Вписани и описани окръжности
Окръжност се нарича вписана в триъгълник, ако докосва всичките му страни.
Окръжност се нарича описана близо до триъгълник, ако минава през всичките му върхове.
Теорема 1. Центърът на окръжност, вписана в триъгълник, е пресечната точка на неговите ъглополовящи.
Теорема 2
2. Теореми (свойства на успоредник):
В успоредник противоположните страни са равни и срещуположните ъгли са равни: , , , .
Диагоналите на успоредник са разделени от пресечната точка наполовина: , .
Ъглите, съседни на която и да е страна, са равни по сума.
Диагоналите на успоредник го разделят на два равни триъгълника.
Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на неговите страни: .
Характеристики на успоредник:
Ако противоположните страни на четириъгълник са по двойки успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.
· Ако в един четириъгълник срещуположните страни са равни по две, то този четириъгълник е успоредник.
Ако две срещуположни страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.
Ако в четириъгълник диагоналите се пресичат, пресечната точка е разделена наполовина, тогава този четириъгълник е успоредник.
Средните точки на страните на произволен (включително неизпъкнал или пространствен) четириъгълник са върхове Успоредник на Вариньон.
· Страните на този успоредник са успоредни на съответните диагонали на четириъгълника. Периметър на успоредника на Вариньон е равно на суматадължините на диагоналите на оригиналния четириъгълник, а площта на успоредника на Varignon е равна на половината от площта на оригиналния четириъгълник
3. ТрапецЧетириъгълник с две успоредни страни и две неуспоредни страни. Паралелни страни се наричат основи на трапец, другите две страни.
Височина на трапец- разстоянието между правите, върху които лежат основите на трапеца, всеки общ перпендикуляр на тези прави.
Средна линия на трапеца- сегмент, свързващ средните точки на страните.
Свойство на трапец:
Ако окръжност е вписана в трапец, тогава сборът от основите е равен на сбора от страните: , а средната линия е половината от сбора от страните:.
Равнобедрен трапец- трапец, чиито страни са равни. Тогава диагоналите и ъглите при основата са равни, .
От всички трапеци, само около равнобедрен трапец може да бъде описана окръжност, тъй като окръжност може да бъде описана около четириъгълник само ако сборът от противоположните ъгли е равен на .
В равнобедрен трапец разстоянието от върха на една основа до проекцията на противоположния връх върху правата, съдържаща тази основа, е равно на средната линия.
Правоъгълен трапец- трапец, в който един от ъглите при основата е равен на .
Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.
Доказателство. Нека E е пресечната точка на хордите AB и CD (фиг. 110). Нека докажем, че AE * BE = CE * DE.
Да разгледаме триъгълниците ADE и CBE. Техните ъгли A и C са равни, защото са вписани и опират на една и съща дъга BD. По подобна причина ∠D = ∠B. Следователно триъгълниците ADE и CBE са подобни (според критерия за подобие на втория триъгълник). Така DE/BE = AE/CE, или
AE * BE = CE * DE.
Теоремата е доказана.
5. Правоъгълникът може да бъде успоредник, квадрат или ромб.
1. Противоположните страни на правоъгълник имат еднаква дължина, тоест те са равни:
AB=CD, BC=AD
2. Срещуположните страни на правоъгълника са успоредни:
3. Съседните страни на правоъгълник винаги са перпендикулярни:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. И четирите ъгъла на правоъгълника са прави:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумата от ъглите на правоъгълник е 360 градуса:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагоналите на правоъгълник имат еднаква дължина:
7. Сумата от квадратите на диагонала на правоъгълник е равна на сумата от квадратите на страните:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Всеки диагонал на правоъгълник разделя правоъгълника на две еднакви фигури, а именно правоъгълни триъгълници.
9. Диагоналите на правоъгълника се пресичат и се разделят наполовина в точката на пресичане:
| AO=BO=CO=DO= | |||
10. Пресечната точка на диагоналите се нарича център на правоъгълника и също е център на описаната окръжност
11. Диагоналът на правоъгълника е диаметърът на описаната окръжност
12. Винаги може да се опише кръг около правоъгълник, тъй като сборът от противоположните ъгли е 180 градуса:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Не може да се впише окръжност в правоъгълник, чиято дължина не е равна на ширината му, тъй като сумите на срещуположните страни не са равни (окръжност може да бъде вписана само в специален случай на правоъгълник - квадрат).
6. Теорема на Талес
Ако една от двете прави линии начертае последователно няколко сегмента и начертае през краищата им успоредни линии, които пресичат втората права линия, тогава те ще отрежат пропорционални сегменти на втората права линия
Обратна теорема на Талес
Ако линии, пресичащи две други линии (успоредни или не), отрязват равни (или пропорционални) сегменти и на двете, започвайки от върха, тогава тези линии са успоредни
\[(\Large(\text(централни и вписани ъгли)))\]
Дефиниции
Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи върху окръжността.
Градусната мярка на дъга от окръжност е градусната мярка на централния ъгъл, който лежи върху нея.
Теорема
Мярката на вписан ъгъл е половината от мярката на дъгата, която пресича.
