Как да намерите периметъра на триъгълник
Можете да се обадите на Yandex за помощ. Въведете в лентата за търсене:
периметър на триъгълник
Yandex ще ви предложи този интерфейс, където просто трябва да замените стойностите.
Периметърът е сумата от дължините на всички страни на всеки многоъгълник. Ето защо, без да мислите каква геометрична фигура е пред вас, не се колебайте да измерите дължината на всички страни с владетел и да добавите. Така че получавате периметъра.
Ако говорим за основите на геометрията, тогава периметърът е сумата от всички страни на триъгълника: P = a + b + c.
Ако обаче говорим за по-сложни геометрични и тригонометрични задачи, когато ни бъдат дадени определени данни, тогава има няколко други формули за изчисляване на периметъра на триъгълник:
Ако са известни радиусът на окръжността, вписана в триъгълника, и нейната площ, тогава периметърът се изчислява по формулата: P=2S/r.
Ако са известни два ъгъла, например, α и β, съседна на едната страна, и дължината на тази страна, тогава формулата за периметъра е както следва: P=a+sinamp;#945;amp;#8729;a/(sin(180- amp;#945;- amp;#946;)) + sinamp;#946;amp;#8729;a/(sin(180-amp;#945;-amp;#946;)).
Ако има дължини на съседни страни и ъгъл β между тях, тогава периметърът се изчислява с помощта на формулата на косинусовата теорема: P=a+b+amp;#8730;(a2+b2-2amp;#8729;aamp;#8729;bamp;#8729;cosamp;#946; ), където a2 и b2 са квадратите на дължините на съседните страни. Изразът под корена е дължината на третата неизвестна страна, изразена чрез косинусовата теорема.
Периметърът на равнобедрен триъгълник има следващ изглед P=2a+b, където a са страните, а b е нейната основа.
Периметър на правилен триъгълник: P=3a.
Формулата за периметър за равностранен триъгълник, ако радиусът на вписаната окръжност P=6ramp;#8730;3 или радиусът на описаната окръжност около нея P=3Ramp;#8730;3 е известен, където r и R са радиусите съответно на вписаната или описаната окръжност.
За равнобедрен триъгълник има формула: P=2R(2sinamp;#945;+sinamp;#946;), където amp;#945; основен ъгъл, amp;#946; ъгъл, противоположен на основата.
В зависимост от това, което знаете от изложението на проблема.
Най-простият вариант е да съберете дължините на всички страни.
В равностранен триъгълник дължината на страната се умножава по три.
Според формулата P=2S/r, ако S е площта и r е радиусът на вписаната окръжност.
Има и формули за намиране на площта на триъгълник, ако ъглите му са известни.
Ако триъгълникът е равностранен, тогава, за да намерите неговия периметър, трябва да умножите дължината на едната страна по три. И ако триъгълникът е мащабиран, тогава, за да намерите неговия периметър, трябва да съберете дължините на всичките му страни.
За да намерите периметъра на равностранен триъгълник, трябва да умножите дължината на едната страна по три.
За да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник, трябва да вземете дължината на една от страните с еднаква дължина, да умножите по две и да добавите дължината на основата.
Вземете линийка, измерете всяка страна на триъгълника (ако е равностранен, можете да измерите само една) и съберете дължините на страните му. В случай на равностранен триъгълник умножете дължината на страната му по 3.
В главата си, в колона, на калкулатор - както можете, в зависимост от вашите математически способности и наличието или отсъствието на калкулатор.
Намерете периметъра на триъгълник, ако дължината на всяка от страните му е известна, просто трябва да добавите дължините на страните и да получите периметъра: (P=a+b+c).
Още по-лесно за намиране периметър на равностранен триъгълникпросто трябва да умножите дължината на страната му по 3: (P=3a).
Но по-често необходимостта от изчисляване на периметъра възниква, когато дължината на не всичките му страни е известна.
