Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производно, какво е неговото физическо и геометричен смисълкак да изчислим производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?
Геометрично и физическо значение на производната
Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:
Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.
Иначе може да се напише така:
Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е:
производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.
Физическо значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.
Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време T . Средна скорост за определен период от време:
За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:
Правило едно: задайте константа
Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .
Пример. Нека изчислим производната:
Второ правило: производна на сумата от функции
Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.
Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.
Намерете производната на функцията:
Трето правило: производна на произведението на функциите
Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:
Пример: намерете производната на функция:
Решение: 
Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.
В горния пример срещаме израза:
В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.
Четвърто правило: производна на частното на две функции
Формула за определяне на производната на частното на две функции:
Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.
С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да разберете задачите, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.
Комплексни производни. Логаритмична производна.
Производна на степенно-експоненциална функция
Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме материала, който сме покрили, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производна, по-специално с логаритмичната производна.
Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намерим производната? Примери за решения, което ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и разрешите всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да заемате позицията „Къде другаде? Стига!”, тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат в практиката.
Да започнем с повторение. На урока Производна на сложна функцияРазгледахме няколко примера с подробни коментари. В хода на изучаване на диференциално смятане и други клонове на математическия анализ ще трябва да диференцирате много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да описвате примери в големи подробности. Затова ще се упражняваме да намираме производни устно. Най-подходящите „кандидати“ за това са производни на най-простите от сложните функции, например:
Според правилото за диференциране на сложни функции 
:
При изучаване на други теми от матан в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис; предполага се, че ученикът знае как да намира такива производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: „Колко е производната на тангенса на две X?“ Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: 
.
Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.
Пример 1
Намерете устно следните производни, в едно действие, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако още не сте се сетили). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на сложна функция.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Отговори в края на урока
Комплексни производни
След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 влагане на функции ще бъдат по-малко страшни. Следващите два примера може да изглеждат сложни за някои, но ако ги разберете (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.
Пример 2
Намерете производната на функция 
Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ вашите инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням ви за полезна техника: вземаме експерименталната стойност на „x“ например и се опитваме (мислено или в чернова) да заменим тази стойност в „ужасния израз“.
1) Първо трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбокото вграждане.
2) След това трябва да изчислите логаритъма:
4) След това кубирайте косинуса:
5) На петата стъпка разликата:
6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен: 
Формула за диференциране на сложна функция 
се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:
Изглежда, че няма грешки...
(1) Вземете производната на корен квадратен.
(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото 
(3) Производната на тройка е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).
(4) Вземете производната на косинуса.
(5) Вземете производната на логаритъма.
(6) И накрая, вземаме производната на най-дълбокото вграждане.
Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените цялата красота и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпит, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.
Следващият пример трябва да решите сами.
Пример 3
Намерете производната на функция
Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта
Пълно решение и отговор в края на урока.
Време е да преминем към нещо по-малко и по-хубаво.
Не е необичайно примерът да показва произведението не на две, а на три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?
Пример 4
Намерете производната на функция 
Първо разглеждаме, възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, тогава можем да отворим скобите. Но в разглеждания пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.
В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта 
два пъти
Номерът е, че с “y” означаваме произведението на две функции: , а с “ve” означаваме логаритъма: . Защо може да се направи това? Наистина ли е 
– това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:
Сега остава правилото да се приложи втори път 
в скоби:
Можете също така да се изкривите и да поставите нещо извън скоби, но в този случай е по-добре да оставите отговора точно в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.
Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин: 
И двете решения са абсолютно равностойни.
Пример 5
Намерете производната на функция
Това е пример за независимо решение, в примера се решава по първия метод.
Нека да разгледаме подобни примери с дроби.
Пример 6
Намерете производната на функция 
Има няколко начина, по които можете да отидете тук:
Или така:
Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използваме правилото за диференциране на частното 
, като се вземе за целия числител:
По принцип примерът е решен и ако се остави така, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, за да видите дали отговорът може да бъде опростен? Нека намалим израза на числителя до общ знаменател и да се отървем от триетажната част:
Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производната, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.