Доказателство
Ще проведем доказателството на два етапа: първо, доказваме валидността на твърдението за случая, когато една от страните на вписания ъгъл съдържа диаметър. Нека точката \(B\) е върхът на вписания ъгъл \(ABC\) и \(BC\) е диаметърът на окръжността:
Триъгълникът \(AOB\) е равнобедрен, \(AO = OB\) , \(\ъгъл AOC\) е външен, тогава \(\ъгъл AOC = \ъгъл OAB + \ъгъл ABO = 2\ъгъл ABC\), където \(\ъгъл ABC = 0,5\cdot\ъгъл AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Сега разгледайте произволен вписан ъгъл \(ABC\) . Начертайте диаметъра на кръга \(BD\) от върха на вписания ъгъл. Възможни са два случая:
1) диаметърът нарязва ъгъла на два ъгъла \(\ъгъл ABD, \ъгъл CBD\) (за всеки от които теоремата е вярна, както е доказано по-горе, следователно е вярна и за оригиналния ъгъл, който е сумата от тези две и следователно е равна на половината от сбора на дъгите, на които се опират, т.е. равна на половината от дъгата, на която се опира). Ориз. 1.
2) диаметърът не разрязва ъгъла на два ъгъла, тогава имаме още два нови вписани ъгъла \(\angle ABD, \angle CBD\) , чиято страна съдържа диаметъра, следователно теоремата е вярна за тях, тогава тя е вярно и за първоначалния ъгъл (който е равен на разликата на тези два ъгъла, което означава, че е равен на полуразликата на дъгите, върху които те почиват, тоест е равен на половината от дъгата, върху която почива). Ориз. 2.
Последствия
1. Вписаните ъгли, основани на една и съща дъга, са равни.
2. Вписан ъгъл, основан на полукръг, е прав ъгъл.
3. Вписан ъгъл е равен на половината от централния ъгъл, основан върху същата дъга.
\[(\Large(\text(Допирателна към окръжност)))\]
Дефиниции
Има три вида относителна позицияправа линия и кръг:
1) правата \(a\) пресича окръжността в две точки. Такава права се нарича секанс. В този случай разстоянието \(d\) от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса \(R\) на окръжността (фиг. 3).
2) правата \(b\) пресича окръжността в една точка. Такава права се нарича допирателна, а тяхната обща точка \(B\) се нарича допирателна. В този случай \(d=R\) (фиг. 4).
Теорема
1. Допирателната към окръжността е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт.
2. Ако правата минава през края на радиуса на окръжността и е перпендикулярна на този радиус, то тя е допирателна към окръжността.
Последица
Отсечките на допирателните, прекарани от една точка към окръжността, са равни.
Доказателство
Начертайте две допирателни \(KA\) и \(KB\) към окръжността от точката \(K\):
Така че \(OA\perp KA, OB\perp KB\) като радиуси. Правоъгълните триъгълници \(\триъгълник KAO\) и \(\триъгълник KBO\) са равни по катет и хипотенуза, следователно \(KA=KB\) .
Последица
Центърът на окръжността \(O\) лежи върху ъглополовящата на ъгъла \(AKB\), образуван от две допирателни, прекарани от една и съща точка \(K\) .
\[(\Large(\text(Теореми, свързани с ъгли)))\]
Теоремата за ъгъла между секущите
Ъгълът между две секущи, изтеглени от една и съща точка, е равен на полуразликата на градусните мерки на по-голямата и по-малката дъга, пресечена от тях.
Доказателство
Нека \(M\) е точка, от която са изтеглени две секущи, както е показано на фигурата:
Нека покажем това \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) е външният ъгъл на триъгълника \(MAD\), тогава \(\ъгъл DAB = \ъгъл DMB + \ъгъл MDA\), където \(\ъгъл DMB = \ъгъл DAB - \ъгъл MDA\), но ъглите \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) са вписани, тогава \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), което трябваше да се докаже.
Ъглова теорема между пресичащи се хорди
Ъгълът между две пресичащи се хорди е равен на половината от сумата от градусните мерки на дъгите, които те пресичат: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Доказателство
\(\ъгъл BMA = \ъгъл CMD\) като вертикален.
От триъгълник \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Но \(\ъгъл AMD = 180^\circ - \ъгъл CMD\), откъдето заключаваме, че \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ усмивка\над(CD)).\]
Теорема за ъгъла между хорда и допирателна
Ъгълът между допирателната и хордата, минаваща през допирателната точка, е равен на половината градусна мярка на дъгата, извадена от хордата.
Доказателство
Нека правата \(a\) докосва окръжността в точка \(A\) , \(AB\) е хордата на тази окръжност, \(O\) е нейният център. Нека правата, съдържаща \(OB\), пресича \(a\) в точката \(M\) . Нека докажем това \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Означаваме \(\ъгъл OAB = \alpha\) . Тъй като \(OA\) и \(OB\) са радиуси, тогава \(OA = OB\) и \(\ъгъл OBA = \ъгъл OAB = \алфа\). По този начин, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Тъй като \(OA\) е радиусът, начертан към допирателната точка, тогава \(OA\perp a\) , т.е. \(\angle OAM = 90^\circ\) , следователно, \(\ъгъл BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Теорема за дъги, свити от равни хорди
Равните хорди обхващат равни дъги, по-малки полукръгове.