Следователно, ако едната страна на триъгълник c и прилежащите й ъгли са известни, тогава формула за изчисляване на периметърще изглежда така:
Периметърът на триъгълник се намира лесно. Периметърът е дължината на три страни на триъгълник. Трябва да сгънете първата страна, втората страна и третата страна - общо дължината на трите страни ще бъде периметърът на триъгълника.
Периметърът е сумата от дължините на страните. Трябва да сумираме дължините на всички страни на триъгълника. Или нещо не съм разбрал? Какви са изходните данни на задачата?
За да намерите периметъра на триъгълник, трябва да съберете дължините на трите му страни. Ако триъгълникът е равнобедрен, тогава можете да умножите дължината на единия ръб по 2 и да добавите дължината на основата, като по този начин получите периметъра на равнобедрен триъгълник.
Предварителна информация
Периметърът на всяка плоска геометрична фигура в равнина се определя като сбор от дължините на всичките й страни. Триъгълникът не е изключение от това. Първо представяме понятието триъгълник, както и видовете триъгълници в зависимост от страните.
Определение 1
Триъгълник ще наричаме геометрична фигура, която е съставена от три точки, свързани една с друга с отсечки (фиг. 1).
Определение 2
В рамките на Дефиниция 1 точките ще наричаме върховете на триъгълника.
Определение 3
В рамките на Дефиниция 1 отсечките ще се наричат страни на триъгълника.
Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и три страни.
В зависимост от отношението на страните една към друга триъгълниците се делят на мащабни, равнобедрени и равностранни.
Определение 4
Ще наречем триъгълник скален, ако нито една от страните му не е равна на друга.
Определение 5
Ще наречем триъгълник равнобедрен, ако две от страните му са равни една на друга, но не са равни на третата страна.
Определение 6
Ще наречем триъгълник равностранен, ако всичките му страни са равни една на друга.
Можете да видите всички видове тези триъгълници на фигура 2.
Как да намерим периметъра на скален триъгълник?
Нека ни е даден мащабен триъгълник, чиито дължини на страните са равни на $α$, $β$ и $γ$.
Заключение:За да намерите периметъра на скален триъгълник, трябва да съберете всички дължини на страните му заедно.
Пример 1
Намерете периметъра на скален триъгълник, равен на $34$ cm, $12$ cm и $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Отговор: $57$ cm.
Пример 2
Намерете периметъра правоъгълен триъгълник, чиито катети са равни на $6$ и $8$ cm.
Първо, нека намерим дължината на хипотенузите на този триъгълник с помощта на Питагоровата теорема. Тогава нека го означим с $α$
$α=10$ Съгласно правилото за изчисляване на периметъра на скален триъгълник, получаваме
$P=10+8+6=24$ см
Отговор: $24$ виж.
Как да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник?
Нека ни е даден равнобедрен триъгълник, дължините на страните ще бъдат равни на $α$, а дължината на основата ще бъде равна на $β$.
По дефиниция на периметъра на равнина геометрична фигура, разбираме това
$P=α+α+β=2α+β$
Заключение:За да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник, добавете два пъти дължината на страните му към дължината на основата му.
Пример 3
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако страните му са $12$ cm, а основата му е $11$ cm.
От примера, обсъден по-горе, виждаме това
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Отговор: $35$ cm.
Пример 4
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако неговата височина, прекарана към основата, е $8$ cm, а основата е $12$ cm.
Нека да разгледаме чертежа според условията на проблема:
Тъй като триъгълникът е равнобедрен, $BD$ е и медианата, следователно $AD=6$ cm.
Използвайки Питагоровата теорема, от триъгълника $ADB$ намираме страничната страна. Тогава нека го означим с $α$
Според правилото за изчисляване на периметъра на равнобедрен триъгълник получаваме
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Отговор: $32$ виж.
Как да намерите периметъра на равностранен триъгълник?
Нека ни е даден равностранен триъгълник, чиито дължини на всички страни са равни на $α$.
