По-рано в програмата учениците придобиха представа за решаване на тригонометрични уравнения, запознаха се с понятията арккосинус и арксинус и примери за решения на уравненията cos t = a и sin t = a. В този видео урок ще разгледаме решаването на уравненията tg x = a и ctg x = a.
За да започнете да изучавате тази тема, разгледайте уравненията tg x = 3 и tg x = - 3. Ако решим уравнението tg x = 3 с помощта на графика, ще видим, че пресечната точка на графиките на функциите y = tg x и y = 3 има безкраен брой решения, където x = x 1 + πk. Стойността x 1 е координатата x на пресечната точка на графиките на функциите y = tan x и y = 3. Авторът въвежда понятието арктангенс: arctan 3 е число, чийто tan е равен на 3, и това число принадлежи на интервала от -π/2 до π/2. Използвайки концепцията за арктангенс, решението на уравнението tan x = 3 може да бъде записано като x = arctan 3 + πk.
По аналогия се решава уравнението tg x = - 3. От построените графики на функциите y = tg x и y = - 3 става ясно, че пресечните точки на графиките, а следователно и решенията на уравненията, ще е x = x 2 + πk. Използвайки арктангенса, решението може да бъде записано като x = arctan (- 3) + πk. На следващата фигура виждаме, че arctg (- 3) = - arctg 3.
Общата дефиниция на арктангенса е следната: арктангенс a е число от интервала от -π/2 до π/2, чийто тангенс е равен на a. Тогава решението на уравнението tan x = a е x = arctan a + πk.
Авторът дава пример 1. Намерете решение на израза arctan Нека въведем обозначението: аркутангенсът на число е равен на x, тогава tg x ще бъде равно на даденото число, където x принадлежи на отсечката от -π /2 до π/2. Както в примерите в предишните теми, ще използваме таблица със стойности. Според тази таблица тангенсът на това число съответства на стойността x = π/3. Нека запишем решението на уравнението: арктангенсът на дадено число е равен на π/3, π/3 също принадлежи на интервала от -π/2 до π/2.
Пример 2 - изчисляване на аркутангенса на отрицателно число. Използвайки равенството arctg (- a) = - arctg a, въвеждаме стойността на x. Подобно на пример 2, записваме стойността на x, която принадлежи на сегмента от -π/2 до π/2. От таблицата със стойности намираме, че x = π/3, следователно, -- tg x = - π/3. Отговорът на уравнението е - π/3.
Нека разгледаме пример 3. Решете уравнението tg x = 1. Напишете, че x = arctan 1 + πk. В таблицата стойността tg 1 съответства на стойността x = π/4, следователно arctg 1 = π/4. Нека заместим тази стойност в оригиналната формула x и напишем отговора x = π/4 + πk.
Пример 4: изчислете tan x = - 4.1. В този случай x = arctan (- 4,1) + πk. защото В този случай не е възможно да се намери стойността на arctg; отговорът ще изглежда като x = arctg (- 4,1) + πk.
В пример 5 се разглежда решението на неравенството tg x > 1. За да го решим, построяваме графики на функциите y = tan x и y = 1. Както може да се види на фигурата, тези графики се пресичат в точки x = π/4 + πk. защото в този случай tg x > 1, на графиката подчертаваме тангентоидната област, която се намира над графиката y = 1, където x принадлежи на интервала от π/4 до π/2. Записваме отговора като π/4 + πk< x < π/2 + πk.
След това разгледайте уравнението cot x = a. На фигурата са показани графики на функциите y = cot x, y = a, y = - a, които имат много пресечни точки. Решенията могат да бъдат записани като x = x 1 + πk, където x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, където x 2 = arcctg (- a). Отбелязва се, че x 2 = π - x 1 . Това предполага равенството arcctg (- a) = π - arcctg a. Следва определението за аркотангенс: аркотангенс a е число от интервала от 0 до π, чийто котангенс е равен на a. Решението на уравнението сtg x = a се записва като: x = arcctg a + πk.
В края на видео урока се прави още един важен извод - изразът ctg x = a може да се запише като tg x = 1/a, при условие че a не е равно на нула.