И обратно: равни дъги се свиват от равни хорди.
Доказателство
1) Нека \(AB=CD\) . Нека докажем, че по-малките полуокръжности на дъгата .
От три страни, следователно \(\ъгъл AOB=\ъгъл COD\) . Но тъй като \(\ъгъл AOB, \ъгъл COD\) - централни ъглина базата на дъги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)съответно тогава \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Ако \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Че \(\триъгълник AOB=\триъгълник COD\)по двете страни \(AO=BO=CO=DO\) и ъгъла между тях \(\angle AOB=\angle COD\) . Следователно \(AB=CD\) .
Теорема
Ако радиус разполовява хорда, тогава той е перпендикулярен на нея.
Обратното също е вярно: ако радиусът е перпендикулярен на хордата, тогава пресечната точка я разполовява.
Доказателство
1) Нека \(AN=NB\) . Нека докажем, че \(OQ\perp AB\) .
Помислете за \(\триъгълник AOB\) : той е равнобедрен, защото \(OA=OB\) – радиуси на окръжност. защото \(ON\) е медианата, начертана към основата, тогава това е и височината, следователно \(ON\perp AB\) .
2) Нека \(OQ\perp AB\) . Нека докажем, че \(AN=NB\) .
По подобен начин \(\триъгълник AOB\) е равнобедрен, \(ON\) е височината, така че \(\triangle AOB\) е медианата. Следователно \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Теореми, свързани с дължините на отсечките)))\]
Теорема за произведението на отсечки от хорди
Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.
Доказателство
Нека хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в точката \(E\) .
Разгледайте триъгълниците \(ADE\) и \(CBE\) . В тези триъгълници ъглите \(1\) и \(2\) са равни, тъй като са вписани и се опират на една и съща дъга \(BD\) , а ъглите \(3\) и \(4\) са равни като вертикални. Триъгълниците \(ADE\) и \(CBE\) са подобни (според критерия за сходство на първия триъгълник).
Тогава \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), откъдето \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Теорема за допирателната и секущата
Квадрат на допирателната отсечка е равно на произведениетосекуща към външната му част.
Доказателство
Нека допирателната минава през точка \(M\) и докосва окръжността в точка \(A\) . Нека секансът минава през точката \(M\) и пресича окръжността в точките \(B\) и \(C\), така че \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Разгледайте триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) : \(\ъгъл M\) е общ, \(\ъгъл BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Според теоремата за ъгъла между допирателната и секанса, \(\ъгъл BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ъгъл BCA\). По този начин триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) са подобни в два ъгъла.
От подобието на триъгълници \(MBA\) и \(MCA\) имаме: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), което е еквивалентно на \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Последица
Произведението на секанса, изтеглен от точката \(O\) и нейната външна част, не зависи от избора на секанса, изтеглен от точката \(O\) .
Общинска автономна общообразователна институция
средно училище No45
Разработка на урок по тема
"Теорема за сегменти от пресичащи се хорди",
геометрия 8 клас.
първа категория
MAOU средно училище №45, Калининград
Борисова Алла Николаевна
Калининград
2016 – 2017 академична година
Образователна институция - общинска автономна образователна институция средно училище № 45 на град Калининград
Вещ - математика (геометрия)
Клас – 8
Предмет – "Теорема за отсечки от пресичащи се хорди"
Учебно-методическа помощ:
Геометрия, 7 - 9: учебник за образователни институции / Л. С. Атанасян и др., - 17-то изд., - М .: Образование, 2015 г.
Работна тетрадка"Геометрия, 8 клас", автори Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И.И. Юдина/ урокза студенти от образователни институции / - М. Образование, 2016
Данни за програми, в които се изпълнява мултимедийният компонент на работата - Microsoft Office Power Point 2010
Мишена: запознават се с теоремата за отсечки от пресичащи се хорди и развиват умения за прилагането й за решаване на задачи.
Цели на урока:
Образователни:
да систематизира теоретичните знания по темата: „Централни и вписани ъгли“ и да подобри уменията за решаване на проблеми по тази тема;
формулира и доказва теоремата за отсечки от пресичащи се хорди;
прилагат теоремата при решаване на геометрични задачи;
Разработване:
развитие на познавателен интерес към предмета.
формиране на ключови и предметни компетентности.
развитие на творчески способности.
развиват уменията на учениците самостоятелна работаи работят по двойки.
Образователни:
възпитание познавателна дейност, култура на общуване, отговорност, самостоятелно развитие на визуалната памет;
да възпитава учениците в независимост, любопитство, съзнателно отношение към изучаването на математиката;
обосновка на избора на методи, средства и форми на обучение;
оптимизиране на обучението чрез разумна комбинация и съотношение на методи, средства и форми, насочени към получаване висока оценкапо време на урока.
Оборудване и материали за урока : проектор, екран, презентация за съпътстване на урока.
