В са постоянни, също има производна в точката x и (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Вg (n)(x). При изчисляване на производни от всякакъв ред често се използват следните основни формули. y = x ; y (n) = (-1)... (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... По-специално, ако = m N, тогава y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... По-специално (e x) (n) = e x. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …


Y = ln(x+a); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+a) –n. y = (x +a) –1, y = – (x +a) –2, y = 2(x +a) –3, y (4) = – 2 3(x +a) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· / 2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2 · /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...


N-та производна на произведението на две функции (формула на Лайбниц), където Тази формула се нарича формула на Лайбниц. Може да се запише във формата където Нека функциите f(x) и g(x) имат производни от n-ти ред в точка x. Чрез индукция можем да докажем, че (f(x) g(x)) (n) = ?
Пример 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2) +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Нека приложим формулата на Лайбниц, като поставим в нея f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Тогава