ДЕКОДИРАНЕ НА ТЕКСТ:
Нека разгледаме решаването на уравненията tg x = 3 и tg x = - 3. Решавайки графично първото уравнение, виждаме, че графиките на функциите y = tg x и y = 3 имат безкрайно много пресечни точки, чиито абциси записваме във формата
x = x 1 + πk, където x 1 е абсцисата на пресечната точка на правата линия y = 3 с главния клон на тангентоида (фиг. 1), за който е измислено обозначението
арктан 3 (арктангенс от три).
Как да разбираме arctg 3?
Това е число, чийто тангенс е 3 и това число принадлежи на интервала (- ;). Тогава всички корени на уравнението tg x = 3 могат да бъдат записани по формулата x = arctan 3+πk.
По същия начин решението на уравнението tg x = - 3 може да бъде записано във формата x = x 2 + πk, където x 2 е абсцисата на пресечната точка на правата линия y = - 3 с главния клон на тангентоид (фиг. 1), за който обозначението arctg(- 3) (арктангенс минус три). Тогава всички корени на уравнението могат да бъдат записани по формулата: x = arctan(-3)+ πk. Фигурата показва, че arctg(- 3)= - arctg 3.
Нека формулираме определението за арктангенс. Арктангенс a е число от интервала (-;), чийто тангенс е равен на a.
Често се използва равенството: arctg(-a) = -arctg a, което е валидно за всяко a.
Познавайки дефиницията на арктангенса, можем да направим общо заключение за решението на уравнението
tg x= a: уравнението tg x = a има решение x = arctan a + πk.
Нека да разгледаме примерите.
ПРИМЕР 1. Изчислете арктан.
Решение. Нека arctg = x, тогава tgх = и xϵ (- ;). Показване на таблица със стойности Следователно x =, тъй като tg = и ϵ (- ;).
И така, арктан =.
ПРИМЕР 2. Изчислете арктан (-).
Решение. Използвайки равенството arctg(- a) = - arctg a, записваме:
arctg(-) = - arctg. Нека - arctg = x, тогава - tgх = и xϵ (- ;). Следователно x =, тъй като tg = и ϵ (- ;). Показване на таблица със стойности
Това означава - arctg=- tgх= - .
ПРИМЕР 3. Решете уравнението tgх = 1.
1. Запишете формулата на решението: x = arctan 1 + πk.
2. Намерете стойността на аркутангенса
тъй като tg = . Показване на таблица със стойности
Така че arctan1= .
3. Поставете намерената стойност във формулата на решението:
ПРИМЕР 4. Решете уравнението tgх = - 4.1 (тангенс х е равен на минус четири точка едно).
Решение. Нека напишем формулата на решението: x = arctan (- 4,1) + πk.
Не можем да изчислим стойността на аркутангенса, така че ще оставим решението на уравнението в получения му вид.
ПРИМЕР 5. Решете неравенството tgх 1.
Решение. Ще го решим графично.
- Нека построим допирателна
y = tgx и права линия y = 1 (фиг. 2). Те се пресичат в точки като x = + πk.
2. Нека изберем интервала на оста x, в който главният клон на тангентоида се намира над правата y = 1, тъй като по условие tgх 1. Това е интервалът (;).
3. Използваме периодичността на функцията.
Свойство 2. y=tg x е периодична функция с основен период π.
Като вземем предвид периодичността на функцията y = tgх, записваме отговора:
(;). Отговорът може да се запише като двойно неравенство:
Нека преминем към уравнението ctg x = a. Нека представим графична илюстрация на решението на уравнението за положително и отрицателно a (фиг. 3).
Графики на функции y = ctg x и y = a и също
y=ctg x и y=-a
имат безкрайно много общи точки, чиито абциси изглеждат така:
x = x 1 +, където x 1 е абсцисата на пресечната точка на правата линия y = a с главния клон на тангентоида и
x 1 = arcctg a;
x = x 2 +, където x 2 е абсцисата на пресечната точка на правата
y = - a с главния клон на тангентоида и x 2 = arcсtg (- a).
Обърнете внимание, че x 2 = π - x 1. И така, нека запишем едно важно равенство:
arcсtg (-a) = π - arcсtg а.