Тип урок: комбиниран.
Структура на урока:
1) Учениците са информирани за темата на урока и целите, подчертава се уместността на тази тема(слайд номер 1).2) Планът на урока е обявен.
1. Проверка домашна работа.
2. Повторение.
3. Откриване на нови знания.
4. Фиксиране.
II . Проверка на домашните.
1) трима ученици се доказват на дъскататеорема за вписан ъгъл.
Първи ученик - случай 1;
Втори ученик - случай 2;
Третият ученик е случай 3.
2) Останалите работят в това време устно, за да повторят преминатия материал.
1. Теоретична анкета (фронтално)(слайд номер 2) .
Завършете изречението:
Ъгъл се нарича централен, ако...
Ъгълът се нарича вписан, ако...
Централният ъгъл се измерва...
Вписаният ъгъл се измерва...
Вписаните ъгли са равни, ако...
Вписан ъгъл, основан на полукръг...
2. Решаване на задачи по готови чертежи(слайд номер 3) .
Учителят по това време индивидуално проверява решението на домашните за някои ученици.
Доказателството на теоремите се изслушва от целия клас след проверка на верността на решенията на задачите върху готовите чертежи.
II I. Въвеждане на нов материал.
1) Работете по двойки.Решете задача 1, за да подготвите учениците за възприемане на нов материал(слайд номер 4).
2) Доказваме теоремата за отсечки от пресичащи се хорди под формата на задача(слайд номер 5).
Въпроси за обсъждане(слайд номер 6) :
Какво можете да кажете за ъглите CAB и CDB?
Относно ъглите AEC И DEB ?
Какво представляват триъгълниците ACE и DBE?
Какво е отношението на техните страни, които са отсечки от допирателните хорди?
Какво равенство може да се напише от равенството на две съотношения, използвайки основното свойство на пропорцията?
Опитайте се да формулирате твърдението, което сте доказали. На дъската и в тетрадките запишете формулировката и обобщението на доказателството на теоремата за отсечки от пресичащи се хорди. Един човек е извикан на дъската(слайд номер 7).
аз V. Физическо възпитание.
Един ученик идва до дъската и предлага прости упражнения за врата, ръцете и гърба.
V . Затвърдяване на изучения материал.
1) Първично закрепване.
1 ученикс коментиранерешава№ 667 На бюрото
Решение.
1) AVA 1 - правоъгълен, тъй като вписаният ъгълА 1 Вирджиния лежи върху полукръг.
2) 5 = 3, както е вписано и базирано на една дъгаAB 1 .
3) 1 = 90° -5, 4 = 90°–3 но3 = 5, значи1= 4.
4) А 1 BB 1 - равнобедрен, тогаваBC = B 1 СЪС .
5) По теоремата за произведението на отсечки от пресичащи се хорди
AC A 1 C \u003d BC B 1 СЪС.
6) (cm);
Отговор:
2) Направи си сам решениезадачи.
1. 1-ва група студенти ("слаби" ученици). Решете сами№ 93, 94 („Работна тетрадка“, автор Л. С. Атанасян, 2015 г.), учителят, ако е необходимо, съветва учениците, анализира резултатите от задачите на учениците
2. 2-ра група ученици (други ученици). Работа по нестандартна задача. Работят самостоятелно (при необходимост ползват помощта на учител или съученик). Един ученик работи на сгъваема дъска. След приключване на работата проверка.
Задача
.
АкордиAB
ИCD
пресичат се в точкаС
, при каквоAS:SB = 2:3, DS = 12
см,SC=5см
, намирамAB
.
Решение
.
Тъй като съотношениетоAS:SB = 2:3
, след това нека дължинатаAS = 2x, SB = 3x
Според свойството на акордиAS ∙ SB = CS ∙ SD
, Тогава
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6x
2
= 60
х
2
= 10
x = √10.
Където
AB=AS+SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10
Отговор
:
5√10
VI . Обобщаване на урока, отразяване на дейностите
Обобщаване на урока, мобилизиране на учениците за самооценка на техните дейности;
И така, какво научихте в клас днес?
Какво научихте в час днес?
Оценете дейността си за урока по 5-точкова система.
Оценяване на урок.
VIII . Домашна работа
стр. 71 (научете теория),
№ 659, 661, 666 (b, c).
Нека първо разберем разликата между кръг и кръг. За да видите тази разлика, достатъчно е да разгледате какво представляват и двете фигури. Това е безкраен брой точки в равнината, разположени на еднакво разстояние от една централна точка. Но ако кръгът се състои и от вътрешно пространство, тогава той не принадлежи на кръга. Оказва се, че окръжността е както окръжност, която я ограничава (o-кръг (g)ness), така и неизброим брой точки, които са вътре в окръжността.
За всяка точка L, лежаща на окръжността, важи равенството OL=R. (Дължината на отсечката OL е равна на радиуса на окръжността).
Отсечка, която свързва две точки от окръжност, е акорд.