По-прост пример за самостоятелно решаване:
Пример 7
Намерете производната на функция
Продължаваме да овладяваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато "ужасният" логаритъм е предложен за диференциране
Пример 8
Намерете производната на функция
Тук можете да отидете по дългия път, като използвате правилото за разграничаване на сложна функция:
Но още първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятната производна от дробна степен, а след това и от дроб.
Ето защо предикак да вземем производната на „сложен“ логаритъм, първо се опростява с помощта на добре познати училищни свойства:
! Ако имате учебна тетрадка под ръка, копирайте тези формули директно там. Ако нямате тетрадка, препишете ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.
Самото решение може да бъде написано по следния начин:
Нека трансформираме функцията:
Намиране на производната: 
Предварителното преобразуване на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.
А сега няколко прости примера, които можете да решите сами:
Пример 9
Намерете производната на функция 
Пример 10
Намерете производната на функция
Всички трансформации и отговори са в края на урока.
Логаритмична производна
Ако производното на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът: възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.
Пример 11
Намерете производната на функция 
Наскоро разгледахме подобни примери. Какво да правя? Можете последователно да приложите правилото за диференциране на частното и след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че в крайна сметка получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.
Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:
Забележка
: защото функция може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: 
, които ще изчезнат в резултат на диференциация. Текущият дизайн обаче също е приемлив, като по подразбиране се взема предвид комплексзначения. Но ако в цялата строгост, тогава и в двата случая трябва да се направи уговорка, че.
Сега трябва да „разпаднете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:
Да започнем с диференциацията.
Заключваме и двете части под премията:
Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, трябва да можете да се справите уверено.
Какво ще кажете за лявата страна?
От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „Y“ под логаритъма?“
Факт е, че тази „игра с една буква“ - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на имплицитно посочена функция). Следователно логаритъмът е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на сложна функция 
:
От лявата страна, като по магия, имаме производна. След това, съгласно правилото за пропорцията, прехвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:
А сега нека си спомним за каква функция „играч“ говорихме по време на диференциацията? Нека да разгледаме състоянието: 
Окончателен отговор: 
Пример 12
Намерете производната на функция
Това е пример, който можете да решите сами. Примерен дизайн на пример от този тип е в края на урока.
С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.
Производна на степенно-експоненциална функция
Все още не сме обмисляли тази функция. Степенно-експоненциална функция е функция, за която степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или лекция:
Как да намерим производната на степенно-експоненциална функция?
Необходимо е да се използва току-що обсъдената техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:
Като правило от дясната страна степента се изважда от под логаритъма:
В резултат от дясната страна имаме произведението на две функции, които ще бъдат диференцирани по стандартната формула 
.
Намираме производната; за да направим това, поставяме двете части под черти:
Допълнителните действия са прости:
Накрая: 
Ако някое преобразуване не е напълно ясно, моля, прочетете внимателно отново обясненията на Пример № 11.
В практическите задачи степенно-експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания лекционен пример.
Пример 13
Намерете производната на функция
Използваме логаритмичната производна. 
От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - “x” и “логаритъм от логаритъм x” (друг логаритъм е вложен под логаритъма). Когато диференцирате, както си спомняме, е по-добре незабавно да преместите константата от производния знак, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагаме познатото правило 
:
Ако следвате дефиницията, тогава производната на функция в точка е границата на съотношението на нарастването на функцията Δ гкъм увеличението на аргумента Δ х:
Всичко изглежда ясно. Но опитайте да използвате тази формула, за да изчислите, да речем, производната на функцията f(х) = х 2 + (2х+ 3) · д хгрях х. Ако правите всичко по дефиниция, тогава след няколко страници изчисления просто ще заспите. Следователно има по-прости и по-ефективни начини.
Като начало отбелязваме, че от цялото разнообразие от функции можем да различим така наречените елементарни функции. Това са относително прости изрази, чиито производни отдавна са изчислени и таблични. Такива функции са доста лесни за запомняне - заедно с техните производни.