Нека формулираме определението: аркотангенс a е число от интервала (0;π), чийто котангенс е равен на a.
Решението на уравнението ctg x = a се записва във формата: x = arcctg a + .
Моля, обърнете внимание, че уравнението ctg x = a може да се преобразува във формата
tg x = , освен когато a = 0.
В този урок ще продължим да изучаваме арктангенса и ще решаваме уравнения от вида tg x = a за всяко a. В началото на урока ще решим уравнение с таблична стойност и ще илюстрираме решението върху графика, а след това върху кръг. След това решаваме уравнението tgx = aв общ изгледи изход обща формулаотговор. Нека илюстрираме изчисленията върху графика и кръг и разгледаме различните форми на отговора. В края на урока ще решим няколко задачи с решения, илюстрирани върху графика и кръг.
Тема: Тригонометрични уравнения
Урок: Арктангенс и решаване на уравнението tgx=a (продължение)
1. Тема на урока, въведение
В този урок ще разгледаме решаването на уравнението за всяко реално число
2. Решение на уравнението tgx=√3
Задача 1. Решете уравнението
Нека намерим решението с помощта на функционални графики 
(Фиг. 1).
Да разгледаме интервала.На този интервал функцията е монотонна, което означава, че се постига само за една стойност на функцията.
Отговор: 
Нека решим същото уравнение с помощта на числовата окръжност (фиг. 2).
Отговор: 
3. Решение на уравнението tgx=a в общ вид
Нека решим уравнението в общ вид (фиг. 3).
На интервала уравнението има единствено решение 
Най-малък положителен период
Нека илюстрираме върху числовия кръг (фиг. 4).
4. Разрешаване на проблеми
Задача 2. Решете уравнението
Нека променим променливата
Задача 3. Решете системата:
Решение (фиг. 5):
В даден момент стойността е следователно решението на системата е само точката
Отговор: 
Задача 4. Решете уравнението 
Нека решим с помощта на метода за промяна на променлива:
Задача 5. Намерете броя на решенията на уравнението на интервала 
Нека решим задачата с помощта на графика (фиг. 6).
Уравнението има три решения на даден интервал.
Нека го илюстрираме върху числова окръжност (фиг. 7), въпреки че не е толкова ясно, колкото на графиката.
Отговор: Три решения.
5. Заключение, заключение
Решихме уравнението за всяко реално, използвайки концепцията за арктангенс. В следващия урок ще въведем понятието арктангенс.
Библиография
1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователните институции ( ниво на профил) изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математически анализ за 10 клас ( урокза ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика).-М .: Просвещение, 1996.
4. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.- М.: Просвещение, 1997.
5. Колекция от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави) - М.: Висше училище, 1992 г.
6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К .: A.S.K., 1997.
7. Саакян С. М., Голдман А. М., Денисов Д. В. Проблеми по алгебра и принципи на анализа (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции) - М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А. П. Колекция от проблеми по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.
Домашна работа
Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
№№ 22.18, 22.21.
Допълнителни уеб ресурси
1. Математика.
2. Интернет портал Проблеми. ru.
3. Образователен порталда се подготвят за изпити.
За успешно решаване тригонометрични уравненияудобен за използване метод на намаляванекъм решени преди това проблеми. Нека да разберем каква е същността на този метод?
Във всеки предложен проблем трябва да видите решен преди това проблем и след това, като използвате последователни еквивалентни трансформации, опитайте да намалите дадения ви проблем до по-прост.
По този начин, когато решават тригонометрични уравнения, те обикновено създават определена крайна последователност от еквивалентни уравнения, чиято последна връзка е уравнение с очевидно решение. Важно е само да запомните, че ако не се развият уменията за решаване на най-простите тригонометрични уравнения, тогава решаването на по-сложни уравнения ще бъде трудно и неефективно.
Освен това, когато решавате тригонометрични уравнения, никога не трябва да забравяте, че има няколко възможни метода за решаване.
Пример 1. Намерете броя на корените на уравнението cos x = -1/2 върху интервала.
Решение:
Метод IНека начертаем функциите y = cos x и y = -1/2 и да намерим броя на техните общи точки на интервала (фиг. 1).