Хорда, минаваща директно през центъра на окръжност, е диаметъртози кръг (D) . Диаметърът може да се изчисли по формулата: D=2R
Обиколкаизчислява се по формулата: C=2\pi R
Площ на кръг: S=\pi R^(2)
дъга от окръжностнарича тази част от него, която се намира между две от неговите точки. Тези две точки определят две дъги на окръжност. Хордата CD обхваща две дъги: CMD и CLD. Същите акорди обхващат едни и същи дъги.
Централен ъгъле ъгълът между два радиуса.
дължината на дъгатаможе да се намери с помощта на формулата:
- Използвайки степенна мярка: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Използване на радианова мярка: CD = \alpha R
Диаметърът, който е перпендикулярен на хордата, разполовява хордата и дъгите, които обхваща.
Ако хордите AB и CD на окръжността се пресичат в точка N, то произведенията на отсечките на хордите, разделени от точка N, са равни една на друга.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Допирателна към окръжност
Допирателна към окръжностОбичайно е да се нарича права линия, която има една обща точка с кръг.
Ако една права има две общи точки, тя се нарича секуща.
Ако начертаете радиус в точката на контакт, той ще бъде перпендикулярен на допирателната към окръжността.
Нека начертаем две допирателни от тази точка към нашата окръжност. Оказва се, че сегментите на допирателните ще бъдат равни един на друг, а центърът на окръжността ще бъде разположен върху ъглополовящата на ъгъла с върха в тази точка.
AC=CB
Сега начертаваме допирателна и секуща към окръжността от нашата точка. Получаваме, че квадратът на дължината на допирателната отсечка ще бъде равен на произведението на цялата секуща отсечка от външната му част.
AC^(2) = CD \cdot BC
Можем да заключим: произведението на цяла отсечка от първия секанс по външната му част е равно на произведението на цяла отсечка от втория секанс по външната му част.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Ъгли в кръг
Градусните мерки на централния ъгъл и дъгата, върху която той лежи, са равни.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх е върху окръжност и чиито страни съдържат хорди.
Можете да го изчислите, като знаете размера на дъгата, тъй като той е равен на половината от тази дъга.
\ъгъл AOB = 2 \ъгъл ADB
Въз основа на диаметър, вписан ъгъл, прав.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Вписаните ъгли, които се опират на една и съща дъга, са еднакви.
Вписаните ъгли, базирани на една и съща хорда, са еднакви или сборът им е равен на 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\ъгъл ADB = \ъгъл AEB = \ъгъл AFB
На същата окръжност са върховете на триъгълници с еднакви ъгли и дадена основа.
Ъгъл с връх вътре в окръжността и разположен между две хорди е идентичен на половината от сумата от ъгловите величини на дъгите на окръжността, които са вътре в дадения и вертикалния ъгъл.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Ъгъл с връх извън окръжността и разположен между две секущи е идентичен на половината от разликата в ъгловите величини на дъгите на окръжност, които са вътре в ъгъла.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписан кръг
Вписан кръге окръжност, допирателна към страните на многоъгълника.
В точката, където се пресичат ъглополовящите на ъглите на многоъгълника, се намира неговият център.
Окръжност не може да бъде вписана във всеки многоъгълник.
Площта на многоъгълник с вписан кръг се намира по формулата:
S=pr,
p е полупериметърът на многоъгълника,
r е радиусът на вписаната окръжност.
От това следва, че радиусът на вписаната окръжност е:
r = \frac(S)(p)
Сумите от дължините на противоположните страни ще бъдат еднакви, ако окръжността е вписана в изпъкнал четириъгълник. И обратно: окръжност е вписана в изпъкнал четириъгълник, ако сумите от дължините на срещуположните страни в него са еднакви.
AB+DC=AD+BC
Във всеки от триъгълниците е възможно да се впише кръг. Само един единствен. В точката, където се пресичат ъглополовящите вътрешни ъглифигура, ще лежи в центъра на този вписан кръг.
Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по формулата:
r = \frac(S)(p),
където p = \frac(a + b + c)(2)
Описана окръжност
Ако окръжност минава през всеки връх на многоъгълник, тогава такава окръжност се нарича описан около многоъгълник.
Центърът на описаната окръжност ще бъде в точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи на страните на тази фигура.
Радиусът може да се намери, като се изчисли като радиус на окръжност, описана около триъгълник, определен от всеки 3 върха на многоъгълника.
Съществува следното условие: окръжност може да бъде описана около четириъгълник само ако сборът от срещуположните му ъгли е равен на 180^( \circ) .
\ъгъл A + \ъгъл C = \ъгъл B + \ъгъл D = 180^ (\circ)
В близост до всеки триъгълник е възможно да се опише окръжност, и то една и само една. Центърът на такъв кръг ще бъде разположен в точката, където се пресичат перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника.
Радиусът на описаната окръжност може да се изчисли по формулите:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c са дължините на страните на триъгълника,
S е площта на триъгълника.
Теорема на Птолемей
И накрая, разгледайте теоремата на Птолемей.
Теоремата на Птолемей гласи, че произведението на диагоналите е идентично на сбора от произведенията на противоположните страни на вписан четириъгълник.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Част 3. Кръгове
аз. Справочни материали.