Производни на елементарни функции
Елементарни функции са всички изброени по-долу. Производните на тези функции трябва да се знаят наизуст. Освен това не е никак трудно да ги запомните - затова са елементарни.
И така, производни на елементарни функции:
| Име | функция | Производна |
| Константа | f(х) = ° С, ° С ∈ Р | 0 (да, нула!) |
| Степен с рационален показател | f(х) = х н | н · х н − 1 |
| синусите | f(х) = грях х | cos х |
| Косинус | f(х) = cos х | − грях х(минус синус) |
| Допирателна | f(х) = tg х | 1/cos 2 х |
| Котангенс | f(х) = ctg х | − 1/грех 2 х |
| Натурален логаритъм | f(х) = дневник х | 1/х |
| Произволен логаритъм | f(х) = дневник а х | 1/(хвътре а) |
| Експоненциална функция | f(х) = д х | д х(Нищо не се промени) |
Ако една елементарна функция се умножи по произволна константа, тогава производната на новата функция също се изчислява лесно:
(° С · f)’ = ° С · f ’.
По принцип константите могат да бъдат извадени от знака на производната. Например:
(2х 3)’ = 2 · ( х 3)’ = 2 3 х 2 = 6х 2 .
Очевидно елементарните функции могат да се добавят една към друга, умножават, разделят - и много повече. Така ще се появят нови функции, вече не особено елементарни, но и диференцирани по определени правила. Тези правила са обсъдени по-долу.
Производна на сбор и разлика
Нека функциите са дадени f(х) И ж(х), чиито производни са ни известни. Например можете да вземете елементарните функции, обсъдени по-горе. След това можете да намерите производната на сбора и разликата на тези функции:
- (f + ж)’ = f ’ + ж ’
- (f − ж)’ = f ’ − ж ’
И така, производната на сумата (разликата) на две функции е равна на сумата (разликата) на производните. Възможно е да има повече термини. Например, ( f + ж + ч)’ = f ’ + ж ’ + ч ’.
Строго погледнато, в алгебрата няма концепция за „изваждане“. Съществува понятието „отрицателен елемент“. Следователно разликата f − жможе да се пренапише като сума f+ (−1) ж, и тогава остава само една формула - производната на сумата.
f(х) = х 2 + sin x; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.
функция f(х) е сумата от две елементарни функции, следователно:
f ’(х) = (х 2 + грях х)’ = (х 2)’ + (грех х)’ = 2х+ cos x;
Разсъждаваме по подобен начин за функцията ж(х). Само че вече има три термина (от гледна точка на алгебрата):
ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).
Отговор:
f ’(х) = 2х+ cos x;
ж ’(х) = 4х · ( х
2 + 1).
Производно на продукта
Математиката е логическа наука, така че много хора вярват, че ако производната на дадена сума е равна на сумата от производните, тогава производната на произведението стачка">равно на произведението на производните. Но майната ви! Производната на продукт се изчислява по съвсем различна формула. А именно:
(f · ж) ’ = f ’ · ж + f · ж ’
Формулата е проста, но често се забравя. И не само ученици, но и студенти. Резултатът е неправилно решени задачи.
Задача. Намерете производни на функции: f(х) = х 3 cos x; ж(х) = (х 2 + 7х− 7) · д х .
функция f(х) е продукт на две елементарни функции, така че всичко е просто:
f ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3)’ cos х + х 3 (cos х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (− грях х) = х 2 (3 cos х − хгрях х)
функция ж(х) първият фактор е малко по-сложен, но обща схематова не се променя. Очевидно първият фактор на функцията ж(х) е полином и неговата производна е производната на сумата. Ние имаме:
ж ’(х) = ((х 2 + 7х− 7) · д х)’ = (х 2 + 7х− 7)’ · д х + (х 2 + 7х− 7) · ( д х)’ = (2х+ 7) · д х + (х 2 + 7х− 7) · д х = д х· (2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · д х = х(х+ 9) · д х .
Отговор:
f ’(х) = х 2 (3 cos х − хгрях х);
ж ’(х) = х(х+ 9) · д
х
.