Като определяме периметъра на плоска геометрична фигура, получаваме това
$P=α+α+α=3α$
Заключение:За да намерите периметъра на равностранен триъгълник, умножете дължината на страната на триъгълника по $3$.
Пример 5
Намерете периметъра на равностранен триъгълник, ако страната му е $12$ cm.
От примера, обсъден по-горе, виждаме това
$P=3\cdot 12=36$ cm
Как да намерите периметъра на триъгълник? Всеки от нас си зададе този въпрос, докато учи в училище. Нека се опитаме да си спомним всичко, което знаем за тази невероятна фигура, а също и да отговорим на зададения въпрос.
Отговорът на въпроса как да намерите периметъра на триъгълник обикновено е доста прост - просто трябва да изпълните процедурата за добавяне на дължините на всичките му страни. Има обаче няколко по-прости метода за намиране на желаната стойност.
Съвет
Ако радиусът (r) на кръг, вписан в триъгълник, и неговата площ (S) са известни, тогава отговорът на въпроса как да се намери периметърът на триъгълник е доста прост. За да направите това, трябва да използвате обичайната формула:
Ако са известни два ъгъла, да речем α и β, които са съседни на страната, и дължината на самата страна, тогава периметърът може да се намери с помощта на много, много популярна формула, която изглежда така:
sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а
Ако знаете дължините на съседните страни и ъгъла β между тях, тогава, за да намерите периметъра, трябва да използвате Периметърът се изчислява по формулата:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),
където b2 и a2 са квадратите на дължините на съседните страни. Радикалният израз е дължината на третата страна, която е неизвестна, изразена чрез косинусовата теорема.
Ако не знаете как да намерите периметъра, тогава всъщност няма нищо сложно тук. Изчислете го по формулата:
където b е основата на триъгълника, a е неговите страни.
За да намерите периметъра на правилен триъгълник, използвайте най-простата формула:
където a е дължината на страната.
Как да се намери периметърът на триъгълник, ако са известни само радиусите на описаните около него или вписаните в него окръжности? Ако триъгълникът е равностранен, тогава трябва да се приложи формулата:
P = 3R√3 = 6r√3,
където R и r са радиусите съответно на описаната и вписаната окръжност.
Ако триъгълникът е равнобедрен, тогава за него се прилага формулата:
P=2R (sinβ + 2sinα),
където α е ъгълът, който лежи в основата, а β е ъгълът, който е противоположен на основата.
Често решаването на математически задачи изисква задълбочен анализ и специфична способност за намиране и извеждане на необходимите формули, а това, както много хора знаят, е доста трудна работа. Въпреки че някои проблеми могат да бъдат решени само с една формула.
Нека да разгледаме формулите, които са основни за отговор на въпроса как да се намери периметърът на триъгълник, във връзка с голямо разнообразие от видове триъгълници.
Разбира се, основното правило за намиране на периметъра на триъгълник е следното твърдение: за да намерите периметъра на триъгълник, трябва да съберете дължините на всичките му страни, като използвате подходящата формула:
където b, a и c са дължините на страните на триъгълника, а P е периметърът на триъгълника.
Има няколко специални случая на тази формула. Да приемем, че вашият проблем е формулиран по следния начин: „как да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник?“ В този случай трябва да използвате следната формула:
P = b + a + √(b2 + a2)
В тази формула b и a са непосредствените дължини на катетите на правоъгълния триъгълник. Лесно е да се досетите, че вместо страната с (хипотенуза) се използва израз, получен от теоремата на великия учен от древността - Питагор.
Ако трябва да решите задача, при която триъгълниците са подобни, тогава би било логично да използвате следното твърдение: съотношението на периметрите съответства на коефициента на сходство. Да кажем, че имате два подобни триъгълника - ΔABC и ΔA1B1C1. След това, за да се намери коефициентът на подобие, е необходимо да се раздели периметърът ΔABC на периметъра ΔA1B1C1.