Тъй като графиките на функциите имат две общи точки на интервала, уравнението съдържа два корена на този интервал.
II метод.Използвайки тригонометричен кръг (фиг. 2), намираме броя на точките, принадлежащи на интервала, в който cos x = -1/2. Фигурата показва, че уравнението има два корена. 
III метод.Използвайки формулата за корените на тригонометричното уравнение, решаваме уравнението cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – цяло число (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – цяло число (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – цяло число (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – цяло число (k € Z).
Интервалът съдържа корените 2π/3 и -2π/3 + 2π, k е цяло число. Така уравнението има два корена на даден интервал.
Отговор: 2.
В бъдеще тригонометричните уравнения ще се решават с помощта на един от предложените методи, което в много случаи не изключва използването на други методи.
Пример 2. Намерете броя на решенията на уравнението tg (x + π/4) = 1 на интервала [-2π; 2π].
Решение:
Използвайки формулата за корените на тригонометрично уравнение, получаваме:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k – цяло число (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – цяло число (k € Z);
x = πk, k – цяло число (k € Z);
Интервалът [-2π; 2π] принадлежат на числата -2π; -π; 0; π; 2π. И така, уравнението има пет корена на даден интервал.
Отговор: 5.
Пример 3. Намерете броя на корените на уравнението cos 2 x + sin x · cos x = 1 на интервала [-π; π].
Решение:
Тъй като 1 = sin 2 x + cos 2 x (основната тригонометрична идентичност), оригиналното уравнение приема формата:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x – sin x cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Продуктът е равен на нула, което означава, че поне един от факторите трябва да бъде равно на нула, Ето защо:
sin x = 0 или sin x – cos x = 0.
Тъй като стойностите на променливата, при която cos x = 0, не са корените на второто уравнение (синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно), ние разделяме двете страни на второто уравнение по cos x:
sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.
Във второто уравнение използваме факта, че tg x = sin x / cos x, тогава:
sin x = 0 или tan x = 1. Използвайки формули, имаме:
x = πk или x = π/4 + πk, k – цяло число (k € Z).
От първата поредица от корени до интервала [-π; π] принадлежат на числата -π; 0; π. От втората серия: (π/4 – π) и π/4.
Така петте корена на първоначалното уравнение принадлежат на интервала [-π; π].
Отговор: 5.
Пример 4. Намерете сумата от корените на уравнението tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на интервала [-π; 1.1π].
Решение:
Нека пренапишем уравнението, както следва:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и направете замяна.
Нека tg x + сtgx = a. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:
(tg x + сtg x) 2 = a 2. Нека разширим скобите:
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.
Тъй като tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, което означава
tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.
Сега оригиналното уравнение изглежда така:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Използвайки теоремата на Vieta, намираме, че a = -1 или a = -2.
Нека направим обратното заместване, имаме:
tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Нека решим получените уравнения.
tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.
По свойството на две взаимно обратни числа определяме, че първото уравнение няма корени, а от второто уравнение имаме:
tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – цяло число (k € Z).
Интервал [-π; 1,1π] принадлежат на корените: -π/4; -π/4 + π. Тяхната сума:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Отговор: π/2.
Пример 5. Намерете средноаритметичната стойност на корените на уравнението sin 3x + sin x = sin 2x на интервала [-π; 0,5π].
Решение:
Нека използваме формулата sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), тогава
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x и уравнението става
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Нека извадим общия множител sin 2x извън скобите
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решете полученото уравнение:
sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0; 
sin 2x = 0 или cos x = 1/2;
2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – цяло число (k € Z).
Така имаме корени
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – цяло число (k € Z).
Интервал [-π; 0,5π] принадлежат на корените -π; -π/2; 0; π/2 (от първата поредица от корени); π/3 (от втората серия); -π/3 (от трета серия). Тяхното средно аритметично е:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Отговор: -π/6.
Пример 6. Намерете броя на корените на уравнението sin x + cos x = 0 на интервала [-1,25π; 2π].
Решение:
Това уравнение е хомогенно уравнение от първа степен. Нека разделим двете му части на cosx (стойностите на променливата, при която cos x = 0, не са корените на това уравнение, тъй като синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно). Оригиналното уравнение е:
x = -π/4 + πk, k – цяло число (k € Z).