Моля, обърнете внимание, че в последната стъпка производната се факторизира. Формално това не е необходимо да се прави, но повечето производни не се изчисляват самостоятелно, а за изследване на функцията. Това означава, че по-нататък производната ще бъде приравнена на нула, нейните знаци ще бъдат определени и т.н. За такъв случай е по-добре да имате факторизиран израз.
Ако има две функции f(х) И ж(х), и ж(х) ≠ 0 на множеството, което ни интересува, можем да дефинираме нова функция ч(х) = f(х)/ж(х). За такава функция можете също да намерите производната:
Не е слаб, а? Откъде дойде минусът? Защо ж 2? И така! Това е една от най-сложните формули - не можете да я разберете без бутилка. Затова е по-добре да го изучавате конкретни примери.
Задача. Намерете производни на функции:
Числителят и знаменателят на всяка дроб съдържат елементарни функции, така че всичко, от което се нуждаем, е формулата за производната на частното:
Според традицията, нека разложим числителя на множители - това значително ще опрости отговора:
Сложната функция не е непременно дълга половин километър формула. Например, достатъчно е да вземете функцията f(х) = грях хи заменете променливата х, да речем, на х 2 + ин х. Оказва се f(х) = грях ( х 2 + ин х) - това е сложна функция. Той също има производно, но няма да е възможно да го намерите с помощта на обсъдените по-горе правила.
Какво трябва да направя? В такива случаи замяната на променлива и формула за производна на сложна функция помага:
f ’(х) = f ’(T) · T', Ако хсе заменя с T(х).
По правило ситуацията с разбирането на тази формула е още по-тъжна, отколкото с производната на коефициента. Затова е по-добре да го обясните с конкретни примери, с подробно описание на всяка стъпка.
Задача. Намерете производни на функции: f(х) = д 2х + 3 ; ж(х) = грях ( х 2 + ин х)
Имайте предвид, че ако във функцията f(х) вместо израз 2 х+ 3 ще бъде лесно х, тогава ще се получи елементарна функция f(х) = д х. Затова правим замяна: нека 2 х + 3 = T, f(х) = f(T) = д T. Търсим производната на сложна функция по формулата:
f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (д T)’ · T ’ = д T · T ’
А сега - внимание! Извършваме обратната замяна: T = 2х+ 3. Получаваме:
f ’(х) = д T · T ’ = д 2х+ 3 (2 х + 3)’ = д 2х+ 3 2 = 2 д 2х + 3
Сега нека да разгледаме функцията ж(х). Очевидно трябва да се смени х 2 + ин х = T. Ние имаме:
ж ’(х) = ж ’(T) · T’ = (грех T)’ · T’ = cos T · T ’
Обратна замяна: T = х 2 + ин х. Тогава:
ж ’(х) = cos ( х 2 + ин х) · ( х 2 + ин х)’ = cos ( х 2 + ин х) · (2 х + 1/х).
Това е всичко! Както се вижда от последния израз, цялата задача е сведена до изчисляване на производната сума.
Отговор:
f ’(х) = 2 · д
2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/х) защото ( х 2 + ин х).
Много често в уроците си, вместо термина „производна“, използвам думата „просто“. Например прайм от сумата равно на суматаинсулти. Това по-ясно ли е? Е, това е добре.
По този начин изчисляването на производната се свежда до премахване на същите тези удари според правилата, обсъдени по-горе. Като последен пример, нека се върнем към производната степен с рационален показател:
(х н)’ = н · х н − 1
Малко хора знаят това в ролята нможе и да е дробно число. Например коренът е х 0,5. Ами ако има нещо фантастично под корена? Отново резултатът ще бъде сложна функция - те обичат да дават такива конструкции тестовеи изпити.
Задача. Намерете производната на функцията:
Първо, нека пренапишем корена като степен с рационален показател:
f(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .
Сега правим замяна: нека х 2 + 8х − 7 = T. Намираме производната по формулата:
f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.
Нека направим обратната замяна: T = х 2 + 8х− 7. Имаме:
f ’(х) = 0,5 · ( х 2 + 8х− 7) −0,5 · ( х 2 + 8х− 7)’ = 0,5 · (2 х+ 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .
И накрая, обратно към корените:
Ако ж(х) И f(u) – диференцируеми функции на техните аргументи съответно в точки хИ u= ж(х), тогава комплексната функция също е диференцируема в точката хи се намира по формулата
Типична грешка при решаване на задачи върху производни е механичното прехвърляне на правилата за диференциране прости функцииза сложни функции. Нека се научим да избягваме тази грешка.
Пример 2.Намерете производната на функция
Грешно решение:изчислете натуралния логаритъм на всеки член в скоби и потърсете сбора на производните:
Правилно решение:отново определяме къде е „ябълката“ и къде е „каймата“. Тук естественият логаритъм на израза в скоби е „ябълка“, тоест функция върху междинния аргумент u, а изразът в скоби е „кайма“, тоест междинен аргумент uчрез независима променлива х.
След това (използвайки формула 14 от таблицата с производни)
В много задачи от реалния живот изразът с логаритъм може да бъде малко по-сложен, поради което има урок
Пример 3.Намерете производната на функция
Грешно решение:
Правилно решение.Още веднъж определяме къде е „ябълката“ и къде е „каймата“. Тук косинусът на израза в скоби (формула 7 в таблицата с производни) е „ябълка“, приготвя се в режим 1, който засяга само него, а изразът в скоби (производната на степента е номер 3) в таблицата с производни) е „кайма“, приготвя се по режим 2, който засяга само него. И както винаги, свързваме две производни със знака на продукта. Резултат:
Производната на сложна логаритмична функция е честа задача в тестовете, затова силно препоръчваме да посетите урока „Производна на логаритмична функция“.
Първите примери бяха за сложни функции, в които междинният аргумент на независимата променлива беше проста функция. Но в практическите задачи често е необходимо да се намери производната на сложна функция, където междинният аргумент или сам по себе си е сложна функция, или съдържа такава функция. Какво да правим в такива случаи? Намерете производни на такива функции, като използвате таблици и правила за диференциране. Когато се намери производната на междинния аргумент, тя просто се замества на правилното място във формулата. По-долу са дадени два примера как се прави това.
Освен това е полезно да знаете следното. Ако една сложна функция може да бъде представена като верига от три функции
тогава неговата производна трябва да се намери като произведение на производните на всяка от тези функции:
Много от задачите ви за домашна работа може да изискват да отворите ръководствата си в нови прозорци. Действия със сили и корениИ Действия с дроби .
Пример 4Намерете производната на функция
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция, като не забравяме, че в получения продукт от производни има междинен аргумент по отношение на независимата променлива хне се променя:
Подготвяме втория множител на произведението и прилагаме правилото за диференциране на сумата:
Вторият член е коренът, така че
Така открихме, че междинният аргумент, който е сума, съдържа сложна функция като един от термините: повдигането на степен е сложна функция, а това, което се повдига на степен, е междинен аргумент по отношение на независимия променлива х.
Затова отново прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
Преобразуваме степента на първия фактор в корен и когато диференцираме втория фактор, не забравяйте, че производната на константата е равна на нула:
Сега можем да намерим производната на междинния аргумент, необходим за изчисляване на производната на сложна функция, изисквана в изложението на проблема г:
Пример 5Намерете производната на функция
Първо използваме правилото за диференциране на сумата:
Получихме сумата от производните на две комплексни функции. Нека намерим първия:
Тук повишаването на синуса на степен е сложна функция, а самият синус е междинен аргумент за независимата променлива х. Следователно ще използваме правилото за диференциране на сложна функция по пътя изваждане на фактора извън скоби :
Сега намираме втория член на производните на функцията г:
Тук повдигането на косинус на степен е сложна функция f, а самият косинус е междинен аргумент в независимата променлива х. Нека отново използваме правилото за диференциране на сложна функция:
Резултатът е търсената производна:
Таблица с производни на някои сложни функции
За сложни функции, въз основа на правилото за диференциране на сложна функция, формулата за производна на проста функция приема различна форма.