В заключение може да се отбележи, че периметърът на триъгълник може да се намери с помощта на различни техники, в зависимост от първоначалните данни, които имате. Трябва да се добави, че има някои специални случаи за правоъгълни триъгълници.
Периметърна фигура - сборът от дължините на всичките й страни. Съответно, за да се открие периметъра триъгълник, трябва да знаете каква е дължината на всяка от страните му. За намиране на страните се използват свойствата на триъгълника и основните теореми на геометрията.
Инструкции
1. Ако и трите страни на триъгълника са дадени в задачата, лесно ги добавете. Тогава периметърът ще бъде равен на: P = a + b + c.
2. Нека са дадени две страни a, b и ъгълът между тях? Тогава третата страна може да бъде открита с помощта на косинусовата теорема: c? = а? +b? – 2 a b cos(?). Не забравяйте, че дължината на страната може да бъде само положителна.
3. Специален случай на косинусовата теорема е Питагоровата теорема, която е приложима за правоъгълни триъгълници. Ъгъл? в този случай е 90°. Косинусът на прав ъгъл става единица. Тогава c? = а? + b?.
4. Ако в условието е дадена само една от страните, но ъглите на триъгълника са известни, другите две страни могат да бъдат намерени с помощта на теоремата за синусите. Между другото, не всички ъгли могат да бъдат посочени; затова е полезно да запомните, че сборът от всички ъгли на триъгълник е равен на 180°.
5. Оказва се, че дадена страна a, ъгъл? между a и b, ? между a и c. 3-ти ъгъл? между страните b и c може лесно да се намери от теоремата за сумата от ъглите на триъгълник: ? = 180° – ? – ?. Съгласно теоремата за синусите, a / sin(?) = b / sin(?) = c / sin(?) = 2 R, където R е радиусът на окръжността, описана около триъгълника. За да открием страна b, е възможно да я изразим от това равенство чрез ъгли и страна a: b = a sin(?) / sin(?). Страна c се изразява по подобен начин: c = a sin(?) / sin(?). Ако, да речем, е даден радиусът на описаната окръжност, но не е дадена дължината на нито една от страните, проблемът също може да бъде решен.
6. Ако проблемът е даден с площта на фигура, трябва да запишете формулата за площта на триъгълника по отношение на страните. Изборът на формула зависи от това какво друго е известно. Ако в допълнение към площта са дадени две страни, използването на формулата на Heron ще помогне. Площта може да се изрази и чрез две страни и синуса на ъгъла между тях: S = 1/2 a b sin(?), където? – ъгълът между страните a и b.
7. В някои задачи може да се посочи площта и радиуса на окръжност, вписана в триъгълник. В този случай формулата r = S / p ще помогне, където r е радиусът на вписания кръг, S е площта, p е полупериметърът на триъгълника. Полупериметърът от тази формула е лесен за изразяване: p = S / r. Остава да намерим периметъра: P = 2 p.
Триъгълникът е многоъгълник с три страни и три ъгъла. Как да изчислим периметъра му?
Инструкции
1. Периметърът на триъгълника е сумата от дължините на всичките му 3 страни.Нека означим страните на триъгълника като a, b, c. Периметърът в математическите формули се обозначава с латинската буква P. Това означава, въз основа на правилото, P = a + b + c Да кажем, че нашите страни на триъгълника имат следните дължини: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm За да намерите периметъра на даден триъгълник, е необходимо да съберете дължините на всичките му страни. P = 3 + 4 + 5P = 12 cm Не е трудна задача, чай, нали?