аз. Свойства на тангентите, хордите и секущите. Вписани и централни ъгли.
Кръг и кръг
1. Ако от една точка, лежаща извън окръжността, начертайте две допирателни към нея, тогава
а) дължините на отсечките от дадена точка до допирните точки са равни;
б) ъглите между всяка допирателна и секанса, минаващи през центъра на окръжността, са равни.
2. Ако от една точка, лежаща извън окръжността, нарисувайте допирателна и секанс към нея, тогава квадратът на допирателната е равен на произведението на секанса от външната му част
3. Ако две хорди се пресичат в една точка, то произведението на отсечките на едната хорда е равно на произведението на отсечките на другата.
4. Обиколка С=2πR;
5. Дължина на дъгата L =πRn/180˚
6. Площ на окръжност S=πR 2
7. Секторна зона С ° С=πR 2 n/360
Мярката на вписан ъгъл е половината от мярката на дъгата, която пресича.
Теорема 1.Мярката на ъгъла между допирателна и хорда, имаща обща точка върху окръжност, е равна на половината градусна мярка на дъгата, затворена между нейните страни
Теорема 2(за тангенс и секанс). Ако допирателната и секущата са начертани от точка М към окръжността, тогава квадратът на сегмента на допирателната от точката М до точката на контакт е равен на произведението на дължините на сегментите на секущата от точка М до точките на нейното пресичане с окръжността.
Теорема 3. Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на дължините на сегментите на една хорда е равно на произведението на дължините на сегментите на другата хорда, т.е. ако хордите AB и SD се пресичат в точка M , след това AB MV \u003d CM MD.
Свойства на кръговите акорди:
Диаметър, перпендикулярен на хорда, я разполовява. Обратно: диаметърът, минаващ през средата на хордата, е перпендикулярен на нея.
Равните хорди на окръжност са на еднакво разстояние от центъра на окръжността. Обратно, има равни хорди на еднакво разстояние от центъра на кръга.
Окръжните дъги, затворени между успоредни хорди, са равни.
окръжности, които имат обща точка и обща допирателна в тази точка, се наричат) допирателна , Ако окръжностите са разположени от една и съща страна на общата допирателна, тогава те се наричат вътрешни допирателни, а ако от противоположните страни на допирателната, тогава те се наричат външна допирателна.
II. Допълнителни материали
Свойства на някои ъгли.
Теорема.
1) Ъгълът (ABC), чийто връх лежи вътре в окръжността, е полусумата на две дъги (AC и DE), от които едната е затворена между страните й, а другата между продълженията на страните.
2) ъгълът (ABC), чийто връх лежи извън окръжността и страните се пресичат с окръжността, е полуразликата на две дъги (AC и ED), затворени между нейните страни
Доказателство .
Начертавайки хордата AD (на двата чертежа), получаваме ∆ABD,
спрямо който разглежданият ъгъл ABCслужи като външен, когато върхът му лежи вътре в кръга, и като вътрешен, когато върхът му лежи извън кръга. Така че в първия случай: ; във втория случай:
Но ъглите ADC и DAE, както са вписани, се измерват с полудъги AC и DE; следователно, ъгълът ABC се измерва: в първия случай, чрез сумата: ½ AC + 1/2 DE, която е равна на 1
/
2
(ﮟ
AC+ﮞ
DE),и във втория случай, разликата е 1/2 AC- 1/2 DE, което е равно на 1/2 (ﬞ AC-ﬞ DE). Теорема. Ъгъл (ACD), съставен от допирателна и хорда, се измерва от половината дъга, затворена в него. Сега вземете общия случай, когато хордата CD не минава през центъра. След като начертаем диаметъра CE, ще имаме: При Пропорционални линии в кръг Теорема.Ако някаква хорда (AB) и диаметър (CD) се начертаят през точка (M), взета вътре в кръга, тогава произведението на сегментите на хордата (AM MB) е равно на произведението на сегментите на диаметъра ( MV MC). Доказателство. П AM: MD=MS: MB, откъдето AM MB=MD MC. Последица.Ако произволен брой хорди (AB, EF, KL, ...) се начертаят през точка (M), взета вътре в кръга, тогава произведението на сегментите на всяка хорда е постоянно число за всички хорди, тъй като за всяка корда това произведение е равно на произведението на сегменти с диаметър CD, минаващи през взетата точка М. Теорема.Ако от точка (M), взета извън окръжността, към нея се изтеглят секанс (MA) и допирателна (MC), тогава произведението на секанса от външната му част е равно на квадрата на допирателната (приема се, че секансът е ограничен от втората пресечна точка, а допирателната е допирна точка). Нека начертаем спомагателни акорди AC и BC; тогава получаваме два триъгълника MAC и MBC (покрити на фигурата с щрихи), които са подобни, защото имат общ ъгъл M и ъглите MSV и CAB са равни, тъй като всеки от тях се измерва с половината дъга BC. Нека вземем страните MA и MC в ∆MAC; подобни страни в ∆MVS ще бъдат MC и MB; следователно MA: MS=MS: MB, откъдето MA MB=MS 2 . Последица.