| 1. Производна на комплекс степенна функция, Където u х |  |
| 2. Производна на корена на израза | |
| 3. Производна на експоненциална функция |  |
| 4. Частен случай на експоненциална функция | |
| 5. Производна на логаритмична функция с произволна положителна основа А |  |
| 6. Производна на комплексна логаритмична функция, където u– диференцируема функция на аргумента х | |
| 7. Производна на синус |  |
| 8. Производна на косинус |  |
| 9. Производна на тангенс |  |
| 10. Производна на котангенс |  |
| 11. Производна на арксинус |  |
| 12. Производна на аркосинус |  |
| 13. Производна на арктангенс |  |
| 14. Производна на аркотангенс |  |
Този урок е посветен на темата „Диференциране на сложни функции. Задача от практиката на подготовка за Единния държавен изпит по математика. Този урок изследва диференцирането на сложни функции. Съставя се таблица с производни на сложна функция. Освен това се разглежда пример за решаване на задача от практиката за подготовка за Единния държавен изпит по математика.
Тема: Производна
Урок: Диференциране на сложна функция. Практическа задача за подготовка за Единен държавен изпит по математика
Комплексфункцияние вече диференцирахме, но аргументът беше линейна функция, а именно знаем как да диференцираме функцията. Например, . Сега ще намерим производни на сложна функция по същия начин, където вместо линейна функцияможе да има друга функция.
Да започнем с функцията
И така, намерихме производната на синуса от сложна функция, където аргументът на синуса беше квадратна функция.
Ако трябва да намерите стойността на производната в определена точка, тогава тази точка трябва да бъде заменена в намерената производна.
И така, в два примера видяхме как работи правилото диференциациякомплекс функции.
2. 
3. 
. Нека ви напомним, че.
7. 
8. 
.
Така ще завършим таблицата за диференциране на сложни функции на този етап. По-нататък, разбира се, ще бъде обобщено още повече, но сега нека преминем към конкретни проблеми на производната.
В практиката за подготовка за Единния държавен изпит се предлагат следните задачи.
Намерете минимума на функция 
.
ODZ: 
.
Нека намерим производната. Нека припомним, че 
.
Нека приравним производната на нула. Точката е включена в ОДЗ.
Нека намерим интервалите с постоянен знак на производната (интервали на монотонност на функцията) (виж фиг. 1).
Ориз. 1. Интервали на монотонност за функция .
Нека да разгледаме една точка и да разберем дали тя е точка на екстремум. Достатъчен знак за екстремум е, че производната променя знака при преминаване през точка. В този случай производната променя знака, което означава, че е точка на екстремум. Тъй като производната променя знака от „-“ на „+“, тогава това е минималната точка. Нека намерим стойността на функцията в минималната точка: . Нека начертаем диаграма (виж фиг. 2).
Фиг.2. Екстремум на функцията .
На интервал - функцията намалява, на - функцията нараства, екстремната точка е единствена. Функцията приема най-малката си стойност само в точката .
По време на урока разгледахме диференцирането на сложни функции, съставихме таблица и разгледахме правилата за диференциране на сложна функция и дадохме пример за използване на производна от практиката за подготовка за Единния държавен изпит.
1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователните институции ( ниво на профил) изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и смятане за 10 клас ( урокза ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика).-М .: Просвещение, 1996.
4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.
5. Колекция от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави) - М.: Висше училище, 1992 г.
6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: А.С.К., 1997г.
7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Чинкина Алгебра и началото на анализа. 8-11 клас: Наръчник за училища и класове със задълбочено изучаване на математика (дидактически материали) - М.: Bustard, 2002.
8. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми по алгебра и принципи на анализ (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции) - М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.
10. Глейзър Г.И. История на математиката в училище. 9-10 клас (наръчник за учители).-М .: Образование, 1983
Допълнителни уеб ресурси
2. Портал за природни науки ().
Направете го у дома
№ 42.2, 42.3 (Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за общообразователни институции (ниво на профил) под редакцията на А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2007.)