Интервалът [-1.25π; 2π] принадлежат на корените -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).
Така даденият интервал съдържа три корена на уравнението.
Отговор: 3.
Научете се да правите най-важното - ясно да си представите план за решаване на проблем и тогава всяко тригонометрично уравнение ще бъде в ръцете ви.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Вълново уравнение, диференциално уравнение с частни производни, описващо процеса на разпространение на смущения в определена среда Тихонов А. Н. и Самарски А. А., Уравнения на математическата физика, 3 изд., М., 1977. - с. 155....
Класификации на хиперболични частични диференциални уравнения
Уравнението на топлината е частично диференциално уравнение от параболичен тип, което описва процеса на разпространение на топлина в непрекъсната среда (газ...
Математически методи, използвани в теорията на системите за масово обслужване
Вероятностите на състоянията на системата могат да се намерят от системата от диференциални уравнения на Колмогоров, които се съставят по следното правило: От лявата страна на всяко от тях е производната на вероятността на i-тото състояние...
Нестационарно уравнение на Рикати
1. Общото уравнение на Рикати има формата: , (1.1) където P, Q, R са непрекъснати функции на x, когато x се променя в интервала Уравнение (1.1) съдържа като специални случаи уравненията, които вече разгледахме: когато получим линейно уравнение, с уравнение на Бернули...
Основи на научните изследвания и планиране на експерименти в транспорта
Нека получим функционалната зависимост Y = f(X) (регресионно уравнение) с помощта на метода на най-малките квадрати (LSM). Използвайте линейни (Y = a0 + a1X) и квадратични зависимости (Y = a0 + a1X + a2X2) като апроксимиращи функции. Използвайки метода на най-малките квадрати, стойностите на a0...
Нека поставим полюса на полярната координатна система в началото на правоъгълната координатна система, полярната ос е съвместима с положителната ос x (фиг. 3). Ориз. 3 Вземете уравнението на правата линия в нормална форма: (3.1) - дължината на перпендикуляра...
Полярна координатна система на равнина
Нека съставим уравнение в полярни координати за окръжност, минаваща през полюса, с център върху полярната ос и радиус R. От правоъгълен триъгълник OAA получаваме OA= OA (фиг. 4)...
Концепции на теорията на вземането на проби. Серия на разпространение. Корелационен и регресионен анализ
Изучете: а) концепцията за сдвоена линейна регресия; б) съставяне на система от нормални уравнения; в) свойства на оценките, използващи метода на най-малките квадрати; г) техника за намиране на уравнение на линейна регресия. Да приемем...
Построяване на решения на диференциални уравнения под формата на степенни редове
Като пример за приложението на изградената теория разгледайте уравнението на Бесел: (6.1) Къде. Особена точка z =0 е редовно. Няма други характеристики в крайната част на самолета. В уравнение (6.1), следователно, определящото уравнение има формата, Това е...
Решаване на матрични уравнения
Матричното уравнение XA=B също може да бъде решено по два начина: 1. Изчислете обратна матрицапо някой от познатите методи. Тогава решението на матричното уравнение ще изглежда така: 2...
Решаване на матрични уравнения
Методите, описани по-горе, не са подходящи за решаване на уравнения от формата AX=XB, AX+XB=C. Те също не са подходящи за решаване на уравнения, в които поне един от факторите за неизвестна матрица X е сингулярна матрица...
Решаване на матрични уравнения
Уравнения от формата AX = HA се решават по същия начин, както в предишния случай, тоест елемент по елемент. Решението тук се свежда до намиране на матрицата на пермутация. Нека разгледаме по-отблизо един пример. Пример. Намери всички матрици...
Стационарна работа на мрежа за масово обслужване с ромбовиден контур
От състоянието може да премине в едно от следните състояния: - поради пристигане на приложение в опашката на първия възел с интензитет; - поради постъпване на обработено в него приложение от първия възел в опашката на третия възел с интензитет от...
Арктангенсът на число е число, чийто синус е равен на a: ако и. Всички корени на уравнението могат да бъдат намерени по формулата:...
Числени методи за решаване на математически задачи