Ако от точка (M), взета извън окръжността, произволен брой секущи (MA, MD, ME, ...) са изтеглени към нея, тогава произведението на всяка секуща с външната й част е постоянно число за всички секущи, тъй като за всеки секанс продуктът е равен на квадрата на тангентата (MS 2), прекарана от точка М. III. въвеждащи задачи. Задача 1. IN Решение 1) Радиусът на окръжност, описана около трапец, е същият като радиуса на окръжност, описана около триъгълник, чиито върхове са всеки три върха на трапеца. Намерете радиуса R на окръжност, описана около триъгълник ABD. 2)
ABCDравнобедрен трапец, т.н АК = MD, КМ =. В ∆ АБК АК
= AB cos A = · cos 60° = . означава, BK = ABгрях А
=
· = . 3) По закона за косинусите в ∆ ABD
BD 2
= AB 2
+ AD 2
– 2AB ·
AD cos А. BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 3 = 21 + 9 21 – 3 21 = 7 21; 4) S(∆ ABD)
= AD ·
BK; S(∆ ABD) = · · 3 = . Задача 2. В равностранен триъгълник ABCвписана е окръжност и е начертана отсечка NM, М
AC, н
пр.н.е, която е допирателна към нея и успоредна на страната AB. Определете периметъра на трапеца AMNBако дължината на сегмента MNе равно на 6. Решение. 1 2) MN- допирателна към окръжността, Пе точката на контакт, OD = 3) ∆CMN ∾
∆ ТАКСИ, така че ∆ CMN- равностранен СМ = CN = MN = = 6; П. И 3) BN = CB – CN = 18 – 6 = 12. 4) P ( AMNB)
= сутринта + MN
+ BN + AB
= 18 + 6 + 12 + 12 = 48. В близост до окръжността е описан равнобедрен трапец, чиято средна линия е 5, а синусът на острия ъгъл при основата е 0,8. Намерете площта на трапеца. Решение. FPе средната линия на трапеца пр.н.е + AD = 2FP. Тогава AB = CD = FP = 5. ∆АБК- правоъгълна, BK = ABгрях А; BK= 5 0,8 = 4. С( ABCD)
= FP · BK= 5 4 = 20. Отговор:
20. Вписаната окръжност на триъгълник ABC е допирателна към страната BC в точка K, а вписаната окръжност е допирателна към страната BC в точка L. Докажете, че CK=BL=(a+b+c)/2 Доказателство: нека M и N са допирните точки на вписаната окръжност със страните AB и BC. Тогава BK+AN=BM+AM=AB, така че CK+CN= a+b-c. Нека P и Q са допирателните точки на вписаната окръжност с продълженията на страните AB и BC. Тогава AP=AB+BP=AB+BL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Следователно AP+AQ=a+b+c. Следователно BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2. а) Продължението на ъглополовящата на ъгъл B на триъгълник ABC пресича описаната окръжност в точка M. O е центърът на вписаната окръжност. О В е центърът на неописаната окръжност, допирателна към страната AC. Докажете, че точки A, C, O и O B лежат на окръжност с център M. д б) Точката O, която лежи вътре в триъгълника ABC, има свойството правите AO, BO, CO да минават през центровете на описаните окръжности на триъгълниците BCO, ACO, ABO. Докажете, че O е центърът на вписаната окръжност на триъгълник ABC. IV. Допълнителни задачи номер 1. Окръжността, допирателна към хипотенузата на правоъгълен триъгълник и продълженията на неговите катети, има радиус R. Намерете периметъра на триъгълника Р 1) ∆OAH = ∆OAF по крака и хипотенузата =>HA=FA 2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG 3) P ABC=AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R номер 2. Точки C и D лежат на окръжност с диаметър AB. AC ∩ BD = P и AD ∩ BC = Q. Докажете, че правите AB и PQ са перпендикулярни на Доказателство: А номер 3. В успоредника ABCD диагоналът AC е по-голям от диагонала BD; М е точка на диагонал AC, BDCM е вписан четириъгълник.Докажете, че правата BD е обща допирателна към описаните окръжности на триъгълниците ABM и ADM П номер 4. з Според уводната задача 4 CM=(AC+CE-AE)/2 и CN=(BC+CE-BE)/2. Като се има предвид, че AC=BC, получаваме МN=|CM-CN|=|AE-BE|/2 номер 5. Дължините на страните на триъгълник ABC образуват аритметична прогресия с a Нека M е средата на страната AC и N е допирателната точка на вписаната окръжност със страната BC. Тогава BN=p–b (въвеждаща задача 4), така че BN=AM, защото p=3b/2 по условие. Освен това, V
.Задачи за самостоятелно решаване