Видео по темата
Видео по темата
Една от основните геометрични фигури е триъгълникът. Образува се в пресечната точка на три прави сегмента. Тези сегменти образуват страните на фигурата, а техните пресечни точки се наричат върхове. Всеки студент, изучаващ курс по геометрия, трябва да може да намери периметъра на тази фигура. Придобитите умения ще бъдат полезни за мнозина и в възрастен живот, например, ще бъде полезно за студент, инженер, строител,
Съществуват различни начининамерете периметъра на триъгълника. Изборът на необходимата формула зависи от наличните изходни данни. За да напишете тази стойност в математическата терминология, се използва специална нотация - P. Нека разгледаме какво е периметърът, основните методи за изчисляването му за триъгълни фигури от различни типове.
Най-лесният начин да намерите периметъра на фигура е, ако имате данни за всички страни. В този случай се използва следната формула:
Буквата "P" означава самия периметър. От своя страна, "a", "b" и "c" са дължините на страните.
Знаейки размера на трите величини, ще бъде достатъчно да се получи тяхната сума, която е периметърът.
Алтернативен вариант
В математическите задачи всички дадени дължини рядко са известни. В такива случаи се препоръчва да се използва алтернативен метод за търсене на необходимата стойност. Когато условията посочват дължината на две прави линии, както и ъгъла между тях, изчислението се извършва чрез търсене на третата. За да намерите това число, трябва да намерите квадратния корен по формулата:
.
Периметър от двете страни
За да изчислите периметъра, не е необходимо да знаете всички данни на геометрична фигура. Нека разгледаме методите за изчисление от двете страни.
Равнобедрен триъгълник
Равнобедрен триъгълник е този, в който поне две страни имат еднаква дължина. Те се наричат странични, а третата страна се нарича основа. Еднаквите прави линии образуват върхов ъгъл. Специална характеристика на равнобедрен триъгълник е наличието на една ос на симетрия. Оста е вертикална линия, простираща се от апикалния ъгъл и завършваща в средата на основата. В основата си оста на симетрия включва следните понятия:
- ъглополовяща на ъгъла на върха;
- медиана към основа;
- височина на триъгълник;
- среден перпендикуляр.
За да определите периметъра на равнобедрен триъгълник, използвайте формулата.
В този случай трябва да знаете само две количества: основата и дължината на едната страна. Обозначението "2a" предполага умножаване на дължината на страната по 2. Към получената цифра трябва да добавите стойността на основата - "b".
В изключителния случай, когато дължината на основата на равнобедрен триъгълник е равна на неговата странична линия, можете да използвате по-прост метод. Изразява се в следната формула:
За да получите резултата, просто умножете това число по три. Тази формула се използва за намиране на периметъра на равностранен триъгълник.
Полезно видео: задачи по периметъра на триъгълник
Правоъгълен триъгълник
Основната разлика между правоъгълния триъгълник и другите геометрични форми в тази категория е наличието на ъгъл от 90°. Въз основа на тази характеристика се определя типът на фигурата. Преди да определите как да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник, струва си да се отбележи, че тази стойност за всяка плоска геометрична фигура е сумата от всички страни. Така че в този случай най-лесният начин да разберете резултата е да сумирате трите количества.
В научната терминология тези страни, които са в непосредствена близост до прав ъгъл, се наричат „крака“, а противоположният на 90º ъгъл е хипотенузата. Характеристиките на тази фигура са изследвани от древногръцкия учен Питагор. Според Питагоровата теорема квадратът на хипотенузата равно на суматаквадрати на краката.
.
Въз основа на тази теорема е изведена друга формула, която обяснява как да се намери периметърът на триъгълник, като се използват две известни страни. Можете да изчислите периметъра за определената дължина на краката, като използвате следния метод.
.
За да разберете периметъра, като имате информация за размера на единия крак и хипотенузата, трябва да определите дължината на втората хипотенуза. За тази цел се използват следните формули:
.
Също така периметърът на описания тип фигура се определя без данни за размерите на краката.
Ще трябва да знаете дължината на хипотенузата, както и ъгъла, прилежащ към нея. Познавайки дължината на един от краката, ако има ъгъл, съседен на него, периметърът на фигурата се изчислява по формулата:
.