номер 1. Четириъгълникът ABCD има свойството да има окръжност, вписана в ъгъл BAD и допирателна към продълженията на страните BC и CD. Докажете, че AB+BC=AD+DC. номер 2. Общата вътрешна допирателна към окръжности с радиуси R и r пресича техните общи външни допирателни в точки A и B и се допира до една от окръжностите в точка C. Докажете, че AC∙CB=Rr номер 3. В триъгълник ABC ъгъл C е прав ъгъл. Докажете, че r =(a+b-c)/2 и r c =(a+b+c)/2 номер 4. Двете окръжности се пресичат в точки A и B; MN е общата допирателна към тях. Докажете, че правата AB разполовява отсечката MN. номер 5. Продълженията на ъглополовящите на ъглите на триъгълника ABC пресичат описаната окръжност в точки A 1 , B 1 , C 1 . M е пресечната точка на ъглополовящите. Докажи това: а) MA·MC/MB 1 =2r; b) MA 1 MC 1 /MB=R номер 6. Ъгълът, образуван от две допирателни, прекарани от една и съща точка на окръжността, е 23° 15`. Изчислете дъги, затворени между допирателни точки номер 7. Изчислете ъгъла, образуван от допирателната и хордата, ако хордата разделя окръжността на две части в отношение 3:7. VI. Контролни задачи. Опция 1. Точка M е извън окръжността с център O. Три секущи са начертани от точка M: първата пресича окръжността в точки B и A (M-B-A), втората в точки D и C (M-D-C), а третата пресича окръжността в точки F и E (M-F-E) и минава през центъра на окръжността, AB = 4, BM = 5, FM = 3. Докажете, че ако AB = CD, то ъглите AME и CME са равни. Намерете радиуса на окръжността. Намерете дължината на допирателната, прекарана от точка М към окръжността. Намерете ъгъла AEB. Вариант 2. AB е диаметърът на окръжността с център O. Хордата EF пресича диаметъра в точка K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5. Намерете радиуса на окръжността. Намерете разстоянието от центъра на окръжността до хордата BF. Намерете острия ъгъл между диаметъра AB и хордата EF. Каква е хордата FM, ако EM е успоредна на AB. Вариант 3. В правоъгълен триъгълник ABC ( Вариант 4. AB е диаметърът на окръжност с център O. Радиусът на тази окръжност е 4, O 1 е средата на OA. С център в точка O 1 е начертана окръжност, допирателна към по-голямата окръжност в точка A. Хордата CD на по-голямата окръжност е перпендикулярна на AB и пресича AB в точка K. E и F са точките на пресичане на CD с по-малкият кръг (C-E-K-F-D), AK=3. Намерете акорди AE и AC. Намерете градусната мярка на дъгата AF и нейната дължина. Намерете площта на частта от по-малкия кръг, отрязан от хордата EF. Намерете радиуса на окръжността, описана около триъгълника ACE.
Да предположим първо, че хордата CD минава през центъра O, т.е. че хордата е диаметър. След това ъгълът ACд-
права и следователно равна на 90°. Но половината от дъгата CmD също е равна на 90°, тъй като цялата дъга CmD, съставляваща полукръг, съдържа 180°. Така че теоремата е оправдана в този конкретен случай.
главата на ACE, съставена от тангентата и диаметъра, се измерва, както е доказано, от половината дъга на CDE; Ъгъл DCE, като вписан, се измерва с половината от дъгата CnED: единствената разлика в доказателството е, че този ъгъл трябва да се разглежда не като разлика, а като сбор от прав ъгъл ALL и остър ъгъл ECD.
изчертавайки две спомагателни хорди AC и BD, получаваме два триъгълника AMC и MBD (покрити на фигурата с щрихи), които са подобни, тъй като техните ъгли A и D са равни, както е вписано, базирано на една и съща дъга BC, ъгли C и B са равни, както са вписани, базирани на една и съща дъга AD. От сходството на триъгълниците извеждаме:
Доказателство.
равнобедрен трапец с остър ъгъл 60 °, страната е равна, а по-малката основа е. Намерете радиуса на окръжността, описана около този трапец.
AD
=
.
BD
=
.
)
∆ABC- равностранен, точка О- точката на пресичане на медианите (ъглополовящи, височини), което означава, че CO :
OD = 2 :
1.
=OP, Тогава CD= 3 CP.
Тъй като кръгът е вписан в четириъгълник, тогава пр.н.е + AD = AB + CD. Този четириъгълник е равнобедрен трапец, така че пр.н.е + AD = 2AB.
доказателство: защото
Доказателство: Нека P е центърът на описаната окръжност на триъгълник ACO. Тогава
Решение: HOGB - квадрат със страна R
D – диаметър => вписан ъгъл ADB=90 o (според диаметъра) => QD/QP=QN/QA; ∆QDP е подобно на ∆QNA в 2 страни и ъгълът между тях => QN е перпендикулярен на AB.
ust O - пресечната точка на диагоналите AC и BD. Тогава МО ·
OC=BO ·
OD. Докато OS = OA и BO = BD, тогава MO ·
OA \u003d IN 2 и MO ·
OA=DO 2 . Тези равенства означават, че OB е допирателна към описаната окръжност на триъгълник ADM
точката E е взета в основата AB на равнобедрения триъгълник ABC, а триъгълниците ACE и ABE са вписани с окръжности, докосващи отсечката CE в точките M и N. Намерете дължината на отсечката MN, ако са известни дължините AE и BE.
